Contreventement latéral des treillis : le critère de la membrure comprimée derrière le code

Un treillis ressemble à un réseau de membrures minces, mais sous charge gravitaire sa membrure supérieure fait un travail sans détour : porter une grande compression, panneau après panneau, d'un appui à l'autre. Cela fait de la membrure supérieure une colonne posée sur le côté. Et comme toute colonne, ce qu'elle peut porter n'est pas fixé par son aire ni par sa limite d'élasticité. C'est fixé par le flambement, et le flambement est fixé par la distance entre les points où quelque chose maintient réellement la membrure en place.

Voici le point qui fait trébucher, et il est spécifique aux treillis. Les membrures d'âme, les verticales et les diagonales, rencontrent la membrure supérieure à chaque noeud de panneau. Il est tentant de dire que la membrure est donc contreventée à chaque noeud de panneau, point final. Ce n'est qu'à moitié vrai. Les membrures d'âme maintiennent la membrure dans le plan du treillis. Elles ne font presque rien pour empêcher la membrure de fléchir latéralement, hors du plan du treillis. Latéralement, la membrure n'est maintenue que là où vous placez un contreventement latéral : une panne, une entretoise, une ligne de liernes rattachée à quelque chose de rigide.

Ainsi toute la conception repose sur une seule distance, l'espacement des contreventements latéraux sur la membrure comprimée, et cet article porte sur le critère qui la gouverne. Nous le dérivons d'Euler, puis nous menons une vérification détaillée complète sur un treillis réel de 24 m dont la membrure SHS 120 porte 720 kN, et nous observons la même membrure passer ou échouer selon la seule fréquence de son contreventement. C'est le cousin propre aux treillis de notre article général sur ce qu'un contreventement doit réellement fournir.

Donnez une impulsion à une membrure comprimée et elle flambe autour de son axe le plus faible disponible, sur sa plus grande longueur de flambement. Une membrure de treillis a deux longueurs de flambement bien différentes, et l'erreur est d'utiliser la courte pour les deux.

• Dans le plan (autour de l'axe perpendiculaire au plan du treillis). Ici la membrure tend à fléchir dans le plan vertical du treillis. Mais chaque noeud de panneau a une verticale et une diagonale qui y arrivent, et ces membrures d'âme maintiennent le noeud de panneau dans le plan. Donc la longueur de flambement dans le plan vaut un panneau : Lx = 3.0 m, automatiquement, gratuitement.
• Hors du plan (autour de l'axe dans le plan du treillis). Ici la membrure tend à fléchir latéralement, hors du plan. Les membrures d'âme sont dans ce plan ; elles n'offrent aucune retenue latérale. La membrure n'est maintenue latéralement que là où un vrai contreventement latéral la fixe. Si vous la contreventez à chaque panneau, Ly = 3.0 m ; un panneau sur deux, Ly = 6.0 m ; seulement à mi-portée, Ly = 12.0 m.

Pour une section doublement symétrique comme le profil creux carré que nous utiliserons, le rayon de giration est le même autour des deux axes, donc les deux vérifications ne diffèrent que par leur longueur. La membrure se moque de savoir que l'une des longueurs vient des membrures d'âme et l'autre des pannes. Elle flambe sur la plus grande des deux longueurs de flambement, car, comme nous allons le voir, c'est celle qui coûte le plus de résistance.

Partons de la charge de flambement d'une barre idéale, le résultat d'Euler : P_e = π²EI / (KL)². Divisons par l'aire et écrivons-le sous la forme du code, et la contrainte utilisable est fonction d'un seul nombre, l'élancement KL/r :

F_e = π²E / (KL/r)²,  puis F_cr selon AISC 360 E3

Deux faits sur cette expression gouvernent toute la conception. Premièrement, la résistance dépend de (KL/r)² au dénominateur, donc elle chute avec le carré de la longueur de flambement. Divisez la longueur par deux et vous quadruplez presque la capacité ; doublez-la et vous réduisez la capacité à environ un quart. Deuxièmement, comme KL/r n'apparaît qu'à travers la longueur et le rayon r, et qu'une membrure carrée a un seul r, le seul réglage qui sépare la vérification dans le plan et hors du plan est la longueur de flambement elle-même.

Cela nous donne le critère en une phrase. Le contreventement latéral existe pour raccourcir Ly jusqu'à ce que la vérification hors du plan ne soit pas pire que la vérification dans le plan que les membrures d'âme vous ont déjà donnée gratuitement. Contreventez la membrure latéralement à chaque noeud de panneau et Ly = Lx = 3.0 m, donc les deux vérifications coïncident et la membrure travaille à sa résistance dans le plan. Laissez des trous et Ly grandit, la courbe hors du plan s'effondre le long de la ligne d'Euler, et la membrure échoue à un effort qu'elle porte aisément dans le plan. Le reste de l'article consiste à mettre des chiffres sur cette phrase.

Le treillis et la charge

Prenons un treillis Pratt de toiture à membrures parallèles de portée S = 24 m, de hauteur d = 2.0 m d'axe à axe des membrures, divisé en huit panneaux de 3.0 m. Plaçons une charge gravitaire pondérée de w = 20 kN/m sur la membrure supérieure (toiture, équipements et un cas de neige lourde), appliquée en charges aux noeuds de panneau. Chaque appui porte 240 kN.

L'effort dans la membrure à la main, puis par le moteur

Un treillis à membrures parallèles reprend la flexion globale comme un couple : les membrures sont les semelles, la hauteur d est le bras de levier. Coupez le treillis à mi-portée et prenez les moments. L'effort dans la membrure est le moment global divisé par la hauteur :

C = M_max / d,  M_max = wS² / 8 = 20 · 24² / 8 = 1440 kN·m

C = 1440 / 2.0 = 720 kN (compression, membrure supérieure)

Nous avons fait tourner le même treillis sur le moteur EF de CalcSteel en production, en modèle à noeuds articulés, et lu l'effort axial dans chaque membrure. Le panneau de membrure supérieure le plus chargé, à côté de la mi-portée, revient à 720.0 kN de compression, correspondant à la valeur de la méthode des sections jusqu'au dernier chiffre. C'est la demande à laquelle la membrure, et son contreventement, doit résister. Cela confirme aussi l'intuition : l'effort dans la membrure est maximal près de la mi-portée, exactement là où l'on veut le moins qu'un contreventement latéral manque.

Prévoyons un SHS 120 x 120 x 8 fini à chaud en S355 pour la membrure supérieure : aire A = 3584 mm², moment quadratique I = 753 cm⁴, rayon de giration r = 45.8 mm, le même autour des deux axes. D'abord, contreventons-la latéralement à chaque noeud de panneau, donc Ly = Lx = 3.0 m. L'élancement vaut

KL/r = 3000 / 45.8 = 65.4

C'est en dessous de la limite E3 4.71√(E/F_y) = 111.8, donc nous sommes dans le domaine inélastique et F_cr = 0.658^(F_y/F_e) fois F_y. Avec F_e = π²E / 65.4² = 461 MPa, F_cr = 257 MPa. La résistance de calcul vaut

φP_n = 0.90 · 257 · 3584 / 1000 = 829 kN

Contre la demande de 720 kN, cela fait un taux d'utilisation de 87 %. La membrure passe, confortablement mais sans gaspillage. Remarquez ce qui a fait le travail : rien n'a changé dans la section, nous avons simplement fait en sorte que la longueur hors du plan égale la longueur dans le plan que les membrures d'âme fournissaient déjà. Quand les deux longueurs concordent, la membrure délivre sa pleine résistance de colonne.

Gardons maintenant exactement la même membrure et exactement la même demande de 720 kN, et changeons une seule chose : contreventons-la latéralement seulement un noeud de panneau sur deux, donc Ly = 6.0 m. Les membrures d'âme donnent toujours Lx = 3.0 m dans le plan, donc la vérification dans le plan est inchangée et passe toujours. Mais hors du plan la longueur a doublé :

KL/r = 6000 / 45.8 = 130.9  (désormais au-delà de 111.8, donc flambement élastique)

F_e = 115 MPa, F_cr = 0.877 F_e = 101 MPa, φP_n = 326 kN

Le taux d'utilisation est 720 / 326 = 221 %. La membrure qui passait à 87 % échoue maintenant de plus d'un facteur deux, et rien n'a changé sauf l'espacement des contreventements. Doubler Ly a divisé la résistance par quatre, exactement comme la courbe en 1/L² le promettait.

Poussons encore une fois, jusqu'à un seul contreventement latéral à mi-portée, Ly = 12.0 m. Alors KL/r = 262, ce qui dépasse la limite supérieure recommandée de 200 dans l'AISC 360 pour les membrures comprimées. Cette membrure n'est pas admissible du tout, avant même de calculer une résistance (elle vaudrait 82 kN, un taux d'utilisation de 884 %). La leçon est le piège en une ligne : les membrures d'âme vous bercent en vous faisant croire que la membrure est contreventée à 3 m, mais hors du plan elle n'est contreventée que là où vous avez dessiné une panne.

Raccourcir Ly suppose que le contreventement soit réel. Un trait sur un plan n'est pas un contreventement ; le code lui demande de fournir deux choses distinctes, et une membrure symbolique peut satisfaire l'une tout en manquant l'autre. C'est l'AISC 360 Annexe 6, contreventement ponctuel (nodal), et c'est le même test en deux parties que nous couvrons en profondeur pour les colonnes et les poutres dans rigidité et résistance du contreventement.

Pour un contreventement ponctuel maintenant la membrure à chaque noeud de panneau, avec l'effort de membrure contreventée P_r = 720 kN et l'espacement des contreventements L_b = 3.0 m :

• Résistance. Le contreventement doit porter P_br = 0.01 P_r = 7.2 kN. C'est petit, seulement 1 % de l'effort de la membrure, ce qui explique pourquoi la résistance est rarement le problème.
• Rigidité. Le contreventement, et tout ce qui remonte jusqu'à un point rigide, doit valoir au moins beta_br = (1/φ)(8 P_r / L_b) = (1/0.75)(8 · 720 / 3.0) = 2560 kN/m. C'est l'exigence qu'un contreventement fragile ne satisfait pas.

Le chiffre de rigidité est celui à respecter. Un contreventement peut être largement assez résistant pour 7.2 kN et rester trop souple : s'il s'allonge ou si l'assemblage glisse sous charge, le point de contreventement effectif de la membrure se déplace, Ly ne vaut pas réellement 3.0 m, et le flambement que vous pensiez avoir empêché se produit quand même. Un contreventement doit être présent, assez résistant, et assez rigide, et c'est ce dernier point qui échoue en silence.

Toute la vérification détaillée tient en une courbe, l'effondrement de la résistance à la compression à mesure que la longueur de flambement grandit. Vous pouvez la piloter ci-dessous. Prenez une membrure comprimée, fixez sa section, et poussez sa longueur vers le haut : la charge critique glisse le long de la courbe d'Euler et la résistance utilisable avec elle. C'est exactement l'axe près du sommet duquel un contreventement latéral vous permet de rester.

Fixez la longueur à la taille de votre panneau et lisez la résistance ; puis à deux fois la taille du panneau et observez-la chuter à environ un quart. Ce facteur est la raison pour laquelle l'espacement des contreventements, pas la taille de la section, est en général le moyen le moins coûteux de faire travailler une membrure de treillis. Quand vous avez fini, l'article sur le facteur de longueur effective K explique le KL de la formule, et le flambement d'Euler établit pourquoi la courbe est une loi au carré.

Tout ce qui précède a contreventé la membrure supérieure parce que la gravité la met en compression. Mais un treillis de toiture subit aussi le soulèvement au vent, et le soulèvement inverse les efforts axiaux dans les deux membrures. Sous un soulèvement net, la membrure supérieure passe en traction et la membrure inférieure passe en compression, et c'est maintenant la membrure inférieure qui est la colonne ayant besoin de contreventement.

Faites tourner le même treillis avec un soulèvement net pondéré de w_up = 12 kN/m et le moteur renvoie une compression de membrure inférieure de 432 kN (M_up/d = 12 · 24² / 8 / 2.0 = 432 kN, correspondant au chiffre près). La membrure inférieure est en général contreventée bien moins souvent que la supérieure, car sous gravité c'est une membrure tendue et les membrures tendues ne flambent pas. Cette habitude est précisément le piège : dès l'instant où le soulèvement peut mettre la membrure inférieure en compression, l'espacement de son contreventement latéral doit satisfaire la même vérification en loi au carré que la membrure supérieure, sinon la membrure flambe latéralement sans plateforme de toiture à proximité pour la rattraper.

C'est l'élément le plus souvent oublié sur un plan de contreventement de treillis. La membrure supérieure reçoit des pannes que vous pensiez au contreventement ou non ; la membrure inférieure reçoit un contreventement latéral seulement si quelqu'un dessine délibérément la ligne de contreventement de la membrure inférieure pour le cas de soulèvement. Sur une toiture légère de grande portée, le soulèvement gouverne souvent entièrement la membrure inférieure.

Un contreventement latéral à un noeud de panneau ne maintient la membrure que si le contreventement lui-même est maintenu. Les 7.2 kN et, plus important, les 2560 kN/m doivent voyager de la membrure jusqu'à quelque chose qui ne bouge pas. Laissé comme un moignon dépassant sur le côté, un contreventement ne contrevente rien.

Dans une vraie toiture, cet ancrage est le système de contreventement : les pannes relient chaque membrure de treillis à la suivante, et une ligne de contreventement diagonal dans le plan de la toiture (ou une travée contreventée de treillis) collecte tous ces petits efforts de contreventement et les porte vers un point rigide, un portique de pignon, un mur de refend, une tour contreventée. C'est la même logique que tout système de contreventement en acier : les contreventements individuels ne valent que le chemin de charge qui les ancre. La vérification de rigidité de l'Annexe 6 est une vérification de ce chemin entier, contreventement plus assemblage plus le système derrière, pas seulement de la petite entretoise à la membrure.

Deux conséquences pratiques. Premièrement, l'effort de contreventement s'accumule : la diagonale qui rassemble dix contreventements de noeuds de panneau voit à peu près dix fois 7.2 kN, pas 7.2 kN. Deuxièmement, la rigidité est en série : une entretoise rigide boulonnée à un système mou reste un contreventement mou. Dimensionnez l'ancrage, pas seulement le moignon.

Les erreurs qui transforment une membrure correcte en théorie en une membrure défaillante :

• Utiliser la longueur du panneau pour la vérification hors du plan. Les membrures d'âme contreventent la membrure dans le plan seulement. Hors du plan, Ly est l'espacement des contreventements latéraux, qui est en général plus grand. C'est l'erreur de contreventement de treillis la plus courante, et c'est exactement le 87 % contre 221 % de notre vérification détaillée.
• Contreventer seulement pour la résistance. Les 7.2 kN sont triviaux ; les 2560 kN/m ne le sont pas. Un contreventement résistant mais souple laisse la membrure flamber quand même. Vérifiez la rigidité de tout le chemin.
• Oublier le soulèvement sur la membrure inférieure. Sous gravité la membrure inférieure est tendue et n'a besoin d'aucun contreventement ; sous soulèvement elle porte 432 kN de compression et en a besoin. L'oublier est la défaillance classique des toitures de grande portée.
• Contreventer une membrure vers rien. Un contreventement a besoin d'un ancrage. Si le système de contreventement ne ramène pas l'effort vers un point rigide, le point de contreventement n'est pas réellement un point de contreventement.
• Dépasser KL/r = 200. Un seul contreventement à mi-portée sur notre membrure donne KL/r = 262, au-delà de la limite du code, donc la membrure n'est pas admissible quelle que soit la résistance calculée.

FAQ

Les membrures d'âme contreventent-elles la membrure supérieure ? Dans le plan, oui : la verticale et la diagonale à chaque noeud de panneau maintiennent la membrure dans le plan du treillis, donc Lx égale un panneau. Hors du plan, non : elles sont dans le plan et ne donnent aucune retenue latérale. Hors du plan, vous avez besoin d'un contreventement latéral distinct.

Jusqu'à quelle distance peut-on espacer les contreventements latéraux ? Aussi loin que la vérification en loi au carré le permet. Pour notre membrure SHS 120 à 720 kN, à peu près 3.0 m fonctionne (87 %) et 6.0 m non (221 %). La réponse varie avec le r de la section et l'effort dans la membrure, c'est donc un calcul, pas une règle empirique, même si beaucoup de concepteurs visent un Ly proche de la longueur du panneau pour que les deux vérifications coïncident.

La membrure inférieure a-t-elle parfois besoin d'un contreventement latéral ? Oui, chaque fois qu'un cas de charge (soulèvement au vent, ou une charge mobile) peut la mettre en compression. Une membrure tendue ne flambe pas, mais la même membrure sous charge inversée flambe, et elle doit satisfaire la même vérification.

Le contreventement latéral d'un treillis est une seule idée appliquée avec soin : la membrure comprimée est une colonne, et les contreventements décident quelle longueur de colonne elle est.

• L'effort dans la membrure est C = M/d. Notre treillis de 24 m met 720 kN dans la membrure supérieure SHS 120, moteur et vérification à la main s'accordant au chiffre près.
• La membrure a deux longueurs de flambement. Les membrures d'âme donnent Lx = 3.0 m dans le plan gratuitement ; le contreventement latéral fixe Ly hors du plan, et seul Ly est le vôtre à perdre.
• La résistance chute en 1/L², donc la même membrure passe à 87 % contreventée tous les 3.0 m, échoue à 221 % contreventée tous les 6.0 m, et n'est pas admissible contreventée seulement à mi-portée.
• L'Annexe 6 veut que le contreventement fournisse la résistance (7.2 kN) et la rigidité (2560 kN/m), et qu'il ramène les deux vers un ancrage rigide. La rigidité gouverne.
• Le soulèvement inverse les membrures : la membrure inférieure porte 432 kN de compression et a besoin de son propre contreventement, l'élément le plus souvent oublié sur le plan.

Envie de l'essayer sur votre propre treillis ? Le calculateur de flambement de colonne et l'éditeur CalcSteel complet sont gratuits, et CalcSteel est gratuit pour les étudiants. Fixez l'effort dans la membrure, dimensionnez la section, et laissez l'espacement des contreventements faire le travail.