Pórtico arriostrado en cruz: el criterio de solo tracción detrás de la norma, y el factor de 2 que decide

Este es el vano: 6,0 m de ancho, 4,5 m hasta la cara inferior de la viga, dos columnas, una viga, dos diagonales que se cruzan en X. Un cortante de piso de 200 kN llega a nivel de viga. Cualquier ingeniero dimensiona la diagonal en un minuto, y dos ingenieros con este dibujo en la mano devuelven respuestas que difieren por un factor de 2.

No porque uno de ellos sea descuidado. Porque el dibujo no dice si la diagonal comprimida tiene permiso para trabajar. Si lo tiene, cada diagonal toma la mitad del cortante de piso y la demanda es 125,0 kN. Si no lo tiene, la diagonal traccionada lo toma todo y la demanda es 250,0 kN. Mismo vano, mismo acero, misma carga, mismo dibujo.

Esto no es una discusión sobre coeficientes de seguridad. Es una pregunta con respuesta, la respuesta es una sola comparación, y todo lo que está aguas abajo se mueve: el desplazamiento lateral del vano, la fuerza axil en la viga, cómo las dos columnas se reparten el vuelco. Abajo, el mismo vano se corre en el motor de elementos finitos de CalcSteel bajo las dos respuestas, y cada número publicado se verifica contra el cálculo manual que debería reproducir.

Un pórtico arriostrado en cruz, también llamado arriostramiento en X, es un vano de un pórtico arriostrado concéntrico en el que dos diagonales van de esquina a esquina y se cruzan cerca de la mitad de su longitud. Su trabajo es tomar la carga horizontal de cada piso y convertirla en fuerza axil dentro de un triángulo, para que llegue a la fundación sin pedirle flexión a ningún elemento. Comparado con un pórtico a momento es más rígido por mucho menos acero, y comparado con un muro de cortante es más liviano y deja el vano libre.

La razón de que haya dos diagonales y no una es la reversión. El viento y el sismo empujan el edificio primero hacia un lado y después hacia el otro. Una sola diagonal que trabaja de maravilla en tracción bajo un empuje desde la izquierda tiene que trabajar en compresión bajo un empuje desde la derecha, en toda su longitud no arriostrada, que es la mayor dimensión del vano. La segunda diagonal está ahí para que, venga la carga por donde venga, siempre haya una diagonal traccionada que la tome.

Esa es toda la idea, y es la razón por la que se dibuja la X. Lo que el dibujo deja abierto es la pregunta siguiente: cuando la carga viene desde la izquierda y una diagonal está traccionada, ¿la otra está también cargando, en compresión, o simplemente está ahí parada?

Tome el vano bajo un cortante de piso V, con la diagonal a un ángulo theta respecto de la horizontal. Corte el vano con un plano horizontal justo debajo de la viga y escriba el equilibrio horizontal de la parte que queda arriba del corte. Los únicos elementos que cruzan el corte son las dos columnas, que no llevan fuerza horizontal en un pórtico con uniones articuladas, y las diagonales.

Si se cuentan las dos diagonales, una traccionada y una comprimida, reparten: cada una toma V / (2 cos theta). Si se cuenta solo la diagonal traccionada, ella toma V / cos theta, el doble. No hay nada intermedio en lo que se pueda confiar. El vano es o un sistema de tracción y compresión o un sistema de solo tracción, y cuál de los dos es depende de si la diagonal comprimida puede de verdad llevar su parte sin pandear.

Esta es una decisión de diseño real que se toma todo el tiempo, normalmente sin dejarla escrita. El arriostramiento con barra redonda y con platina es de solo tracción por construcción, porque una barra redonda de 32 mm es un hilo en compresión. El arriostramiento con tubo y con ángulo suele ser de tracción y compresión, pero solo si la diagonal comprimida se verificó en la longitud efectiva correcta. Entre esos dos casos vive una población grande de vanos que se dibujaron como X, se modelaron con las dos diagonales activas, y se detallaron como si fueran de solo tracción.

Reducido a su núcleo, el criterio es una sola comparación:

La diagonal comprimida participa si, y solo si, su resistencia de diseño a compresión en su longitud efectiva real es al menos V / (2 cos theta).

Todas las normas lo escriben igual, porque en realidad no es una regla de norma, es una afirmación sobre qué camino de carga existe. AISC 360 da la resistencia a compresión en el Capítulo E, donde la tensión de pandeo por flexión depende de la esbeltez KL/r a través de la tensión de pandeo elástico Fe = pi al cuadrado por E / (KL/r) al cuadrado. EN 1993-1-1 lo escribe como un factor de reducción chi aplicado a A fy. Los dos tienen la misma forma y la misma consecuencia: la resistencia a compresión cae con el cuadrado de la longitud efectiva, así que lo que usted supone sobre KL vale mucho más que lo que supone sobre el grado del acero.

Y ahí es donde la X se gana el sueldo. Cuando las dos diagonales corren continuas en el cruce y están unidas entre sí ahí, la diagonal comprimida queda arriostrada en ese punto por la diagonal traccionada, y su longitud efectiva cae a aproximadamente la mitad de la diagonal completa. Como la capacidad va con el cuadrado, reducir KL a la mitad vale un factor de aproximadamente 4. Dejar que simplemente se pasen una al lado de la otra tira eso a la basura, y empalmar una diagonal en el cruce es peor que nada: el empalme se vuelve el eslabón débil justo cuando la diagonal interrumpida es la comprimida.

Vale la pena ser exacto sobre de dónde viene cada mitad de esto, porque no tienen la misma autoridad. Convertir KL en una resistencia de diseño es norma, y el Capítulo E de AISC 360 y la Sección 6.3 de EN 1993-1-1 lo hacen los dos. El valor KL = 0,5 L para una X no es una cláusula de especificación en ninguna parte. Viene de Picard y Beaulieu, cuyo estudio de 1987 deriva 0,5 como el piso práctico para diagonales continuas en el cruce y conectadas en la intersección, y llega a las normas AISC solo como comentario, acotado al segmento especial de un pórtico de celosía a momento. Trátelo como una recomendación bien fundada con una condición de detallado adjunta, no como un número que la norma le entrega.

La figura de abajo es la misma diagonal SHS 90x90x5, el mismo acero, evaluada en un rango de longitudes efectivas, con la demanda trazada por encima. Con KL = 3,750 m, la mitad de la diagonal, la resistencia de diseño es 226,2 kN contra una demanda de 125,0 kN, una utilización de 0,553. Con KL = 7,500 m, la diagonal completa, la resistencia de diseño es 56,9 kN, una utilización de 2,197. Un detalle de unión, y el mismo acero pasa de cómodo a más del doble de sobrecargado.

El ejemplo resuelto es deliberadamente un triángulo 3-4-5, para que toda verificación manual sea exacta y nada se esconda detrás del redondeo:

• Vano de 6,0 m de ancho y 4,5 m de alto, así que la diagonal mide exactamente 7,5 m a 36,87 grados, y cos theta = 0,8 exacto.
• Cortante de piso V = 200 kN, aplicado mitad en cada nudo superior, que es lo que entregan dos columnas de ancho tributario.
• Columnas HEB 200, viga IPE 330, diagonales SHS 90x90x5 con A = 1700 mm2 y r = 34,76 mm, o una barra redonda de 32 mm con A = 804,2 mm2 y r = 8,00 mm. Acero S355 en todo.
• Pórtico con uniones articuladas: las columnas tienen base articulada y las uniones viga a columna transmiten solo cortante, así que las diagonales son el único camino de carga lateral y la fuerza en el arriostramiento es estáticamente determinada.
• Límite de desplazamiento lateral H/400, que son 11,25 mm para un piso de 4,5 m. Esa es la fila del tope de las columnas respecto de la base de la NBR 8800 Anexo C, y queda en el extremo holgado del rango de 1/600 a 1/400 que sugiere el comentario de ASCE 7. No es un límite entre pisos: la NBR 8800 pone ese en h/500, y EN 1993-1-1 no da número alguno y lo deja al Anexo Nacional.

Cada fuerza de elemento y cada desplazamiento citados abajo salieron de app.engine.solver.run_analysis, el mismo motor de elementos finitos que corre detrás del editor de CalcSteel, y cada uno queda comprobado en el script de referencia contra el valor de forma cerrada que tiene que reproducir. Donde el motor y el cálculo manual difieren, la diferencia se reporta en vez de alisarse.

Una nota de modelado que pesa más de lo que parece: el cortante de piso se aplica mitad en cada nudo superior. Esa es la hipótesis tributaria honesta para un vano flanqueado por dos columnas, y es también la hipótesis que hace que la fuerza axil de la viga salga como sale. Ponga los 200 kN completos en un solo nudo y la fuerza de colector en la viga cambia, lo que ya de por sí vale la pena saber.

Dos modelos, idénticos salvo por las diagonales. En el primero están las dos diagonales. En el segundo está solo la diagonal traccionada, que es exactamente lo que supone un diseño de solo tracción.

Primero el cálculo manual. Con V = 200 kN y cos theta = 0,8:

• Compartiendo: V / (2 cos theta) = 200 / 1,6 = 125,0 kN, una diagonal traccionada y una comprimida.
• Solo tracción: V / cos theta = 200 / 0,8 = 250,0 kN, todo en una sola diagonal.

El motor devolvió 125,0 kN y menos 125,0 kN para el par, y 250,0 kN para la diagonal única. La diferencia contra la estática es de 0,000 % en los dos casos, que es lo que debe dar un camino de carga determinado: un pórtico con uniones articuladas y diagonales biarticuladas tiene exactamente un modo de llevar la carga lateral, y el análisis no tiene libertad para encontrar otro.

Vale la pena decir esa concordancia con todas las letras, porque es la razón por la que se puede confiar en el resto de este artículo. Al motor no se le pide que revele nada misterioso sobre el reparto. Se le pide que confirme el reparto, y después que nos cuente lo que la estática no puede: el desplazamiento lateral, y lo que pasa en los elementos que no son diagonales.

Ahora aplique el criterio a la sección real. El SHS 90x90x5 tiene A = 1700 mm2 y r = 34,76 mm, y la demanda si las diagonales comparten es 125,0 kN.

Con la unión en el cruce, KL = 0,5 por 7,5 = 3,750 m. Eso da KL/r = 107,9, una tensión de pandeo elástico Fe = 169,6 MPa, una tensión crítica Fcr = 147,8 MPa y una resistencia de diseño de 226,2 kN. Utilización 0,553. La diagonal comprimida participa, el vano es un sistema genuino de tracción y compresión, y el reparto de 125,0 kN es real.

Sin ella, KL = 7,500 m. KL/r sube a 215,8, Fe se derrumba a 42,4 MPa, Fcr a 37,2 MPa, y la resistencia de diseño es 56,9 kN contra la misma demanda de 125,0 kN. Utilización 2,197. La diagonal comprimida no participa, diga lo que diga el modelo de análisis, y el vano es un sistema de solo tracción que lleva 250,0 kN en una diagonal.

Observe lo que no cambió entre esos dos párrafos. Ni la sección, ni el grado del acero, ni la carga, ni la geometría. Solo la hipótesis sobre K, y movió la capacidad por un factor de 4. Por eso vale la pena escribir el criterio en el dibujo: la persona que detalla la unión del cruce está decidiendo el diseño, y normalmente no lo sabe.

Para completar, la misma sección en tracción tiene una resistencia de diseño de 543,1 kN, una utilización de 0,230 contra los 125,0 kN. La tracción nunca es el problema en un vano arriostrado. Lo son la compresión y la rigidez.

La comparación de arriba es el criterio entero, y vale la pena hacerla usted mismo. Ponga el SHS 90x90x5, S355, y fije la longitud en 3,750 m con K = 1,0, que es la X con su unión en el cruce. Después fije la longitud en 7,500 m, que es la misma diagonal sin ella. Mire cómo se mueven la curva de pandeo, la esbeltez y la capacidad de diseño mientras nada más se mueve.

La demanda contra la que hay que comparar es 125,0 kN si las diagonales comparten el cortante, y 250,0 kN si no lo hacen.

La resistencia nunca fue aquí la verificación que manda, y este es el punto donde el artículo se gana el sueldo. Los tres vanos de abajo llevan los mismos 200 kN y difieren solo en las diagonales.

• X, las dos diagonales, SHS 90x90x5: 3,609 mm, que es H/1247. La forma cerrada da 3,447 mm, una diferencia de 4,70 %.
• Solo tracción, el mismo SHS: 7,457 mm, que es H/603. Forma cerrada 6,893 mm, una diferencia de 8,18 %.
• Solo tracción, barra redonda de 32 mm: 15,135 mm, que es H/297. Forma cerrada 14,571 mm, una diferencia de 3,87 %.

Los dos primeros son el mismo acero. Sacar la diagonal comprimida del camino de carga multiplica el desplazamiento lateral por 2,066, y la forma cerrada dice que debería ser exactamente 2, porque el vano tiene la mitad de resortes resistiendo la misma carga. El 3 % de más son las columnas acortándose bajo la componente vertical de la fuerza del arriostramiento, que la forma cerrada ignora y el motor no.

La tercera línea es la que importa. La barra redonda de 32 mm se dimensionó por resistencia: demanda de 250,0 kN contra una capacidad de diseño a tracción de 257,0 kN, una utilización de 0,973. Pasa. También se desplaza 15,135 mm contra un límite de 11,25 mm, es decir 34,5 % por encima. Nada en la verificación de tracción, en ninguna norma, se lo habría dicho. La barra es suficientemente resistente y el vano no es suficientemente rígido, y esas son preguntas distintas.

Esta es la forma general del diseño de pórticos arriostrados, y es la razón por la que los ingenieros con experiencia dimensionan las riostras por rigidez y después verifican la resistencia, y no al revés. En un vano arriostrado la verificación de resistencia suele ser cómoda y la de desplazamiento lateral suele ser ajustada, así que la decisión de participación, que reduce la rigidez a la mitad, golpea exactamente la verificación que gobierna.

La diagonal es el elemento que todo el mundo verifica. Las consecuencias interesantes de la decisión de participación están en los elementos que nadie verifica.

Dos cosas de esa tabla valen más que los números de las diagonales.

La viga. Cuando trabajan las dos diagonales, cada nudo superior tiene su propia diagonal para bajar sus 100 kN, y la viga no lleva fuerza axil alguna: 0,0 kN. Cuando trabaja una sola diagonal, los 100 kN aplicados en el nudo superior lejano no tienen a dónde ir salvo a lo largo de la viga, así que la viga toma 100,0 kN de compresión, exactamente la mitad del cortante de piso. Se ha vuelto un elemento colector, y ahora hay que verificarla a fuerza axil y flexión combinadas. En esta viga, con 25 kN/m de gravedad que dan un momento de 112,5 kN.m contra una capacidad de diseño de 257,7 kN.m, la relación de interacción pasa de 0,4366 a 0,4652 en cuanto se incluye la fuerza de colector. Eso es 6,6 % de la capacidad: no es una crisis, y no es cero, y es completamente invisible para un modelo que nunca la aplicó.

La base no se mueve. El vuelco es 200 kN por 4,5 m = 900,0 kN.m, resistido por un par sobre el vano de 6,0 m, que son 150,0 kN de levantamiento. El motor devuelve 150,0 kN con los dos modelos, porque la estática global no puede ver una decisión de modelado. Lo que la decisión cambia es cómo el vano reparte ese par internamente: dos columnas a 75,0 kN cada una, o una columna de sotavento a 150,0 kN con todo el levantamiento entregado directo a la unión del arriostramiento en la base de barlovento. La misma fuerza de anclaje, una columna y una cartela muy distintas.

Todo lo anterior se calculó con la carga empujando hacia un lado. Inviértala y el motor le entrega a la diagonal espejo los mismos 250,0 kN, en tracción, con la primera diagonal ahora floja. Esa simetría es toda la razón por la que se dibuja la segunda diagonal, incluso en un vano donde nunca se espera que lleve compresión.

Ese es el sentido preciso en el que una X de solo tracción sigue siendo un pórtico arriostrado en cruz. Las dos diagonales no son redundantes y no están compartiendo: se turnan. Cada una es el sistema lateral completo para una dirección de carga, y por eso cada una tiene que dimensionarse para el V / cos theta completo y no para la mitad.

Borre una de ellas y tiene un vano arriostrado con una sola diagonal, que es otra estructura. Tiene que trabajar en compresión bajo carga invertida, en sus 7,5 m completos, lo que está bien para un tubo y es imposible para una barra redonda: una barra redonda de 32 mm con KL/r = 938 tiene una resistencia de diseño a compresión de 1,43 kN. No 143. 1,43 kN. Ese es el número que separa los dos sistemas, y es la razón por la que el arriostramiento con barra redonda y con platina siempre se dibuja de a pares.

Este es el modo de falla que este artículo existe para evitar. Modele el vano arriostrado con barras redondas de la manera obvia, con las dos barras presentes como elementos de celosía comunes, corra un análisis elástico lineal, y lea las fuerzas del arriostramiento. El motor devuelve 125,0 kN en una barra y menos 125,0 kN en la otra, porque un análisis lineal no tiene forma de saber que una barra redonda no puede empujar.

Ese resultado está mal dos veces, y solo uno de los dos errores es el que la gente comenta.

• El error visible: 125,0 kN de compresión en una barra cuya resistencia de diseño a compresión es 1,43 kN. El modelo se pasa por un factor de 88. Este es fácil de atrapar, porque es absurdo a simple vista y la verificación de compresión grita.
• El error que se construye: la misma corrida reporta 125,0 kN de tracción en la barra que trabaja, cuando la barra en realidad tiene que cargar 250,0 kN. El modelo subestima la demanda del único elemento que importa por un factor de exactamente 2, y la verificación de tracción pasa cómoda, y nada grita.

La solución no es un coeficiente de seguridad mayor. Es modelar lo que usted detalló. O saca la diagonal comprimida del modelo para cada dirección de carga y corre las dos direcciones, o usa un elemento de solo tracción que sale de la matriz de rigidez cuando entra en compresión, lo que vuelve el análisis no lineal por caso de carga. Los dos dan 250,0 kN. La X lineal con las dos barras da 125,0 kN, y va a seguir dándolo, en silencio, mientras nadie pregunte.

Los elementos traccionados llevan carga sin importar lo esbeltos que sean, y AISC 360 dice exactamente eso en el texto obligatorio de la Sección D1: no hay límite máximo de esbeltez para elementos en tracción. El 300 que todo el mundo cita está inmediatamente debajo de esa frase, en una nota al usuario, lo que lo vuelve una sugerencia y no un requisito: L/r para elementos diseñados a tracción preferiblemente no debería superar 300. La misma nota exime después a las barras redondas y a los tirantes de esa sugerencia.

Lo cual es una suerte, porque la barra redonda de 32 mm de este vano tiene L/r = 938, un poco más de tres veces el tope del que está exenta. La exención no es un atajo legal: existe porque la razón del 300 es evitar que los elementos flechen, vibren y se dañen en el manejo, y un sistema de arriostramiento con barra redonda resuelve las tres cosas quedando pretensado, normalmente con un tensor, y detallándose para que nadie se pare encima.

De ahí salen dos consecuencias prácticas, y ninguna está en la verificación de tracción:

• El pretensado es parte del diseño. Una barra floja no hace nada hasta recuperar su propia flecha, lo que aparece como desplazamiento lateral adicional antes de que el sistema siquiera entre en carga, sumado a los 15,135 mm calculados arriba.
• La rigidez, no la resistencia, fija el tamaño. La barra que pasa la tracción con una utilización de 0,973 tiene que crecer por desplazamiento lateral, y como el desplazamiento escala con 1/A, la sección tiene que crecer al menos en la proporción en que el desplazamiento se excede: alrededor de un tercio más de área.

Para el caso sísmico la pregunta de la participación deja de ser un criterio y se vuelve texto de norma, y las dos grandes normas la responden en direcciones opuestas. AISC 341 dice que un pórtico arriostrado concéntrico especial no debe ser de solo tracción, limita las riostras a un Lc/r de 200, y después le obliga a verificar las columnas, las vigas, los puntales y las uniones contra dos análisis: uno con cada riostra en su resistencia esperada, y otro con las riostras traccionadas en la resistencia esperada mientras las comprimidas bajan a un residuo pospandeo que la norma limita a 0,3 veces su resistencia esperada a compresión. El Eurocódigo 8 va en el sentido contrario y vuelve la solo tracción obligatoria: en pórticos con arriostramientos diagonales, solo las diagonales traccionadas deben tenerse en cuenta en el análisis elástico.

Ponga esas dos una al lado de la otra y el asunto de este artículo es texto de norma, no opinión. Una le prohíbe diseñar la X como de solo tracción y después le obliga a analizarla como si lo fuera. La otra simplemente le ordena analizarla como de solo tracción. Ninguna de las dos le deja quedarse con los 125,0 kN.

• Dimensionar la diagonal para V / (2 cos theta) y detallarla como de solo tracción. La versión más común de todo el asunto de este artículo. La riostra se construye con la mitad de la fuerza que va a ver.
• Suponer KL = 0,5 L porque el dibujo muestra una X. La reducción a la mitad viene de diagonales que corren continuas en el cruce y están unidas ahí, no de la forma. Si simplemente se pasan una al lado de la otra, o si una de ellas está empalmada en el cruce, la diagonal comprimida no queda arriostrada en el punto medio, y en este vano eso son 56,9 kN de capacidad contra 125,0 kN de demanda.
• Correr un modelo lineal con las dos barras activas. Inventa una compresión que no puede existir y reduce a la mitad la tracción que sí existe. La mitad es la parte peligrosa.
• Verificar la riostra y parar ahí. La viga tomó 100,0 kN de fuerza axil en el modelo de solo tracción y nadie la aplicó. En esta viga son 6,6 % de la capacidad; en una viga más larga y más liviana es más.
• Dimensionar por resistencia en un sistema gobernado por la rigidez. La barra pasa la tracción en 0,973 y falla el desplazamiento lateral por 34,5 %. Verifique primero el desplazamiento.
• Esperar que el levantamiento en la base cambie. No cambia: 150,0 kN en cualquier caso, porque 900,0 kN.m sobre 6,0 m es estática. Lo que cambia es el reparto del axil de columna, 75,0 kN cada una contra 150,0 kN en una sola.
• Olvidar que el límite de desplazamiento se aplica al pórtico desnudo que usted modeló. El cerramiento, los tabiques y el deslizamiento de las uniones mueven el número real en la dirección equivocada, y un vano en H/603 tiene margen para eso mientras que uno en H/297 no lo tiene.
• Tratar una sola diagonal como un pórtico arriostrado en cruz. Tiene que tomar la carga invertida en compresión en toda su longitud. Para una barra redonda eso son 1,43 kN de capacidad, y el sistema no existe en esa dirección.

La secuencia que mantiene honesto a un pórtico arriostrado en cruz es corta, y el orden importa más que cualquier paso individual.

• Decida primero la participación, en papel. Calcule phi Pc de la diagonal comprimida en la longitud efectiva que el detalle de la unión va a entregar de verdad, y compárela con V / (2 cos theta). Escriba la respuesta en el dibujo.
• Modele el sistema que decidió. Solo tracción significa una diagonal por dirección de carga, o elementos de solo tracción. Compartir significa que la unión del cruce es un requisito estructural, no un detalle.
• Verifique el desplazamiento lateral antes que la resistencia. En un vano arriostrado la resistencia suele ser cómoda y el desplazamiento suele ser la restricción, y la decisión de participación duplica el desplazamiento.
• Lea del modelo las fuerzas axiles de la viga y de las columnas. La fuerza de colector en la viga es la mitad del cortante de piso en un vano de solo tracción y es cero en uno que comparte, y el axil de la columna de sotavento se duplica.
• Verifique las dos direcciones de carga. No por amor a la simetría: para confirmar que la diagonal espejo de verdad toma el V / cos theta completo, y que el vano está completo en las dos direcciones.
• Vuelva a verificar después de cualquier cambio en el detalle del cruce. Es la única unión cuyo detallado decide qué estructura construyó.

El factor de 2 del título no es un accidente de este ejemplo. Es 1 / (2 cos theta) contra 1 / cos theta, así que es exactamente 2 para todo vano, en todo ángulo, con todo ancho de vano. Lo único que cambia de vano en vano es cuánto le cuesta a usted ese factor de 2.