Líneas de influencia: dónde estacionar la carga para que la viga sufra al máximo

Pregúntale a un estudiante de primer año dónde siente más flexión una viga simplemente apoyada y la respuesta llega rápido: en el centro. Pregúntale dónde poner una única carga errante para que esa flexión sea lo más grande posible, y los seguros aún dicen el centro, y esta vez tienen razón, pero por un motivo que normalmente no saben demostrar. Lleva la pregunta a una viga de piso de dos vanos, o a un riel de grúa con dos ruedas rodando sobre él, y la intuición se agota en silencio. Cargar todos los vanos parece conservador y resulta que no lo es. Centrar un par de ruedas parece obvio y resulta estar ligeramente equivocado.

Una línea de influencia es el instrumento que resuelve todas estas preguntas con una sola imagen. Es un gráfico de un único efecto elegido, digamos la reacción en un apoyo, o el momento flector en una sección transversal en particular, a medida que una carga unitaria viaja de un extremo de la estructura al otro. Léela correctamente y te dirá exactamente dónde estacionar la carga para hacer ese efecto máximo, y cuán grande será el máximo. Esta es la herramienta detrás de todo cálculo de viga carrilera, de todo carril de carga viva de puente y de toda regla de carga alternada en un código de piso de hormigón o de acero.

Todo lo que sigue se verifica contra el motor de elementos finitos de CalcSteel, el mismo solucionador que impulsa la calculadora gratuita de diagramas de cortante y momento. Puedes usar esa herramienta tú mismo al final del artículo y observar cómo cambia un momento a medida que deslizas la carga.

Una línea de influencia para una respuesta R es un gráfico cuyo eje horizontal es la posición de una carga unitaria móvil y cuyo eje vertical es el valor que toma R para esa posición de carga. Una línea de influencia describe una sola respuesta: la reacción en A, o el cortante en la sección C, o el momento en la sección C, cada una tiene su propia línea de influencia separada.

Esta es la única distinción que hace tropezar a la gente, así que vale la pena enunciarla despacio. Un diagrama de momento flector y una línea de influencia se ven similares, ambos son curvas dibujadas bajo una viga, pero responden preguntas opuestas:

• Un diagrama de momento fija la carga y varía la sección: la disposición de carga queda congelada, y la curva muestra el momento en cada punto a lo largo de la viga para esa única disposición.
• Una línea de influencia fija la sección y varía la carga: la sección queda congelada (digamos, el centro del vano), y la curva muestra el momento en esa única sección a medida que la carga se mueve por todas partes.

Así que el eje horizontal tiene un significado distinto en cada uno. En un diagrama de momento es la coordenada del punto donde lees el momento. En una línea de influencia es la coordenada donde colocas la carga. La ordenada de una línea de influencia es una sensibilidad: dice cuánto crece el efecto elegido por unidad de carga ubicada en esa posición. Esa interpretación, efecto por unidad de carga en una posición, es lo que hace de las líneas de influencia la herramienta correcta en el momento en que las cargas empiezan a moverse.

Toma una viga simplemente apoyada de vano L = 8 m, articulada en A y sobre un apoyo móvil en B, y elige una sección interior C en a = 3 m desde A, de modo que b = 5 m hasta B. Construiremos tres líneas de influencia: para la reacción izquierda R_A, para el cortante V_C y para el momento M_C. En cada caso imagina una única carga unitaria descendente (1 kN) estacionada en la posición x, y registra el efecto.

Reacción R_A: una línea recta

La estática da R_A = (L − x) / L directamente. Cuando la carga está sobre A, este toma toda la carga (ordenada 1,0); cuando está sobre B, A no soporta nada (ordenada 0). La línea de influencia es una línea recta que baja de 1 a 0. CalcSteel lo confirma punto por punto: 1,000 en A, 0,750 en x = 2 m, 0,500 en el centro del vano, 0,000 en B.

Momento M_C: un triángulo que alcanza su pico en ab/L

Con la carga a la derecha de C, M_C = R_A·a = a(L − x)/L; con ella a la izquierda, M_C = R_B·b = b·x/L. Ambas ramas son rectas y se encuentran en C, donde la ordenada alcanza su máximo, el clásico a·b/L = 3 × 5 / 8 = 1,875 m. El motor devuelve exactamente 1,875 en C, disminuyendo hasta cero en ambos apoyos. La forma es un triángulo cuyo vértice se sitúa bajo la sección.

Cortante V_C: dos triángulos con un salto unitario

Esta es la línea de influencia que los estudiantes equivocan más a menudo. Justo a la derecha de C la ordenada es +b/L = +0,625; justo a la izquierda es −a/L = −0,375; las dos están separadas por un salto vertical de exactamente 1,0 en C, la huella de la carga unitaria cruzando la sección. El cortante de CalcSteel justo a la derecha de C marca 0,625 y justo a la izquierda marca −0,375, coincidiendo con la teoría hasta tres decimales.

Estas no son solo formas prolijas. Son la materia prima para toda decisión de carga que sigue, y el hecho de que el motor de elementos finitos reproduzca exactamente las ordenadas de forma cerrada es lo que te permite confiar en él en los casos más difíciles donde no existe forma cerrada alguna.

Una línea de influencia solo vale la pena dibujarla por dos reglas que la convierten en un número. Ambas se derivan del hecho de que su ordenada es el efecto producido por una carga unitaria en esa posición, y de que la estructura es lineal, de modo que los efectos se suman.

Regla 1, una carga concentrada. Una carga puntual de magnitud P en la posición x produce una respuesta igual a P multiplicado por la ordenada de la línea de influencia en x. De aquí salen dos consecuencias. Primera, para maximizar la respuesta deslizas la carga a la posición de la mayor ordenada. Segunda, el valor máximo es simplemente P por esa ordenada pico. Para M_C en la viga anterior, una carga de 50 kN estacionada en C da 50 × 1,875 = 93,75 kN·m.

Regla 2, una carga distribuida. Una carga uniforme de intensidad w sobre cierta longitud produce una respuesta igual a w multiplicado por el área bajo la línea de influencia debajo de la longitud cargada. Esta es la regla que derriba la intuición, porque la línea de influencia a menudo tiene regiones tanto positivas como negativas. Para hacer la respuesta lo más grande posible en un sentido, cargas solo las partes del vano donde la ordenada tiene ese signo, y dejas deliberadamente el resto sin cargar. Una carga viva que podría estar en cualquier lugar debe colocarse donde más daño hace, no repartirse por todas partes por reflejo.

La Regla 2 es toda la justificación de la carga alternada, también llamada carga en tablero de ajedrez o de vanos alternos, en el diseño de pisos. La veremos decidir una viga continua real dentro de dos ejemplos.

Ahora deja que una única carga de P = 50 kN ruede a lo largo de la misma viga simple de 8 m y hazte la pregunta principal: entre todas las posiciones posibles, ¿dónde está peor la viga, y cuán mal se pone? La Regla 1 dice que el momento máximo en cualquier sección fija ocurre con la carga en esa sección, dando P·a·b/L para una sección en a. Pero la sección misma es ahora también una elección libre, así que buscamos la posición que maximiza P·a·b/L sobre todas las secciones, y a·b/L es máximo cuando a = b = L/2.

La respuesta es por tanto el centro del vano, y el valor es el famoso M_max = P·L/4 = 50 × 8 / 4 = 100 kN·m. Barriendo la carga a lo largo de la viga en el motor de CalcSteel y registrando el momento pico en cada posición se traza una joroba suave que culmina en exactamente 100 kN·m con la carga en x = 4 m, y decae simétricamente hacia los apoyos. Estaciona la misma carga de 50 kN en la sección C del cuarto de vano que usamos antes y lo peor que puede hacer allí es 93,75 kN·m, genuinamente menos que 100.

Así que la respuesta honesta de una línea al título, para una única carga sobre una viga simple, es: estaciónala en el centro del vano. Ese es todo el contenido de la línea de influencia del momento para la sección de centro de vano, cuya ordenada pico es L/4. La razón por la que esto importa es que casi nada en el diseño real es una única carga sobre una viga simple, y en el momento en que agregas un segundo apoyo o una segunda rueda, la respuesta se traslada a un lugar que no habrías adivinado.

Escribir ecuaciones para cada rama funciona en una viga simple, pero se vuelve penoso en una continua. Por suerte hay un atajo que es uno de los resultados más elegantes del análisis estructural, y es donde vive la historia del tema. El ingeniero alemán Emil Winkler introdujo las líneas de influencia alrededor de 1868 precisamente para el problema de cargas ferroviarias móviles sobre puentes. Dos décadas después, Heinrich Müller-Breslau dio el principio cualitativo que aún lleva su nombre.

Principio de Müller-Breslau: para obtener la línea de influencia de cualquier reacción o fuerza interna, elimina la restricción que soporta esa fuerza, impón un desplazamiento (o rotación) unitario en la liberación en el sentido positivo de la fuerza, y la deformada resultante de la estructura es la línea de influencia de esa fuerza.

Léelo despacio con las tres líneas del ejemplo 1. Para la reacción R_A, elimina el apoyo A y levántalo una unidad: la viga gira como una línea rígida recta alrededor de B, que es exactamente la línea de influencia recta de 1 a 0. Para el momento en C, inserta una rótula en C y rota una unidad: los dos segmentos se pliegan formando el triángulo que dibujamos. Para el cortante en C, corta la viga en C y desliza un lado hacia arriba respecto del otro una unidad: las dos ramas se separan por ese salto unitario. Las formas salen de la geometría de la deformada, sin álgebra de equilibrio alguna.

La verdadera recompensa es que al principio no le importa si la estructura es estáticamente determinada. Para una viga continua la forma liberada es una curva suave en lugar de segmentos rectos, pero sigue siendo la línea de influencia, y sigue diciéndote, por su signo, qué vanos cargar. Eso es precisamente lo que necesitamos a continuación.

Aquí es donde se quiebra la intuición de un estudiante de primer año y las líneas de influencia ganan su lugar en todo código. Toma una viga continua de dos vanos, cada vano L = 6 m, que soporta una carga viva uniforme de w = 15 kN/m que puede o no estar presente en cualquiera de los vanos. Tres apoyos: A en el extremo izquierdo, M en el medio, C en el extremo derecho. La pregunta no es qué hace una disposición de carga, sino cuál disposición es la peor para cada efecto.

Por Müller-Breslau, la línea de influencia del momento positivo en el centro del vano izquierdo es positiva sobre el vano izquierdo y negativa sobre el vano derecho. La Regla 2 entonces dice: para maximizar ese momento positivo, carga solo el vano izquierdo y deja el vano derecho vacío. El motor de CalcSteel confirma el resultado con precisión:

• Ambos vanos cargados: el momento positivo en el centro del vano es 37,97 kN·m (el 9wL²/128 de los libros de texto), y el momento negativo sobre el apoyo central es −67,5 kN·m (wL²/8).
• Solo el vano izquierdo cargado: el momento positivo en el centro del vano sube a 51,56 kN·m, alrededor de 36 por ciento más, aun cuando ahora hay menos carga total sobre la viga.

Cargar toda la viga, el movimiento conservador instintivo, en realidad alivia el vano que te preocupaba, porque la carga en el vano lejano empuja el apoyo compartido hacia arriba y flexiona el vano cercano de vuelta. La línea de influencia lo vio venir por su cambio de signo.

Y el peor caso es distinto para cada efecto. El pico de momento negativo sobre el apoyo central quiere ambos vanos cargados (−67,5 kN·m), porque esa línea de influencia es negativa sobre ambos. Hay un aguijón en la cola también: con solo el vano izquierdo cargado, el motor reporta la reacción lejana en C como −5,625 kN, un tiro hacia abajo, lo que significa que la viga intenta levantarse de su apoyo de extremo. Una carga en un vano puede levantar el otro extremo, un detalle que las líneas de influencia hacen obvio y un único caso de carga oculta. Por esto los diagramas por sí solos no bastan una vez que una estructura es continua.

El último caso es el que paga las cuentas de cualquiera que dimensione una viga carrilera o una viga de puente: no una carga, sino un conjunto de cargas a separación fija rodando juntas. Toma dos ruedas de 40 kN cada una, separadas 2 m, sobre una viga simplemente apoyada de vano L = 10 m. ¿Dónde a lo largo de la viga debe ubicarse el par para producir el momento flector máximo absoluto, y cuánto vale?

La respuesta tentadora es centrar el par en el vano, ruedas en 4 m y 6 m. Haz eso y el motor reporta un momento máximo de 160 kN·m. Pero no es el verdadero máximo. El criterio exacto, que sale directo de la línea de influencia del momento para una sección móvil, es la regla de bisección de la resultante: el momento máximo absoluto ocurre bajo la rueda más cercana a la resultante del grupo, cuando esa rueda y la resultante se colocan equidistantes del eje central del vano.

La resultante de dos ruedas iguales de 40 kN se sitúa a mitad de camino entre ellas, a 1 m de cada una. Colocar una rueda 0,5 m más allá del eje central pone esa rueda y la resultante simétricas respecto del centro del vano. Eso significa ruedas en 3,5 m y 5,5 m, y el barrido de CalcSteel confirma que el máximo allí es 162 kN·m, bajo la rueda en 5,5 m. Es solo 2 kN·m por encima de la suposición centrada aquí, pero el principio es exacto, y para ruedas desiguales o separaciones más amplias la brecha entre la suposición ingenua y el verdadero máximo crece lo suficiente como para cambiar una sección.

Esta es toda la razón por la que las líneas de influencia existen como herramienta de ingeniería y no como curiosidad de aula. Un fabricante de grúas te da cargas y separaciones de ruedas; la línea de influencia, más la regla de bisección de la resultante, te dice dónde en el riel hacen su peor daño y cuán grande es el momento de diseño, sin probar cada posición a mano.

La forma más rápida de sentir una línea de influencia es convertirte en la carga móvil. En la calculadora de abajo, configura una viga, coloca una carga puntual y arrástrala a lo largo del vano mientras observas cómo se redibuja el diagrama de momento flector. El pico del momento en cualquier sección elegida, trazado a medida que deslizas la carga, es la línea de influencia de esa sección, exactamente el experimento detrás de cada número de este artículo. Cambia la viga a dos vanos y podrás ver aparecer frente a ti el efecto de carga alternada del ejemplo 3.

Corre en tu navegador, sin registro para la matemática, sobre el mismo motor de elementos finitos que produjo cada figura verificada arriba. Cuando estés listo para pasar de una sola viga a un pórtico completo, el mismo solucionador verifica los elementos según AISC 360, Eurocode 3 y NBR 8800.

Las líneas de influencia responden la pregunta que los diagramas de cortante y momento no pueden: no cómo fluye una carga fija por una estructura, sino dónde debe ubicarse una carga móvil para dañarla al máximo. La receta es corta y nunca cambia. Dibuja la línea de influencia del único efecto que te importa, por estática en estructuras simples o por la deformada de Müller-Breslau en cualquier cosa más difícil. Luego léela: coloca las cargas concentradas en la mayor ordenada, y coloca las cargas distribuidas sobre las regiones cuyo signo deseas, dejando el resto vacío.

Vale la pena llevarse tres resultados de este artículo. Una única carga sobre una viga simple es peor en el centro del vano, PL/4. Una viga continua quiere carga alternada, un vano aquí, ambos vanos allá, con un patrón distinto para cada efecto, y cargar todo no es conservador. Un tren de ruedas es peor no cuando está centrado sino en la posición de bisección de la resultante. Cada uno de estos alguna vez le costó a los ingenieros páginas de posiciones de prueba; cada uno sale directo de una línea de influencia.

El software moderno construye estas envolventes automáticamente, barriendo cargas a lo largo del modelo y reportando el peor caso por elemento, que es lo que convierte un método manual engorroso en una verificación de rutina. Empieza con la calculadora de cortante y momento para construir la intuición, confirma tus reacciones y tus momentos a mano, y deja que el modelo lleve la contabilidad cuando las cargas empiecen a moverse.