Pórtico con riostra de rodilla: el criterio de la separación detrás de la norma, y el factor de 4 que decide

Cualquier otra diagonal del acero estructural se dibuja hacia un punto de trabajo. Se hace que los ejes de la viga, de la columna y de la riostra se encuentren, porque cuando se encuentran el nudo carga fuerza y no momento, y el vano entero se puede idealizar como una celosía. Una riostra de rodilla hace lo contrario. Arranca a una distancia a por debajo del nudo en la columna y a una distancia a a lo largo de la viga, y falla el nudo deliberadamente.

Lo falla por aquello para lo que sirve la esquina. Un entrepiso necesita la altura libre bajo la viga. Un rack de tuberías necesita que la tubería pase. Un taller necesita la puerta. Una diagonal completa cruzando el vano resuelve el problema lateral y se lleva el vano con ella. La riostra de rodilla corta la esquina en cambio, y deja el medio abierto.

Lo que eso cuesta no es obvio, y no está en la mayoría de los libros de texto. Abajo, un pórtico de 8,0 m por 5,0 m se corre en el motor de elementos finitos de CalcSteel en seis puntos de arranque distintos para la riostra de rodilla, con todo lo demás idéntico. La fuerza en la riostra se mueve por un factor de 4. El desplazamiento lateral se mueve por un factor de 2,8. Y el número que la mayoría de los ingenieros busca primero, la sección de la riostra, resulta no cambiar casi nada.

Un pórtico con riostra de rodilla, el knee braced frame de la literatura en inglés, a veces escrito KBF, es un pórtico a momento con una diagonal corta cruzando cada esquina viga-columna. La diagonal suele estar a 45 grados, suele tener la misma separación en la columna y en la viga, y suele ser un tubo, un ángulo o un perfil U pequeño. Se ve en entrepisos, racks de tuberías, pórticos de puente grúa, pórticos de madera, marquesinas y edificios industriales livianos, y es muy antigua: la misma geometría está en el entramado de madera medieval, donde se la llama jabalcón o tornapunta.

Dos cosas bastante distintas se llaman arriostramiento de rodilla, y vale la pena separarlas antes de cualquier cálculo.

• El rigidizador. Una riostra de rodilla agregada para rigidizar la esquina de un pórtico común bajo viento, empuje de puente grúa o carga nocional. Es un dispositivo de servicio y de estabilidad. Nada está pensado para plastificar. Este es el caso común, y es el del ejemplo resuelto de abajo.
• La rodilla desechable. En diseño sísmico, un elemento de rodilla se hace deliberadamente la parte más débil del camino de carga para que plastifique a cortante o a flexión mientras la diagonal y el pórtico se mantienen elásticos. La idea viene de la propuesta de arriostramiento de rodilla desechable de Aristizabal-Ochoa, de 1986, y el elemento está pensado para cortarse y reemplazarse después de un evento. Es primo del enlace de un pórtico arriostrado excéntricamente.

Las dos comparten una geometría y casi nada más. Lo que sí comparten es la única variable de la que trata este artículo: la separación.

El primer error que un pórtico con riostra de rodilla invita a cometer es un error de clasificación. Hay una riostra en el vano, así que al pórtico se le llama arriostrado, a las columnas se les da un factor de longitud efectiva de 1,0, se supone que el momento viga-columna se fue a alguna parte, y la verificación de segundo orden se saltea.

Nada de eso es cierto, y la razón es geométrica. En un vano arriostrado concéntricamente la diagonal va de esquina a esquina, así que la fuerza horizontal que carga se entrega directo al nudo y baja directo por la diagonal hasta la fundación. A las columnas les queda fuerza axil. En un vano con riostra de rodilla la diagonal se detiene antes. Por debajo del punto de arranque la columna no tiene riostra alguna: sigue siendo un voladizo desde la base, y sigue cargando su parte del cortante de piso en flexión.

Así que la clasificación honesta es un pórtico a momento con un resorte cruzando cada esquina. El resorte es rígido y barato, y vale la pena tenerlo. No convierte el pórtico en ninguna otra cosa, y los números de abajo lo vuelven cuantitativo: el momento en la base sigue en cero, el cortante de la columna por debajo de la rodilla sigue siendo exactamente V/2, y el amplificador de traslación del pórtico solo baja de 1,0541 a 1,0198.

Tome una esquina. Base articulada, carga lateral V a nivel de viga, vano simétrico, así que cada columna toma V/2 de cortante horizontal. La riostra de rodilla arranca a una altura H - a en la columna y a una distancia a a lo largo de la viga, con un ángulo beta respecto de la horizontal. De ahí salen tres cantidades, y dos de ellas son estática exacta y no análisis.

1. El momento que queda en la columna. Por debajo del punto de arranque no hay más que columna. La base está articulada, así que el momento crece linealmente desde cero, y en el punto de arranque vale

M_rodilla = (V / 2) (H - a)

Esa expresión no contiene propiedad alguna de la riostra. Ni la sección, ni el ángulo, ni el grado del acero, ni la rigidez. Haga lo que haga con la riostra, la columna se queda con ese momento.

2. La fuerza en la riostra. Con uniones viga-columna flexibles el triángulo de la esquina es determinado, y la columna por encima del punto de arranque tiene que cargar M_rodilla abajo y cero en la articulación de arriba, así que su cortante es M_rodilla/a. La riostra aporta la diferencia, y sale como

N_riostra = V H / (2 a cos beta)

La separación está en el denominador. Parta la rodilla por la mitad y la fuerza en la riostra se duplica, exactamente, y con ella todo aquello con lo que hay que conectarla.

3. El desplazamiento lateral. Integrando esos dos diagramas de momento lineales por trabajo virtual sale una forma cerrada para la traslación de todo el vano:

Δ = V H (H - a)² / (6 E I_c) + V H² (L/2 - a)² / (3 E I_b L) + términos axiles

Haga a = 0 y colapsa, término a término, sobre el pórtico desnudo. Ese es todo el beneficio flexional de una riostra de rodilla: reemplaza H por (H - a) en el término de la columna y L/2 por (L/2 - a) en el término de la viga. Mire lo que no está en esos dos términos. La sección de la riostra no está. Aparece solo en los términos axiles, que son pequeños.

Las tres apuntan en el mismo sentido. Rodilla más larga, menos fuerza, menos desplazamiento, menos momento en la columna. No hay un óptimo estructural que encontrar. La separación la elige la abertura que tiene que dejar libre, y nada más.

Un pórtico de entrepiso de almacenamiento, que es donde las riostras de rodilla se ganan la vida.

• Luz L = 8,0 m de eje a eje de columna, altura H = 5,0 m de la base al eje de la viga, bases articuladas.
• Columnas HEB 300 (I_x = 24 480,5 cm⁴), viga IPE 400 (I_x = 22 222,4 cm⁴), riostras de rodilla SHS 90x90x5 (A = 1 700 mm², r = 34,76 mm). Acero S355, E = 200 GPa.
• Separaciones iguales en la columna y en la viga, así que cada riostra queda a 45 grados y su longitud es a por la raíz de 2.
• Carga lateral V = 60 kN a nivel de viga, 30 kN en cada nudo superior. Gravedad mayorada sobre la viga 40 kN/m, que son 320 kN sobre el pórtico.
• Límite de servicio H/250 = 20,0 mm, el orden habitual para un pórtico industrial con cerramiento. Su anexo nacional puede decir H/300 o H/150; la aritmética de abajo no cambia, solo cuál fila cumple.

Dos puntos de modelado, porque deciden si los números significan algo. Primero, las columnas y la viga son continuas a través de los puntos de arranque. Eso no es un refinamiento, es la estructura: una riostra de rodilla no puede trabajar en un pórtico totalmente articulado, porque el conjunto sería un mecanismo. Segundo, los modelos principales usan uniones viga-columna flexibles, que es el detalle real en un entrepiso, y eso vuelve determinada la esquina de modo que cada estación es una verificación a mano. La versión de nudos rígidos se corrió en paralelo, y la comparación está en su propia sección más abajo.

Todo se corre en app.engine.solver.run_analysis, el mismo motor que hay detrás del editor de CalcSteel, y cada número publicado se verifica contra la forma cerrada antes de aparecer aquí.

Antes de la riostra, el pórtico solo. Un pórtico de base articulada con uniones rígidas en las dos esquinas es una estructura perfectamente respetable. También es flexible, y el método de las pendientes y deflexiones dice cuánto. Escribiendo el equilibrio del nudo con el término de traslación y la ecuación de cortante 2 M_sup / H = V queda

Δ = V H² L / (12 E I_b) + V H³ / (6 E I_c)

que para este vano son 22,50 mm de la viga más 25,53 mm de las columnas, 48,03 mm en total. El motor devolvió 48,109 mm, una diferencia de 0,16 %, y ese 0,16 % son las columnas acortándose axialmente bajo el par de vuelco, que la forma cerrada ignora.

48,109 mm son H/104. Contra un límite H/250 se pasa por 140,5 %. El pórtico no está cerca, y ningún ajuste razonable de las secciones lo arregla: el término de la columna va con H al cubo, así que recuperarlo por sección significa una columna muy grande.

El momento de la columna en el tope es 150,0 kN.m, que es V H / 2 exacto, y el motor devolvió exactamente eso. Guarde ese número. Es contra lo que se va a juzgar a la riostra de rodilla.

Ahora entran las riostras de rodilla, el mismo SHS 90x90x5 en cada corrida, y lo único que cambia es el punto de arranque. Seis separaciones de 0,5 m a 2,0 m. La columna del desplazamiento es el motor FEM; la columna de la fuerza en la riostra también es el motor, y cayó sobre V H / (2 a cos beta) hasta 0,000 % en las seis corridas.

Tres cosas de esa tabla merecen una parada.

Solo la rodilla más larga cumple, y cumple con 8,8 % de sobra. Todo lo más corto reprueba el límite, algunas filas por mucho. Una riostra de rodilla no es un gesto simbólico: o le da una mordida seria a la esquina o no hace gran cosa.

La fuerza en la riostra es exactamente inversa en la separación. 424,3 kN con 0,5 m contra 106,1 kN con 2,0 m es un factor de 4 sobre un factor de 4 en la separación. Ese factor no está solo en el elemento. Está en la cartela (gusset), en el grupo de tornillos, en la soldadura y en la verificación local del alma de la columna donde arranca la riostra.

La fila de 0,5 m es más flexible que no tener riostra alguna. 51,728 mm contra los 48,109 mm del pórtico desnudo con uniones rígidas. Cambie la unión rígida por una riostra de rodilla corta y salió perdiendo. La razón está en la forma cerrada: la riostra carga 424,3 kN sobre 0,707 m, y su propio alargamiento axial aporta 12,5 mm de los 51,7 mm.

Tome la fila que cumple, a = 2,0 m. La riostra son 2,828 m de SHS 90x90x5 cargando 106,07 kN, y lo primero para notar es que ese número salió de la estática antes de que existiera sección alguna. Uno no dimensiona una riostra de rodilla y después encuentra su fuerza. La geometría fija la fuerza, y la sección solo tiene que sobrevivirla.

La compresión gobierna en la esquina de sotavento. Con r = 34,76 mm y K = 1,0 sobre la longitud completa de la riostra:

• KL/r = 2 828 / 34,76 = 81,4, cómodamente dentro del 200 que AISC recomienda para elementos comprimidos.
• F_e = pi al cuadrado por E / (KL/r) al cuadrado, y el Capítulo E3 de AISC 360 da entonces phi P_c = 330,0 kN.
• Demanda sobre capacidad = 106,07 / 330,0 = 0,321. Cumple con holgura.

En tracción la misma sección tiene phi P_t = 543,1 kN en la sección bruta, una utilización de 0,195.

Esa utilización baja es característica y sí importa. Una riostra de rodilla es corta, así que la compresión casi nunca es el problema. El argumento de solo tracción que domina el arriostramiento en cruz, donde una diagonal se descarta porque pandea con KL/r de 200 o más, sencillamente no llega a aparecer aquí. Invierta la carga y el motor le entrega a la riostra espejo los mismos 106,07 kN. Las dos riostras de rodilla trabajan, en las dos direcciones, siempre.

Dos verificaciones de equilibrio que vale la pena hacer en su propio modelo, porque cazan al instante un extremo liberado por error. En el punto de arranque sobre la columna, la componente horizontal de la riostra es 75,0 kN, y el motor reporta la fuerza axil de la columna saltando 75,0 kN y su cortante saltando 75,0 kN a través de ese mismo nudo. Y el tramo de viga entre el punto de arranque y la columna toma 75,0 kN de compresión axial, que es otra vez la misma componente. Si esos tres números no son iguales en su modelo, la riostra no está haciendo lo que dice el dibujo.

El pórtico desnudo es la mitad de este problema que usted puede reproducir en un minuto. Ponga la luz de 8,0 m, la altura de 5,0 m, las secciones y los 60 kN, y lea el desplazamiento lateral y las reacciones en la base de una resolución real de un pórtico plano 2D. Los números con riostra de rodilla salen después de la forma cerrada de la sección del criterio, más arriba.

Este es el resultado que decide cómo se verifica la columna, y es el que la clasificación como pórtico arriostrado entiende mal.

En el pórtico desnudo el momento en el plano de la columna crece desde cero en la base articulada hasta 150,0 kN.m en el tope. En el pórtico con riostra de rodilla crece desde cero en la base articulada hasta 90,0 kN.m en el punto de arranque, y por encima cae. Ese 90,0 es (V/2)(H - a) = 30 x 3,0, y el motor lo devolvió hasta el segundo decimal.

Así que la riostra hizo dos cosas: bajó el pico hasta el punto de arranque, y lo encogió en la relación (H - a)/H, que aquí es 3,0/5,0 = 0,6. No lo quitó, y nada de lo que haga con la riostra lo va a quitar. Por debajo del punto de arranque la columna sigue cargando V/2 = 30 kN de cortante, y 30 kN de cortante sobre 3,0 m de voladizo son 90 kN.m, sea la riostra de arriba un tubo, un perfil U, una barra o un perfil laminado.

Verifique la columna en consecuencia. Para este pórtico la fuerza axil es 160,0 kN por columna contra phi P_c = 3 431 kN, y el momento es 90,0 kN.m contra phi M_p = 599,5 kN.m, así que la relación de interacción H1-1 de AISC 360 es 0,1735 con las riostras de rodilla contra 0,2735 sin ellas: 36,6 % de alivio. Real, bienvenido y finito. La columna de un pórtico con riostra de rodilla es una viga-columna y hay que verificarla como tal.

Un pórtico reprueba el desplazamiento. El instinto es agrandar la riostra. Esto es lo que eso compra, con la separación fija en a = 1,5 m y todo lo demás idéntico.

21,9 veces el área compró 30,8 % del desplazamiento, y pasar del 90x90x5 al 250x250x16, un salto de 8,8 veces en acero, compró 14,2 %. La curva es plana y siempre iba a ser plana, porque la sección de la riostra no aparece en la parte flexional de la expresión del desplazamiento. Aparece solo en un término axil, y para la tercera fila ese término ya está apretado casi a cero. Más allá de ahí, lo único que queda es la flexión del propio pórtico.

Y mire la última columna. La fuerza en la riostra no se mueve en absoluto. 141,42 kN en cada fila, porque la estática la fijó desde la geometría antes de elegir sección alguna. Agrandar una riostra de rodilla no alivia a la riostra de rodilla. Solo baja su utilización, que no era el problema.

Si el pórtico es demasiado flexible, las variables que de verdad funcionan son, en orden: la separación, la sección de la columna, la sección de la viga, y empotrar las bases. La sección de la riostra es la cuarta o la quinta de esa lista, y es la que todo el mundo prueba primero.

Tres versiones del mismo vano bajo los mismos 60 kN, y la comparación que hay que hacer antes de elegir el detalle.

• Pórtico desnudo: 48,109 mm, H/104, vano libre 8,0 m por 5,0 m.
• Con riostra de rodilla a a = 2,0 m: 18,236 mm, H/274, 2,64 veces la rigidez, vano libre 4,0 m por 3,0 m.
• Diagonal completa de esquina a esquina, el mismo SHS 90x90x5: 2,313 mm, H/2162, 20,8 veces la rigidez, y el vano queda cruzado.

Un factor de 2,6 contra un factor de 21. Esa brecha es el resumen honesto de lo que es una riostra de rodilla. Es un rigidizador de nudo, no un sistema de arriostramiento. Elíjala cuando el vano libre es el requisito. No la elija cuando la rigidez es el requisito, porque entonces es la herramienta equivocada, y la tabla de saturación de arriba dice que una riostra más grande no la va a rescatar.

Una salvedad sobre esa diagonal, para hacerle justicia. Con 9,434 m y KL/r = 271, el mismo SHS en compresión sobre la longitud completa tiene phi P_c = 36,0 kN contra los 67,4 kN que el motor le hace pasar, así que una única diagonal de longitud completa de esa sección es un elemento de solo tracción y habría que emparejarla en X. Esa es una decisión de diseño distinta, con su propio criterio, y es el tema de su propio artículo.

La clasificación importa porque de ella cuelgan dos verificaciones de norma.

Efectos de segundo orden. La cláusula 5.2.1(3) de EN 1993-1-1 permite usar análisis de primer orden cuando alpha_cr = (H_Ed/V_Ed) (h/δ_H) vale al menos 10. Para este pórtico la rigidez lateral pasa de 1 247,2 kN/m desnudo a 3 290,2 kN/m con riostras de rodilla, así que bajo los 320 kN de gravedad mayorada alpha_cr se mueve de 19,49 a 51,41. El amplificador de piso B₂ de AISC 360 se mueve de 1,0541 a 1,0198 con el mismo cambio. Los dos cumplen de cualquier manera aquí, lo que ya vale la pena decir en voz alta: para un pórtico de entrepiso lo que aprieta es el límite de servicio, no el disparador de estabilidad. Pero el amplificador está por encima de 1,0 en los dos casos, porque el pórtico se traslada en los dos casos.

Longitud efectiva de la columna. Un pórtico con riostra de rodilla no es un pórtico arriostrado a efectos de pandeo. El momento en la base es cero, el cortante en la base sigue siendo V/2, y el modo de traslación sigue ahí. Tomar K = 1,0 porque hay una riostra en el dibujo no es conservador. Use el método de análisis directo, o un K traslacional sacado de la rigidez de piso, y deje que el propio desplazamiento del pórtico fije la respuesta.

Un número más sobre el mismo tema. Cambiar las uniones rígidas viga-columna por uniones flexibles movió el desplazamiento 1,34 % con a = 2,0 m, y menos de 1,5 % en todas las separaciones de 1,0 m para arriba. Una vez que la rodilla es lo bastante larga, la unión rígida casi ha dejado de pagar su costo, que es exactamente por qué existe el detalle de pórtico articulado más riostras de rodilla. Por debajo de 1,0 m la comparación se invierte y la unión rígida vale 13 %, así que la sustitución solo es segura una vez que la rodilla es larga.

La unión es la mitad cara. La fuerza en la riostra la fija la geometría, así que cuanto más corta la rodilla, más pesada cada parte de la unión. Con a = 0,5 m la cartela, los tornillos y las soldaduras tienen que cargar 424,3 kN; con a = 2,0 m cargan 106,1 kN. Dimensione la unión para la fuerza que le da la separación, y verifique los efectos locales donde arranca la riostra: aplastamiento del alma y cortante en la zona del panel en la columna, y aplastamiento del alma en la viga, porque ninguno de los dos puntos de arranque es un nudo rigidizado por defecto.

La viga ahora también es un elemento comprimido. En el vano resuelto el tramo extremo de la viga carga 75,0 kN de compresión axial, y la viga carga un momento en el plano de 75,0 kN.m en el punto de arranque, encima de su flexión de gravedad. Combínelos; no verifique la viga solo a gravedad.

Arriostramiento fuera del plano. La riostra de rodilla es un elemento en el plano y no hace nada por el eje débil de la columna. Eso sigue necesitando las correas laterales, el diafragma de piso o el arriostramiento en planta de siempre.

La versión sísmica. Donde un pórtico con riostra de rodilla se usa como sistema dúctil, la jerarquía se invierte: el elemento de rodilla se hace el fusible y tiene que plastificar primero, así que la diagonal y sus uniones se diseñan para la fuerza de sobrerresistencia que la rodilla plastificada puede entregar, y no para la demanda elástica. Es la misma lógica de diseño por capacidad que el Eurocódigo 8 aplica al enlace de un pórtico arriostrado excéntricamente. También significa que los dos problemas de diseño son opuestos: en el caso del rigidizador usted quiere la rodilla fuerte, en el caso del fusible la quiere exactamente lo bastante débil. Decida cuál de los dos está construyendo antes de dimensionar nada, y revise sus disposiciones sísmicas nacionales, porque los pórticos con riostra de rodilla no son un sistema listado en toda norma y pueden no traer un factor de modificación de respuesta tabulado.

1. Llamarlo pórtico arriostrado. La columna por debajo del punto de arranque no tiene riostra encima. Se queda con (V/2)(H - a) de momento y se queda con su modo de traslación. Verifíquela como viga-columna.
2. Agrandar la riostra para arreglar el desplazamiento. 21,9 veces el área compró 30,8 % del desplazamiento y 0 % de la fuerza en la riostra. La separación, la columna y el empotramiento de las bases son las variables que mueven la respuesta.
3. Modelar la riostra de rodilla en un pórtico totalmente articulado. Ahí no puede trabajar. Una riostra de rodilla necesita continuidad flexional en la columna y en la viga a través de los puntos de arranque; una versión totalmente articulada de la misma geometría es un mecanismo.
4. Una riostra de rodilla simbólica. Con a = 0,5 m el pórtico quedó más flexible que el pórtico de uniones rígidas sin riostra alguna, 51,728 mm contra 48,109 mm. Una riostra de rodilla corta no es una versión barata de una larga; puede ser peor que nada.
5. Dimensionar la unión desde el elemento y no desde la geometría. La fuerza en la riostra es V H / (2 a cos beta) sea cual sea la sección que ponga ahí. Una unión detallada a partir de la capacidad de una riostra liviana puede quedar muy por debajo de la fuerza que el pórtico va a entregar de verdad.
6. Olvidar la viga. En el vano resuelto el tramo extremo de la viga tomó 75,0 kN de axil y 75,0 kN.m de momento de la riostra, encima de la gravedad. Una viga verificada solo a gravedad fue verificada para la estructura equivocada.

1. Fije la separación desde el espacio libre, no desde la estructura. Tome la rodilla más larga que la abertura tolere. Toda cantidad estructural mejora con ella.
2. Saque la fuerza en la riostra de la geometría: N = V H / (2 a cos beta). No depende de lo que ponga ahí.
3. Verifique la riostra a compresión sobre su longitud completa, y a tracción. Normalmente va a quedar poco aprovechada; eso es normal.
4. Verifique la columna como viga-columna para (V/2)(H - a) más su axil de gravedad. La riostra no le quita ese momento.
5. Verifique la viga para su momento de gravedad combinado con el axil y el momento local que la riostra entrega en el punto de arranque.
6. Verifique el desplazamiento lateral contra su límite, con la rigidez real del pórtico. Si reprueba, vuelva al paso 1, después a la sección de la columna, después a las bases. No vaya a la sección de la riostra.
7. Verifique la estabilidad: alpha_cr o B₂, tratando el pórtico como traslacional, porque lo es.
8. Detalle la unión para la fuerza geométrica, y verifique el aplastamiento del alma y el cortante en la zona del panel en los dos puntos de arranque.
9. Si la respuesta es que necesita rigidez de verdad, y la abertura lo permite, pare y ponga una diagonal completa. La riostra de rodilla valía 2,64 veces; la diagonal valía 20,8.