El coeficiente de Poisson: la contracción que nadie verifica, y dónde por fin importa

Todo estudiante aprende dos constantes elásticas en el primer mes de resistencia de materiales: el módulo de Young E, que dice cuánto cuesta estirar el acero, y el coeficiente de Poisson ν, que dice cuánto se contrae lateralmente mientras lo estiras. E se lleva toda la atención. Aparece en cada fórmula de flecha, cada carga de pandeo, cada matriz de rigidez. El coeficiente de Poisson recibe una definición, un valor para el acero, y luego parece desaparecer.

No desaparece. Se queda en silencio, plegado dentro de otras constantes donde dejas de verlo. Este artículo sigue a ν desde la definición que los estudiantes memorizan hasta los tres lugares donde realmente se gana su lugar en el diseño en acero: el módulo de corte, el factor de rigidez de placa y el comportamiento volumétrico de un elemento confinado. En el camino corremos el motor real de CalcSteel para mostrar dos cosas: que la contracción que nadie verifica es exactamente tan pequeña como imaginas, y que ν ya vive dentro de cada análisis que corres, lo hayas escrito o no.

Carga una barra prismática en tracción simple. Se alarga con una deformación axial εₐₓ, y al mismo tiempo se contrae en las dos direcciones transversales con una deformación lateral εₗₐₜ. El coeficiente de Poisson es el negativo de su cociente:

ν = − εₗₐₜ / εₐₓ.

El signo menos está ahí para que ν resulte positivo en los materiales comunes, porque estirar (deformación axial positiva) produce contracción (deformación lateral negativa). Para el acero estructural, ν = 0,30. Ese único valor es notablemente estable: acero dulce, baja aleación de alta resistencia, temple y revenido, inoxidable austenítico o ferrítico, todos se ubican en 0,30 salvo error de redondeo. El coeficiente de Poisson es una propiedad de la red atómica y de su respuesta elástica, no de la resistencia de fluencia, así que cambiar el grado de S235 a S690 deja ν intacto aunque triplique la resistencia.

De inmediato se siguen dos consecuencias, y ambas importan más adelante. Primero, la deformación lateral no es opcional: si la deformación axial es 500 microdeformaciones, la deformación transversal es −150 microdeformaciones, siempre, mientras el acero sea elástico. Segundo, ν es adimensional. Es un cociente puro, y por eso justamente puede esconderse dentro de otras constantes sin dejar una unidad que lo delate.

La termodinámica acota el coeficiente de Poisson de un material isótropo entre −1 y +0,5. En la práctica la ventana útil va de 0 a 0,5, y dónde cae un material dice algo físico sobre cómo se deforma.

• ν cerca de 0 (corcho): lo aprietas y apenas se abulta hacia los lados. Por eso un corcho vuelve a entrar en la botella: comprimirlo a lo largo no lo engorda.
• ν = 0,20 (hormigón): rígido, frágil, baja respuesta lateral.
• ν = 0,30 (acero): el punto medio estructural, y el valor que usarás casi todos los días.
• ν = 0,33 (aluminio): un poco más de cesión lateral que el acero, una diferencia que aparece en el módulo de corte.
• ν acercándose a 0,5 (caucho): el límite incompresible. Exactamente en 0,5 el material conserva el volumen a la perfección, así que solo puede cambiar de forma, nunca de tamaño. El caucho y los suelos saturados de agua viven aquí.

Por debajo de cero está la exótica clase auxética, espumas y celosías diseñadas para engordar cuando las estiras. Son reales, pero no te cruzarás con una en un pórtico de acero. La lección para el proyectista es reconfortante: los metales se agrupan bien cerca de un tercio, así que para el acero puedes tratar ν = 0,30 como una constante y acertar hasta el tercer decimal.

Toma un tirante redondo liso, Ø25 mm, 3 m de largo, que sostiene una tracción de servicio de 50 kN. Eso es una tensión de 101,9 MPa, cómoda para una barra de acero dulce. Modela el mismo elemento en CalcSteel y el motor devuelve un alargamiento axial de +1,53 mm, que coincide con el N·L/EA del libro de texto hasta el decimal. Ese número lo verifica todo proyectista, porque es el alargamiento que aparece en el tensado de un tensor o en la pretensión de un arriostramiento.

Ahora el número que nadie verifica. La deformación axial es 509 microdeformaciones, así que la deformación lateral es −ν·εₐₓ = −153 microdeformaciones, y el diámetro se encoge en:

Δd = − ν · εₐₓ · d = −0,30 · 0,000509 · 25 mm = −3,82 µm.

Tres coma ocho micrones. Es más delgado que un cabello humano, muy por debajo de lo que un calibre resolvería en obra, y no cambia ninguna verificación de capacidad. Así que es razonable ignorarlo, y todos lo hacen. Pero ten presente dos cosas. Primero, esta contracción no es un artefacto de redondeo, es exactamente la deformación transversal negativa que leería una galga extensométrica pegada a través de la barra, y por eso una roseta extensométrica en un elemento traccionado muestra una lectura negativa en su grilla transversal aunque el acero esté siendo estirado. Segundo, el mismo ν que hace despreciable esta contracción está a punto de rigidizar una placa y agrandar la flecha de un tubo. El mismo número, consecuencia muy distinta.

Aquí está el giro que hace que el coeficiente de Poisson importe sin ser nunca visible. Para un material isótropo, el módulo de corte no es independiente de E y ν. Está atado a ellos:

G = E / [ 2 (1 + ν) ].

Para el acero, G = 200 / (2 × 1,30) = 76,9 GPa. Cada constante de torsión, cada término de deformación por corte, cada carga de pandeo torsional que llegues a calcular pasa por G, y G no es más que E y ν combinados. Así que en el momento en que usas G, estás usando el coeficiente de Poisson, lo sepas o no.

CalcSteel lo hace literal. Abre el catálogo de materiales y nunca encontrarás un campo rotulado coeficiente de Poisson. Lo que encuentras es un par, E y G, guardado para cada grado de acero, inoxidable y aluminio. Pero ese par no es libre: recupera ν con ν = E/2G − 1 y cada acero e inoxidable del catálogo de fábrica devuelve 0,30, y cada aluminio devuelve 0,33. El motor codifica el coeficiente de Poisson en el único lugar donde lo necesita, y lo esconde a plena vista. La tabla de abajo se recupera directo del catálogo en ejecución, no se escribió a mano.

Si ν solo produjera contracciones de 3,82 µm, sería una curiosidad. No lo es, porque viaja dentro de G, y G gobierna la torsión. Para hacerlo concreto, toma un elemento que de verdad se tuerce: un voladizo acodado hecho de un tubo cerrado, un CHS 168.3 × 6, con un tramo de 2 m y un tramo de 1,5 m que se encuentran en ángulo recto, cargado con 8 kN fuera de su plano en el extremo libre. Esta es la forma de una ménsula de marquesina, una viga de borde de balcón, un voladizo de pipe rack.

La carga fuera del plano flexiona ambos tramos y, lo decisivo, tuerce el primer tramo con un momento torsor de 12 kNm. Córrelo en CalcSteel y el extremo libre baja 38,2 mm. Suprime la torsión y el mismo pórtico baja solo 15,0 mm, así que el 60,7% de la flecha de servicio es torsión, y cada parte de esa torsión pasa por G, y por lo tanto por ν. Un tubo cerrado es deliberadamente rígido a torsión, y por eso justamente el giro se mantiene pequeño, 0,886 grados, mientras aun así carga la mayor parte de la flecha.

Ahora el premio. Vuelve a correr el pórtico idéntico con ν supuesto en 0,25 en vez de 0,30. Nada más cambia, solo el coeficiente de Poisson, que sube G de 76,9 a 80,0 GPa. La flecha en la punta cae de 38,2 a 37,3 mm, un desplazamiento de 2,33% en un número que reportas contra un límite de servicio L/250. Eso es el coeficiente de Poisson cambiando un resultado real, medido por el mismo motor que devuelve el alargamiento hasta el decimal. Equivócate en ν por cinco centésimas y tu flecha se corre en más de dos por ciento, sobre la cantidad exacta que ve un cliente.

La torsión de un tubo acodado es la demostración más limpia, pero no es el único lugar donde G, y por lo tanto ν, controla el resultado. Otros dos aparecen en el trabajo de rutina.

Flecha por corte en elementos rechonchos. La conocida flecha 5wL⁴/384EI es una fórmula solo de flexión. Para elementos cortos y de gran altura, un antepecho sobre una abertura ancha, una viga de transferencia, una viga de acople, el término de deformación por corte, proporcional a 1/GA, deja de ser despreciable. Como G lleva ν, también lo lleva la parte de corte de la flecha. Rara vez domina en una viga larga, pero en un elemento con una relación luz a altura cercana a 5 puede sumar varios por ciento, y es el coeficiente de Poisson el que fija el tamaño de ese aporte.

Pandeo torsional y flexotorsional. Las secciones con simetría simple y con simetría puntual, ángulos, tes, canales, cruciformes, pueden pandear torciéndose en vez de por flexión simple. La tensión de pandeo torsional elástico depende de G·J y de la rigidez al alabeo, así que la capacidad gobernante de un puntal de ángulo esbelto pasa directamente por el módulo de corte. Si diseñas para un estado límite donde gobierna el pandeo flexotorsional, ν está calladamente en el resultado. Este es el patrón de todo el tema: nunca ves el coeficiente de Poisson en la verificación, pero está dentro de cada G que la verificación usa.

El coeficiente de Poisson tiene un segundo escondite, y este aparece cada vez que el acero actúa como placa en lugar de viga: placas base, losas, muros de corte, almas no rigidizadas. La rigidez a flexión de una placa no es E·t³/12, el valor de una franja simple. Es:

D = E · t³ / [ 12 (1 − ν²) ].

El (1 − ν²) del denominador viene del hecho de que una placa ancha no puede contraerse libremente hacia los lados mientras flexiona, el material a cada lado la restringe, y esa restricción la rigidiza. Para el acero, 1 − ν² = 1 − 0,09 = 0,91, así que el factor de placa 1/(1 − ν²) = 1,099. Una placa es 9,9% más rígida a flexión que una franja del mismo espesor, puramente por la restricción de Poisson. Eso no es un error de redondeo, es la diferencia entre una placa base que pasa una verificación de aplastamiento y flexión y una que no, y es por eso que las fórmulas de placa y las de viga nunca terminan de coincidir.

El mismo 1/(1 − ν²) aparece como un módulo efectivo, E' = E/(1 − ν²) = 219,8 GPa, cada vez que un elemento está en deformación plana, impedido de contraerse a lo largo de un eje. Una región gruesa y confinada lateralmente se comporta como si estuviera hecha de un acero más rígido, de nuevo cerca de 10%, y de nuevo todo el efecto es el coeficiente de Poisson.

El factor de placa es en realidad un caso particular de una idea más amplia que hace tropezar a muchos ingenieros: la diferencia entre tensión plana y deformación plana. En tensión plana, elementos delgados libres de contraerse a través de su espesor, la ley de Hooke dice σ = E·ε para un estado uniaxial y el material muestra su módulo simple. En deformación plana, elementos gruesos o confinados lateralmente que no pueden contraerse hacia los lados, el mismo acero responde con el módulo efectivo más rígido E/(1 − ν²), porque la restricción de Poisson está haciendo trabajo estructural.

Esto no es académico. La garganta de una soldadura en lo profundo de una conexión gruesa, el núcleo de un empalme de columna pesado, el material delante de la punta de una fisura, todos se ubican más cerca de la deformación plana que de la tensión plana. El confinamiento eleva la rigidez aparente y, más importante para la seguridad, eleva la tracción hidrostática. Esa restricción triaxial es justamente por qué las secciones gruesas y las soldaduras muy restringidas son más propensas a la fractura frágil: el coeficiente de Poisson, al negarse a dejar que el acero se estriccione y fluya libremente, mantiene el estado tensional triaxial y suprime el alivio dúctil que disfrutaría una placa delgada. El número es benigno en una verificación de flecha y peligroso en una verificación de fractura, y es el mismo número.

Un lugar más donde el coeficiente de Poisson fija la física: cuánto cambia de volumen realmente un acero tensionado. La deformación volumétrica, el cambio relativo de volumen, bajo un estado tensional general es:

e = (1 − 2ν) / E × (σₓ + σ_y + σ_z).

El factor (1 − 2ν) es la señal. Para el acero, 1 − 2ν = 0,40, así que bajo 150 MPa uniaxiales el volumen de un elemento crece cerca de 300 microdeformaciones. A medida que ν sube hacia 0,5, ese factor cae hacia cero, y el material deja de cambiar de volumen por completo, que es el significado preciso de incompresible. La constante compañera es el módulo volumétrico, la resistencia a la compresión uniforme:

K = E / [ 3 (1 − 2ν) ] = 166,7 GPa para el acero.

K, como G, queda fijado solo por E y ν. Un material elástico isótropo tiene exactamente dos constantes elásticas independientes, y todas las demás, G, K, el módulo de deformación plana, el factor de placa, son una combinación de las dos que ya conoces. Elige E y ν y las has elegido a todas. Por eso vale la pena entender ν aunque rara vez lo escribas: es uno de solo dos números que definen cómo se deforma el acero.

Para el acero estructural, el consejo honesto es simple: confía en 0,30 y sigue adelante. No varía lo suficiente entre grados, normas o temperaturas en el rango de servicio como para justificar una segunda reflexión, y toda norma de referencia, NBR 8800, AISC 360, Eurocode 3, IS 800, adopta 0,30 para el análisis estructural. El único metal común que difiere es el aluminio en 0,33, y CalcSteel ya lleva ese valor por ti en los grados de aluminio, así que un voladizo de 6061-T6 se analiza con el G correcto de forma automática.

Donde ν deja de ser genuinamente una constante es fuera del mundo del acero que igual puedes tocar. El hormigón se ubica cerca de 0,20, y su valor deriva bajo carga sostenida. La madera es fuertemente anisótropa, con varios coeficientes de Poisson distintos según la dirección de la fibra. Los suelos van de alrededor de 0,2 cuando están drenados a 0,5 cuando están saturados y sin drenar, y por eso el análisis geotécnico de asentamientos toma ν en serio de un modo que el diseño en acero no. Los apoyos elastoméricos son efectivamente incompresibles en 0,5, y equivocarse en eso vuelve sin sentido un cálculo de rigidez de apoyo. La regla práctica: para el acero en sí, ν = 0,30 es un hecho en el que puedes apoyarte; para todo lo que este soporte o a lo que se conecte, verifica el número antes de suponerlo.

• Usar 0,5 para el acero. Un desliz sorprendentemente común, a menudo copiado de un contexto de fluidos o caucho. Infla G en 15% y vuelve K infinito. El acero es 0,30, no incompresible.
• Olvidar que G depende de ν. Tratar G como un dato libre que puedes redondear a 80 GPa reajusta en silencio ν a 0,25. Si tu resultado de torsión o de pandeo torsional debe ser consistente, deja que G = E/2(1+ν) en vez de escribir un G redondeado.
• Contar dos veces el factor de placa. Usar una fórmula de placa que ya contiene 1/(1 − ν²) y luego multiplicar por él otra vez, o al revés, quitarlo de una placa y tratarla como una franja. Sabe qué fórmula tienes en la mano.
• Mezclar tensión plana y deformación plana. Aplicar E de un elemento delgado y libre a uno grueso y confinado, o viceversa, es un error de rigidez del 10% y, cerca de una fisura, uno relevante para la seguridad.
• Suponer que ν sigue al grado. No lo hace. S235 y S690 comparten ν = 0,30. El coeficiente de Poisson es una propiedad de la red, no una propiedad de resistencia, así que una fluencia más alta no significa una contracción diferente.

El coeficiente de Poisson es la constante que conecta la deformación que puedes medir con la tensión que debes verificar. La calculadora de abajo es la herramienta del círculo de Mohr de CalcSteel, gratis y sin inicio de sesión para la parte de cálculo. Ingresa un estado tensional y devuelve las tensiones principales, el corte máximo y el valor de von Mises. Para ver a ν en acción, toma el tirante de arriba: una tensión axial de 101,9 MPa con tensión transversal nula produce la deformación axial de 509 microdeformaciones y, a través de ν, la deformación lateral de −153 microdeformaciones. La herramienta trabaja el lado de tensiones de ese mismo círculo.

Desde aquí, los vecinos que vale la pena leer son la guía de la roseta extensométrica, donde la deformación transversal negativa que viste arriba es lo que registra una galga real, y el artículo de límites de flecha, donde los números de servicio que ν corre un par de puntos porcentuales se verifican contra la norma. El coeficiente de Poisson es la callada segunda constante detrás de todos ellos: rara vez lo escribes, pero ya está en cada resultado.