Rosetas extensométricas: leer una galga real en un elemento de acero cargado

Pega una galga extensométrica de lámina al ala de una viga de acero cargada, lee el puente y obtienes un número: microdeformación en la dirección hacia la que apunta la rejilla. Ese número parece una respuesta, pero por sí solo es casi inútil para la tensión. El acero en ese punto está en un estado bidimensional, y una sola lectura no puede separar cuánta de la deformación es estiramiento a lo largo del elemento, cuánta es el apretón de Poisson a través de él, y cuánta es corte deslizando la superficie. Tres cantidades, una medición.

La solución es antigua, barata y está en todas partes en un laboratorio de ensayos: coloca tres galgas en tres ángulos conocidos en el mismo punto y lee las tres. Ese grupo es una roseta extensométrica. Con tres lecturas puedes resolver las tres incógnitas del estado de deformación superficial, rotar a las direcciones principales, y solo entonces convertir a tensión. Este es el puente entre lo que un instrumento puede medir, la deformación, y lo que una norma verifica, la tensión.

Esta guía está escrita para tres lectores a la vez. Si eres un estudiante que se topa con las rosetas en un curso de resistencia de materiales, este es el capítulo que suele condensarse en una sola diapositiva densa de trigonometría. Si eres un ingeniero en ejercicio o un calculista independiente que valida un modelo contra un ensayo físico, así es como conviertes el registrador de datos en una tensión que puedes comparar con tu análisis. Y si solo quieres la conclusión: en un elemento cargado rara vez conoces de antemano las direcciones principales, así que una galga puede leer cero justo donde la tensión es máxima.

Cada número de los ejemplos resueltos salió del motor FEM de CalcSteel corriendo una viga IPE 300 real, y luego las tensiones de la teoría de vigas se pasaron por las matemáticas de la roseta y se invirtieron de vuelta. El lazo cerró hasta el tercer decimal, que es el objetivo de todo el ejercicio: la galga lee lo que el análisis predice, una vez que haces la transformación correctamente.

La superficie de un elemento cargado es un problema de estado plano de tensiones: la cara libre no soporta tensión a través de su espesor, así que el estado en un punto queda descrito por completo con tres números en el plano de la superficie. En términos de deformación son la deformación normal a lo largo del eje del elemento εx, la deformación normal a través de él εy, y la deformación angular ingenieril γxy, el cambio del ángulo recto entre esas dos direcciones.

Una galga extensométrica no mide ninguna de estas directamente a menos que la alinees perfectamente. Mide la deformación normal a lo largo de su propia rejilla, en el ángulo θ en que la rejilla se ubique. La ley de transformación conecta las dos:

ε(θ) = εx cos²θ + εy sin²θ + γxy sinθ cosθ

Una galga da una ecuación con tres incógnitas. Dos galgas dan dos ecuaciones, aún insuficientes. Tres galgas en tres ángulos distintos dan tres ecuaciones independientes, y ahora el sistema es resoluble para εx, εy y γxy. Esa es toda la razón por la que una roseta tiene tres rejillas y no dos ni cuatro. A veces se añade una cuarta galga solo como verificación redundante, nunca porque las matemáticas la necesiten.

Fíjate en lo que esto significa físicamente. Si supones que el elemento está en tracción simple y pegas una galga a lo largo del eje, estás apostando a que εy y γxy no te importan. En un ala en flexión pura esa apuesta resulta acertada. En un alma en corte falla por completo, como muestra el ejemplo resuelto más abajo, y no hay ningún aviso en la lectura única que te diga que la apuesta estaba equivocada.

En principio funcionan tres ángulos distintos cualesquiera, pero los fabricantes estandarizan dos disposiciones porque sus fórmulas de inversión son limpias y sus errores se comportan bien.

La roseta rectangular, 0 / 45 / 90

Tres rejillas a 0, 45 y 90 grados. Es la caballo de batalla. Como la galga a se ubica sobre el eje x y la galga c sobre el eje y, dos de las tres incógnitas salen sin álgebra alguna: εx = εa y εy = εc. Solo el corte necesita la lectura a 45 grados. Úsala cuando tengas una suposición razonable de las direcciones principales, por ejemplo una galga alineada con el eje de una viga o de una columna, porque entonces la galga a y la galga c quedan cerca de los valores principales.

La roseta delta, 0 / 60 / 120

Tres rejillas a 0, 60 y 120 grados, repartidas uniformemente alrededor del círculo. No tiene dirección preferida, así que es la elección honesta cuando las direcciones principales son realmente desconocidas: cerca de una soldadura, un agujero, una cartela, o una zona de carga combinada. La inversión necesita un poco más de aritmética, pero es simétrica y está numéricamente bien condicionada.

Ambas vienen como patrones apretados y apilados de unos pocos milímetros de ancho, de modo que las tres rejillas muestrean esencialmente el mismo punto. La elección entre ellas trata de lo que sabes antes de pegar la galga, no de la precisión. Deja registrado en la hoja de ensayo el orden del cableado y la dirección de referencia de la galga a, porque toda fórmula que sigue depende de a cuál rejilla física llamas a, b y c.

Todo en este artículo es una sola ecuación aplicada tres veces. Merece una lectura cuidadosa, porque el error de roseta más común de todos se esconde dentro de ella.

ε(θ) = εx cos²θ + εy sin²θ + γxy sinθ cosθ

• εx cos²θ proyecta la deformación normal axial sobre la dirección de la galga. En θ = 0 es todo εx; en θ = 90 se anula.
• εy sin²θ hace lo mismo para la deformación normal transversal. En θ = 90 es todo εy.
• γxy sinθ cosθ es la contribución del corte. Es cero en θ = 0 y θ = 90, y máxima en θ = 45. Por eso la galga a 45 grados es la que percibe el corte.

La trampa es la definición de γxy. Esta fórmula usa la deformación angular ingenieril, el cambio completo del ángulo recto. La deformación tensorial de corte que se usa en el círculo de Mohr es la mitad, εxy = γxy / 2. Confunde las dos y todo resultado de corte queda desviado por un factor de dos, en silencio, porque ambos números parecen plausibles. A lo largo de esta guía γ es la deformación angular ingenieril, y el factor de un medio aparece explícito allí donde el círculo lo necesita.

Un hábito más que vale la pena mantener: aquí las deformaciones se dan en microdeformación, µε, es decir partes por millón, 10⁻⁶. Una lectura de 750 µε es una deformación de 0,000750. El acero fluye alrededor de 1250 a 1750 µε según el grado, así que una roseta en un elemento en servicio vive en el rango de unos pocos cientos de µε, que es exactamente lo que muestran los ejemplos.

Escribe la ley de transformación en los tres ángulos de la roseta 0/45/90 y el álgebra casi desaparece.

En θ = 0: εa = εx.
En θ = 90: εc = εy.
En θ = 45: εb = εx (½) + εy (½) + γxy (½) = (εx + εy)/2 + γxy/2.

Las dos primeras dan εx y εy gratis. Reordena la tercera para el corte:

γxy = 2εb − εa − εc

Esa es toda la inversión. Tres lecturas entran, tres componentes de deformación salen, con una resta. La razón por la que la galga a 45 grados no puede omitirse ahora es evidente: sin εb no hay forma de llegar a γxy, y γxy es lo que lleva toda la información de corte.

Una verificación rápida que puedes hacer sobre cualquier conjunto de datos: si 2εb es igual a εa + εc, el corte es cero y tus ejes de galga ya son los ejes principales. Si no lo es, la diferencia es el corte, y las direcciones principales están rotadas respecto de tus líneas de galga.

La roseta delta reparte sus rejillas a 0, 60 y 120 grados. La galga a sigue ubicándose sobre el eje x, así que εx = εa como antes. Las otras dos necesitan la ley de transformación con cos²60 = ¼, sin²60 = ¾, y sinθ cosθ = ±√3/4:

εb = ¼ εx + ¾ εy + (√3/4) γxy
εc = ¼ εx + ¾ εy − (√3/4) γxy

Suma las dos para cancelar el corte, luego despeja εy; réstalas para aislar γxy:

εy = (2εb + 2εc − εa) / 3
γxy = 2(εb − εc) / √3

La simetría es todo el atractivo. La deformación transversal viene de la suma de las dos galgas fuera del eje, el corte de su diferencia, y ninguna fórmula favorece dirección alguna. Esa imparcialidad es la razón por la que la disposición delta es la herramienta correcta cerca del pie de una soldadura o de una cartela, donde no tienes ninguna suposición honesta de hacia dónde apuntan los ejes principales.

Con εx, εy y γxy en mano, el estado de deformación superficial es plenamente conocido, y hallar sus valores principales es el mismo círculo de Mohr que ya usas para la tensión, con la deformación tensorial de corte εxy = γxy/2 en el eje vertical. Las deformaciones principales son:

ε1,2 = (εx + εy)/2 ± √[ ((εx − εy)/2)² + (γxy/2)² ]

y el ángulo desde el eje x hasta la dirección de ε1 es:

tan 2θp = γxy / (εx − εy)

El centro del círculo es la deformación normal media, y su radio es la mayor deformación angular que ve el punto, γmax/2. Las dos deformaciones principales son las deformaciones normales extremas, y actúan sobre planos libres de corte. Para el acero, donde la superficie está sin fluir y elástica, estas deformaciones principales se mapean directamente sobre las tensiones principales en el paso siguiente.

Puedes sentir toda la construcción moviendo el deslizador de corte en la herramienta del círculo de Mohr de abajo y observando cómo oscila el ángulo principal. Cuando γxy es cero, el círculo se apoya sobre el eje horizontal y las direcciones principales son tus líneas de galga. A medida que crece el corte, el círculo se eleva y los ejes principales rotan hacia los 45 grados, que es exactamente el caso de corte puro que mostrará la galga del alma.

Una roseta mide deformación, pero el diseño se escribe en tensión. La superficie elástica está en estado plano de tensiones, así que las dos tensiones principales salen de las dos deformaciones principales a través de la ley de Hooke:

σ1 = E/(1 − ν²) · (ε1 + ν ε2)
σ2 = E/(1 − ν²) · (ε2 + ν ε1)

con el acero E = 200 GPa y ν = 0,30. El término de acoplamiento ν ε2 importa: no puedes convertir cada deformación principal en una tensión por separado, porque una deformación en una dirección produce tensión en ambas a través del efecto de Poisson. Omite el acoplamiento y un ala uniaxial con ε2 = −225 µε reportaría unos espurios 45 MPa en el segundo eje en lugar de cero.

Una vez que tienes las tensiones principales, el número que una norma de acero realmente verifica es la tensión equivalente de von Mises, que para un estado plano de tensiones es:

σvm = √(σ1² − σ1σ2 + σ2²)

Compara σvm con la tensión de fluencia, 275 MPa para el acero S275 del ejemplo, y tienes una utilización. Este es el mismo criterio detrás de las verificaciones de la norma en la guía del círculo de Mohr y la tensión principal, alcanzado aquí a partir de una medición física en lugar de una tensión calculada. Los tres puntos resueltos de abajo recorren esta cadena de principio a fin.

Toma la IPE 300 sobre un vano de 6 m bajo una carga uniforme de 18 kN/m. El motor de CalcSteel devuelve un momento al centro del vano de 81,0 kNm con cortante nulo ahí, coincidiendo con wL²/8 exactamente. Pega una roseta rectangular al ala inferior en el centro del vano, con la galga a a lo largo del eje del elemento. El módulo resistente que el motor usa para esta sección es Sx = 540 cm³, así que la tensión en la fibra es:

σx = M / Sx = 81,0 kNm / 540 cm³ = 150,0 MPa de tracción, con σy = 0 y τ = 0.

Este es un estado uniaxial, así que las deformaciones son εx = σx/E = 750 µε y εy = −ν εx = −225 µε. Pásalas por la ley de transformación y las tres galgas leen:

• Galga a, 0 grados: +750,3 µε, el estiramiento axial completo.
• Galga b, 45 grados: +262,6 µε, el promedio de las dos deformaciones normales, (750,3 − 225,1)/2.
• Galga c, 90 grados: −225,1 µε, la contracción de Poisson a través del ala, y es negativa.

Invierte: γxy = 2(262,6) − 750,3 − (−225,1) = 0, así que los ejes de galga son principales, θp = 0. Las deformaciones principales son simplemente εa y εc, y la ley de Hooke da σ1 = 150,0 MPa, σ2 = 0, von Mises 150,0 MPa, una utilización de 0,55 contra el S275.

Dos lecciones viven en este punto sencillo. Primero, la galga a 90 grados lee negativo aunque el ala esté en tracción, puramente por Poisson, y un lector que lo olvide creerá que el ala está en compresión a lo ancho. Segundo, la trampa: si hubieras pegado una sola galga y esta hubiera quedado a 45 grados, leerías 262,6 µε y, multiplicando por E, reportarías 53 MPa. La tensión real es 150 MPa. La galga no está equivocada. Leerla como si estuviera alineada es lo equivocado.

Ahora mueve la galga al alma en el eje neutro, directamente sobre el apoyo. Aquí el motor devuelve el cortante máximo, V = 54 kN, igual a wL/2, y el momento flector es cero. En el eje neutro la tensión de flexión es cero por definición, así que el estado es de corte puro. La tensión de corte de la viga es τ = VQ/(I t), con el momento estático Q = 301 × 10³ mm³, el momento de inercia I = 8097 cm⁴ y el espesor de alma t = 7,1 mm del motor:

τ = (54 kN)(301 × 10³ mm³) / (8097 cm⁴ × 7,1 mm) = 28,3 MPa, con σx = σy = 0.

Corte puro significa εx = 0 y εy = 0, y solo γxy = τ/G = 368 µε es distinto de cero. Coloca una roseta rectangular aquí, con la galga a a lo largo del eje, y las lecturas son contundentes:

• Galga a, 0 grados: 0 µε.
• Galga b, 45 grados: +183,8 µε, que es γxy/2.
• Galga c, 90 grados: 0 µε.

Invierte: γxy = 2(183,8) − 0 − 0 = 367,6 µε. Las deformaciones principales son ±183,8 µε en θp = 45 grados, y la ley de Hooke da tensiones principales de +28,3 y −28,3 MPa, un von Mises de 49,0 MPa.

Este es el ejemplo que justifica todo el instrumento. Una sola galga pegada a lo largo del eje del elemento en este punto lee exactamente cero y te dice que el acero está descargado. No lo está: las tensiones principales son ±28 MPa y el material está trabajando. La tensión se esconde a 45 grados, donde ninguna galga axial está mirando, y solo la roseta la encuentra. Siempre que no puedas garantizar dónde se ubican las direcciones principales, una galga puede leer cero en el peor punto.

El punto más general lleva flexión y cortante juntos, y sus direcciones principales no caen ni en 0 ni en 45 grados. Toma la unión de alma y ala al cuarto del vano, x = 1,5 m, en el lado de compresión. El motor devuelve M = 60,75 kNm y V = 27 kN ahí. En la unión, y = 139,3 mm desde el eje neutro, la tensión de flexión es σx = −M y / I = −104,5 MPa (compresión), y el corte a partir del momento estático del ala Q = 232 × 10³ mm³ es τ = 10,9 MPa.

Como las direcciones principales son desconocidas aquí, usa una roseta delta, con la galga a a lo largo del eje. Las deformaciones en estado plano de tensiones son εx = (σx − ν σy)/E = −522,6 µε, εy = −ν σx/E = +156,8 µε, y γxy = τ/G = 141,7 µε. Las tres galgas delta leen:

• Galga a, 0 grados: −522,6 µε.
• Galga b, 60 grados: +48,3 µε.
• Galga c, 120 grados: −74,4 µε.

Invierte con las fórmulas delta: εx = −522,6, εy = (2·48,3 + 2·(−74,4) − (−522,6))/3 = +156,8 µε, y γxy = 2(48,3 − (−74,4))/√3 = +141,7 µε. Las deformaciones principales son +164,1 y −529,9 µε en θp = 84,1 grados, una dirección que nunca habrías adivinado. La ley de Hooke da tensiones principales σ1 = +1,1 MPa y σ2 = −105,6 MPa, y un von Mises de 106,2 MPa, una utilización de 0,39 contra el S275.

La conclusión es el eje principal rotado. La acción dominante es la compresión axial, así que la compresión principal se ubica cerca del eje del elemento y la tracción principal cerca de la vertical, a 84 grados. Ningún grupo de dos galgas y ninguna lectura única habría encontrado ese ángulo. Solo tres lecturas, pasadas por la transformación, recuperan tanto la magnitud como la dirección.

Cada uno de estos convierte datos limpios de galga en una tensión equivocada, y ninguno lanza un error en el registrador de datos.

1. Deformación angular ingenieril frente a tensorial. La ley de transformación usa la γxy ingenieril, el círculo de Mohr usa γxy/2. Mete γxy en el círculo como si fuera el valor tensorial y todo resultado de corte se duplica.
2. Perder el orden de las galgas. Toda fórmula depende de cuál rejilla física es a, b y c y hacia dónde apunta la galga a. Intercambia b y c en una roseta delta y el signo del corte se invierte, rotando el eje principal en el sentido equivocado. Registra la dirección de referencia en la hoja de ensayo.
3. Multiplicar una sola lectura por E. E por una lectura de galga es una tensión solo si esa galga está alineada con un eje principal y el estado es uniaxial. En la galga a 45 grados o en un alma cortada da un número equivocado con toda confianza.
4. Omitir el acoplamiento de Poisson. σ1 depende tanto de ε1 como de ε2 a través de E/(1−ν²)(ε1 + ν ε2). Convertir cada deformación principal por separado sobreestima un eje e inventa tensión en el otro.
5. Ignorar la temperatura. Una galga pegada responde a la expansión térmica además de a la carga. Sin una galga muda o una lámina autocompensada en temperatura, unos pocos grados de deriva se leen como decenas de microdeformación de carga fantasma.
6. Olvidar que es una medición de superficie. Una roseta lee la superficie libre, donde la tensión a través del espesor es cero. Eso es estado plano de tensiones, que es lo que asume la forma de la ley de Hooke de arriba. No es el interior de la sección, y no es estado plano de deformaciones.

La forma más rápida de interiorizar el círculo de deformaciones es moverlo. La calculadora de abajo es la herramienta del círculo de Mohr de CalcSteel, gratuita y sin inicio de sesión para las matemáticas. Ingresa las εx, εy y γxy recuperadas de cualquiera de los puntos resueltos, o escribe un estado de tensiones directamente, y observa cómo se actualizan los valores principales y el ángulo de rotación. Pon el alma en corte puro, εx = εy = 0 con γxy = 368 µε, y observa el círculo centrado en el origen con direcciones principales a 45 grados.

En la práctica el flujo de trabajo corre en ambos sentidos. Antes de un ensayo, construyes el elemento en CalcSteel, lees el momento y el cortante en la posición de la galga desde el motor FEM, y calculas la deformación que la roseta debería leer, de modo que un valor atípico el día del ensayo señala un despegue o un error de cableado en lugar de una sorpresa en el acero. Después de un ensayo, inviertes las lecturas reales con las fórmulas de aquí y comparas la tensión de von Mises con el análisis. Los tres puntos de arriba se generaron exactamente así, esfuerzos del motor hacia fuera, matemáticas de roseta hacia dentro, y el lazo cerró hasta el tercer decimal.

Desde aquí, los dos vecinos que vale la pena leer son la construcción del círculo de Mohr que sustenta el paso principal, y la deformación de fluencia, que fija el nivel de microdeformación donde la ley de Hooke elástica que usaste aquí deja de ser válida.