Factor de Concentración de Tensiones: el Agujero en el Ala y el Número que Te Da el Libro

Un estudiante hace un agujero de tornillo en el ala traccionada de una barra de acero, abre el libro de resistencia de materiales y encuentra la regla de la discontinuidad: σ_max = K · σ_nom. El gráfico devuelve un factor cercano a 2,5, la cuenta da un pico en torno a 300 MPa, y la conclusión parece inevitable: el ala está sobretensionada.

El calculista de al lado corre la misma unión en una norma de acero y pasa con cerca de la mitad de la capacidad. Misma geometría, misma carga, dos veredictos que discrepan por un factor de dos. La diferencia no es un error de cuenta. Es una diferencia en para qué sirve cada número.

Este artículo sigue al agujero hasta el final: qué mide el factor de concentración de tensiones, de dónde sale el famoso valor 3, por qué una barra de acero dúctil bajo carga estática no se diseña en torno al pico, y las situaciones en que ese mismo pico es justo lo que rompe la pieza.

Un factor de concentración de tensiones es la razón entre la tensión pico local real y una tensión nominal elegida:

K_t = σ_max / σ_nom

Tres propiedades deciden cómo leerlo. Primera, es elástico. La teoría detrás de K_t supone material lineal elástico hasta arriba, sin fluencia en ningún punto. Segunda, es geométrico. K_t lo fija la forma de la discontinuidad y razones como el diámetro del agujero sobre el ancho, no el grado del acero ni cuánto tiras. Tercera, está ligado a un área de referencia. σ_max es un único valor físico, pero σ_nom es una convención, y un K_t solo significa algo cuando sabes si su tensión nominal se tomó en la sección bruta o en la neta.

El subíndice t es de teórico. Es una propiedad del dibujo. Más adelante aparece K_f, el factor de entalla de fatiga, que es menor y sí depende del material.

El valor que todos recuerdan, K_t = 3, es la solución de Kirsch de 1898. Para una placa infinita con un agujero circular pequeño traccionada en una dirección, la tensión tangencial en el borde del agujero, en el eje perpendicular a la carga, es exactamente tres veces la tensión del campo lejano. De ahí viene el 3, y está referido a la tensión bruta (del campo lejano).

Las alas reales no son infinitas. Para una franja de ancho finito, el gráfico de Peterson o Roark da K_t en función de la razón d/w. Referido a la sección neta, cae desde 3,0 a medida que el agujero crece:

K_t,neta = 3,00 − 3,14(d/w) + 3,667(d/w)² − 1,527(d/w)³

Las dos convenciones se ligan por K_t,bruta = K_t,neta / (1 − d/w). Mezclarlas es el error más común al leer el gráfico, y volvemos a él en la lista de errores. Para el ala resuelta de abajo, d/w = 0,22 y K_t,neta = 2,47.

Toma una placa de ala de 100 mm de ancho y 10 mm de espesor, con un agujero estándar de 22 mm para un tornillo M20, bajo una tracción axial de P = 100 kN.

Ahora la tensión del relato. Ese pico de 317 MPa está por encima del límite elástico del acero estructural común: F_y = 250 MPa para el ASTM A36, 275 MPa para el EN S275. Leído al pie de la letra, el borde del agujero está sobretensionado en un cuarto. Y sin embargo la tensión media en la sección neta es solo 128 MPa, cerca de la mitad de la fluencia. La barra está lejos de fallar, y una fibra del borde está nominalmente pasada de fluencia. Las dos afirmaciones son ciertas. Las dos secciones siguientes explican cómo.

La primera tentación es descartar el pico como un artefacto teórico. No lo descartes. Ensayos de fotoelasticidad y modelos de elementos finitos muestran la concentración con claridad, y una fisura de fatiga arranca de verdad en el borde del agujero. El pico elástico es un rasgo genuino del campo de tensiones.

Dos hechos lo ponen en proporción. Es local: la tensión elevada decae de vuelta a la nominal en torno a un diámetro de agujero, así que solo una cáscara fina de material llega cerca de σ_max. Y es teoría elástica: K_t supone que el material sigue lineal hasta el pico, lo que deja de valer en el instante en que esa cáscara fluye. Lo que pasa después de que la cáscara fluye es toda la historia, y depende de que el material sea dúctil.

Sube la carga en el ala resuelta. El borde del agujero alcanza F_y primero y fluye. Un acero dúctil no fractura ahí. Fluye a tensión aproximadamente constante, la meseta de fluencia, y traspasa la fuerza extra al material aún elástico de al lado. El perfil de tensiones a lo largo de la sección se aplana: el pico se recorta en F_y mientras el resto de la sección neta sube para alcanzarlo.

Cuando la barra llega cerca de su límite, la sección neta está casi toda plastificada y es la tensión media, no el pico desaparecido, la que fija la capacidad. La magnitud que gobierna pasa a ser la sección neta contra F_u (rotura) o la sección bruta contra F_y (fluencia). Esta redistribución es la razón física de que la norma de acero pliegue el agujero en un área, y no en un K_t. La ductilidad hace el trabajo que el factor parecía exigir.

AISC 360, e igualmente NBR 8800 y Eurocódigo 3, dimensionan una barra traccionada con dos estados límite, y ninguno contiene factor de concentración de tensiones:

• Fluencia de la sección bruta: φR_n = φ F_y A_g, con φ = 0,90.
• Rotura de la sección neta: φR_n = φ F_u A_e, con φ = 0,75 y A_e = U·A_n, donde U recoge el shear lag.

Para el ala A36 resuelta, con U = 1: la fluencia bruta da 0,90 × 250 × 1000 = 225 kN, y la rotura neta da 0,75 × 400 × 780 = 234 kN. La capacidad es 225 kN, gobernada por la fluencia bruta, contra una demanda de 100 kN, así que el ala trabaja a una utilización de 0,44. El pico de 317 MPa no aparece en ninguna de las ecuaciones. Los coeficientes φ y el uso de F_u sobre el área reducida ya llevan la reserva que el pico parecía exigir.

El argumento de la redistribución descansa en dos condiciones: el material debe poder fluir, y la carga debe ser estática. Quita una de las dos y el factor vuelve de inmediato.

• Fatiga. Una carga cíclica nunca deja que el pico redistribuya para siempre, y la fisura nuclea justo en el borde del agujero. La fatiga usa el factor de entalla K_f = 1 + q(K_t − 1), donde q es la sensibilidad a la entalla, cerca de 0,8 a 0,9 para acero estructural y un agujero de este tamaño, dando K_f ≈ 2,25 aquí. Las normas de acero lo entregan por categorías de detalle en lugar de K_f directo, pero la física es el pico.
• Material frágil o fundido. Sin meseta de fluencia, nada redistribuye y el pico es simplemente la tensión de fractura.
• Baja temperatura o acero de baja tenacidad. El servicio en frío o un acero de alta resistencia y baja ductilidad debilitan la hipótesis segura de redistribución.
• Roscas, chaveteros, esquinas entrantes vivas. K_t local alto en detalles que suelen ver también carga cíclica.

En cada caso la concentración no es una curiosidad. Es lo que manda el dimensionamiento.

El número que toda la historia multiplica es σ_nom, y sale directo del análisis: la fuerza axial o el momento flector dividido por la sección que los carga. Modela la barra, lee la tensión que el ala realmente ve, y deja que el informe de dimensionamiento corra las verificaciones de sección neta como lo hace la norma, sin ningún multiplicador K_t encima.

1. Multiplicar por K_t una tensión de diseño estático en acero dúctil. Doble conteo. La norma ya verifica la sección neta, y el pico ya redistribuyó.
2. Mezclar las áreas de referencia. Usar el área bruta para σ_nom leyendo un K_t referido a la sección neta, o al revés. Las dos difieren en (1 − d/w), y mezclarlas corrompe el pico.
3. Ignorar K_t en fatiga porque el acero es dúctil. La fatiga es justo el caso en que no redistribuye.
4. Confundir K_t con K_f. K_t es teórico, elástico, geométrico. K_f es el valor de fatiga, menor, y depende del material por la sensibilidad a la entalla. Siempre K_f ≤ K_t.
5. Leer mal el gráfico. Usar el diámetro del tornillo en vez del diámetro del agujero, o un gráfico de agujero para un acuerdo, cae en un factor que pertenece a otra pieza.

Para una barra de acero dúctil bajo carga estática: usa las verificaciones de sección bruta y sección neta con F_y y F_u, y ningún factor de concentración de tensiones. Para fatiga, material frágil o servicio en frío: el pico gobierna, y pasas a K_f y a las categorías de detalle.

El número del libro no está mal. Responde a otra pregunta. K_t dice cuán alto sube la tensión elástica, no cuánta carga soporta la barra. Saber cuál de esas dos preguntas estás haciendo de verdad es toda la habilidad.