Deflexión máxima de una viga: el criterio detrás de la norma, con una verificación resuelta

Pregúntale a una verificación de resistencia si una viga está bien y te responderá sobre tensión: si el momento se mantiene por debajo de la capacidad de la sección. Pregúntale a un ocupante y la respuesta será sobre movimiento: si el piso rebota, si el revoque se agrieta, si la puerta todavía cierra. Esas dos preguntas se deciden con números distintos, y el segundo es la deflexión máxima de la viga, delta_max, el mayor desplazamiento vertical en cualquier punto del miembro bajo carga de servicio.

Es una magnitud de servicio, así que se calcula bajo cargas de servicio sin mayorar, no las cargas mayoradas de una combinación de resistencia. Y es un máximo, un único punto peor de la forma deformada, que es por lo que todo el cálculo se reduce a una forma cerrada por caso y una comparación. Este artículo construye delta_max a partir de su fórmula, encuentra en qué punto del vano aterriza, corre una viga real a través del motor FEM de CalcSteel en producción, y convierte el resultado en la relación vano sobre deflexión que la norma realmente lee. Para los límites en sí, el pilar complementario sobre límites de deflexión en las normas de diseño en acero rastrea de dónde vino L/360 y qué exige cada norma; este trata de producir el número con el que se compara.

Bajo carga una viga se flexiona en una curva suave, la curva elástica, descrita por la ecuación diferencial E I d2y/dx2 = M(x). Integra el momento flector dos veces, aplica las condiciones de apoyo, y tienes y(x), el movimiento vertical en cada punto. La deflexión máxima de la viga es simplemente la mayor magnitud de esa curva:

delta_max = max sobre x de |y(x)|

Dos propiedades de esa definición importan en la práctica. Primero, delta_max es un desplazamiento, medido en milímetros, y está gobernado por la rigidez E I, no por la resistencia. Una viga que es fuerte pero flexible se flexiona mucho; una viga que es rígida pero ligeramente construida casi no se mueve. Segundo, el máximo vive donde la pendiente de la curva es cero, dy/dx = 0, que es el punto de rotación nula. Ese no siempre es el centro del vano, y no es el mismo punto que el momento máximo, una distinción a la que vuelve la sección sobre ubicación. Todo lo demás, las cuatro fórmulas de abajo, la relación de la norma, la verificación resuelta, es contabilidad sobre estos dos hechos.

Integrar E I d2y/dx2 = M(x) para los casos estándar de carga y apoyo da las fórmulas de deflexión que están en todos los manuales. Cuatro de ellas cubren la gran mayoría de los miembros cotidianos: un vano simple bajo carga uniforme o carga puntual central, y un voladizo bajo carga uniforme o carga puntual en el extremo. En cada una, delta_max es el pico de la curva y está fijado por la carga, el vano elevado a una potencia, y la rigidez E I.

Lee las potencias de L, porque cargan con la intuición. Una carga uniforme eleva el vano a la cuarta potencia; una carga puntual a la tercera. Ese único exponente, cuatro para carga distribuida y tres para concentrada, es por lo que el vano domina la deflexión más que cualquier otra variable, y es el tema de su propia sección más abajo. Los coeficientes, 5/384, 1/48, 1/8, 1/3, son geometría pura de la disposición de carga y apoyo; nunca cambian para estos casos. Para cualquier cosa fuera de las cuatro, un vano parcialmente cargado, un voladizo intermedio, una viga empotrada, un miembro continuo de dos vanos, la misma integración da un coeficiente distinto, y un cálculo a mano por trabajo virtual o pendiente-deflexión, o el motor FEM, produce el número directamente.

El pico de la forma deformada está donde la pendiente es cero. Para un caso simétrico, un vano simple bajo carga simétrica o un voladizo, la simetría pone ese punto en el lugar obvio: el centro del vano para la viga simple, el extremo libre para el voladizo. La trampa es la asimetría. Corre la carga puntual fuera del centro, agrega un voladizo intermedio, o haz que los dos vanos de una viga continua sean desiguales, y el punto de pendiente nula se aleja del centro del vano, de modo que leer la deflexión en el centro subestima el verdadero máximo.

También es un punto distinto del momento flector máximo. El momento máximo se ubica donde el cortante cruza por cero, dM/dx = V = 0. La deflexión máxima se ubica donde la pendiente cruza por cero, dy/dx = 0. En un vano simple bajo carga uniforme ambos caen casualmente en el centro del vano, lo que discretamente entrena el hábito de que coinciden, pero son respuestas a dos integrales distintas y en general se separan. La regla segura es tomar delta_max de toda la curva, no de una sección designada: reportar el mayor |y| que encuentre el análisis, dondequiera que esté. Los diagramas de cortante y momento flector ubican el pico de momento; la forma deformada ubica el pico de deflexión, y se leen por separado.

Cada fórmula de la tabla es un término de carga sobre E I. La rigidez E I es toda la historia de cuánto se mueve una viga, y se separa limpiamente. E, el módulo de elasticidad, es una constante del material, cerca de 200 GPa (20000 kN/cm2) para todo acero estructural, dulce o de alta resistencia por igual, que es por lo que un grado más alto no hace nada por la deflexión: el mismo E, la misma flecha. I, el momento de inercia, es geometría, y es donde el proyectista tiene palanca, porque I crece con el cubo del canto. Hacer una sección más alta es la jugada eficiente contra la deflexión; hacerla más resistente no lo es.

Contra E I está el vano, y el vano gana. Mantén la carga y la sección fijas en un vano simple bajo carga uniforme, un IPE 360 cargando 20 kN/m, y deja que solo cambie la longitud:

De 4 m a 8 m el vano se duplica y la deflexión pasa de 2.12 a 33.91 mm, un factor de 15.995, que es 2^4 dentro del redondeo. Esa es la ley de la cuarta potencia hecha concreta: la deflexión es mucho más sensible al vano que a cualquier otra cosa en la página. Es la razón por la que los pisos y techos de vano largo casi siempre se dimensionan por deflexión antes que por resistencia, y la razón por la que la primera pregunta honesta sobre cualquier viga que se flexiona no es cuán pesada es la carga sino cuán largo es el vano.

Ninguna norma limita la deflexión en milímetros, porque 20 mm es generoso en un vano de 12 m y alarmante en uno de 3 m. Lo que le importa al revoque y al ocupante es la flecha relativa al vano, así que el criterio es una relación: delta_max expresado como L / delta, verificado contra un límite como L/360, L/300 o L/250. Divide el vano por tu deflexión calculada y compara el denominador: una viga en L/503 está bien dentro de un límite L/360; una viga en L/300 apenas cumple un límite L/300.

Dos detalles deciden si la verificación se hace correctamente. El primero es qué carga de servicio. Las normas asocian límites distintos a cargas distintas: uno más estricto, a menudo L/360, a la carga variable (sobrecarga) sola, porque ese es el movimiento que un ocupante ve día a día, y uno más laxo, a menudo L/250, a la carga total, permanente más variable. Calculas una deflexión para cada carga y la verificas contra su propio límite; el caso gobernante es el que tenga mayor utilización, no la deflexión más grande. El segundo es que la deflexión se superpone: como la respuesta es elástica lineal, la deflexión bajo permanente más variable es igual a la deflexión bajo permanente más la deflexión bajo variable, que es lo que te permite separar las verificaciones limpiamente. Los valores límite en sí, y cómo EN 1993, AISC 360, NBR 8800 e IS 800 difieren en ellos, están expuestos en el pilar de límites de deflexión; aquí producimos la relación y la aplicamos.

Toma un miembro real. Una viga de piso simplemente apoyada, IPE 360, con un vano L = 7.0 m, cargando cargas de servicio de g = 8 kN/m permanente y q = 14 kN/m variable. El análisis lleva I = 15,728 cm4 para esta sección y E = 20000 kN/cm2. Ambos límites en juego son el par común de piso: L/360 sobre la sobrecarga, L/250 sobre la total.

Calcula las dos deflexiones a partir de 5 w L^4 / 384 E I, una por carga, luego lee cada una como una relación y verifícala:

La deflexión por sobrecarga es 13.91 mm, que es el vano dividido por 503, cómodamente dentro del límite L/360 de 19.44 mm con una utilización de 0.72. La deflexión por carga total es 21.87 mm, o L/320, dentro de L/250 con 0.78. La viga pasa ambas, y el caso de carga total gobierna por el margen más fino. Nota la superposición funcionando por debajo: la parte de sobrecarga sola es 13.91 mm, la parte permanente sola es 7.96 mm, y su suma, 21.87 mm, es exactamente la deflexión por carga total que devuelve el motor, que es la linealidad en la que se apoya la separación. Cada número aquí es la salida del motor FEM en producción, verificada a mano contra la forma cerrada, y la siguiente sección muestra esa concordancia en detalle.

Una fórmula solo merece confianza si un solver independiente aterriza en el mismo número. Corrimos cada uno de los cuatro casos canónicos en el motor FEM de CalcSteel en producción, el mismo solver que usa el editor 3D, y comparamos su deflexión con la forma cerrada evaluada con la rigidez de sección idéntica. La concordancia es exacta hasta cuatro cifras significativas, relación 1.000 en cada caso:

Las cuatro secciones son IPE 360, así que lo único que cambia a lo largo de las filas es el caso de carga y el vano, y la forma cerrada sigue al FEM paso a paso. Ese es el punto del ejercicio: la fórmula a mano y el solver matricial están resolviendo la misma ecuación de viga, así que cuando un proyecto necesita un número fuera de los cuatro casos, se puede confiar en que el motor extienda la misma física que codifican las fórmulas.

Ingresa un vano, una sección y una carga abajo y la calculadora devuelve la deflexión máxima, su ubicación, y la relación vano sobre deflexión, junto al momento y el cortante. Es la manera más rápida de ver moverse la ley de la cuarta potencia: cambia solo el vano y observa a delta_max trepar mucho más rápido de lo que lo hace la longitud. Para un miembro completo con apoyos reales, casos de carga y un límite de deflexión normativo aplicado automáticamente, el mismo modelo se abre en el editor 3D de CalcSteel.

Dos jugadas extienden el cálculo básico. La primera es la superposición, ya usada en la verificación resuelta: como una viga de acero bajo carga de servicio es elástica lineal, las deflexiones de casos de carga separados se suman, así que un patrón combinado puede construirse a partir de los casos simples de la tabla en lugar de integrarse desde cero. Una viga bajo carga uniforme más una carga puntual central se flexiona por la suma de 5 w L^4 / 384 E I y P L^3 / 48 E I, sin nueva integración necesaria.

La segunda es la contraflecha, fabricar la viga con una curvatura hacia arriba incorporada de modo que la parte permanente, por carga muerta, de la deflexión se cancele y la viga quede plana una vez que la estructura esté en pie. La contraflecha compensa la flecha por carga permanente; no hace nada por la deflexión por sobrecarga, que aún tiene que pasar su propio límite, y usualmente se especifica solo por encima de un vano umbral. Más allá del cuadro elástico, dos efectos a largo plazo empujan la deflexión real por encima de la fórmula: la losa que carga una viga mixta fluye, y cualquier carga sostenida sobre un miembro con un componente de hormigón crece a lo largo de los años. Esos pertenecen a una evaluación de servicio del piso terminado, cubierta en el pilar de servicio, deflexión y vibración; la delta_max elástica de aquí es el punto de partida sobre el que construyen.

La fórmula es simple, que es exactamente por lo que los errores son silenciosos.

• Verificar delta en lugar de delta sobre L. Una cifra cruda en milímetros no significa nada sin su vano. Reduce siempre a L / delta antes de comparar con un límite.
• El momento de inercia equivocado. La deflexión usa el eje sobre el que flexiona la viga, el I del eje fuerte para una viga de piso ordinaria. Cuela el valor del eje débil y la deflexión estará errada por un orden de magnitud. Y ten cuidado con la fuente del propio I: un manual puede listar cerca de 16,300 cm4 para un IPE 360 mientras un modelo de software lleva 15,700, una diferencia de unos pocos por ciento que viene de cómo se modelan los radios de acuerdo. Mantén una fuente consistente para una verificación dada.
• Cargas mayoradas en una verificación de servicio. delta_max es una magnitud de carga de servicio. Alimentarla con las cargas mayoradas por 1.35 o 1.6 de una combinación de resistencia infla la deflexión por ese factor y reprueba vigas que están bien.
• Leer la deflexión en el centro del vano por costumbre. Para una carga asimétrica o un voladizo el pico no está en el centro. Toma el máximo de toda la curva, no el valor en un punto designado.
• Olvidar la separación de cargas. El límite de sobrecarga y el límite de carga total son verificaciones separadas contra cargas separadas. Correr solo la total pasa por alto el caso que el límite más estricto de sobrecarga está ahí para atrapar.

¿Cuál es la fórmula para la deflexión máxima de una viga simplemente apoyada? Bajo carga uniforme es 5 w L^4 / 384 E I en el centro del vano; bajo carga puntual central es P L^3 / 48 E I, también en el centro del vano.

¿Cuál es la deflexión máxima admisible de una viga de acero? Es una relación del vano, no un valor fijo en milímetros: los límites comunes son L/360 para sobrecarga y L/250 para carga total, con los valores exactos fijados por la norma y el elemento. Ver el pilar de límites de deflexión.

¿Dónde ocurre la deflexión máxima? Donde la pendiente de la forma deformada es cero. Para casos simétricos eso es el centro del vano o el extremo libre de un voladizo; para carga asimétrica se desplaza, y en general no es el punto de momento máximo.

¿Un grado de acero más alto reduce la deflexión? No. La deflexión depende de E, que es cerca de 200 GPa para todo acero estructural. Un grado más resistente cambia la capacidad, no la rigidez. Para recortar la deflexión, agrega canto, lo que eleva I.

¿Por qué el vano es tan importante? La deflexión máxima escala con L^4 para una carga distribuida. Duplicar el vano multiplica la flecha por 16, así que el vano es la variable dominante y los miembros largos suelen estar gobernados por la deflexión.

La deflexión máxima de una viga es el pico de la curva elástica bajo carga de servicio, gobernado por la rigidez E I y verificado como una relación L / delta contra un límite normativo. Las cuatro formas cerradas, 5 w L^4 / 384 E I y P L^3 / 48 E I para un vano simple, w L^4 / 8 E I y P L^3 / 3 E I para un voladizo, cubren la mayoría de los miembros, y el motor FEM las reproduce hasta cuatro cifras significativas. La deflexión escala con el vano a la cuarta potencia, así que los vanos largos están gobernados por la deflexión; un grado de acero más alto no hace nada, porque E es el mismo para cada grado; y la verificación solo es correcta cuando se hace contra la carga de servicio correcta, sobrecarga para un límite y total para el otro.