Travamento lateral de treliças: o critério do banzo comprimido por trás da norma

Uma treliça parece uma teia de barras esguias, mas sob carga de gravidade o seu banzo superior faz um trabalho bruto: carregar uma grande compressão, painel após painel, de um apoio ao outro. Isso faz do banzo superior um pilar deitado de lado. E como qualquer pilar, o que ele consegue carregar não é definido pela sua área nem pela sua tensão de escoamento. É definido pela flambagem, e a flambagem é definida pela distância entre os pontos onde algo de fato segura o banzo no lugar.

Aqui está a parte que confunde as pessoas, e é específica de treliças. As diagonais e os montantes se encontram com o banzo superior em cada nó de painel. É tentador dizer que o banzo está, portanto, travado em cada nó de painel, ponto final. Isso é só meia verdade. As diagonais e montantes seguram o banzo no plano da treliça. Eles quase nada fazem para impedir o banzo de arquear para o lado, para fora do plano da treliça. Para o lado, o banzo só é segurado onde você coloca um travamento lateral: uma terça, uma escora, uma linha de contraventamento amarrada a algo rígido.

Então todo o dimensionamento gira em torno de uma distância, o espaçamento dos travamentos laterais no banzo comprimido, e este artigo é sobre o critério por trás disso. Nós o derivamos de Euler, depois rodamos uma verificação completa numa treliça real de 24 m cujo banzo SHS 120 carrega 720 kN, e observamos o mesmo banzo passar ou reprovar dependendo apenas de com que frequência ele é travado. É a prima específica de treliça do nosso artigo geral sobre o que um travamento tem que de fato entregar.

Dê um empurrão a uma barra comprimida e ela flamba em torno do seu eixo mais fraco disponível sobre o seu maior comprimento destravado. Um banzo de treliça tem dois comprimentos destravados bem diferentes, e o erro é usar o curto para os dois.

• No plano (em torno do eixo perpendicular ao plano da treliça). Aqui o banzo quer arquear dentro do plano vertical da treliça. Mas cada nó de painel tem um montante e uma diagonal chegando nele, e essas barras de alma seguram o nó de painel no plano. Então o comprimento destravado no plano é um painel: Lx = 3.0 m, automaticamente, de graça.
• Fora do plano (em torno do eixo no plano da treliça). Aqui o banzo quer arquear para o lado, para fora do plano. As barras de alma ficam no plano; elas não oferecem nenhuma restrição lateral. O banzo só é segurado lateralmente onde um travamento lateral de verdade o amarra. Se você trava a cada painel, Ly = 3.0 m; a cada dois painéis, Ly = 6.0 m; só no meio do vão, Ly = 12.0 m.

Para uma seção duplamente simétrica como a seção quadrada oca que vamos usar, o raio de giração é o mesmo em torno dos dois eixos, então as duas verificações diferem apenas pelo comprimento. O banzo não liga que um comprimento veio das barras de alma e o outro das terças. Ele flamba sobre qualquer que seja o comprimento destravado maior, porque, como estamos prestes a ver, esse é o que custa mais resistência.

Comece pela carga de flambagem de uma barra ideal, o resultado de Euler: P_e = π²EI / (KL)². Divida pela área e escreva na forma da norma, e a tensão utilizável é função de um número, o índice de esbeltez KL/r:

F_e = π²E / (KL/r)²,  depois F_cr pela AISC 360 E3

Dois fatos sobre essa expressão comandam todo o dimensionamento. Primeiro, a resistência depende de (KL/r)² no denominador, então ela cai com o quadrado do comprimento destravado. Reduza o comprimento à metade e você quase quadruplica a capacidade; dobre-o e você corta a capacidade para cerca de um quarto. Segundo, como KL/r aparece apenas pelo comprimento e pelo raio r, e um banzo quadrado tem um único r, o único botão que separa as verificações no plano e fora do plano é o próprio comprimento destravado.

Isso nos dá o critério em uma frase. O travamento lateral existe para encurtar Ly até a verificação fora do plano não ficar pior que a verificação no plano que as barras de alma já lhe deram de graça. Trave o banzo para o lado em cada nó de painel e Ly = Lx = 3.0 m, então as duas verificações coincidem e o banzo trabalha com a sua resistência no plano. Deixe intervalos e Ly cresce, a curva fora do plano despenca pela linha de Euler, e o banzo reprova numa força que ele carrega fácil no plano. O resto do artigo é colocar números nessa frase.

A treliça e a carga

Tome uma treliça de cobertura Pratt de banzos paralelos vencendo S = 24 m, altura d = 2.0 m de centro a centro dos banzos, dividida em oito painéis de 3.0 m. Coloque uma carga de gravidade majorada de w = 20 kN/m no banzo superior (cobertura, instalações e um caso pesado de neve), aplicada como cargas nos nós de painel. Cada apoio carrega 240 kN.

A força no banzo à mão, depois pelo motor

Uma treliça de banzos paralelos carrega a flexão global como um binário: os banzos são as mesas, a altura d é o braço de alavanca. Corte a treliça no meio do vão e tome momentos. A força no banzo é o momento global dividido pela altura:

C = M_max / d,  M_max = wS² / 8 = 20 · 24² / 8 = 1440 kN·m

C = 1440 / 2.0 = 720 kN (compressão, banzo superior)

Rodamos a mesma treliça no motor de EF do CalcSteel em produção, como um modelo rotulado, e lemos a força axial em cada barra. O painel mais carregado do banzo superior, junto ao meio do vão, retorna 720.0 kN de compressão, batendo com o valor do método das seções até o último dígito. Essa é a demanda que o banzo, e o seu travamento, tem que suportar. Também confirma a intuição: a força no banzo é maior perto do meio do vão, exatamente onde você menos quer um travamento lateral faltando.

Adote uma SHS 120 x 120 x 8 laminada a quente em S355 para o banzo superior: área A = 3584 mm², momento de inércia I = 753 cm⁴, raio de giração r = 45.8 mm, o mesmo em torno dos dois eixos. Primeiro, trave-o lateralmente em cada nó de painel, então Ly = Lx = 3.0 m. A esbeltez é

KL/r = 3000 / 45.8 = 65.4

Isso está abaixo do limite E3 4.71√(E/F_y) = 111.8, então estamos na faixa inelástica e F_cr = 0.658^(F_y/F_e) vezes F_y. Com F_e = π²E / 65.4² = 461 MPa, F_cr = 257 MPa. A resistência de dimensionamento é

φP_n = 0.90 · 257 · 3584 / 1000 = 829 kN

Contra a demanda de 720 kN isso é uma utilização de 87 %. O banzo passa, com folga mas sem desperdício. Repare no que fez o trabalho: nada mudou na seção, nós apenas garantimos que o comprimento fora do plano igualasse o comprimento no plano que as barras de alma já forneciam. Quando os dois comprimentos batem, o banzo entrega toda a sua resistência de pilar.

Agora mantenha exatamente o mesmo banzo e exatamente a mesma demanda de 720 kN, e mude uma coisa: trave-o lateralmente só a cada dois nós de painel, então Ly = 6.0 m. As barras de alma ainda dão Lx = 3.0 m no plano, então a verificação no plano não muda e continua passando. Mas fora do plano o comprimento dobrou:

KL/r = 6000 / 45.8 = 130.9  (agora além de 111.8, portanto flambagem elástica)

F_e = 115 MPa, F_cr = 0.877 F_e = 101 MPa, φP_n = 326 kN

A utilização é 720 / 326 = 221 %. O banzo que passava a 87 % agora reprova por mais de um fator de dois, e nada mudou além do espaçamento de travamento. Dobrar Ly cortou a resistência a um quarto, exatamente como a curva 1/L² prometia.

Force mais uma vez, para um único travamento lateral no meio do vão, Ly = 12.0 m. Então KL/r = 262, que está além do limite superior recomendado de 200 na AISC 360 para barras comprimidas. Esse banzo não é permitido de forma alguma, antes mesmo de você calcular uma resistência (seriam 82 kN, uma utilização de 884 %). A lição é a armadilha em uma linha: as barras de alma te fazem acreditar que o banzo está travado a 3 m, mas fora do plano ele só está travado onde você desenhou uma terça.

Encurtar Ly pressupõe que o travamento seja real. Uma linha num desenho não é um travamento; a norma pede que ele entregue duas coisas distintas, e uma barra simbólica pode satisfazer uma enquanto falha na outra. Isto é o Apêndice 6 da AISC 360, travamento pontual (nodal), e é o mesmo teste de duas partes que cobrimos a fundo para pilares e vigas em rigidez e resistência de travamento.

Para um travamento pontual segurando o banzo em cada nó de painel, com a força no banzo travado P_r = 720 kN e espaçamento de travamento L_b = 3.0 m:

• Resistência. O travamento tem que carregar P_br = 0.01 P_r = 7.2 kN. Isso é pequeno, só 1 % da força no banzo, e é por isso que a resistência raramente é o problema.
• Rigidez. O travamento, e tudo até um ponto rígido, tem que ser pelo menos beta_br = (1/φ)(8 P_r / L_b) = (1/0.75)(8 · 720 / 3.0) = 2560 kN/m. Este é o requisito que um travamento frouxo não cumpre.

O número da rigidez é o que exige respeito. Um travamento pode ser bem forte para 7.2 kN e ainda ser flexível demais: se ele estica ou a ligação escorrega sob carga, o ponto de travamento efetivo do banzo se desloca, Ly não é de fato 3.0 m, e a flambagem que você achava ter impedido acontece do mesmo jeito. Um travamento tem que estar presente, forte o suficiente e rígido o suficiente, e o último é o que falha em silêncio.

Toda a verificação é uma curva, o colapso da resistência à compressão à medida que o comprimento destravado cresce. Você pode manipulá-la abaixo. Tome uma barra comprimida, defina a sua seção, e aumente o comprimento: a carga crítica desliza pela curva de Euler e a resistência utilizável junto. Esse é exatamente o eixo em cujo topo um travamento lateral te permite ficar perto.

Defina o comprimento no tamanho do seu painel e leia a resistência; depois no dobro do tamanho do painel e veja-a cair para cerca de um quarto. Esse fator é o motivo pelo qual o espaçamento de travamento, não o tamanho da seção, costuma ser o jeito mais barato de fazer um banzo de treliça funcionar. Quando terminar, o artigo sobre fator de comprimento efetivo K explica o KL na fórmula, e flambagem de Euler mostra por que a curva é uma lei de quadrado.

Tudo até aqui travou o banzo superior porque a gravidade o coloca em compressão. Mas uma treliça de cobertura também vê sucção do vento, e a sucção inverte as forças axiais nos dois banzos. Sob uma sucção líquida o banzo superior vai para a tração e o banzo inferior vai para a compressão, e agora o banzo inferior é o pilar que precisa de travamento.

Rode a mesma treliça com uma sucção líquida majorada de w_up = 12 kN/m e o motor retorna uma compressão no banzo inferior de 432 kN (M_up/d = 12 · 24² / 8 / 2.0 = 432 kN, batendo até o dígito). O banzo inferior costuma ser travado bem menos vezes que o superior, porque sob gravidade ele é uma barra tracionada e barras tracionadas não flambam. Esse hábito é exatamente a armadilha: no momento em que a sucção pode colocar o banzo inferior em compressão, o seu espaçamento de travamento lateral tem que satisfazer a mesma verificação de lei de quadrado que o banzo superior, ou o banzo flamba para o lado sem nenhum deck de cobertura por perto para segurá-lo.

Este é o item mais esquecido numa planta de travamento de treliça. O banzo superior ganha terças quer você pense em travamento ou não; o banzo inferior ganha um travamento lateral só se alguém deliberadamente desenhar a linha de travamento do banzo inferior para o caso de sucção. Numa cobertura leve de grande vão, a sucção com frequência governa o banzo inferior inteiramente.

Um travamento lateral num nó de painel só segura o banzo se o próprio travamento estiver seguro. Os 7.2 kN e, mais importante, os 2560 kN/m têm que viajar do banzo de volta para algo que não se move. Deixado como um toco projetado para o lado, um travamento não trava nada.

Numa cobertura real essa âncora é o sistema de travamento: as terças amarram cada banzo de treliça ao seguinte, e uma linha de contraventamento diagonal no plano da cobertura (ou um vão contraventado de treliças) coleta todas essas pequenas forças de travamento e as leva a um ponto rígido, um pórtico de oitão, uma parede de cisalhamento, uma torre contraventada. É a mesma lógica de qualquer sistema de contraventamento de aço: travamentos individuais só valem tanto quanto o caminho de carga que os ancora. A verificação de rigidez no Apêndice 6 é uma verificação desse caminho inteiro, travamento mais ligação mais o sistema por trás, não só a pequena escora no banzo.

Duas consequências práticas. Primeiro, a força do travamento se acumula: a diagonal que reúne dez travamentos de nó de painel vê cerca de dez vezes 7.2 kN, não 7.2 kN. Segundo, a rigidez é em série: uma escora rígida parafusada a um sistema mole ainda é um travamento mole. Dimensione a âncora, não só o toco.

Os erros que transformam um banzo correto no papel num banzo reprovado:

• Usar o comprimento do painel para a verificação fora do plano. As barras de alma travam o banzo só no plano. Fora do plano, Ly é o espaçamento de travamento lateral, que costuma ser maior. Este é o erro de travamento de treliça mais comum, e é exatamente o 87 % contra 221 % da nossa verificação.
• Travar só para resistência. Os 7.2 kN são triviais; os 2560 kN/m não. Um travamento forte mas mole deixa o banzo flambar do mesmo jeito. Verifique a rigidez do caminho inteiro.
• Esquecer a sucção no banzo inferior. Sob gravidade o banzo inferior está tracionado e não precisa de travamento; sob sucção ele carrega 432 kN de compressão e precisa. Deixá-lo de fora é a falha clássica de cobertura de grande vão.
• Travar um banzo no nada. Um travamento precisa de uma âncora. Se o sistema de travamento não leva a força de volta a um ponto rígido, o ponto de travamento não é de fato um ponto de travamento.
• Ultrapassar KL/r = 200. Um único travamento no meio do vão do nosso banzo dá KL/r = 262, além do limite da norma, então a barra não é permitida independentemente da resistência calculada.

FAQ

As barras de alma travam o banzo superior? No plano, sim: o montante e a diagonal em cada nó de painel seguram o banzo no plano da treliça, então Lx é igual a um painel. Fora do plano, não: elas ficam no plano e não dão nenhuma restrição lateral. Fora do plano você precisa de um travamento lateral separado.

Quão espaçados podem ficar os travamentos laterais? Tão espaçados quanto a verificação de lei de quadrado permitir. Para o nosso banzo SHS 120 a 720 kN, cerca de 3.0 m funciona (87 %) e 6.0 m não (221 %). A resposta escala com o r da seção e a força no banzo, então é um cálculo, não uma regra de bolso, embora muitos projetistas mirem Ly próximo do comprimento do painel para que as duas verificações coincidam.

O banzo inferior alguma vez precisa de travamento lateral? Sim, sempre que um caso de carga (sucção do vento, ou uma carga móvel) puder colocá-lo em compressão. Um banzo tracionado não flamba, mas o mesmo banzo sob carga invertida sim, e ele tem que satisfazer a mesma verificação.

O travamento lateral de uma treliça é uma ideia aplicada com cuidado: o banzo comprimido é um pilar, e os travamentos decidem quão comprido é esse pilar.

• A força no banzo é C = M/d. Nossa treliça de 24 m coloca 720 kN no banzo superior SHS 120, motor e verificação à mão concordando até o dígito.
• O banzo tem dois comprimentos destravados. As barras de alma dão Lx = 3.0 m no plano de graça; o travamento lateral define Ly fora do plano, e só Ly é seu para perder.
• A resistência cai com 1/L², então o mesmo banzo passa a 87 % travado a cada 3.0 m, reprova a 221 % travado a cada 6.0 m, e não é permitido travado só no meio do vão.
• O Apêndice 6 quer que o travamento entregue resistência (7.2 kN) e rigidez (2560 kN/m), e que leve ambas de volta a uma âncora rígida. A rigidez governa.
• A sucção inverte os banzos: o banzo inferior carrega 432 kN de compressão e precisa do seu próprio travamento, o item mais esquecido na planta.

Quer testar na sua própria treliça? A calculadora de flambagem de pilar e o editor completo do CalcSteel são gratuitos de usar, e o CalcSteel é gratuito para estudantes. Defina a força no banzo, dimensione a seção, e deixe o espaçamento de travamento fazer o trabalho.