Rigidez e resistência do contraventamento: o que uma barra precisa entregar de fato para valer como contraventamento

Toda investigação de falha por estabilidade parece esbarrar na mesma fotografia: uma diagonal, uma cantoneira, uma barra redonda, aparafusada com esmero no lugar, sem fazer absolutamente nada. O contraventamento estava presente. Estava ligado. E o pilar ao lado dele mesmo assim flambou como se o contraventamento não estivesse ali. A razão quase nunca é que o contraventamento era fraco demais. É que o contraventamento era mole demais.

Essa é a parte da estabilidade que surpreende as pessoas na primeira vez. Somos treinados a dimensionar barras para força: achar a demanda, escolher uma seção, verificar que a capacidade dela vence a demanda. Um contraventamento não funciona assim. Um contraventamento não é primariamente uma barra que carrega força; é um dispositivo de rigidez. Seu trabalho é segurar um ponto de um pilar ou de uma viga parado o suficiente para que a barra seja forçada a flambar num modo mais curto e mais forte. E segurar um ponto parado é uma questão de rigidez primeiro, resistência depois.

Então um contraventamento tem que entregar duas coisas separadas, e acertar uma não garante a outra. Ele precisa de rigidez suficiente para mudar o modo de flambagem, e de resistência suficiente para sobreviver à força que a mudança de modo, somada à inevitável falta de retilineidade do pilar, empurra de volta para dentro dele. Este guia é escrito para o estudante que encontra o AISC Anexo 6 ou o capítulo 16 de Salmon e Johnson pela primeira vez, e para o engenheiro atuante ou autônomo que quer ver as duas exigências derivadas, medidas num motor de flambagem real, e transformadas nas duas verificações de norma que de fato governam. Todo número abaixo é calculado: alguns à mão a partir do modelo de Winter, alguns pelo solver de flambagem por elementos finitos do CalcSteel, e os dois concordam.

Comece pela coisa que um contraventamento compra para você. Um pilar carregado axialmente, rotulado em ambas as extremidades, flamba na carga de Euler, Pe = pi^2 EI / L^2, numa única curvatura suave sobre todo o seu comprimento L. A forma flambada tem o maior deslocamento lateral na meia altura. É exatamente ali que um contraventamento faz mais bem.

Segure esse ponto da meia altura contra o movimento lateral e o pilar não consegue mais fletir numa longa meia onda. A forma mais baixa que lhe resta é um S: duas meias ondas, uma em cada metade, com um nó estacionário no contraventamento. Cada metade agora se comporta como um pilar rotulado de comprimento L/2, então a carga crítica passa a ser pi^2 EI / (L/2)^2 = 4 Pe. Um contraventamento no lugar certo quadruplica a carga de flambagem. A barra não ficou mais forte em nenhum sentido de material; seu comprimento não contraventado ficou mais curto, e a carga de flambagem escala com um sobre esse comprimento ao quadrado.

Coloque números concretos nisso. Tome um IPE 300 (área 53.8 cm2, eixo fraco Iy = 603 cm4), 8 m de comprimento, em aço A992, carregado de modo que ele queira flambar em torno do seu eixo fraco, o eixo que um contraventamento costuma controlar. À mão, Pe = pi^2 (200 GPa)(603 cm4)/(8 m)^2 = 186 kN. Contravente a meia altura e a teoria diz 4 Pe = 744 kN. Quando entregamos esse modelo exato à análise de flambagem linear do CalcSteel, o pilar não contraventado retorna 186.0 kN, coincidindo com o valor de Euler em três casas decimais, e o segundo modo desse mesmo pilar, a forma em S com um nó na meia altura, fica em 743.9 kN. O contraventamento não cria a carga contraventada do nada; ele simplesmente faz do próprio segundo modo do pilar aquele que governa.

Agora o detalhe. Aquele 4 Pe supôs um contraventamento rígido: um ponto segurado perfeitamente parado. Contraventamentos reais são molas, não apoios rígidos. Uma diagonal tem flexibilidade axial EA/L; sua ligação de extremidade tem escorregamento e folga de furo de parafuso; o ponto ao qual ela contraventa pode ele mesmo se mover. A pergunta real não é se um contraventamento existe, mas se ele é rígido o suficiente e forte o suficiente, e esses são dois testes diferentes que um contraventamento pode passar ou reprovar de forma independente.

A rigidez decide se o pilar consegue alcançar a carga contraventada. Dê a um pilar um contraventamento mole demais e ele não salta para 4 Pe; ele para em algum lugar intermediário, porque o contraventamento deixa seu ponto derivar e o pilar flamba numa forma de compromisso mais longa que L/2. A rigidez é o que muda o modo de flambagem.

A resistência decide se o contraventamento sobrevive uma vez que está fazendo seu trabalho. Um pilar nunca é perfeitamente reto. Sua pequena imperfeição inicial faz com que, sob carga, o ponto contraventado genuinamente empurre lateralmente contra o contraventamento, e o contraventamento tem que empurrar de volta com uma força real sem escoar ou flambar ele mesmo. A resistência é o que carrega essa força.

Os dois modos de falha são distintos. Um contraventamento forte, mas flexível, uma barra gorda num alcance longo e mole, nunca entrega a carga contraventada: o pilar flamba cedo numa carga sobre a qual a resistência do contraventamento nunca foi consultada. Um contraventamento rígido, mas fraco, um elemento curto e atarracado que escoa a baixa força, segura o ponto até o momento em que a demanda chega, e então rasga e solta o pilar. Um contraventamento real tem que vencer as duas barreiras. O restante deste guia é sobre onde essas duas barreiras ficam, e elas acabam sendo ligadas: a quantidade de resistência que um contraventamento precisa depende de quanta rigidez ele tem.

A forma clássica de achar a rigidez que um contraventamento precisa é o modelo de barra rígida de George Winter, e vale fazê-la à mão porque ela explica a fórmula da norma em uma linha. Substitua o pilar flexível por duas barras rígidas, cada uma de comprimento Lb = L/2, rotuladas nas extremidades e articuladas no ponto de contraventamento, onde uma mola de rigidez beta segura a junta. Dê ao ponto de contraventamento um pequeno deslocamento lateral e pergunte que rigidez de mola é necessária para manter o pilar quebrado em equilíbrio sob a carga axial P.

Tomando momentos na barra rígida superior em torno do seu pino de topo, a força axial P atuando através do deslocamento produz um empuxo lateral no contraventamento de P·(deslocamento)/Lb. A barra inferior contribui com o mesmo, então a mola tem que fornecer 2 P·(deslocamento)/Lb para segurar a junta. Igualando a força da mola beta·(deslocamento) a essa demanda e cancelando o deslocamento, obtém-se a rigidez ideal:

beta_i = 2 Pr / Lb

Essa é a rigidez mínima de mola que permite ao pilar alcançar a carga Pr. Forneça menos e o ponto de contraventamento deriva e o pilar flamba abaixo da carga contraventada; forneça exatamente beta_i e, nesse pilar reto idealizado, a carga contraventada é apenas alcançada. Para o nosso IPE 300 a carga contraventada é Pr = 4 Pe = 744 kN e Lb = 4 m, então beta_i = 2·744/4 = 372 kN/m. Note do que beta_i depende: ela cresce com a carga sendo contraventada e diminui com o comprimento não contraventado. Cargas maiores e trechos mais curtos precisam de contraventamentos mais rígidos, e é exatamente por isso que contraventamentos pouco espaçados em pilares muito carregados são os que acabam governados pela rigidez.

O beta_i de Winter vem de uma idealização de barra rígida, então a pergunta honesta é se um pilar elástico real concorda. Podemos verificar diretamente. Modele o IPE 300 no solver de flambagem por elementos finitos do CalcSteel, fixe uma única mola lateral de rigidez beta no nó da meia altura, e rode a análise de flambagem linear para uma varredura de beta a partir de zero para cima. Cada rodada retorna a carga crítica elástica Pcr; nós a plotamos contra Pe.

O resultado é a curva que todo texto de contraventamento desenha mas raramente calcula:

• beta = 0 (sem contraventamento): Pcr = 1.00 Pe = 186 kN. Flambagem em todo o comprimento, como esperado.
• beta = 0.25 beta_i (93 kN/m): Pcr = 1.80 Pe. Um quarto da rigidez ideal compra menos de um terço do salto.
• beta = 0.50 beta_i (186 kN/m): Pcr = 2.57 Pe. Metade da rigidez, bem menos que metade do benefício.
• beta = 0.75 beta_i (279 kN/m): Pcr = 3.31 Pe.
• beta = 1.00 beta_i (372 kN/m): Pcr = 4.00 Pe = 744 kN. A carga contraventada é alcançada.
• beta = 2.00 beta_i (744 kN/m): Pcr = 4.00 Pe. Acrescentar rigidez além de beta_i não faz nada pela carga crítica; o pilar já flamba entre os contraventamentos.

Duas coisas saltam daí. Primeiro, o ponto de saturação do motor, o menor beta no qual Pcr alcança 4 Pe, é 371.9 kN/m, contra os 371.9 kN/m de Winter: concordância em quatro algarismos significativos. Para um único contraventamento central a fórmula de barra rígida não é só próxima, é exata. Segundo, a aproximação ao contraventamento pleno é lenta e não linear. Metade da rigidez ideal não lhe dá metade da carga; dá 2.57 Pe de um possível 4. Essa é a razão quantitativa pela qual um contraventamento que está meramente presente, mas mole, é quase inútil: a rigidez tem que estar quase toda no caminho até beta_i antes de a maior parte do benefício aparecer.

A varredura acima era para um pilar perfeitamente reto. Pilares reais não são, e é isso que transforma a questão de rigidez numa questão de resistência e força a rigidez de projeto para acima de beta_i.

Dê ao pilar uma pequena imperfeição inicial no ponto de contraventamento, uma falta de retilineidade Delta_o que as normas tomam como cerca de Lb/500. Sob carga, a força axial atuando através desse desvio o amplifica, e o contraventamento tem que segurar o deslocamento amplificado. Trabalhando o equilíbrio de segunda ordem do modelo de Winter com a imperfeição, a força no contraventamento na carga de projeto sai como:

F_br = beta_i · Delta_o / (1 - beta_i/beta)

Leia o que essa fração faz. À medida que a rigidez do contraventamento beta se aproxima da ideal beta_i, o denominador vai a zero e a força exigida no contraventamento vai ao infinito. Um contraventamento com exatamente a rigidez ideal precisaria de resistência infinita, porque ele deixa a imperfeição amplificar sem limite. Essa é a razão inteira pela qual a rigidez ideal é um piso que você deve vencer com margem, não um alvo em que se acomodar.

Acrescente rigidez e a força cai rápido. Para uma falta de retilineidade de Lb/500 (Delta_o = 8 mm aqui) na carga contraventada Pr = 744 kN:

• beta = 1.5 beta_i: deslocamento total 24 mm, força no contraventamento 8.9 kN = 1.2% Pr.
• beta = 2.0 beta_i: deslocamento total 16 mm, força no contraventamento 6.0 kN = 0.8% Pr.
• beta = 3.0 beta_i: força no contraventamento 4.5 kN = 0.6% Pr.
• beta = 10 beta_i: força no contraventamento 3.3 kN, aproximando-se do piso de 0.4% Pr.

É por isso que a regra de projeto é duas vezes a rigidez ideal. Em beta = 2 beta_i a imperfeição inicial de 8 mm mais ou menos dobra para 16 mm e a força no contraventamento se estabelece num gerenciável 0.8% da carga do pilar. Corte pela metade a margem de rigidez, para 1.5 beta_i, e tanto o deslocamento quanto a força disparam. A exigência de rigidez e a exigência de resistência não são independentes: comprar rigidez acima da ideal é o que mantém a demanda de resistência pequena e finita.

O AISC 360 Anexo 6 transforma exatamente esse modelo em dois números por contraventamento, uma resistência exigida e uma rigidez exigida, e divide os contraventamentos em dois tipos pela forma como trabalham.

O contraventamento relativo controla um ponto contraventado em relação ao adjacente, do jeito que uma diagonal num painel contraventado em X amarra dois níveis de piso um ao outro. O contraventamento nodal (pontual) segura um único ponto contra uma referência independente, efetivamente fixa, do jeito que uma escora horizontal amarra um pilar a uma parede rígida ou a um vão contraventado. Contraventamentos nodais trabalham mais, porque não conseguem dividir a demanda com um vizinho, então seus coeficientes são maiores.

Para o contraventamento de pilares as prescrições são:

• Nodal: resistência exigida Pbr = 0.01 Pr; rigidez exigida beta_br = (1/phi)(8 Pr / Lbr), com phi = 0.75.
• Relativo: resistência exigida Pbr = 0.004 Pr; rigidez exigida beta_br = (1/phi)(2 Pr / Lbr).

Os coeficientes de resistência, 1% e 0.4%, são o resultado da imperfeição que você acabou de ver, arredondados para projeto. Os coeficientes de rigidez carregam o fator de dois da imperfeição mais uma folga conservadora adicional: o 8 Pr/Lbr nodal usa o limite de muitos contraventamentos em vez do 2 Pr/Lbr de um único contraventamento, de modo que é seguro não importa quantos contraventamentos dividam o pilar. Aplicado ao nosso IPE 300 com Pr = 744 kN e Lbr = 4 m, o contraventamento nodal pede uma força de contraventamento de 7.4 kN e uma rigidez de 1980 kN/m; o contraventamento relativo pede 3.0 kN e 496 kN/m. O 1/phi no termo de rigidez é deliberado: um contraventamento que apenas alcança a rigidez ideal não é seguro, então a norma exige a rigidez com um fator de resistência exatamente como faria com uma resistência.

Junte tudo no IPE 300, contraventado na meia altura a um vão contraventado rígido (um contraventamento nodal), e carregando uma carga exigida igual à sua capacidade contraventada, Pr = 744 kN.

Passo 1, a carga que o contraventamento habilita. Sem contraventamento, a carga de Euler no eixo fraco do pilar é 186 kN. Contraventar a meia altura mira em 4 Pe = 744 kN, então o contraventamento tem que ser bom o suficiente para deixar o pilar alcançar 744 kN. Tudo a jusante usa Pr = 744 kN e Lbr = 4 m.

Passo 2, a verificação de resistência. Resistência de contraventamento nodal exigida Pbr = 0.01·744 = 7.4 kN. Isso é trivialmente pequeno; quase qualquer cantoneira ou barra redonda, e seus parafusos, carrega 7.4 kN sem pestanejar. A resistência raramente é a restrição vinculante para um contraventamento compacto.

Passo 3, a verificação de rigidez. Rigidez de contraventamento nodal exigida beta_br = (1/0.75)(8·744/4) = 1980 kN/m. Agora compare um candidato: uma barra redonda de aço de 2.5 m de comprimento contraventando ao vão rígido fornece rigidez axial EA/L = (200 GPa)·A/2.5 m. Para alcançar 1980 kN/m precisa de A = 1980·2.5/200e6 = 2.5e-5 m2, cerca de 25 mm2, uma barra de 6 mm. Isso vence com folga as duas verificações. Mas troque a barra reta por uma diagonal longa e rasa, ou acrescente uma ligação com furo oblongo e escorregamento, e a rigidez efetiva desaba enquanto a resistência continua bem, e o pilar silenciosamente perde seu contraventamento. A lição está em qual verificação quase reprovou: não os 7.4 kN de força, mas os 1980 kN/m de rigidez, e a ligação fica dentro dessa rigidez em série com a barra do contraventamento.

Passo 4, não esqueça a referência. beta_br é a rigidez exigida no ponto contraventado, que é a combinação em série da barra do contraventamento, suas ligações, e a flexibilidade de qualquer coisa a que ela contravente. Um contraventamento perfeito ancorado a uma parede que ela mesma balança é só tão rígido quanto o elo mais mole. É por isso que esquemas de apoio por encosto (lean-on) e de contraventamento de um lado só precisam ter a referência verificada, não presumida rígida.

Tudo até aqui foi um pilar contraventado contra a flambagem por flexão, mas as mesmas duas exigências governam o contraventamento de vigas contra a flambagem lateral com torção, com um acréscimo: um contraventamento de viga tem que controlar a torção, não só o movimento lateral de uma mesa. Um contraventamento que segura a mesa comprimida lateralmente contraventa a viga; um que segura só a mesa tracionada, ou o centroide, pode deixar a seção girar e faz pouco. O contraventamento de vigas no Anexo 6 vem nas mesmas modalidades relativa e nodal, mais o contraventamento torsional (uma travessa rígida ou uma laje ligada) que restringe a torção diretamente, e as fórmulas de rigidez carregam a mesma estrutura, uma rigidez ideal dobrada para a imperfeição.

Vale também nomear os arranjos de contraventamento, porque eles mudam contra o que a rigidez é medida. Contraventamentos relativos (contraventamento em X, chevrons) amarram um ponto ao seu vizinho. Contraventamentos nodais (uma escora a um vão rígido) amarram um ponto a uma referência fixa. O contraventamento contínuo (um deck ou parede ligado ao longo da barra) fornece uma rigidez distribuída por unidade de comprimento. E sistemas de apoio por encosto (lean-on), onde vários pilares dividem um vão contraventado, somam todas as cargas dos pilares apoiados no Pr que o contraventamento tem que resistir, um lugar comum e perigoso para subdimensionar a referência. Se você quer o catálogo mais amplo de sistemas laterais e onde cada um se encaixa, veja o texto companheiro sobre sistemas de contraventamento em aço; este artigo é sobre o que qualquer um desses contraventamentos precisa entregar para valer.

Nenhuma destas dispara um erro na análise. Cada uma deixa um contraventamento que parece bem no desenho e não faz seu trabalho.

1. Dimensionar o contraventamento só para resistência. A força de 1% é fácil de passar e diz quase nada. A verificação de rigidez é a que governa, e é a que as pessoas pulam.
2. Ignorar a flexibilidade da ligação. beta_br é a rigidez no ponto contraventado. Uma barra de contraventamento rígida numa ligação com furo oblongo, escorregamento, ou parafuso de agarre longo pode entregar uma fração do seu EA/L nu. A ligação soma em série e muitas vezes domina.
3. Presumir que a referência é rígida. Um contraventamento nodal é só tão bom quanto aquilo a que ele contraventa. Ancore a uma parede ou vão que ele mesmo deflete e a rigidez efetiva é a combinação em série, não o contraventamento sozinho.
4. Contraventar o ponto errado ou a mesa errada. Um contraventamento de pilar fora do eixo de flambagem, ou um contraventamento de viga na mesa tracionada, restringe um movimento que a barra não ia fazer. A forma flambada decide onde um contraventamento ajuda.
5. Esquecer as cargas de apoio por encosto (lean-on). Quando pilares apoiados penduram sua estabilidade num único vão contraventado, o contraventamento tem que resistir à soma das cargas deles. Dimensioná-lo para um pilar é um colapso clássico.
6. Tratar um contraventamento mole como contraventamento pleno. Abaixo da rigidez ideal o pilar não alcança a carga contraventada; ele para aquém, como a varredura mostrou (metade da rigidez dá 2.57 Pe, não 4). Um contraventamento presente, mas mole, não é um crédito parcial em que você pode se apoiar sem verificar a capacidade reduzida real.

O jeito mais rápido de sentir por que o contraventamento compensa é mudar você mesmo o comprimento não contraventado e ver a carga de flambagem responder. Abra a calculadora de flambagem de pilar abaixo, entre com o IPE 300 (ou qualquer seção), e ajuste o comprimento não contraventado para os 8 m cheios: você verá a carga crítica no eixo fraco perto de 186 kN. Agora reduza o comprimento pela metade para 4 m, o valor que um contraventamento na meia altura entrega, e a carga salta para cerca de 744 kN, o aumento de quatro vezes de que trata este artigo inteiro. A calculadora está fazendo o pi^2 EI/L^2 que um contraventamento permite invocar com o L mais curto.

Essa é a divisão honesta do trabalho. A calculadora lhe dá as capacidades contraventada e não contraventada em segundos; o Anexo 6 lhe diz se o contraventamento que você desenhou é de fato rígido o suficiente e forte o suficiente para merecer o comprimento mais curto. A partir daqui as leituras naturais seguintes são flambagem de Euler, de onde vem o pi^2 EI/L^2, e flambagem por flexo-torção, o modo que um contraventamento no eixo errado não consegue conter.