Pórtico contraventado em X: o critério de tração pura por trás da norma, e o fator de 2 que ele decide

Eis um vão: 6,0 m de largura, 4,5 m até a face inferior da viga, dois pilares, uma viga, duas diagonais cruzando em X. Uma cortante de piso de 200 kN chega no nível da viga. Qualquer engenheiro dimensiona a diagonal em um minuto, e dois engenheiros com este desenho na mão devolvem respostas que diferem por um fator de 2.

Não porque um deles seja desleixado. Porque o desenho não diz se a diagonal comprimida tem permissão para trabalhar. Se tem, cada diagonal toma metade da cortante de piso e a demanda é 125,0 kN. Se não tem, a diagonal tracionada toma tudo e a demanda é 250,0 kN. Mesmo vão, mesmo aço, mesma carga, mesmo desenho.

Isto não é discussão sobre coeficiente de segurança. É uma pergunta com resposta, a resposta é uma única comparação, e tudo a jusante dela se move: o deslocamento horizontal do vão, a força axial na viga, como os dois pilares dividem o tombamento. Abaixo, o mesmo vão roda no motor de elementos finitos do CalcSteel sob as duas respostas, e cada número publicado é conferido contra o cálculo manual que ele deveria reproduzir.

Um pórtico contraventado em X, também chamado de contraventamento em X, é um vão de um pórtico com contraventamento concêntrico em que duas diagonais correm de canto a canto e se cruzam perto do meio do comprimento. A função dele é pegar a carga horizontal de cada piso e transformá-la em força axial num triângulo, de modo que ela chegue à fundação sem pedir flexão a barra nenhuma. Comparado com um pórtico rígido, ele é mais rígido por muito menos aço, e comparado com uma parede de cisalhamento, é mais leve e deixa o vão aberto.

A razão de existirem duas diagonais e não uma é a reversão. Vento e sismo empurram o edifício para um lado e depois para o outro. Uma diagonal única que trabalha lindamente à tração sob um empurrão vindo da esquerda tem que trabalhar à compressão sob um empurrão vindo da direita, ao longo de todo o comprimento destravado dela, que é a maior dimensão do vão. A segunda diagonal existe para que, venha a carga de onde vier, haja sempre uma diagonal tracionada para tomá-la.

Essa é a ideia inteira, e é por isso que o X é desenhado. O que o desenho deixa em aberto é a pergunta seguinte: quando a carga vem da esquerda e uma diagonal está tracionada, a outra está também carregando carga, à compressão, ou está só parada ali?

Tome o vão sob uma cortante de piso V, com a diagonal num ângulo theta com a horizontal. Corte o vão com um plano horizontal logo abaixo da viga e escreva o equilíbrio horizontal da parte acima do corte. As únicas barras que cruzam o corte são os dois pilares, que não carregam força horizontal num pórtico rotulado, e as diagonais.

Se as duas diagonais são contadas, uma tracionada e uma comprimida, elas dividem: cada uma toma V / (2 cos theta). Se só a diagonal tracionada é contada, ela toma V / cos theta, o dobro. Não existe nada no meio do caminho com que dê para contar. O vão é ou um sistema tração-compressão ou um sistema de tração pura, e qual dos dois ele é depende de a diagonal comprimida conseguir mesmo carregar a parte dela sem flambar.

Esta é uma decisão de projeto real, tomada o tempo todo, em geral sem ser escrita em lugar nenhum. Contraventamento com barra redonda e com barra chata é tração pura por construção, porque uma barra redonda de 32 mm é um pedaço de barbante à compressão. Contraventamento com tubo e com cantoneira em geral é tração-compressão, mas só se a diagonal comprimida tiver sido verificada no comprimento de flambagem certo. Entre esses dois há uma população grande de vãos desenhados como X, modelados com as duas diagonais ativas, e detalhados como se fossem tração pura.

Reduzido ao osso, o critério é uma comparação:

A diagonal comprimida participa se, e somente se, a resistência de cálculo à compressão dela, no comprimento de flambagem real, for pelo menos V / (2 cos theta).

Toda norma escreve isso do mesmo jeito, porque não é de fato uma regra de norma, é uma afirmação sobre qual caminho de carga existe. A AISC 360 dá a resistência à compressão no Capítulo E, onde a tensão de flambagem por flexão depende da esbeltez KL/r através da tensão de flambagem elástica Fe = pi ao quadrado E / (KL/r) ao quadrado. A EN 1993-1-1 escreve isso como um fator de redução chi aplicado a A fy. As duas têm a mesma forma e a mesma consequência: a resistência à compressão cai com o quadrado do comprimento de flambagem, então o que você assume sobre KL vale muito mais do que o que você assume sobre a classe do aço.

E é aí que o X ganha o pão. Quando as duas diagonais correm contínuas no cruzamento e estão ligadas uma à outra ali, a diagonal comprimida fica travada nesse ponto pela diagonal tracionada, e o comprimento de flambagem dela cai para cerca de metade da diagonal inteira. Como a capacidade anda com o quadrado, cortar KL pela metade vale um fator de cerca de 4. Deixar que uma simplesmente passe pela outra joga isso fora, e emendar uma das diagonais no cruzamento é pior do que nada: a emenda vira o elo fraco exatamente quando a diagonal interrompida é a que está comprimida.

Vale ser exato sobre de onde vem cada uma das duas metades disso, porque elas não têm a mesma autoridade. Transformar KL em resistência de cálculo é norma, e o Capítulo E da AISC 360 e a Seção 6.3 da EN 1993-1-1 fazem isso os dois. O valor KL = 0,5 L para um X não é cláusula de especificação em lugar nenhum. Ele vem de Picard e Beaulieu, cujo estudo de 1987 deriva 0,5 como o piso prático para diagonais contínuas e ligadas no ponto de interseção, e chega às normas da AISC só como comentário, restrito ao segmento especial de um pórtico de treliça. Trate isso como recomendação bem fundamentada com uma condição de detalhamento atrelada, e não como número que a norma te entrega.

A figura abaixo é a mesma diagonal SHS 90x90x5, o mesmo aço, avaliada ao longo de uma faixa de comprimentos de flambagem, com a demanda traçada por cima. Em KL = 3,750 m, metade da diagonal, a resistência de cálculo é 226,2 kN contra uma demanda de 125,0 kN, uma utilização de 0,553. Em KL = 7,500 m, a diagonal inteira, a resistência de cálculo é 56,9 kN, uma utilização de 2,197. Um detalhe de ligação, e o mesmo aço vai de confortável a mais do que duas vezes sobrecarregado.

O exemplo resolvido é deliberadamente um triângulo 3-4-5, para que toda conferência manual seja exata e nada se esconda atrás de arredondamento:

• Vão de 6,0 m de largura, 4,5 m de altura, de modo que a diagonal tem exatamente 7,5 m de comprimento a 36,87 graus, e cos theta = 0,8 exatamente.
• Cortante de piso V = 200 kN, aplicada metade em cada nó de topo, que é o que dois pilares de largura tributária entregam.
• Pilares HEB 200, viga IPE 330, diagonais SHS 90x90x5 com A = 1700 mm2 e r = 34,76 mm, ou uma barra redonda de 32 mm com A = 804,2 mm2 e r = 8,00 mm. Aço S355 em tudo.
• Pórtico rotulado: os pilares têm base rotulada e as ligações viga-pilar transmitem só cortante, de modo que as diagonais são o único caminho de carga lateral e a força na diagonal é estaticamente determinada.
• Limite de deslocamento horizontal H/400, que dá 11,25 mm para um piso de 4,5 m. Essa é a linha do topo dos pilares em relação à base do Anexo C da NBR 8800, e fica na ponta folgada da faixa de 1/600 a 1/400 que o comentário da ASCE 7 sugere. Não é limite entre pisos: a NBR 8800 põe esse em h/500, e a EN 1993-1-1 não dá número nenhum e deixa a cargo do Anexo Nacional.

Cada força de barra e cada deslocamento citado abaixo saiu de app.engine.solver.run_analysis, o mesmo motor de elementos finitos que roda por trás do editor do CalcSteel, e cada um é conferido por assert no script de benchmark contra o valor em forma fechada que ele tem que reproduzir. Onde o motor e o cálculo manual divergem, a diferença é reportada em vez de disfarçada.

Uma nota de modelagem que pesa mais do que parece: a cortante de piso é aplicada metade em cada nó de topo. Essa é a hipótese honesta de área tributária para um vão ladeado por dois pilares, e é também a hipótese que faz a força axial na viga sair do jeito que sai. Ponha os 200 kN inteiros num nó só e a força de coletor na viga muda, o que por si já vale saber.

Dois modelos, idênticos exceto pelas diagonais. No primeiro, as duas diagonais estão presentes. No segundo, só a diagonal tracionada está presente, que é exatamente o que um projeto em tração pura assume.

Cálculo manual primeiro. Com V = 200 kN e cos theta = 0,8:

• Dividindo: V / (2 cos theta) = 200 / 1,6 = 125,0 kN, uma diagonal tracionada e uma comprimida.
• Tração pura: V / cos theta = 200 / 0,8 = 250,0 kN, tudo numa diagonal só.

O motor devolveu 125,0 kN e menos 125,0 kN para o par, e 250,0 kN para a diagonal única. A diferença contra a estática é de 0,000 % nos dois casos, que é o que um caminho de carga determinado tem que dar: um pórtico rotulado com diagonais birrotuladas tem exatamente um jeito de carregar carga lateral, e a análise não tem liberdade para achar outro.

Essa concordância vale ser dita com todas as letras, porque é a razão pela qual o resto deste artigo pode ser levado a sério. Não se está pedindo ao motor que revele nada de misterioso sobre a divisão. Está se pedindo que ele confirme a divisão, e depois conte o que a estática não conta: o deslocamento horizontal, e o que acontece nas barras que não são diagonais.

Agora aplique o critério à seção de verdade. O SHS 90x90x5 tem A = 1700 mm2 e r = 34,76 mm, e a demanda, se as diagonais dividem, é 125,0 kN.

Com a ligação no cruzamento, KL = 0,5 vezes 7,5 = 3,750 m. Isso dá KL/r = 107,9, uma tensão de flambagem elástica Fe = 169,6 MPa, uma tensão crítica Fcr = 147,8 MPa e uma resistência de cálculo de 226,2 kN. Utilização 0,553. A diagonal comprimida participa, o vão é um sistema tração-compressão de verdade, e a divisão de 125,0 kN é real.

Sem ela, KL = 7,500 m. KL/r sobe para 215,8, Fe desaba para 42,4 MPa, Fcr para 37,2 MPa, e a resistência de cálculo é de 56,9 kN contra a mesma demanda de 125,0 kN. Utilização 2,197. A diagonal comprimida não participa, diga o modelo de análise o que disser, e o vão é um sistema de tração pura carregando 250,0 kN numa diagonal.

Repare no que não mudou entre esses dois parágrafos. Não a seção, não a classe do aço, não a carga, não a geometria. Só a hipótese sobre K, e ela moveu a capacidade por um fator de 4. É por isso que o critério merece ser escrito no desenho: quem detalha a ligação do cruzamento está decidindo o projeto, e em geral não sabe disso.

Para completar, a mesma seção à tração tem resistência de cálculo de 543,1 kN, uma utilização de 0,230 contra os 125,0 kN. Tração nunca é o problema num vão contraventado. Compressão e rigidez são.

A comparação acima é o critério inteiro, e vale fazer com as próprias mãos. Ponha o SHS 90x90x5, S355, e ajuste o comprimento para 3,750 m com K = 1,0, que é o X com a ligação no cruzamento. Depois ajuste o comprimento para 7,500 m, que é a mesma diagonal sem ela. Veja a curva de flambagem, a esbeltez e a capacidade de cálculo se moverem enquanto nada mais se move.

A demanda com que comparar é 125,0 kN se as diagonais dividem a cortante, e 250,0 kN se não dividem.

Resistência nunca foi a verificação que manda aqui, e é neste ponto que o artigo ganha o pão. Os três vãos abaixo carregam os mesmos 200 kN e diferem só nas diagonais.

• X, as duas diagonais, SHS 90x90x5: 3,609 mm, que é H/1247. A forma fechada dá 3,447 mm, uma diferença de 4,70 %.
• Tração pura, o mesmo SHS: 7,457 mm, que é H/603. Forma fechada 6,893 mm, uma diferença de 8,18 %.
• Tração pura, barra redonda de 32 mm: 15,135 mm, que é H/297. Forma fechada 14,571 mm, uma diferença de 3,87 %.

Os dois primeiros são o mesmo aço. Tirar a diagonal comprimida do caminho de carga multiplica o deslocamento horizontal por 2,066, e a forma fechada diz que deveria ser exatamente 2, porque o vão tem metade das molas resistindo à mesma carga. Os 3 % a mais são os pilares encurtando sob a componente vertical da força na diagonal, que a forma fechada ignora e o motor não.

A terceira linha é a que importa. A barra redonda de 32 mm foi dimensionada por resistência: 250,0 kN de demanda contra uma capacidade de cálculo à tração de 257,0 kN, uma utilização de 0,973. Ela passa. E desloca 15,135 mm contra um limite de 11,25 mm, o que é 34,5 % além. Nada na verificação de tração, em norma nenhuma, teria contado isso para você. A barra é forte o bastante e o vão não é rígido o bastante, e essas são perguntas diferentes.

Esta é a forma geral do projeto de pórtico contraventado, e é por isso que engenheiro experiente dimensiona contraventamento por rigidez e só depois verifica resistência, e não o contrário. Num vão contraventado a verificação de resistência costuma ser confortável e a de deslocamento costuma ser apertada, então a decisão de participação, que corta a rigidez pela metade, bate exatamente na verificação que governa.

A diagonal é a barra que todo mundo verifica. As consequências interessantes da decisão de participação estão nas barras que ninguém verifica.

Duas coisas nessa tabela valem mais do que os números da diagonal.

A viga. Quando as duas diagonais trabalham, cada nó de topo tem a diagonal dele para mandar os 100 kN para baixo, e a viga não carrega força axial nenhuma: 0,0 kN. Quando só uma diagonal trabalha, os 100 kN aplicados no nó de topo mais distante não têm para onde ir a não ser pela viga, então a viga recebe 100,0 kN de compressão, exatamente metade da cortante de piso. Ela virou um elemento coletor, e agora tem que ser verificada para força axial e flexão juntas. Nesta viga, com 25 kN/m de gravidade dando um momento de 112,5 kN.m contra uma capacidade de cálculo de 257,7 kN.m, a razão de interação vai de 0,4366 para 0,4652 assim que a força de coletor entra. Isso é 6,6 % da capacidade: não é crise, e não é zero, e é totalmente invisível para um modelo que nunca a aplicou.

A base não se move. O tombamento é 200 kN vezes 4,5 m = 900,0 kN.m, resistido por um binário sobre o vão de 6,0 m, o que dá 150,0 kN de tração. O motor devolve 150,0 kN nos dois modelos, porque a estática global não enxerga decisão de modelagem. O que a decisão muda é como o vão divide esse binário internamente: dois pilares a 75,0 kN cada, ou um pilar a sotavento com 150,0 kN e a tração inteira entregue direto na ligação da diagonal na base a barlavento. Mesma força de chumbador, pilar e chapa de nó muito diferentes.

Tudo acima foi calculado com a carga empurrando para um lado. Inverta e o motor entrega à diagonal espelhada os mesmos 250,0 kN, à tração, com a primeira diagonal agora frouxa. Essa simetria é a razão inteira de a segunda diagonal ser desenhada, mesmo num vão em que nunca se espera que ela carregue compressão.

Que é o sentido preciso em que um X de tração pura ainda é um pórtico contraventado em X. As duas diagonais não são redundantes e não estão dividindo: elas se revezam. Cada uma é o sistema lateral inteiro para um sentido de carga, e é por isso que cada uma tem que ser dimensionada para o V / cos theta cheio, e não para metade dele.

Apague uma delas e você tem um vão contraventado com diagonal única, que é outra estrutura. Ela tem que funcionar à compressão sob carga invertida, ao longo dos 7,5 m inteiros, o que é tranquilo para um tubo e impossível para uma barra redonda: uma barra redonda de 32 mm com KL/r = 938 tem resistência de cálculo à compressão de 1,43 kN. Não 143. 1,43 kN. É esse o número que separa os dois sistemas, e é por isso que contraventamento com barra redonda e barra chata é sempre desenhado aos pares.

Eis o modo de falha que este artigo existe para evitar. Modele o vão contraventado com barra redonda do jeito óbvio, com as duas barras presentes como barras de treliça comuns, rode uma análise elástica linear, e leia as forças nas diagonais. O motor devolve 125,0 kN numa barra e menos 125,0 kN na outra, porque uma análise linear não tem como saber que barra redonda não empurra.

Esse resultado está errado duas vezes, e só um dos dois erros é o que as pessoas comentam.

• O erro visível: 125,0 kN de compressão numa barra cuja resistência de cálculo à compressão é 1,43 kN. O modelo passa por um fator de 88. Este é fácil de pegar, porque é absurdo na cara e a verificação de compressão grita.
• O erro que vira obra: a mesma rodada reporta 125,0 kN de tração na barra que trabalha, quando a barra na verdade tem que carregar 250,0 kN. O modelo subestima a demanda na única barra que importa por um fator de exatamente 2, e a verificação de tração passa com folga, e nada grita.

A correção não é um coeficiente de segurança maior. É modelar o que você detalhou. Ou você tira a diagonal comprimida do modelo para cada sentido de carga e roda os dois sentidos, ou usa um elemento de tração pura que sai da matriz de rigidez quando entra em compressão, o que torna a análise não linear por caso de carga. Os dois dão 250,0 kN. O X linear com as duas barras dá 125,0 kN, e vai continuar dando, em silêncio, enquanto ninguém perguntar.

Barra tracionada carrega carga por mais esbelta que seja, e a AISC 360 diz exatamente isso no texto obrigatório da Seção D1: não existe limite máximo de esbeltez para barras tracionadas. O 300 que todo mundo cita está logo abaixo dessa frase, numa nota ao usuário, o que faz dele uma sugestão e não um requisito: o L/r de barras dimensionadas com base em tração preferencialmente não deve passar de 300. A mesma nota então isenta da sugestão as barras redondas e os tirantes.

O que é uma sorte, porque a barra redonda de 32 mm deste vão tem L/r = 938, um pouco mais de três vezes o teto de que ela está isenta. A isenção não é brecha: ela existe porque a razão do 300 é impedir que a barra ceda pelo peso próprio, vibre e se danifique no manuseio, e um sistema de contraventamento com barra redonda resolve os três sendo pré-tensionado, em geral por um esticador, e sendo detalhado para que ninguém pise nele.

Duas consequências práticas se seguem, e nenhuma delas está na verificação de tração:

• A pré-tensão faz parte do projeto. Uma barra frouxa não faz nada até vencer a própria flecha, o que aparece como deslocamento horizontal extra antes mesmo de o sistema engajar, por cima dos 15,135 mm calculados acima.
• Rigidez, não resistência, define o tamanho. A barra que passa à tração com utilização de 0,973 tem que crescer por causa do deslocamento, e como o deslocamento escala com 1/A, a seção tem que crescer pelo menos na razão em que o deslocamento estourou o limite: cerca de um terço a mais de área.

Para o caso sísmico a pergunta da participação deixa de ser julgamento e vira texto de norma, e as duas grandes normas respondem em sentidos opostos. A AISC 341 diz que um pórtico especial com contraventamento concêntrico não pode ser de tração pura, limita os contraventamentos a um Lc/r de 200, e depois obriga a verificar pilares, vigas, escoras e ligações contra duas análises: uma com cada contraventamento na resistência esperada dele, e outra com os contraventamentos tracionados na resistência esperada enquanto os comprimidos caem para um resíduo pós-flambagem que a norma limita a 0,3 vezes a resistência à compressão esperada deles. O Eurocode 8 vai para o outro lado e torna a tração pura obrigatória: em pórticos com contraventamento em diagonal, só as diagonais tracionadas devem ser levadas em conta na análise elástica.

Ponha as duas lado a lado e o assunto deste artigo é texto de norma, não opinião. Uma proíbe você de projetar o X como tração pura e depois manda analisá-lo como se fosse. A outra simplesmente manda analisar como tração pura. Nenhuma das duas deixa você ficar com os 125,0 kN.

• Dimensionar a diagonal para V / (2 cos theta) e detalhá-la como tração pura. A versão mais comum do assunto inteiro deste artigo. O contraventamento é construído com metade da força que vai ver.
• Assumir KL = 0,5 L porque o desenho mostra um X. A redução à metade vem de diagonais contínuas no cruzamento e ligadas ali, não da forma. Se elas simplesmente passam uma pela outra, ou se uma delas é emendada no cruzamento, a diagonal comprimida não fica travada no meio, e neste vão isso são 56,9 kN de capacidade contra 125,0 kN de demanda.
• Rodar um modelo linear com as duas barras ativas. Ele inventa compressão que não pode existir e corta pela metade a tração que existe. A metade é a parte perigosa.
• Verificar a diagonal e parar por aí. A viga recebeu 100,0 kN de força axial no modelo de tração pura e ninguém aplicou isso. Nesta viga são 6,6 % da capacidade; numa viga mais longa e mais leve, é mais.
• Dimensionar por resistência num sistema governado por rigidez. A barra redonda passa à tração com 0,973 e perde o deslocamento por 34,5 %. Verifique deslocamento primeiro.
• Esperar que a tração na base mude. Ela não muda: 150,0 kN de qualquer jeito, porque 900,0 kN.m sobre 6,0 m é estática. O que muda é a divisão axial entre os pilares, 75,0 kN em cada um contra 150,0 kN num só.
• Esquecer que o limite de deslocamento vale para o pórtico nu que você modelou. Fechamento, divisórias e escorregamento de ligação movem o número real na direção errada, e um vão em H/603 tem folga para isso enquanto um vão em H/297 não tem.
• Tratar uma diagonal única como pórtico contraventado em X. Ela tem que tomar a carga invertida à compressão no comprimento inteiro. Para uma barra redonda isso são 1,43 kN de capacidade, e o sistema não existe naquele sentido.

A sequência que mantém um pórtico contraventado em X honesto é curta, e a ordem importa mais do que qualquer passo isolado.

• Decida a participação primeiro, no papel. Calcule o phi Pc da diagonal comprimida no comprimento de flambagem que o detalhe de ligação vai de fato entregar, e compare com V / (2 cos theta). Escreva a resposta no desenho.
• Modele o sistema que você decidiu. Tração pura quer dizer uma diagonal por sentido de carga, ou elementos de tração pura. Dividir quer dizer que a ligação no cruzamento é requisito estrutural, não detalhe.
• Verifique deslocamento antes de resistência. Num vão contraventado a resistência costuma ser confortável e o deslocamento costuma ser a restrição, e a decisão de participação dobra o deslocamento.
• Leia as forças axiais da viga e dos pilares no modelo. A força de coletor na viga é metade da cortante de piso num vão de tração pura e zero num vão que divide, e a axial do pilar a sotavento dobra.
• Verifique os dois sentidos de carga. Não por simetria: para confirmar que a diagonal espelhada mesmo assume o V / cos theta cheio, e que o vão está completo nos dois sentidos.
• Reverifique depois de qualquer mudança no detalhe do cruzamento. É a única ligação cujo detalhamento decide qual estrutura você construiu.

O fator de 2 do título não é acidente deste exemplo. É 1 / (2 cos theta) contra 1 / cos theta, então é exatamente 2 para todo vão, em todo ângulo, em toda largura. O que muda de vão para vão é só quanto esse fator de 2 custa a você.