Pandeo flexotorsional: el modo que gobierna canales y ángulos, no el de Euler

Dimensionas un elemento a compresión, eliges el eje débil, calculas la tensión de Euler a partir de la esbeltez, la pasas por la curva de columna y lees una capacidad. Para un perfil de ala ancha o una sección hueca esa es toda la historia. Para un canal, una te estructural o un ángulo, no lo es, y el elemento puede fallar a una carga muy por debajo del número que acabas de anotar. Nada se calculó mal. La trayectoria de carga encontró un modo que la fórmula de Euler nunca contuvo: la sección torsionó.

La fórmula del pandeo de Euler describe una única falla: la columna se arquea de lado en flexión pura, con cada sección transversal quedando plana y sin torsionar. Esa hipótesis es exacta solo cuando el centro de corte y el centroide son el mismo punto, lo que ocurre en secciones doblemente simétricas, un I, un cajón, una barra maciza. En cuanto el centro de corte se aparta del centroide, y se aparta en toda sección abierta con simetría simple o asimétrica, la carga axial que pasa por el centroide empieza a torsionar el elemento. Ahora hay tres maneras de pandear, no una: flexionar, torsionar, o hacer ambas a la vez. AISC 360 llama a las dos últimas pandeo torsional y flexotorsional, y para canales y ángulos rutinariamente dan una resistencia menor que el modo de Euler.

Esta guía convierte ese modo en un número. Cada tensión aquí se calcula con el método del Capítulo E de AISC 360 y se reproduce con el motor de columnas de CalcSteel, que corre las verificaciones flexional y flexotorsional juntas. La escribimos para tres lectores. Si eres estudiante, este es el caso de pandeo que tu curso nombra en una diapositiva y nunca resuelve. Si eres ingeniero en ejercicio o calculista independiente, salta al canal resuelto y al gráfico de longitud, donde un modo que podrías haber pasado por alto quita un tercio de la capacidad. Y si solo quieres la regla: para cualquier sección abierta que no sea doblemente simétrica, la verificación de Euler es un techo, no la respuesta, y tienes que correr E4 para encontrar el piso.

Empecemos por los modos mismos, porque todo el método es apenas una competencia entre ellos. Una columna recta bajo compresión axial puede perder estabilidad en tres formas distintas.

Pandeo flexional, el modo de Euler

La columna se arquea respecto a uno de sus ejes principales, quedando recta en torsión. Cada sección transversal se traslada de lado pero no gira. Este es el caso clásico de Euler, uno por cada eje, y la tensión elástica es Fe igual a pi al cuadrado E sobre la esbeltez al cuadrado. Para una sección doblemente simétrica es el único modo que importa, porque no hay acoplamiento con la torsión.

Pandeo torsional, la torsión pura

La columna gira respecto a su eje longitudinal, cada sección transversal torsionando como una llave en una cerradura, sin movimiento lateral. Lo resisten dos rigideces trabajando en paralelo: la rigidez torsional de St. Venant G por J, y la rigidez de alabeo E por Cw. El pandeo torsional puro gobierna solo en secciones doblemente simétricas especiales con muy baja rigidez torsional, una cruciforme o una columna muy corta y pesada, pero es el ingrediente con el que se construye el modo flexotorsional.

Pandeo flexotorsional, el modo acoplado

La columna flexiona y torsiona al mismo tiempo, en una única forma acoplada. Este es el modo que gobierna canales, tes y ángulos. Existe porque el centro de corte está excéntrico respecto al centroide: la flexión respecto al eje de simetría ya no puede ocurrir sin torsión, así que las dos deformaciones quedan enlazadas y pandean como una sola, a una carga menor que cualquiera de ellas actuando por separado. El pandeo respecto al otro eje principal, el que no tiene simetría para acoplar, sigue siendo un modo de Euler puro. Así que la verdadera competencia para un canal es corta: Euler en el eje débil de un lado, flexotorsional del otro, gana el menor.

Esa es toda la lógica del Capítulo E de AISC 360. Calcula la tensión de Euler para cada eje, calcula la tensión torsional, combina las acopladas, y toma el mínimo. El resto es encontrar las propiedades de la sección que lo alimentan.

El acoplamiento tiene una sola causa, y es geométrica. Toda sección tiene dos puntos especiales. El centroide es donde actúa la carga axial, el punto de equilibrio del área. El centro de corte es por donde debe pasar la carga transversal para flexionar la sección sin torsionarla, el punto respecto al cual la sección gira cuando sí torsiona. Para una sección doblemente simétrica los dos puntos coinciden, y la carga axial, actuando en el centroide, pasa por el centro de corte y no produce torsión. Por eso una sección I obedece a Euler.

Para un canal el centro de corte queda totalmente fuera de la sección, del lado del alma opuesto a las alas. Para una te se ubica en la unión del ala con el alma. Para un ángulo se ubica en el talón, donde se encuentran las dos ramas. En cada caso es una distancia real respecto al centroide, y esa distancia, llamada x0 en las ecuaciones de AISC, es lo que rompe la hipótesis de Euler. La carga axial sigue actuando en el centroide, pero la resistencia de la sección a la torsión está organizada respecto al centro de corte, así que la carga y la rigidez ya no comparten un punto. La excentricidad convierte la fuerza axial en una palanca que alimenta torsión, exactamente como un empuje descentrado en una puerta alimenta la rotación respecto a la bisagra.

Esta es la misma excentricidad que hace que una sección abierta torsione bajo carga transversal, el tema de la guía sobre el centro de corte y la torsión. Allí la excentricidad inventa torsión a partir de una carga que no creías excéntrica. Aquí inventa un modo de pandeo a partir de una carga perfectamente axial. La misma geometría, dos fallas distintas. Cuanto mayor sea la excentricidad x0 y menor la rigidez torsional G por J, más quiere torsionar la sección, y más baja cae la carga flexotorsional por debajo de la de Euler.

AISC 360 trata esto en el Capítulo E, y una vez que tienes las propiedades de la sección son tres fórmulas y un mínimo. Trabaja en unidades consistentes, aquí E igual a 200 GPa y G igual a 77 GPa para el acero, con las longitudes como longitudes efectivas Lc igual a K por L.

Paso 1: las tensiones flexionales (E3)

Las dos tensiones de Euler, una por cada eje principal: Fex igual a pi al cuadrado E sobre (Lcx sobre rx) al cuadrado y Fey igual a pi al cuadrado E sobre (Lcy sobre ry) al cuadrado, con rx y ry los radios de giro. Para un canal Fey, respecto al eje débil, es el competidor flexional puro. Fex, respecto al eje de simetría, no actúa solo: entra en el modo acoplado.

Paso 2: la tensión torsional (E4)

La tensión que causaría torsión pura:

Fez igual a ( G J mas pi al cuadrado E Cw sobre Lcz al cuadrado ) dividido por ( A por r0 al cuadrado )

donde J es la constante torsional de St. Venant, Cw es la constante de alabeo, A es el área, y r0 es el radio de giro polar respecto al centro de corte, r0 al cuadrado igual a x0 al cuadrado mas y0 al cuadrado mas (Ix mas Iy) sobre A. Lee Fez como cuánto resiste la sección la torsión, fijado casi por completo por J y Cw. Las paredes abiertas delgadas tienen un J diminuto, porque J escala con el espesor al cubo, así que su Fez es baja, y eso es lo que tira el modo acoplado hacia abajo.

Paso 3: la tensión acoplada y el mínimo (E4-3)

Para una sección con simetría simple, la flexión respecto al eje de simetría, aquí Fex, se acopla con la torsión Fez en la tensión flexotorsional:

Fexz igual a ( (Fex mas Fez) sobre 2H ) por ( 1 menos raiz cuadrada de ( 1 menos 4 Fex Fez H sobre (Fex mas Fez) al cuadrado ) )

con la constante flexional H igual a 1 menos x0 al cuadrado sobre r0 al cuadrado, que mide cuán lejos queda el centro de corte del centroide. Entonces la tensión elástica que gobierna es simplemente Fe igual al mínimo de Fey y Fexz. Esa Fe alimenta la curva de columna ordinaria, Fcr igual a 0,658 elevado a (Fy sobre Fe) por Fy cuando Fe es al menos 0,44 Fy, y Fcr igual a 0,877 Fe cuando la columna es esbelta, exactamente como en la verificación de Euler. La resistencia de diseño es phiPn igual a 0,90 por Fcr por A. Nada de la curva de columna cambia. Solo cambia la tensión elástica que le alimentas.

Pon el método sobre una sección real. Toma un canal con labios conformado en frío, 200 por 90 por 20 por 3 mm, un montante o larguero de rack común, usado como columna biarticulada de 3 m de largo, K igual a 1 en todo eje, acero Fy igual a 350 MPa. Sus propiedades de sección, calculadas con el método sectorial de pared delgada y contrastadas con fórmulas cerradas y el motor de geometría de CalcSteel, son:

• Área A igual a 12,33 centímetros cuadrados, radios de giro rx igual a 80,3 mm y ry igual a 33,2 mm.
• Constante torsional J igual a 0,370 cm a la cuarta, constante de alabeo Cw igual a 10515 cm a la sexta.
• Excentricidad del centro de corte x0 igual a 67,5 mm, radio polar r0 igual a 110,0 mm, constante flexional H igual a 0,623.

Paso 1: las tensiones flexionales

La esbeltez en el eje débil es Lcy sobre ry igual a 3000 sobre 33,2 igual a 90,5, así que la tensión de Euler en el eje débil es Fey igual a pi al cuadrado por 200000 sobre 90,5 al cuadrado igual a 241 MPa. Respecto al eje de simetría, Fex igual a 1414 MPa, mucho más alta porque rx es grande. Un proyectista que verificara solo el eje débil se detendría aquí, en 241 MPa.

Paso 2: la tensión torsional

Alimenta las propiedades en Fez igual a ( G J mas pi al cuadrado E Cw sobre Lcz al cuadrado ) sobre ( A r0 al cuadrado ), con G igual a 77 GPa, J igual a 0,370 cm a la cuarta, E igual a 200 GPa, Cw igual a 10515 cm a la sexta, Lcz igual a 3 m, A igual a 12,33 centímetros cuadrados y r0 igual a 110 mm. El resultado es Fez igual a 174 MPa, ya menor que Fey, porque la pared de 3 mm hace que J sea pequeña y el término de alabeo no alcanza a compensarlo.

Paso 3: la tensión acoplada

Alimenta Fex igual a 1414, Fez igual a 174 y H igual a 0,623 en la fórmula E4-3 y la tensión flexotorsional es Fexz igual a 165 MPa. Ahora compara: Fe igual al mínimo de Fey igual a 241 y Fexz igual a 165, así que Fe igual a 165 MPa y el modo flexotorsional gobierna. La columna no flexiona hasta fallar, flexiona y torsiona, a una tensión un tercio por debajo de la respuesta de Euler.

Paso 4: la resistencia

Como Fe igual a 165 está por encima de 0,44 Fy igual a 154, usa la curva inelástica: Fcr igual a 0,658 elevado a (350 sobre 165) por 350 igual a 144 MPa. La resistencia nominal es Pn igual a Fcr por A igual a 178 kN, y la resistencia de diseño es phiPn igual a 0,90 por 178 igual a 160 kN. El motor de columnas de CalcSteel, corriendo E3 y E4 juntos en esta sección, devuelve Fe igual a 165 MPa, Fcr igual a 144 MPa y phiPn igual a 160 kN, coincidiendo con el cálculo a mano hasta el decimal.

Un solo punto resuelto es una foto fija. La imagen útil es cómo se intercambian los modos a medida que la columna se hace más larga, porque la respuesta de cuál gobierna no siempre es la misma. Mantén la sección fija y barre la longitud biarticulada, comparando la tensión crítica que daría la verificación de Euler sola contra la tensión verdadera con E4 incluido.

• L igual a 1 m: Fcr solo Euler igual a 327 MPa, Fcr verdadero igual a 314 MPa. El tocón es rechoncho, ambos modos están cerca de la fluencia, y la brecha es pequeña.
• L igual a 2 m: solo Euler 267 MPa, verdadero 230 MPa. La torsión ya se está llevando un 14 por ciento.
• L igual a 3 m (la columna resuelta): solo Euler 191 MPa, verdadero 144 MPa. Una brecha del 25 por ciento en tensión, una brecha del 32 por ciento en resistencia una vez que se aplica el área y las dos curvas divergen.
• L igual a 4 m: solo Euler 119 MPa, verdadero 88 MPa.
• L igual a 5 m: solo Euler 76 MPa, verdadero 62 MPa.

Para este canal con labios de alas anchas la curva flexotorsional queda por debajo de la curva de Euler a toda longitud, así que la torsión gobierna en todo el rango práctico. Esa no es una regla universal, es lo que hace esta geometría: las alas anchas hacen alta la tensión de Euler en el eje débil, mientras que la pared delgada mantiene baja la rigidez torsional, así que el modo acoplado gana en todas partes. Un canal más angosto y grueso mostraría un cruce, donde el flexotorsional gobierna las columnas más cortas y Euler toma el mando en las largas. De cualquier forma, la lección es la misma: no puedes saber en qué curva estás hasta que hayas calculado ambas.

La brecha no es académica, y apunta hacia el lado peligroso. En la longitud resuelta de 3 m la verificación de Euler en el eje débil, tomada sola, da una tensión crítica de 191 MPa y una resistencia de diseño de 212 kN. La verificación completa, con el modo flexotorsional, da 144 MPa y 160 kN. La diferencia es 52 kN, una sobrestimación del 32 por ciento, y va del lado inseguro: el número de solo Euler es demasiado alto, así que una columna diseñada y aceptada contra él quedaría cargada a una demanda que la sección real no puede soportar. Pandearía por torsión a una carga que el cálculo decía que era segura.

Esto es lo que hace que valga la pena nombrar al pandeo flexotorsional. La mayoría de los errores de detallamiento son conservadores u obvios. Este no es ninguno de los dos. La carga aplicada es honestamente axial, la esbeltez está honestamente calculada, la fórmula de Euler está honestamente aplicada, y la respuesta sigue estando equivocada por un tercio, porque la fórmula respondió la pregunta equivocada. No hay advertencia en los números que sí calculaste. La única señal es la forma de la sección: abierta, con simetría simple, centro de corte fuera del centroide. Cuando ves eso, la tensión de Euler es una cota superior, y le debes a la sección una verificación E4 antes de confiar en ella.

La misma disciplina se traslada a una viga-columna, donde el término axial de la interacción axial y flexión combinadas usa justamente este Pn. Si Pn se calculó a partir del modo de Euler solo, la interacción hereda el mismo error del 32 por ciento, y toda combinación de carga sobre ese elemento se verifica contra una capacidad que no está ahí.

No corres E4 en todo. El modo solo muerde cuando el centro de corte está fuera del centroide, así que una mirada rápida a la sección te dice si está en juego.

Canales, C y U

El caso resuelto. El centro de corte queda fuera del alma, la excentricidad x0 es grande, y los canales delgados tienen poca rigidez torsional. El pandeo flexotorsional es una verificación viva en toda columna de canal, y a menudo gobierna.

Tes, WT y tes estructurales

El centro de corte se ubica en el ala, lejos del centroide que baja hacia el alma, y el alma no aporta casi nada de rigidez de alabeo, así que Cw es diminuta y Fez es baja. Las tes son una de las secciones clásicas donde el modo flexotorsional gobierna en la mayoría de las longitudes.

Ángulos, simples y dobles

Los ángulos simples pandean respecto a su eje principal débil con fuerte acoplamiento flexotorsional, por lo que AISC les da un método simplificado dedicado en la Sección E5 para el caso común de un ángulo cargado a través de una rama. Los ángulos dobles, un básico de cerchas y arriostramientos, tienen simetría simple y meten el modo acoplado por las dos ramas. Ambos necesitan la verificación, y el título de esta guía no es un accidente: para ángulos y canales la torsión es la regla, no la excepción.

Dónde puedes saltártela

Las secciones doblemente simétricas, alas anchas, secciones huecas estructurales, cajones, tubos, tienen su centro de corte en el centroide, así que x0 es cero, el acoplamiento se anula, y la tensión flexotorsional nunca puede caer por debajo de la flexional. Para ellas la verificación de Euler es toda la verificación. Las cruciformes y otras secciones abiertas delgadas son el extremo opuesto, con una rigidez de alabeo tan baja que el pandeo torsional puro puede gobernar por sí solo. Los elementos conformados en frío cargan una capa más, el pandeo local y distorsional de las paredes delgadas, que las reglas de estructuras de acero conformado en frío tratan como una verificación de sección efectiva aparte, encima del modo global mostrado aquí.

Cada una de estas hace que una columna pase en el papel mientras la sección real está por encima de su verdadera carga de pandeo. Ninguna arroja un error, que es exactamente por qué el pandeo flexotorsional sigue sorprendiendo a ingenieros cuidadosos.

1. Verificar solo el eje débil. La más grande. Tomar el menor de Fex y Fey y detenerse ahí supone que la sección no puede torsionar. Para un canal o una te eso se salta el modo que gobierna, y sobrestima la resistencia por toda la brecha, aquí un 32 por ciento.
2. Usar r0 como un radio de giro ordinario. El r0 en Fez es el radio polar respecto al centro de corte, r0 al cuadrado igual a x0 al cuadrado mas rx al cuadrado mas ry al cuadrado, no raiz cuadrada de (Ix mas Iy sobre A) respecto al centroide. Descartar el término x0 al cuadrado infla Fez y esconde la torsión.
3. Olvidar la constante de alabeo Cw, o leerla mal. Fez necesita tanto G J como E Cw. Poner Cw en cero, o sacar un valor para el eje equivocado, puede mover Fez en decenas por ciento. Para una te Cw es casi cero y ese es el punto, no un error de redondeo.
4. Tomar Kz igual a Kx. La longitud efectiva torsional Kz depende de cómo estén restringidos los extremos contra la torsión y el alabeo, que a menudo es distinto de la restricción flexional. Un apoyo articulado que detiene la traslación aún puede permitir el alabeo, y Kz no es automáticamente 1.
5. Confiar en la capacidad de solo Euler de una tabla de secciones para una sección abierta. Algunas tablas rápidas y planillas reportan una capacidad a compresión a partir de KL sobre r sola. Para un canal, te o ángulo ese número es el techo de Euler, no la resistencia de diseño, y necesita la verificación E4 superpuesta antes de usarlo.

La forma más rápida de sentir el modo es ver cómo se intercambian las dos tensiones a medida que cambias la sección y la longitud. La calculadora de abajo es la herramienta de pandeo de columnas de CalcSteel, gratuita y sin inicio de sesión para la parte de cálculo. Corre la verificación del Capítulo E de AISC 360, las tensiones flexionales de E3 y la tensión flexotorsional de E4, y reporta la Fe que gobierna, la tensión crítica Fcr, y la resistencia de diseño, para la sección y las longitudes efectivas que fijes. Apúntala al canal con labios resuelto y devuelve Fe igual a 165 MPa y phiPn igual a 160 kN, los mismos números calculados a mano arriba.

Pon un perfil de ala ancha doblemente simétrico y la tensión flexotorsional trepa fuera de alcance, el modo flexional gobierna, y vuelves a una verificación de Euler pura. Cambia a un canal, una te o un ángulo y observa cómo Fexz cae por debajo de Fey y toma el mando. Ese único interruptor es toda la lección de esta guía vuelta interactiva: la forma de la sección decide si Euler es la respuesta o solo el techo.

En un modelo real la verificación se multiplica por cada elemento a compresión, cada longitud efectiva, y cada combinación de carga, con el modo flexotorsional vivo en cada sección abierta y el modo flexional solo en las doblemente simétricas. Eso es lo que automatiza el motor de columnas de CalcSteel, y donde tú sigues aportando el criterio: la restricción de extremo contra el alabeo, el arriostramiento que acorta Lcz, o una sección demasiado delgada para confiar en ella sin la verificación local del conformado en frío. Lleva el mismo elemento al flujo de longitud efectiva y factor K, donde se decide el Lc que alimenta cada una de estas tensiones.