Integrales dobles: el momento de inercia de una viga armada soldada desde cero

Abre cualquier tabla de secciones de acero y desliza el dedo hasta la columna encabezada I, o Ix, el momento de inercia. Es el número que fija cuánto flecha una viga de esa sección y cuánta tensión produce un momento dado. Es también, y esta es la parte que la tabla nunca te dice, el valor de una integral doble: la de Cálculo II que evaluaste sobre rectángulos y semidiscos y que luego, en algún punto del primer curso de estructuras, archivaste calladamente como algo abstracto. Nunca fue a ningún lado. El momento de inercia es esa integral, y este artículo trata de plantearla y evaluarla con tus propias manos.

Aquí está toda la definición en una línea, y el resto de la guía es esta línea vuelta concreta: el momento de inercia de una sección transversal respecto a su eje centroidal es la integral doble de y² sobre el área, donde y es la distancia desde el eje hasta cada pequeña porción de área dA. Escrito, I = la integral doble sobre el área de y² dA. Suma y² por cada mota de material en la cara de la viga, ponderada por cuánta área hay ahí, y tienes I. Ninguna tabla en la que confiar, ninguna fórmula que recordar, solo la integral que ya sabes hacer.

Lo haremos sobre un elemento real: una viga armada soldada, la viga peraltada de alma llena que diseñas cuando ningún perfil laminado es lo bastante grande, formada por dos platabandas de ala y una chapa de alma. Como la construyes tú, no hay valor de catálogo que consultar; tienes que integrar. Al final habrás planteado la integral doble, la habrás visto producir la conocida bh³/12 para una sola chapa, habrás visto el teorema de los ejes paralelos salir gratis de ella, y la habrás evaluado sobre toda la viga hasta Ix = 7,356 × 10⁹ mm⁴. Cada número se verificó contra una suma numérica bruta de y² dx dy y contra la integral del teorema de Green que la calculadora de momento de inercia ejecuta en producción, y las tres coinciden hasta el último dígito.

Reduzcámoslo primero al cálculo. Una integral doble de una función f sobre una región bidimensional R, escrita como la integral doble sobre R de f(x, y) dA, suma el valor de f sobre cada porción infinitesimal de área dA dentro de R. Cuando f es 1, la integral doble es simplemente el área de R. Cuando f es algo que varía a lo largo de la región, la integral es el total acumulado de ese algo, ponderado por el área.

El truco que hace computable una integral doble es que el elemento de área se factoriza: dA = dx dy. Eso convierte la integral doble única en un par anidado de integrales ordinarias, una integral iterada. Integras primero sobre x, manteniendo y fijo, lo que barre una franja horizontal; luego integras ese resultado sobre y, lo que apila las franjas desde el fondo de la región hasta la parte superior. El teorema de Fubini dice que el orden no importa para las regiones bien portadas de las que está hecha una sección de acero, así que también puedes ir primero en y y luego en x. En cualquier caso, una integral doble son dos integrales ordinarias hechas una tras otra.

Esa es toda la maquinaria. Para las propiedades de sección la función f nunca es complicada: es 1 para el área, es y para el momento estático que localiza el centroide, y es y² para el momento de inercia. La región R es la sección transversal. Todo el trabajo está en la región, no en el integrando, que es exactamente por qué una viga armada hecha de rectángulos es el lugar perfecto para verlo: sobre un rectángulo los límites son constantes, y la integral iterada son dos pasos limpios.

¿De dónde viene y²? Flexiona una viga y su sección transversal rota respecto al eje neutro. Una fibra a una distancia y de ese eje se estira en proporción a y, así que soporta una tensión proporcional a y, y la fuerza que aporta es esa tensión por su área, proporcional a y·dA. Pero no queremos la fuerza, queremos el momento de esa fuerza respecto al eje, que es la fuerza por su brazo de palanca y de nuevo. Una y de la deformación, una y del brazo de palanca, y el aporte de cada porción a la resistencia a flexión es y² dA. Súmalo sobre toda la cara y tienes la resistencia de la sección a la flexión, el momento de inercia.

Por eso I aparece en las dos ecuaciones en las que se apoya todo curso de estructuras. La tensión de flexión es σ = M·y / I, y la curvatura es M / (E·I). En ambas, I es la parte del trabajo que le toca a la sección, y es grande exactamente cuando mucha área se sitúa a un y grande, porque esas porciones aportan y² e y² crece rápido. Ese solo hecho, que el integrando es y² y no y, es toda la razón por la que una viga en I pone su material en las alas lejos del eje, y es la razón por la que una viga armada es peraltada. La forma de la sección le gana a su peso porque la integral premia la distancia de forma cuadrática.

Así que el momento de inercia no es una definición que aceptas y una fórmula que consultas. Es una integral doble con un integrando específico y físico, y para cualquier región cuyo contorno puedas describir, puedes evaluarla. El resto de esta guía hace exactamente eso, empezando por el único rectángulo del que está hecha toda viga armada.

Toma una sola chapa, un rectángulo de ancho b y altura h, y pon el eje x a través de su propio centroide, de modo que y vaya de −h/2 abajo a +h/2 arriba, y x de −b/2 a +b/2. Escribe el momento de inercia como una integral iterada con esos límites constantes:

Ix = ∫ de −h/2 a +h/2 [ ∫ de −b/2 a +b/2 de y² dx ] dy.

Haz la integral interior primero, sobre x. El integrando y² no contiene a x en absoluto, así que integrarlo sobre x de −b/2 a +b/2 simplemente lo multiplica por el ancho: la integral interior es y²·b. Geométricamente barriste una franja horizontal de altura dy a lo ancho completo b, y cada punto de la franja está a la misma distancia y, así que la franja aporta y²·(b dy). La integral bidimensional se ha vuelto unidimensional.

Ahora la integral exterior, sobre y. Saca la constante b afuera e integra y²:

Ix = b · ∫ de −h/2 a +h/2 de y² dy = b · [ y³/3 ] de −h/2 a +h/2 = b · ( h³/24 + h³/24 ) = b·h³/12.

Ahí está. La bh³/12 que has escrito cien veces no es una fórmula heredada de una tabla, es el número que la integral doble produce para un rectángulo respecto a su propio centroide. El cubo sobre h es la y³ de integrar y², y es por eso que el peralte es tan poderoso: duplica la altura de una chapa y su inercia propia sube ocho veces. Cada chapa de la viga, ala o alma, usa este mismo resultado. Lo que cambia de chapa a chapa es solo dónde se sitúa su centroide respecto al eje de la viga, y ese es el siguiente paso.

Una platabanda de ala no se sitúa sobre el eje centroidal de la viga, se sitúa muy por encima o por debajo de él. Así que necesitamos su inercia respecto al eje de la viga, no al suyo propio. Llama d a la distancia entre los dos ejes, y sea y′ la coordenada medida desde el propio centroide de la chapa, de modo que la coordenada del eje de la viga es y = y′ + d. Sustituye eso en la integral y desarrolla el cuadrado:

I = la integral doble de (y′ + d)² dA = la integral doble de ( y′² + 2·d·y′ + d² ) dA.

Divídela en tres integrales y lee cada una. La primera, la integral doble de y′² dA, es la inercia de la chapa respecto a su propio centroide, la b·h³/12 que acabamos de deducir. La tercera, la integral doble de d² dA, tiene un integrando constante, así que es simplemente d² por el área, A·d². El término del medio es el interesante: 2·d por la integral doble de y′ dA. Esa integral es el momento estático respecto al propio centroide de la chapa, y el momento estático respecto a un centroide es cero por la definición misma de centroide. El término cruzado se anula.

Lo que queda es el teorema de los ejes paralelos:

I = I_propio + A·d² = b·h³/12 + A·d².

Fíjate en que no lo invocamos como una regla aparte que memorizar. Salió de la integral doble en el momento en que desplazamos el eje, y la única razón por la que es limpio es que el momento estático centroidal es cero. Este es todo el kit de herramientas para una sección armada: cada chapa aporta su propia bh³/12 más su área por el cuadrado de su distancia al eje compartido. Suma eso sobre las chapas y tienes la viga. Es hora de hacerlo.

Aquí está la viga. Dos platabandas de ala, cada una de b = 300 mm de ancho por tf = 25 mm de espesor, y una chapa de alma de tw = 12 mm de espesor por hw = 1200 mm de peralte, soldadas en una I doblemente simétrica con un peralte total h = 1250 mm. Como es simétrica arriba y abajo, el centroide se sitúa a media altura, a 625 mm de cualquier fibra extrema, y el eje compartido es obvio sin ningún cálculo. (Cuando no es obvio, la integral del momento estático lo encuentra; ve la sección siguiente.)

Aplica el kit de herramientas chapa por chapa. Primero el alma, que se monta a caballo sobre el eje, así que su distancia d es cero y solo cuenta su inercia propia:

I_alma = tw·hw³/12 = 12 × 1200³ / 12 = 1.728.000.000 mm⁴.

El alma tiene 1200 mm de peralte, y ese peralte al cubo es por lo que una chapa delgada de 12 mm aún aporta 1,73 × 10⁹ mm⁴ por sí sola. Ahora cada ala. Su inercia propia es minúscula, porque una chapa de 25 mm de espesor casi no tiene peralte propio:

I_ala,propia = b·tf³/12 = 300 × 25³ / 12 = 390.625 mm⁴.

Pero su centroide se sitúa a d = hw/2 + tf/2 = 600 + 12,5 = 612,5 mm del eje de la viga, y el término de transferencia A·d² es enorme:

A·d² = (300 × 25) × 612,5² = 7500 × 375.156,25 = 2.813.671.875 mm⁴.

Así que cada ala entrega 390.625 + 2.813.671.875 = 2.814.062.500 mm⁴, de los cuales el término de transferencia es el 99,99%. La inercia propia de un ala es un error de redondeo; un ala no es más que área estacionada lejos del eje. Suma las tres chapas:

Ix = 2 × 2.814.062.500 + 1.728.000.000 = 7.356.125.000 mm⁴ ≈ 7,356 × 10⁹ mm⁴.

Eso es 735.612 cm⁴, y salió enteramente de la integral doble: bh³/12 para cada chapa, A·d² para moverla al eje compartido, sumado. Las dos alas por sí solas aportan 5,63 × 10⁹ mm⁴, más de tres cuartos del total, y lo hacen a través de la distancia, no del área: son solo el 51% del área de la sección pero cargan el 76% de su inercia. Eso es la integral doble premiando y² en acción.

Un número tan grande es fácil de estropear, así que vale la pena demostrarlo de tres formas independientes, que es exactamente lo que hace el benchmark detrás de este artículo.

1. Desde cero, la integral doble chapa por chapa de arriba: Ix = 7.356.125.000 mm⁴.

2. Una integral doble numérica bruta. Olvida las fórmulas y vuelve a la definición: tiende una malla fina de celdas sobre toda la cara de la viga, calcula y² por el área de la celda para cada celda, y súmalas. Eso es la integral doble de y² dA hecha como una suma de Riemann literal, sin bh³/12 ni teorema de los ejes paralelos a la vista por ningún lado. La malla devuelve 7.356.124.700 mm⁴, que coincide con el valor a mano hasta cuatro partes en cien millones. Las fórmulas realmente son solo la integral, evaluada con astucia.

3. El motor de producción. La calculadora de momento de inercia de CalcSteel no mallea el interior; recorre el contorno, usando el teorema de Green para convertir la integral de área de y² dA en un solo lazo de integrales de línea alrededor del perímetro, el método del polígono descrito en nuestra guía de integración numérica. Alimentado con el contorno de 12 vértices de la viga, ese código de producción devuelve Ix = 7.356.125.000 mm⁴, idéntico al valor a mano.

Tres caminos, un número: la integral iterada a mano, la malla bruta, y el teorema de Green sobre el contorno aterrizan todos en 7,356 × 10⁹ mm⁴. Eso es lo que significa que el momento de inercia sea una integral doble: cada forma honesta de evaluar esa integral tiene que dar la misma respuesta, y la dan.

Gira la misma integral noventa grados. El momento de inercia respecto al eje centroidal vertical, el eje débil, cambia el integrando por x²: Iy = la integral doble de x² dA. Ahora es la extensión horizontal del material lo que cuenta, y el alma, siendo de solo 12 mm de ancho, casi no aporta nada. Las alas, de 300 mm de ancho, dominan:

Iy = 2 × (tf·b³/12) + hw·tw³/12 = 2 × (25 × 300³/12) + 1200 × 12³/12 = 112.672.800 mm⁴.

Compara las dos: Ix = 7,356 × 10⁹ contra Iy = 1,127 × 10⁸ mm⁴, una razón de 65 a 1. La misma sección es 65 veces más rígida flexionando respecto al eje fuerte que respecto al débil, que es toda la razón por la que una viga armada se usa parada y necesita arriostramiento para evitar que pandee lateralmente respecto a ese eje débil blando. La integral doble hace precisa la asimetría: y alcanza ±625 mm pero x solo ±150 mm, y ambos entran al cuadrado.

Hay un tercero, el producto de inercia Ixy = la integral doble de x·y dA, que te dice si tus x e y son los verdaderos ejes principales. Para esta viga es exactamente cero, y puedes ver por qué directamente de la integral: la sección es simétrica respecto al eje y, así que por cada porción en +x hay una porción especular en −x con el mismo y, y sus aportes x·y se cancelan por pares. Cualquier eje de simetría fuerza Ixy = 0 y hace que los ejes del dibujo sean los ejes principales, que es por lo que las secciones doblemente simétricas nunca necesitan la rotación del círculo de Mohr que sí necesita una sección asimétrica.

La viga simétrica nos dejó colocar el eje a ojo. Las vigas reales son a menudo monosimétricas: un ala inferior ancha para cargar un tablero mixto, un ala superior más estrecha. Entonces el centroide no está a media altura, y no puedes aplicar las transferencias de ejes paralelos hasta saber dónde está. La misma familia de integrales te lo entrega. El momento estático (primer momento de área), Q = la integral doble de y dA, dividido por el área total, es la altura del centroide: cy = Q / A. Es la posición promedio del material ponderada por y.

Toma una viga con un ala inferior de 400 × 32 mm, un alma de 12 × 1150 mm, y un ala superior de 250 × 20 mm, peralte total 1202 mm. Sumando y dA chapa por chapa (el área de cada chapa por su propia altura de centroide) y dividiendo por el área total A = 31.600 mm² da:

cy = Q / A = 460,2 mm por encima de la fibra inferior,

no la media altura de 601 mm: el ala inferior pesada arrastra el centroide hacia sí misma, exactamente como el promedio ponderado por y debería. Solo ahora tienen sentido las transferencias de ejes paralelos, con la d de cada chapa medida desde este eje de 460,2 mm, y la integral doble devuelve Ix = 7,02 × 10⁹ mm⁴ respecto a él. Como el eje está descentrado, las dos fibras están a distintas distancias, 460 mm por debajo y 742 mm por encima, así que la sección tiene dos módulos resistentes distintos, Sx = 15.261 cm³ hacia abajo y 9.467 cm³ hacia arriba. El motor de producción, alimentado con este contorno, reproduce el centroide en 460,171 mm y la inercia hasta el último dígito. La integral que te da I es la misma que te dijo dónde estaba su eje.

El momento de inercia no es un trofeo, es aquello por lo que dividen las dos verificaciones de diseño. Pon la viga simétrica a trabajar como una luz simplemente apoyada de 12 m bajo una carga de servicio de w = 40 kN/m. El momento máximo es la conocida wL²/8 = 720 kN·m, y las dos cosas que realmente verificas pasan ambas por la Ix = 7,356 × 10⁹ mm⁴ que integraste.

Flecha. La flecha en el centro de la luz de un vano simple uniformemente cargado es 5·w·L⁴ / (384·E·I). Con E = 210.000 MPa para el acero, eso son 6,99 mm, una esbeltez de L/1716, cómodamente dentro del límite de servicio habitual de L/360. Reduce la inercia a la mitad y la viga flecharía el doble: la flecha es inversamente proporcional a la misma integral que evaluamos.

Tensión. La tensión de flexión en la fibra extrema es σ = M·c / I, con c = 625 mm hasta la fibra exterior. Eso da 61,2 MPa, una fracción de la tensión de fluencia, así que la viga está muy lejos de su capacidad a flexión con esta carga. Ambos números, los milímetros que flecha y los megapascales que siente, salen de dividir por I, que es por lo que acertar la integral doble no es un ejercicio académico. Es el denominador de las dos verificaciones que deciden si la viga es lo bastante segura y rígida. Si prefieres ver esos números moverse mientras redimensionas las chapas, la calculadora de abajo ejecuta la misma integral en vivo.

Construye una sección abajo y lee su momento de inercia directamente. Cambia el peralte, cambia el ancho del ala, y observa cómo responde Ix. Dos hábitos harán intuitiva la integral doble mientras juegas. Primero, ensancha un ala y observa cómo Ix apenas se mueve, luego mueve esa misma ala hacia afuera y observa cómo salta: la integral premia la distancia al cuadrado, no el área. Segundo, compara Ix e Iy para la misma sección y siente lo lejos que están en cualquier cosa alta y delgada, el 65 a 1 de la viga de arriba.

La calculadora es la interfaz del mismo motor que CalcSteel usa en un análisis completo, así que la I que reporta es la que usaría una verificación real de flecha y tensión. Para la historia hermana, donde estas mismas integrales de área se evalúan sobre un contorno arbitrario recorriendo su perímetro, la guía de integración numérica retoma el hilo. Y para la versión en lenguaje llano dirigida a perfiles laminados en vez de chapas armadas, empieza con por qué la forma de la viga le gana al peso.

Los errores son consistentes, y cada uno es una mala lectura de la integral doble más que de la viga:

1. Usar bh³/12 para una chapa que está fuera del eje. La bh³/12 limpia es la inercia de la chapa respecto a su propio centroide solamente. Para un ala a 612,5 mm de distancia, la transferencia A·d² es 7.200 veces mayor que la bh³/12, y omitirla es la forma más común en que una I calculada a mano sale demasiado pequeña.

2. Medir y desde el eje equivocado. La y en y² dA es la distancia al centroide de la sección, no a la fibra inferior ni al origen del dibujo. En la viga monosimétrica eso significa encontrar cy = 460,2 mm primero, con la integral del momento estático, y solo entonces medir cada d desde ahí.

3. La trampa de las unidades a la cuarta. I lleva unidades de longitud a la cuarta potencia. Un factor de 10 en tu longitud es un factor de 10.000 en I, y el desliz clásico es mezclar mm⁴ y cm⁴: 7,356 × 10⁹ mm⁴ son 735.612 cm⁴, una división por 10⁴, no por 10. Equivócate en la potencia y la flecha se desvía por órdenes de magnitud.

4. Confundir Ix con Iy. La Ix del eje fuerte usa y² y premia el peralte; la Iy del eje débil usa x² y premia el ancho. Difieren 65 veces en esta viga. Mete el valor del eje débil en una verificación de flecha del eje fuerte y la viga parece 65 veces demasiado flexible.

5. Olvidar que el cubo está sobre el peralte. Como la integral de y² trae un h³, el peralte de una chapa importa mucho más que su espesor o su ancho. Duplicar el espesor de un alma duplica su inercia; duplicar su peralte lo multiplica por ocho. Cualquier instinto construido solo sobre el área, en vez de sobre la y² que la integral realmente pondera, juzgará mal qué cambio ayuda.

Cuando CalcSteel reporta un momento de inercia está evaluando la misma integral doble que acabas de hacer a mano, solo que nunca toca bh³/12 ni el teorema de los ejes paralelos. Toma el contorno de la sección como una lista de vértices y aplica el teorema de Green, que convierte la integral de área de y² dA en un solo lazo de integrales de línea alrededor del contorno: una pasada aritmética sobre las aristas, exacta para cualquier polígono, sin mallado y sin tabla de fórmulas. Para la viga de este artículo ejecutamos ese código de producción sobre el contorno de 12 vértices y devolvió 7.356.125.000 mm⁴, el mismo número que dio la integral a mano chapa por chapa, porque son la misma integral leída de dos formas: sobre el interior, o alrededor del borde.

Esa es la respuesta honesta al estudiante que pregunta para qué era la integral doble. No es contexto para el examen, es la definición del número que decide si una viga es lo bastante rígida, y el software que usarás a diario está computando exactamente esa integral. No tienes que confiar en él como una caja negra, porque puedes plantear la integral tú mismo, evaluarla sobre los rectángulos de una sección armada, y verificar la máquina contra tu propia mano. Para las piezas vecinas del mismo cálculo, el panorama de integrales en ingeniería estructural mapea dónde aterriza cada una, y el teorema de Castigliano muestra el lado de la derivada de la misma moneda en acción sobre una celosía.