Simetría y antisimetría: reducir el modelo a la mitad sin cambiar la respuesta

Abre cualquier primer curso de análisis estructural y la simetría aparece pronto, casi siempre como una figura: un pórtico con una línea de trazos por el medio, un arco que se refleja de izquierda a derecha, una cercha de puente que se lee igual desde cualquiera de las dos orillas. La figura es la parte fácil. La parte útil es la afirmación que se esconde detrás: si la estructura es simétrica, no tienes que resolverla entera. Puedes cortarla sobre el eje, quedarte con una mitad y recuperar los esfuerzos internos exactos del conjunto.

Esa afirmación merece sospecha, porque suena a algo gratis. Así que este artículo no la asevera, la ejecuta. Tomamos una viga continua de dos tramos y un pórtico, resolvemos cada uno dos veces, una como modelo completo y otra como una mitad con el apoyo correcto en el corte, y ponemos las dos respuestas lado a lado. Coinciden hasta la tercera cifra decimal, y en la viga coinciden además con el resultado cerrado de manual. Por el camino fijamos lo único que hace o rompe el truco: qué apoyo corresponde al eje, y por qué es distinto para una carga que empuja de forma simétrica que para una que empuja la estructura de lado.

La simetría es más estricta de lo que parece. Para que el truco del medio modelo sea exacto, tres cosas tienen que reflejarse respecto al mismo eje, no solo una.

• Geometría. Cada nudo y cada barra a la izquierda tiene un gemelo reflejado a la derecha, a la misma distancia del eje.
• Rigidez. Las barras reflejadas comparten la misma sección y el mismo material, de modo que EA y EI coinciden gemelo a gemelo. Un pilar izquierdo en IPE 360 y uno derecho en IPE 300 lo rompe, aunque el dibujo parezca equilibrado.
• Apoyos. Una articulación a la izquierda necesita una articulación a la derecha, un empotramiento necesita un empotramiento. Este es el que la gente olvida: un pórtico geométricamente simétrico pero articulado en un lado y empotrado en el otro no es una estructura simétrica, y reducirlo a la mitad da la respuesta equivocada.

Fíjate en lo que no está en la lista: la carga. La estructura puede ser simétrica mientras la carga es cualquier cosa. Esa separación es todo el juego. La simetría es una propiedad de la estructura, y una vez que la estructura califica, manejamos cualquier carga descomponiéndola, que es la sección siguiente. Una sutileza más que conviene decir con claridad: lo que tiene que ser simétrico es la respuesta, no solo el dibujo. Una estructura simétrica bajo una carga simétrica se deforma en una figura reflejada, y es esa deformación reflejada la que nos permite sustituir la mitad que falta por un apoyo.

Aquí está la identidad que convierte un problema difícil en dos fáciles. Toma cualquier carga sobre una estructura simétrica. Súmale su imagen reflejada y obtienes una carga perfectamente simétrica. Réstale su imagen reflejada y obtienes una perfectamente antisimétrica. La mitad de la suma más la mitad de la diferencia es la carga original, exactamente:

carga = ½(carga + reflejo) + ½(carga − reflejo) = parte simétrica + parte antisimétrica.

Una única fuerza P situada a un lado se convierte en P/2 reflejada a ambos lados (la parte simétrica) más P/2 en un lado y −P/2 en el otro (la parte antisimétrica). Una carga simétrica se refleja sobre sí misma: la gravedad sobre una viga a nivel, una presión igual a izquierda y a derecha, el peso propio del pórtico. Una carga antisimétrica se refleja sobre su propio negativo: un empuje lateral, una fuerza de inercia sísmica, un viento que succiona un faldón mientras presiona el otro.

¿Para qué molestarse en descomponer? Porque una estructura simétrica responde a cada parte con una figura limpia y previsible. Bajo la parte simétrica se deforma simétricamente. Bajo la parte antisimétrica se deforma antisimétricamente. Cada una de esas figuras tiene un comportamiento conocido sobre el eje, y ese comportamiento conocido es exactamente lo que usamos para sustituir la mitad que falta. Resuelve las dos mitades, suma las respuestas, y vuelves a la carga original sobre la estructura completa, sin haber modelado nunca más de un lado.

Todo depende de una sección, la que atraviesa el eje. Cuando la deformada es simétrica, esa sección no puede hacer ciertas cosas, y cuando es antisimétrica no puede hacer las contrarias. Esos movimientos prohibidos son exactamente las restricciones del apoyo que colocamos allí.

Bajo una carga simétrica, el punto sobre el eje no puede girar (la pendiente reflejada tendría que ser igual a su propio negativo, así que es nula) ni deslizar de lado a través del eje (mismo argumento). Sí puede moverse libremente a lo largo del eje. El apoyo que hace precisamente esto, bloquea el giro y el deslizamiento perpendicular y permite el movimiento en la dirección del eje, es un apoyo de guía. Como una figura simétrica tiene pendiente nula sobre el eje, el esfuerzo cortante en el corte es nulo; el esfuerzo axil y el momento flector sobreviven y el apoyo de guía los soporta.

Bajo una carga antisimétrica, es la imagen reflejada de lo anterior. El punto sobre el eje no puede moverse a lo largo del eje (un desplazamiento simétrico allí violaría la antisimetría) pero es libre de girar y de deslizar de lado. El apoyo es un rodillo simple que bloquea solo la traslación en la dirección del eje. Ahora el momento flector y el esfuerzo axil en el corte son nulos, y solo sobrevive el cortante, que el rodillo soporta. Una barra que cruza un eje antisimétrico tiene un punto de inflexión exactamente sobre el eje, lo que suele ser la forma más rápida de ver el resultado completo.

Ese es todo el resumen. Carga simétrica: apoyo de guía, el cortante es nulo. Carga antisimétrica: rodillo, el momento y el axil son nulos. Intercambia los dos y el modelo sigue corriendo, sigue pareciendo razonable, y está silenciosamente equivocado, por eso esto es lo único que hay que acertar.

Empieza por el caso más limpio, porque tiene una respuesta cerrada contra la que contrastar. Una viga continua de dos tramos iguales, L = 6 m cada uno, apoya sobre tres soportes y soporta una carga uniforme simétrica de w = 20 kN/m en toda su longitud. La carga se refleja respecto al apoyo central, así que la respuesta es simétrica, y el apoyo central queda justo sobre el eje.

Modela la viga entera en CalcSteel y el motor devuelve reacciones de extremo de R_A = R_C = 45 kN, una reacción central de R_B = 150 kN y un momento negativo sobre el centro de M_B = 90 kN·m. Esos son los números de manual para una viga de dos tramos: R = 3wL/8 = 45 kN en los extremos, 5wL/4 = 150 kN en el medio, y M = wL²/8 = 90 kN·m sobre el apoyo, con el momento positivo máximo de 50,6 kN·m situado a 2,25 m dentro de cada tramo. Como la viga es prismática, ninguno de estos valores depende de la sección.

Ahora redúcela a la mitad. Quédate con un tramo, de A a B. El apoyo A sigue siendo una articulación. En B el eje hace dos tareas a la vez: el rodillo real ya impide el desplazamiento vertical, y la simetría impide el giro y el deslizamiento transversal. Los tres grados de libertad en el plano quedan bloqueados, así que B se convierte en un empotramiento y el medio modelo es una sola viga empotrada y apoyada, articulada en A y empotrada en B. Resuelve ese tramo y el motor da R_A = 45 kN y M_B = 90 kN·m, los mismos números, a partir de un modelo con 6 grados de libertad en lugar de 9. La reacción vertical que reporta el empotramiento, 75 kN, es exactamente la mitad de la reacción central de 150 kN, porque el apoyo central completo toma de ambos tramos y el medio modelo solo ve uno. El diagrama completo está en la guía de esfuerzo cortante y momento flector; aquí lo único que importa es que un solo tramo cargó con toda la respuesta.

Las vigas son amables porque el eje cae sobre un apoyo. Un pórtico es la prueba de verdad, porque el eje corta por el medio de una viga que está soportando carga. Toma un pórtico de bases empotradas, 8 m de luz y columnas de 4 m, con una carga de gravedad simétrica de w = 15 kN/m a lo largo de la viga. El pórtico se refleja respecto a su centro y la carga también, así que la respuesta es simétrica y el corte corresponde al centro de la luz de la viga.

Siguiendo el resumen, el apoyo allí es un apoyo de guía: bloquea el deslizamiento horizontal y el giro, y deja que el centro de la luz baje verticalmente. Modela la mitad izquierda, una columna y media viga, con ese apoyo de guía en el corte. El motor reporta la base izquierda como un empuje horizontal de 6,28 kN, una reacción vertical de 60 kN y un momento en la base de 8,37 kN·m. Corre el pórtico completo y la base izquierda marca 6,28 kN, 60 kN y 8,37 kN·m, idénticos, mientras que el momento de la viga en el nudo superior sale de 16,7 kN·m en ambos. Los 60 kN son una buena verificación de coherencia por sí solos: la carga de gravedad total es 15 kN/m sobre 8 m, es decir 120 kN, repartida por igual en 60 kN por base.

Y la señal reveladora de una respuesta simétrica: el motor reporta el cortante de la viga en el corte como exactamente nulo. Eso no es suerte, es la definición del caso simétrico, y es la razón por la que el apoyo de guía, que no soporta cortante, es el apoyo correcto. El medio modelo pasó de 15 grados de libertad a 9 y no perdió nada.

Conserva el pórtico, cambia la carga. Empuja los dos nudos superiores de lado con 30 kN cada uno, en el mismo sentido. Eso es una carga de desplazamiento lateral, y una carga de desplazamiento lateral es antisimétrica: su imagen reflejada es el mismo empuje apuntando en el otro sentido, que es su propio negativo. Así que la respuesta es antisimétrica, y el resumen cambia el apoyo en el centro de la luz de un apoyo de guía a un rodillo simple, que bloquea solo el movimiento vertical.

Modela la mitad izquierda con ese rodillo y el único empuje de 30 kN sobre su propio nudo superior. El motor da una base izquierda con una reacción horizontal de 30 kN, una reacción vertical de 14,68 kN y un momento en la base de 61,3 kN·m. El pórtico completo devuelve los mismos tres números. Lo llamativo es el corte en sí: el momento flector de la viga allí es nulo y también lo es el esfuerzo axil de la viga, mientras que el cortante es un saludable 14,68 kN. Esa es la firma antisimétrica, un punto de inflexión justo sobre el eje, y es la razón por la que el rodillo, que soporta cortante pero no momento ni axil, es el apoyo que exige la física.

Las reacciones verticales son la otra mitad de la historia. Bajo desplazamiento lateral puro las dos bases de las columnas empujan y tiran, una hacia abajo y otra hacia arriba, un par que resiste el vuelco. El medio modelo solo ve su propio lado de ese par, 14,68 kN, y eso es exactamente lo que el modelo completo reporta en la base izquierda. Los mismos 9 grados de libertad, la misma respuesta, tipo de carga opuesto.

Las dos corridas del pórtico de arriba eran casos puros. Las cargas reales rara vez son puras, así que aquí está la recompensa que lo amarra todo. Empuja una única fuerza de 40 kN solo en el nudo superior izquierdo, nada en el derecho. Esa carga no es ni simétrica ni antisimétrica, así que por sí sola no encaja en ningún medio modelo. Descompónla. La mitad, reflejada, es un par simétrico de 20 kN que apunta hacia el centro. La otra mitad es un par antisimétrico de 20 kN que empujan ambos en el mismo sentido, un desplazamiento lateral.

Resuelve la mitad simétrica con el apoyo de guía y la cuota simétrica de 20 kN, y el nudo superior izquierdo se desplaza apenas 0,055 mm. Resuelve la mitad antisimétrica con el rodillo y la cuota de desplazamiento lateral de 20 kN, y ese mismo nudo se desplaza 54,53 mm. Súmalos: 0,055 + 54,53 = 54,58 mm. Modela el empuje original de 40 kN de un solo lado sobre el pórtico completo sin ningún truco de simetría, y el motor reporta un desplazamiento lateral de 54,58 mm. Los momentos en la base suman de la misma manera, 0,04 de la parte simétrica más 40,87 de la parte antisimétrica da 40,9 kN·m, exactamente el valor del modelo completo.

Lee la descomposición y aprendes algo que el modelo completo esconde: un empuje de un solo lado es casi por entero un problema de desplazamiento lateral. La parte simétrica aporta un error de redondeo al desplazamiento, y la parte antisimétrica carga con el 99,9% de él. Por eso el diseño lateral se juega la vida en el caso de desplazamiento lateral, y es la clase de comprensión que la descomposición te entrega gratis mientras la respuesta de caja negra del modelo completo la mantiene escondida. Para el lado de servicio de un desplazamiento como este, la guía de límites de flecha fija los números que un cliente comprueba de verdad.

Hasta ahora el eje ha cortado a través de barras: una viga en el centro de la luz, un apoyo en el medio. A veces baja recto por una barra en cambio, un pilar central bajo la cumbrera de un pórtico simétrico, un montante central en una cercha, un tirante central. Esa barra pertenece a las dos mitades a la vez, y el medio modelo tiene que repartirla con justicia.

La regla es sencilla: dale al medio modelo la mitad de esa barra. Reduce a la mitad su área y a la mitad su momento de inercia, porque la barra completa se parte por el medio entre los dos lados. Bajo una carga simétrica la barra compartida se queda sobre el eje, toma esfuerzo axil y, si acaso flexa, flexa simétricamente. Bajo una carga antisimétrica esa misma barra no puede tomar esfuerzo axil en absoluto, porque un esfuerzo axil sobre el eje tendría que ser simétrico mientras la respuesta a su alrededor es antisimétrica; trabaja puramente a flexión y a cortante mientras los dos lados se desplazan uno junto al otro. Olvidar reducir a la mitad una barra compartida es una forma habitual de obtener un medio modelo que se acerca pero no es exacto, más rígido que la estructura real en lo que aporte esa barra central.

Una objeción honesta: un solver moderno se traga el pórtico completo en bastante menos de un milisegundo, así que a quién le importan nueve grados de libertad frente a quince. La velocidad era la razón hace un siglo, cuando Hardy Cross y una regla de cálculo hacían caro cada grado de libertad. No es la razón ahora. Las razones de ahora son sobre la persona que sostiene el modelo.

• Es una trampa de errores gratuita. Una estructura simétrica bajo una carga simétrica debe dar una respuesta simétrica. Si tu modelo completo reporta reacciones distintas a izquierda y a derecha bajo gravedad, tienes un error de modelado, una sección mal emparejada, un apoyo tecleado mal, un nudo desplazado un milímetro. La simetría que esperabas es la verificación que lo caza.
• Es una verificación a mano en la que puedes confiar. Reducir a la mitad convierte un pórtico hiperestático en algo que puedes verificar a mano o contra una forma cerrada, exactamente como la viga de dos tramos se colapsó en una viga empotrada y apoyada con respuesta conocida. Un número que puedes reproducir de dos maneras es un número que puedes defender.
• Te muestra el camino de las cargas. La descomposición nos dijo que un empuje de un solo lado es 99,9% desplazamiento lateral. Esa comprensión, no el desplazamiento en bruto, es lo que te dice dónde poner un arriostramiento o cómo carga realmente el pórtico. La respuesta de servicio solo es útil una vez que sabes qué parte de la carga la produjo.
• Escala a los casos que todavía duelen. La misma idea corre un cuarto de un edificio doblemente simétrico, o una rebanada de un tanque, silo o cúpula de simetría cíclica, donde el modelo completo sí es caro de verdad. Apréndelo en un pórtico y rinde en la estructura que no cabe en memoria.

• La carga no es simétrica. Sobrecarga de uso alternada, un viento que presiona un faldón y succiona el otro, una grúa sobre una sola vía: ninguna de estas se refleja sobre sí misma. No fuerces un único medio modelo sobre ellas, descompónlas primero en un caso simétrico y uno antisimétrico.
• Apoyo de guía y rodillo intercambiados. Poner un rodillo donde la carga es simétrica, o un apoyo de guía donde es antisimétrica, da un modelo que corre y parece plausible y está equivocado. El tipo de carga elige el apoyo, siempre.
• Los apoyos rompen la simetría. Un pórtico geométricamente reflejado que está empotrado en un lado y articulado en el otro no es simétrico. Tampoco lo es uno con un asentamiento, un resorte o una base liberada en un solo lado. La simetría tiene que cumplirse también en los apoyos.
• Una barra compartida dejada entera. Una barra que descansa sobre el eje debe entrar en el medio modelo con la mitad de su área y la mitad de su inercia. Déjala entera y el medio modelo es más rígido que la estructura real.
• Suponer que el peso propio hay que descomponerlo. No hace falta. La gravedad sobre un pórtico simétrico ya es una carga simétrica, así que va directa a la mitad simétrica. Reconocer qué cargas ya son puras ahorra la mitad del trabajo.

La forma más rápida de sentir esto es construir el pórtico simétrico y observar cómo responde de forma distinta a los dos tipos de carga. La calculadora de abajo es la herramienta de pórticos de CalcSteel, gratuita y sin inicio de sesión para las cuentas. Dale dos columnas iguales, una viga cruzando por arriba y bases iguales, y luego cárgalo de dos maneras. Pon una carga de gravedad uniforme sobre la viga y lee un resultado simétrico: reacciones de base iguales, un diagrama de flexión que se refleja, cortante nulo en el centro de la luz. Después empújalo de lado y observa cómo la respuesta cambia a antisimétrica: los momentos en la base crecen, las bases forman un par de empuje y tracción, y el momento de la viga pasa por cero en el centro.

Una vez que puedes ver las dos figuras, el medio modelo deja de ser un truco y se vuelve obvio: el apoyo de guía va donde el cortante ya es nulo, el rodillo donde el momento ya lo es. Desde aquí los vecinos naturales son la guía de esfuerzo cortante y momento flector, cuyos diagramas son lo que estás reduciendo a la mitad, y el arco triarticulado, otra estructura que una única liberación bien colocada convierte de difícil en sencilla.