Pórtico com mão francesa: o critério do recuo por trás da norma, e o fator de 4 que ele decide

Toda outra diagonal do aço estrutural é desenhada até um ponto de trabalho. As linhas de eixo da viga, do pilar e da diagonal são feitas para se encontrar, porque quando elas se encontram o nó carrega força e não momento, e o vão inteiro pode ser idealizado como treliça. A mão francesa faz o contrário. Ela encontra o pilar a uma distância a abaixo do nó e a viga a uma distância a ao longo dela, e erra o nó deliberadamente.

Ela erra por causa do que se espera do canto. Um mezanino precisa do pé-direito sob a viga. Um pipe rack precisa que o tubo passe. Uma oficina precisa da porta. Uma diagonal cheia atravessando o vão resolve o problema lateral e leva o vão junto. A mão francesa corta o canto e deixa o meio aberto.

Quanto isso custa não é óbvio, e não está na maioria dos livros. Abaixo, um pórtico de 8,0 m por 5,0 m roda no motor de elementos finitos do CalcSteel em seis pontos de encontro diferentes para a mão francesa, com todo o resto mantido idêntico. A força na mão francesa se move por um fator de 4. O deslocamento horizontal se move por um fator de 2,8. E o número que a maioria dos engenheiros pega primeiro, a seção da mão francesa, acaba não mudando quase nada.

Um pórtico com mão francesa (knee braced frame), às vezes escrito KBF, é um pórtico resistente a momento com uma diagonal curta atravessando cada canto entre viga e pilar. A diagonal costuma estar a 45 graus, costuma ter o mesmo recuo no pilar e na viga, e costuma ser um tubo pequeno, uma cantoneira ou um perfil U. Você a vê em mezaninos, pipe racks, pórticos de ponte rolante, pórticos de madeira, marquises e galpões industriais leves, e ela é muito antiga: a mesma geometria está na carpintaria medieval, onde ela se chama escora ou mão.

Duas coisas bem diferentes recebem o nome de mão francesa, e vale separá-las antes de qualquer cálculo.

• O enrijecedor. Uma mão francesa acrescentada para enrijecer o canto de um pórtico comum sob vento, impacto de ponte rolante ou carga nocional. É um dispositivo de serviço e de estabilidade. Nada ali deve escoar. É o caso comum, e é o que a verificação resolvida abaixo trata.
• O joelho descartável. No projeto sísmico, o elemento de joelho é feito de propósito a parte mais fraca do caminho de carga, para escoar por cisalhamento ou flexão enquanto a diagonal e o pórtico permanecem elásticos. A ideia vem da proposta de disposable knee bracing de Aristizabal-Ochoa, de 1986, e o elemento é feito para ser cortado fora e trocado depois de um evento. É primo do link de um pórtico com contraventamento excêntrico.

As duas compartilham uma geometria e quase mais nada. O que elas de fato compartilham é a única variável de que este artigo trata: o recuo.

O primeiro erro que um pórtico com mão francesa convida é um erro de classificação. Existe uma diagonal no vão, então o pórtico é chamado de contraventado, os pilares ganham um fator de comprimento de flambagem de 1,0, o momento entre viga e pilar é dado como tendo ido para algum lugar, e a verificação de segunda ordem é pulada.

Nada disso é verdade, e a razão é geométrica. Num vão com contraventamento concêntrico a diagonal vai de canto a canto, então a força horizontal que ela carrega é entregue direto no nó e desce pela diagonal até a fundação. Aos pilares sobra força axial. Num vão com mão francesa a diagonal para antes. Abaixo do ponto de encontro o pilar não tem diagonal nenhuma: ele continua em balanço a partir da base, e continua carregando a parte dele da cortante de piso por flexão.

Então a classificação honesta é pórtico rígido com uma mola atravessando cada canto. A mola é rígida e barata, e vale ter. Ela não converte o pórtico em outra coisa, e os números abaixo põem isso em conta: o momento na base continua zero, a cortante no pilar abaixo da mão francesa continua exatamente V/2, e o amplificador de deslocabilidade do pórtico só cai de 1,0541 para 1,0198.

Pegue um canto. Base rotulada, carga lateral V no nível da viga, vão simétrico, então cada pilar toma V/2 de cortante horizontal. A mão francesa encontra o pilar numa altura H - a e a viga a uma distância a, num ângulo beta com a horizontal. Três grandezas seguem daí, e duas delas são estática exata, não análise.

1. O momento que sobra no pilar. Abaixo do ponto de encontro não há nada além de pilar. A base é rotulada, então o momento cresce linearmente a partir de zero, e no ponto de encontro ele vale

M_knee = (V / 2) (H - a)

Essa expressão não contém nenhuma propriedade da mão francesa. Nem a seção, nem o ângulo, nem a classe do aço, nem a rigidez. Faça o que fizer com a mão francesa, o pilar fica com esse momento.

2. A força na mão francesa. Com ligações flexíveis entre viga e pilar o triângulo do canto é isostático, e o pilar acima do ponto de encontro tem que carregar M_knee embaixo e zero na rótula em cima, então a cortante dele é M_knee/a. A mão francesa fornece a diferença, e ela sai como

N_brace = V H / (2 a cos beta)

O recuo está no denominador. Reduza a mão francesa à metade e a força nela dobra, exatamente, e dobra junto tudo com que ela tem que ser ligada.

3. O deslocamento horizontal. Integrar esses dois diagramas de momento lineares por trabalho virtual dá uma forma fechada para o deslocamento lateral do vão inteiro:

Δ = V H (H - a)² / (6 E I_c) + V H² (L/2 - a)² / (3 E I_b L) + termos axiais

Faça a = 0 e ela desaba, termo a termo, sobre o pórtico sem mão francesa. Esse é o benefício de flexão inteiro de uma mão francesa: ela troca H por (H - a) no termo do pilar e L/2 por (L/2 - a) no termo da viga. Repare no que não está nesses dois termos. A seção da mão francesa não está neles. Ela aparece só nos termos axiais, que são pequenos.

As três apontam para o mesmo lado. Mão francesa mais longa, menos força, menos deslocamento horizontal, menos momento sobrando no pilar. Não existe ótimo estrutural a encontrar. O recuo é escolhido pela abertura que você tem que deixar livre, e por mais nada.

Um pórtico de mezanino de armazenagem, que é onde as mãos francesas ganham a vida.

• Vão L = 8,0 m de eixo a eixo de pilar, altura H = 5,0 m da base ao eixo da viga, bases rotuladas.
• Pilares HEB 300 (I_x = 24 480,5 cm⁴), viga IPE 400 (I_x = 22 222,4 cm⁴), mãos francesas SHS 90x90x5 (A = 1 700 mm², r = 34,76 mm). Aço S355, E = 200 GPa.
• Recuos iguais no pilar e na viga, então toda mão francesa está a 45 graus e o comprimento dela é a vezes a raiz quadrada de 2.
• Carga lateral V = 60 kN no nível da viga, 30 kN em cada nó de topo. Gravidade majorada na viga de 40 kN/m, que dá 320 kN no pórtico.
• Limite de serviço H/250 = 20,0 mm, a ordem usual para um pórtico industrial com fechamento. O seu anexo nacional pode dizer H/300 ou H/150; a aritmética abaixo não muda, só muda qual linha passa.

Dois pontos de modelagem, porque eles decidem se os números querem dizer alguma coisa. Primeiro, os pilares e a viga são contínuos através dos pontos de encontro. Isso não é refinamento, é a estrutura: uma mão francesa não funciona num pórtico todo rotulado, porque o conjunto seria um mecanismo. Segundo, os modelos principais usam ligações flexíveis entre viga e pilar, que é o detalhe real de um mezanino, e isso torna o canto isostático, de modo que toda estação é uma conferência manual. A versão de nós rígidos foi rodada em paralelo, e a comparação está numa seção própria abaixo.

Tudo roda em app.engine.solver.run_analysis, o mesmo motor por trás do editor do CalcSteel, e cada número publicado é conferido contra a forma fechada antes de aparecer aqui.

Antes da mão francesa, o pórtico sozinho. Um pórtico de bases rotuladas com ligações rígidas nos dois cantos é uma estrutura perfeitamente respeitável. Ele também é flexível, e o método dos deslocamentos diz o quanto. Escrevendo o equilíbrio do nó com o termo de deslocabilidade e a equação de cortante 2 M_top / H = V, sai

Δ = V H² L / (12 E I_b) + V H³ / (6 E I_c)

que para este vão dá 22,50 mm da viga mais 25,53 mm dos pilares, 48,03 mm no total. O motor devolveu 48,109 mm, uma diferença de 0,16 %, e os 0,16 % são os pilares encurtando axialmente sob o binário de tombamento, que a forma fechada ignora.

48,109 mm é H/104. Contra um limite H/250 isso é 140,5 % além. O pórtico não está perto, e nenhum ajuste razoável das seções resolve: o termo do pilar vai com H ao cubo, então comprar isso de volta na seção quer dizer um pilar muito grande.

O momento no topo do pilar é 150,0 kN.m, que é exatamente V H / 2, e o motor devolveu exatamente isso. Guarde o número. É contra ele que a mão francesa está prestes a ser julgada.

Agora entram as mãos francesas, o mesmo SHS 90x90x5 em toda rodada, e só o ponto de encontro muda. Seis recuos de 0,5 m a 2,0 m. A coluna do deslocamento é o motor de elementos finitos; a coluna da força na mão francesa também é o motor, e ela pousou sobre V H / (2 a cos beta) até 0,000 % nas seis rodadas.

Três coisas nessa tabela valem uma parada.

Só a mão francesa mais longa passa, e passa com 8,8 % de folga. Tudo mais curto reprova no limite, alguns feio. Uma mão francesa não é símbolo: ou ela dá uma mordida séria no canto, ou não faz muita coisa.

A força na mão francesa é exatamente inversa ao recuo. 424,3 kN em 0,5 m contra 106,1 kN em 2,0 m é um fator de 4 sobre um fator de 4 no recuo. Esse fator não está só na barra. Está na chapa de nó, no grupo de parafusos, na solda e na verificação local da alma do pilar onde a mão francesa encosta.

A linha de 0,5 m é mais flexível do que não ter mão francesa nenhuma. 51,728 mm contra os 48,109 mm do pórtico sem mão francesa e com ligações rígidas. Troque a ligação rígida por uma mão francesa curta e você piorou o negócio. A razão está na forma fechada: a mão francesa carrega 424,3 kN ao longo de 0,707 m, e o alongamento axial dela contribui 12,5 mm dos 51,7 mm.

Pegue a linha que passa, a = 2,0 m. A mão francesa são 2,828 m de SHS 90x90x5 carregando 106,07 kN, e a primeira coisa a notar é que o número saiu da estática antes de qualquer seção existir. Você não dimensiona uma mão francesa e depois descobre a força dela. A geometria fixa a força, e a seção só tem que sobreviver a ela.

Compressão manda no canto a sotavento. Com r = 34,76 mm e K = 1,0 sobre o comprimento inteiro da mão francesa:

• KL/r = 2 828 / 34,76 = 81,4, confortavelmente dentro dos 200 que a AISC recomenda para barras comprimidas.
• F_e = pi ao quadrado E / (KL/r) ao quadrado, e a AISC 360 E3 então dá phi P_c = 330,0 kN.
• Demanda sobre capacidade = 106,07 / 330,0 = 0,321. Passa com folga.

À tração a mesma seção tem phi P_t = 543,1 kN na seção bruta, uma utilização de 0,195.

Essa utilização baixa é característica e ela importa. Uma mão francesa é curta, então compressão quase nunca é a pergunta. O argumento de tração pura que domina o contraventamento em X, em que uma diagonal é descartada porque flamba com KL/r de 200 ou mais, simplesmente não aparece aqui. Inverta a carga e o motor entrega à mão francesa espelhada os mesmos 106,07 kN. As duas mãos francesas trabalham, nos dois sentidos, sempre.

Duas conferências de equilíbrio que vale fazer no seu próprio modelo, porque elas pegam na hora uma extremidade liberada errado. No ponto de encontro no pilar, a componente horizontal da mão francesa é 75,0 kN, e o motor reporta a força axial do pilar saltando 75,0 kN e a cortante dele saltando 75,0 kN através desse mesmo nó. E o trecho de viga entre o ponto de encontro e o pilar recebe 75,0 kN de compressão axial, que é a mesma componente de novo. Se esses três números não forem iguais no seu modelo, a mão francesa não está fazendo o que o desenho diz.

O pórtico sem mão francesa é a metade deste problema que você reproduz em um minuto. Ponha o vão de 8,0 m, a altura de 5,0 m, as seções e os 60 kN, e leia o deslocamento horizontal e as reações de apoio de uma resolução real de pórtico 2D. Os números com mão francesa saem depois, da forma fechada da seção do critério acima.

Eis o resultado que decide como você verifica o pilar, e é o que a classificação de pórtico contraventado erra.

No pórtico sem mão francesa o momento no plano do pilar cresce de zero na base rotulada até 150,0 kN.m no topo. No pórtico com mão francesa ele cresce de zero na base rotulada até 90,0 kN.m no ponto de encontro, e depois cai acima dele. Esses 90,0 são (V/2)(H - a) = 30 x 3,0, e o motor devolveu isso até a segunda casa decimal.

Então a mão francesa fez duas coisas: desceu o pico até o ponto de encontro, e o encolheu na razão (H - a)/H, que aqui é 3,0/5,0 = 0,6. Ela não o removeu, e nada que você faça com a mão francesa vai remover. Abaixo do ponto de encontro o pilar continua carregando V/2 = 30 kN de cortante, e 30 kN de cortante sobre 3,0 m de balanço dão 90 kN.m, seja a mão francesa acima um tubo, um perfil U, uma barra redonda ou um perfil laminado.

Verifique o pilar de acordo. Neste pórtico a força axial é 160,0 kN por pilar contra phi P_c = 3 431 kN, e o momento é 90,0 kN.m contra phi M_p = 599,5 kN.m, então a razão de interação H1-1 da AISC 360 é 0,1735 com as mãos francesas contra 0,2735 sem elas: 36,6 % de alívio. Real, bem-vindo e finito. O pilar de um pórtico com mão francesa é uma viga-coluna e tem que ser verificado como tal.

Um pórtico reprova no deslocamento horizontal. O instinto é aumentar a mão francesa. Eis o que isso compra, com o recuo mantido em a = 1,5 m e todo o resto idêntico.

21,9 vezes a área compraram 30,8 % do deslocamento horizontal, e ir do 90x90x5 para o 250x250x16, um salto de 8,8 vezes em aço, comprou 14,2 %. A curva é achatada e ia ser achatada de todo jeito, porque a seção da mão francesa não aparece na parte de flexão da expressão do deslocamento. Ela aparece só num termo axial, e já na terceira linha esse termo foi espremido para perto de zero. Daí para frente só sobra a flexão do próprio pórtico.

E olhe a última coluna. A força na mão francesa não se move nem um pouco. 141,42 kN em toda linha, porque a estática a fixou pela geometria antes de qualquer seção ser escolhida. Aumentar uma mão francesa não alivia a mão francesa. Só baixa a utilização dela, que não era o problema.

Se o pórtico está flexível demais, as variáveis que de fato funcionam são, em ordem: o recuo, a seção do pilar, a seção da viga, e engastar as bases. A seção da mão francesa é a quarta ou a quinta dessa lista, e é a que todo mundo tenta primeiro.

Três versões do mesmo vão sob os mesmos 60 kN, e a comparação que deveria ser feita antes de o detalhe ser escolhido.

• Pórtico sem mão francesa: 48,109 mm, H/104, vão livre de 8,0 m por 5,0 m.
• Com mão francesa em a = 2,0 m: 18,236 mm, H/274, 2,64 vezes a rigidez, vão livre de 4,0 m por 3,0 m.
• Diagonal cheia de canto a canto, mesmo SHS 90x90x5: 2,313 mm, H/2162, 20,8 vezes a rigidez, e o vão fica atravessado.

Um fator de 2,6 contra um fator de 21. Essa distância é o resumo honesto do que uma mão francesa é. Ela é um enrijecedor de nó, não um sistema de contraventamento. Escolha-a quando o vão livre é o requisito. Não a escolha quando rigidez é o requisito, porque aí ela é a ferramenta errada, e a tabela de saturação acima diz que uma mão francesa maior não vai salvar.

Uma ressalva sobre essa diagonal, por justiça com ela. Com 9,434 m e KL/r = 271, o mesmo SHS à compressão no comprimento inteiro tem phi P_c = 36,0 kN contra os 67,4 kN que o motor manda por ele, então uma diagonal única de comprimento inteiro dessa seção é uma barra de tração pura e você a poria em par, formando um X. Essa é outra decisão de projeto, com critério próprio, e é o assunto de um artigo próprio.

A classificação importa porque duas verificações de norma dependem dela.

Efeitos de segunda ordem. A cláusula 5.2.1(3) da EN 1993-1-1 permite usar análise de primeira ordem quando alpha_cr = (H_Ed/V_Ed) (h/δ_H) vale pelo menos 10. Neste pórtico a rigidez lateral vai de 1 247,2 kN/m sem mão francesa a 3 290,2 kN/m com mão francesa, então sob os 320 kN de gravidade majorada alpha_cr vai de 19,49 para 51,41. O amplificador de piso B₂ da AISC 360 vai de 1,0541 para 1,0198 na mesma mudança. Os dois passam de qualquer jeito aqui, o que já vale dizer com todas as letras: num pórtico de mezanino quem morde é o limite de serviço, não o gatilho de estabilidade. Mas o amplificador está acima de 1,0 nos dois casos, porque o pórtico se desloca nos dois casos.

Comprimento de flambagem do pilar. Um pórtico com mão francesa não é um pórtico contraventado para efeito de flambagem. O momento na base é zero, a cortante na base continua V/2, e o modo deslocável continua lá. Adotar K = 1,0 porque existe uma diagonal no desenho não é conservador. Use o método da análise direta, ou um K de pórtico deslocável tirado da rigidez de piso, e deixe o próprio deslocamento horizontal do pórtico dar a resposta.

Mais um número no mesmo tema. Trocar as ligações rígidas entre viga e pilar por ligações flexíveis mudou o deslocamento horizontal em 1,34 % em a = 2,0 m, e em menos de 1,5 % em todo recuo de 1,0 m para cima. Passado um certo comprimento, a ligação rígida quase parou de valer o que custa, que é exatamente por que existe o detalhe de pórtico rotulado com mãos francesas. Abaixo de 1,0 m a comparação se inverte e a ligação rígida vale 13 %, então a substituição só é segura quando a mão francesa é longa.

A ligação é a metade cara. A força na mão francesa é fixada pela geometria, então quanto mais curta a mão francesa, mais pesada cada parte da ligação. Em a = 0,5 m a chapa de nó, os parafusos e as soldas têm que carregar 424,3 kN; em a = 2,0 m eles carregam 106,1 kN. Dimensione a ligação para a força que o recuo te dá, e verifique os efeitos locais onde a mão francesa encosta: enrugamento da alma e cisalhamento da zona do painel no pilar, e enrugamento da alma na viga, já que nenhum dos dois pontos de encontro é um nó enrijecido por padrão.

A viga agora também é uma barra comprimida. No vão resolvido, o trecho de extremidade da viga carrega 75,0 kN de compressão axial, e a viga carrega um momento no plano de 75,0 kN.m no ponto de encontro, por cima da flexão de gravidade. Combine os dois; não verifique a viga só para gravidade.

Travamento fora do plano. A mão francesa é uma barra no plano e não faz nada pelo eixo de menor inércia do pilar. Isso continua precisando das longarinas de fechamento, do diafragma de piso ou do contraventamento em planta de sempre.

A versão sísmica. Onde um pórtico com mão francesa é usado como sistema dúctil, a hierarquia se inverte: o elemento de joelho é feito o fusível e tem que escoar primeiro, então a diagonal e as ligações dela são dimensionadas para a força de sobrerresistência que o joelho escoando consegue entregar, e não para a demanda elástica. É a mesma lógica de projeto por capacidade que o Eurocode 8 aplica ao link de um pórtico com contraventamento excêntrico. Isso também quer dizer que os dois problemas de projeto são opostos: no caso do enrijecedor você quer o joelho forte, no caso do fusível você o quer exatamente fraco o bastante. Decida qual dos dois você está construindo antes de dimensionar qualquer coisa, e consulte as suas prescrições sísmicas nacionais, porque pórticos com mão francesa não são um sistema listado em toda norma e podem não ter um fator de modificação de resposta tabelado.

1. Chamar de pórtico contraventado. O pilar abaixo do ponto de encontro não tem diagonal nenhuma. Ele fica com (V/2)(H - a) de momento e fica com o modo deslocável dele. Verifique-o como viga-coluna.
2. Aumentar a mão francesa para resolver deslocamento. 21,9 vezes a área compraram 30,8 % do deslocamento horizontal e 0 % da força na mão francesa. O recuo, o pilar e o engastamento da base são as variáveis que movem a resposta.
3. Modelar a mão francesa num pórtico todo rotulado. Ali ela não funciona. Uma mão francesa precisa de continuidade à flexão no pilar e na viga através dos pontos de encontro; uma versão totalmente rotulada da mesma geometria é um mecanismo.
4. Uma mão francesa simbólica. Em a = 0,5 m o pórtico ficou mais flexível do que o pórtico de ligações rígidas sem mão francesa nenhuma, 51,728 mm contra 48,109 mm. Uma mão francesa curta não é uma versão barata de uma longa; ela pode ser pior do que nada.
5. Dimensionar a ligação pela barra, e não pela geometria. A força na mão francesa é V H / (2 a cos beta) seja qual for a seção que você puser ali. Uma ligação detalhada pela capacidade de uma mão francesa leve pode ficar muito abaixo da força que o pórtico vai de fato entregar.
6. Esquecer a viga. O trecho de extremidade da viga tomou 75,0 kN de axial e 75,0 kN.m de momento da mão francesa no vão resolvido, por cima da gravidade. Uma viga verificada só para gravidade foi verificada para a estrutura errada.

1. Fixe o recuo pelo vão livre, não pela estrutura. Pegue a mão francesa mais longa que a abertura tolera. Toda grandeza estrutural melhora com ela.
2. Tire a força na mão francesa da geometria: N = V H / (2 a cos beta). Ela não depende do que você puser ali.
3. Verifique a mão francesa à compressão no comprimento inteiro dela, e à tração. Ela em geral vai ficar pouco solicitada; isso é normal.
4. Verifique o pilar como viga-coluna para (V/2)(H - a) mais a axial de gravidade dele. A mão francesa não tira esse momento.
5. Verifique a viga para o momento de gravidade dela combinado com a axial e o momento local que a mão francesa entrega no ponto de encontro.
6. Verifique o deslocamento horizontal contra o seu limite, com a rigidez real do pórtico. Se reprovar, volte ao passo 1, depois à seção do pilar, depois às bases. Não vá para a seção da mão francesa.
7. Verifique a estabilidade: alpha_cr ou B₂, com o pórtico tratado como deslocável, porque ele é.
8. Detalhe a ligação para a força geométrica, e verifique o enrugamento da alma e o cisalhamento da zona do painel nos dois pontos de encontro.
9. Se a resposta for que você precisa de rigidez de verdade, e a abertura permitir, pare e ponha uma diagonal cheia. A mão francesa valeu 2,64 vezes; a diagonal valeu 20,8.