Arriostramiento lateral de cerchas: el criterio del cordón comprimido detrás de la norma

Una cercha parece una malla de barras delgadas, pero bajo carga gravitatoria su cordón superior hace un trabajo contundente: llevar una gran compresión, panel tras panel, de un apoyo al otro. Eso convierte al cordón superior en una columna tumbada de lado. Y como cualquier columna, lo que puede soportar no lo fija su área ni su límite elástico. Lo fija el pandeo, y el pandeo lo fija la distancia entre los puntos donde algo realmente sujeta el cordón en su sitio.

Aquí está la parte que confunde a la gente, y es específica de las cerchas. Las diagonales del alma, los montantes y las diagonales, se encuentran con el cordón superior en cada nudo de panel. Es tentador decir que el cordón está por tanto arriostrado en cada nudo de panel, punto. Eso solo es medio cierto. Las diagonales del alma sujetan el cordón en el plano de la cercha. No hacen casi nada para impedir que el cordón se arquee hacia el costado, fuera del plano de la cercha. De lado, el cordón solo está sujeto donde pongas un arriostramiento lateral: una correa, una riostra, una línea de tirantería atada a algo rígido.

Así que todo el diseño gira en torno a una distancia, la separación de los arriostramientos laterales sobre el cordón comprimido, y este artículo trata del criterio detrás de ella. Lo derivamos de Euler, luego corremos una verificación resuelta completa sobre una cercha real de 24 m cuyo cordón SHS 120 lleva 720 kN, y observamos el mismo cordón pasar o fallar dependiendo solo de con qué frecuencia esté arriostrado. Es el primo específico de cerchas de nuestra pieza general sobre lo que un arriostramiento debe entregar realmente.

Da un empujón a una barra comprimida y pandea alrededor de su eje más débil disponible sobre su mayor longitud no arriostrada. Un cordón de cercha tiene dos longitudes no arriostradas bien distintas, y el error es usar la corta para ambas.

• En el plano (alrededor del eje perpendicular al plano de la cercha). Aquí el cordón quiere arquearse dentro del plano vertical de la cercha. Pero cada nudo de panel tiene un montante y una diagonal llegando a él, y esas diagonales del alma sujetan el nudo de panel en el plano. Así que la longitud no arriostrada en el plano es un panel: Lx = 3.0 m, automáticamente, gratis.
• Fuera del plano (alrededor del eje en el plano de la cercha). Aquí el cordón quiere arquearse hacia el costado, fuera del plano. Las diagonales del alma están en ese plano; no ofrecen ninguna restricción lateral. El cordón está sujeto de lado solo donde un arriostramiento lateral real lo ata. Si lo arriostras en cada panel, Ly = 3.0 m; cada dos paneles, Ly = 6.0 m; solo en el centro del vano, Ly = 12.0 m.

Para una sección doblemente simétrica como el tubo hueco cuadrado que usaremos, el radio de giro es el mismo alrededor de ambos ejes, así que las dos verificaciones difieren solo por su longitud. Al cordón no le importa que una longitud venga de las diagonales del alma y la otra de las correas. Pandea sobre la longitud no arriostrada que sea mayor, porque, como estamos a punto de ver, esa es la que cuesta más resistencia.

Parte de la carga de pandeo de una barra ideal, el resultado de Euler: P_e = π²EI / (KL)². Divide por el área y escríbelo en la forma de la norma, y la tensión utilizable es función de un solo número, la esbeltez KL/r:

F_e = π²E / (KL/r)²,  luego F_cr según AISC 360 E3

Dos hechos sobre esa expresión gobiernan todo el diseño. Primero, la resistencia depende de (KL/r)² en el denominador, así que cae con el cuadrado de la longitud no arriostrada. Reduce la longitud a la mitad y casi cuadruplicas la capacidad; duplícala y recortas la capacidad a aproximadamente un cuarto. Segundo, como KL/r aparece solo a través de la longitud y el radio r, y un cordón cuadrado tiene un solo r, la única perilla que separa la verificación en el plano de la de fuera del plano es la longitud no arriostrada misma.

Eso nos da el criterio en una frase. El arriostramiento lateral existe para acortar Ly hasta que la verificación fuera del plano no sea peor que la verificación en el plano que las diagonales del alma ya te dieron gratis. Arriostra el cordón de lado en cada nudo de panel y Ly = Lx = 3.0 m, así que las dos verificaciones coinciden y el cordón trabaja a su resistencia en el plano. Deja huecos y Ly crece, la curva fuera del plano se desploma por la línea de Euler, y el cordón falla ante una fuerza que soporta con holgura en el plano. El resto del artículo es poner números a esa frase.

La cercha y la carga

Toma una cercha de cubierta Pratt de cordones paralelos que salva un vano de S = 24 m, canto d = 2.0 m de centro a centro de cordones, dividida en ocho paneles de 3.0 m. Pon una carga gravitatoria mayorada de w = 20 kN/m sobre el cordón superior (cubierta, instalaciones y un caso de nieve pesada), aplicada como cargas en los nudos de panel. Cada apoyo lleva 240 kN.

La fuerza en el cordón a mano, luego con el motor

Una cercha de cordones paralelos lleva la flexión global como un par: los cordones son las alas, el canto d es el brazo de palanca. Corta la cercha en el centro del vano y toma momentos. La fuerza en el cordón es el momento global dividido por el canto:

C = M_max / d,  M_max = wS² / 8 = 20 · 24² / 8 = 1440 kN·m

C = 1440 / 2.0 = 720 kN (compresión, cordón superior)

Corrimos la misma cercha en el motor FEM de producción de CalcSteel, como modelo articulado, y leímos la fuerza axil en cada barra. El panel de cordón superior más cargado, junto al centro del vano, devuelve 720.0 kN de compresión, coincidiendo con el valor del método de las secciones hasta el último dígito. Esa es la demanda que el cordón, y su arriostramiento, tiene que sobrevivir. También confirma la intuición: la fuerza en el cordón es máxima cerca del centro del vano, exactamente donde menos quieres que falte un arriostramiento lateral.

Dispón un SHS 120 x 120 x 8 acabado en caliente en S355 para el cordón superior: área A = 3584 mm², momento de inercia I = 753 cm⁴, radio de giro r = 45.8 mm, el mismo alrededor de ambos ejes. Primero, arriostra lo lateralmente en cada nudo de panel, de modo que Ly = Lx = 3.0 m. La esbeltez es

KL/r = 3000 / 45.8 = 65.4

Eso está por debajo del límite E3 de 4.71√(E/F_y) = 111.8, así que estamos en el rango inelástico y F_cr = 0.658^(F_y/F_e) por F_y. Con F_e = π²E / 65.4² = 461 MPa, F_cr = 257 MPa. La resistencia de diseño es

φP_n = 0.90 · 257 · 3584 / 1000 = 829 kN

Frente a la demanda de 720 kN eso es una utilización del 87 %. El cordón pasa, con holgura pero sin desperdicio. Fíjate en lo que hizo el trabajo: nada de la sección cambió, simplemente nos aseguramos de que la longitud fuera del plano igualara la longitud en el plano que las diagonales del alma ya proporcionaban. Cuando las dos longitudes coinciden, el cordón entrega toda su resistencia como columna.

Ahora mantén exactamente el mismo cordón y exactamente la misma demanda de 720 kN, y cambia una sola cosa: arriostra lo lateralmente solo en cada dos nudos de panel, de modo que Ly = 6.0 m. Las diagonales del alma siguen dando Lx = 3.0 m en el plano, así que la verificación en el plano no cambia y sigue pasando. Pero fuera del plano la longitud se ha duplicado:

KL/r = 6000 / 45.8 = 130.9  (ahora superado 111.8, así que pandeo elástico)

F_e = 115 MPa, F_cr = 0.877 F_e = 101 MPa, φP_n = 326 kN

La utilización es 720 / 326 = 221 %. El cordón que pasaba al 87 % ahora falla por más de un factor de dos, y no cambió nada salvo la separación de arriostramientos. Duplicar Ly cuadruplicó a la baja la resistencia, exactamente como prometía la curva 1/L².

Fuérzalo una vez más, a un único arriostramiento lateral en el centro del vano, Ly = 12.0 m. Entonces KL/r = 262, que supera el límite superior recomendado de 200 en la AISC 360 para barras comprimidas. Ese cordón no está permitido en absoluto, antes incluso de calcular una resistencia (sería de 82 kN, una utilización del 884 %). La lección es la trampa en una línea: las diagonales del alma te adormecen haciéndote creer que el cordón está arriostrado a 3 m, pero fuera del plano solo está arriostrado donde dibujaste una correa.

Acortar Ly supone que el arriostramiento es real. Una línea en un plano no es un arriostramiento; la norma le pide entregar dos cosas separadas, y una barra simbólica puede satisfacer una mientras incumple la otra. Esto es el Apéndice 6 de la AISC 360, arriostramiento puntual (nodal), y es la misma prueba de dos partes que cubrimos en profundidad para columnas y vigas en rigidez y resistencia del arriostramiento.

Para un arriostramiento puntual que sujeta el cordón en cada nudo de panel, con la fuerza del cordón arriostrado P_r = 720 kN y separación de arriostramientos L_b = 3.0 m:

• Resistencia. El arriostramiento debe llevar P_br = 0.01 P_r = 7.2 kN. Eso es pequeño, solo el 1 % de la fuerza del cordón, por lo que la resistencia rara vez es el problema.
• Rigidez. El arriostramiento, y todo lo que va hasta un punto rígido, debe ser al menos beta_br = (1/φ)(8 P_r / L_b) = (1/0.75)(8 · 720 / 3.0) = 2560 kN/m. Este es el requisito que un arriostramiento endeble incumple.

El número de rigidez es el que hay que respetar. Un arriostramiento puede sobrar de resistente para 7.2 kN y aun así ser demasiado flexible: si se estira o la conexión desliza bajo carga, el punto de arriostramiento efectivo del cordón se mueve, Ly no es realmente 3.0 m, y el pandeo que creías haber evitado ocurre de todos modos. Un arriostramiento tiene que estar presente, ser suficientemente resistente, y suficientemente rígido, y este último es el que falla en silencio.

Toda la verificación resuelta es una sola curva, el desplome de la resistencia a compresión a medida que crece la longitud no arriostrada. Puedes manejarla abajo. Toma una barra comprimida, fija su sección, y sube su longitud: la carga crítica se desliza por la curva de Euler y la resistencia utilizable con ella. Ese es exactamente el eje cerca de cuyo tope un arriostramiento lateral te permite mantenerte.

Fija la longitud al tamaño de tu panel y lee la resistencia; luego al doble del tamaño del panel y observa cómo cae a aproximadamente un cuarto. Ese factor es por qué la separación de arriostramientos, no el tamaño de la sección, suele ser la manera más barata de hacer que un cordón de cercha funcione. Cuando termines, la pieza sobre el factor de longitud efectiva K explica el KL de la fórmula, y el pandeo de Euler establece por qué la curva es una ley cuadrática.

Todo hasta aquí arriostró el cordón superior porque la gravedad lo pone en compresión. Pero una cercha de cubierta también ve succión de viento, y la succión invierte las fuerzas axiles en ambos cordones. Bajo una succión neta el cordón superior entra en tracción y el cordón inferior entra en compresión, y ahora el cordón inferior es la columna que necesita arriostramiento.

Corre la misma cercha con una succión neta mayorada de w_up = 12 kN/m y el motor devuelve una compresión de cordón inferior de 432 kN (M_up/d = 12 · 24² / 8 / 2.0 = 432 kN, coincidiendo hasta el dígito). El cordón inferior suele arriostrarse mucho menos a menudo que el superior, porque bajo gravedad es una barra traccionada y las barras traccionadas no pandean. Ese hábito es precisamente la trampa: en el momento en que la succión puede poner el cordón inferior en compresión, su separación de arriostramientos laterales tiene que satisfacer la misma verificación de ley cuadrática que el cordón superior, o el cordón pandea de lado sin ninguna chapa de cubierta cerca que lo atrape.

Este es el ítem que más se pasa por alto en un plano de arriostramiento de cerchas. El cordón superior recibe correas pienses o no en el arriostramiento; el cordón inferior recibe un arriostramiento lateral solo si alguien dibuja deliberadamente la línea de arriostramiento del cordón inferior para el caso de succión. En una cubierta ligera de gran luz, la succión a menudo gobierna el cordón inferior por completo.

Un arriostramiento lateral en un nudo de panel sujeta el cordón solo si el propio arriostramiento está sujeto. Los 7.2 kN y, más importante aún, los 2560 kN/m tienen que viajar desde el cordón de vuelta a algo que no se mueve. Dejado como un tocón que sobresale de lado, un arriostramiento no arriostra nada.

En una cubierta real ese anclaje es el sistema de arriostramiento: las correas atan cada cordón de cercha al siguiente, y una línea de arriostramiento diagonal en el plano de la cubierta (o un vano arriostrado de cerchas) recoge todas esas pequeñas fuerzas de arriostramiento y las lleva a un punto rígido, un pórtico hastial, un muro de cortante, una torre arriostrada. Es la misma lógica que cualquier sistema de arriostramiento de acero: los arriostramientos individuales solo valen tanto como el camino de carga que los ancla. La verificación de rigidez del Apéndice 6 es una verificación de ese camino completo, arriostramiento más conexión más el sistema detrás, no solo la pequeña riostra en el cordón.

Dos consecuencias prácticas. Primero, la fuerza de arriostramiento se acumula: la diagonal que recoge diez arriostramientos de nudo de panel ve aproximadamente diez veces 7.2 kN, no 7.2 kN. Segundo, la rigidez es en serie: una riostra rígida atornillada a un sistema blando sigue siendo un arriostramiento blando. Dimensiona el anclaje, no solo el tocón.

Los errores que convierten un cordón correcto de libro en uno fallado:

• Usar la longitud del panel para la verificación fuera del plano. Las diagonales del alma arriostran el cordón solo en el plano. Fuera del plano, Ly es la separación de arriostramientos laterales, que suele ser mayor. Este es el error de arriostramiento de cerchas más común, y es exactamente el 87 % frente al 221 % de nuestra verificación resuelta.
• Arriostrar solo para resistencia. Los 7.2 kN son triviales; los 2560 kN/m no lo son. Un arriostramiento que es resistente pero blando deja que el cordón pandee de todos modos. Verifica la rigidez de todo el camino.
• Olvidar la succión en el cordón inferior. Bajo gravedad el cordón inferior está en tracción y no necesita arriostramiento; bajo succión lleva 432 kN de compresión y sí. Dejarlo fuera es la falla clásica de cubiertas de gran luz.
• Arriostrar un cordón a la nada. Un arriostramiento necesita un anclaje. Si el sistema de arriostramiento no lleva la fuerza de vuelta a un punto rígido, el punto de arriostramiento no es realmente un punto de arriostramiento.
• Superar KL/r = 200. Un único arriostramiento en el centro del vano de nuestro cordón da KL/r = 262, superando el límite de la norma, así que la barra no está permitida sin importar la resistencia calculada.

Preguntas frecuentes

¿Arriostran las diagonales del alma el cordón superior? En el plano, sí: el montante y la diagonal en cada nudo de panel sujetan el cordón en el plano de la cercha, así que Lx equivale a un panel. Fuera del plano, no: están en el plano y no dan restricción lateral. Fuera del plano necesitas un arriostramiento lateral separado.

¿Qué tan separados pueden estar los arriostramientos laterales? Tanto como permita la verificación de ley cuadrática. Para nuestro cordón SHS 120 a 720 kN, aproximadamente 3.0 m funciona (87 %) y 6.0 m no (221 %). La respuesta escala con el r de la sección y la fuerza del cordón, así que es un cálculo, no una regla del pulgar, aunque muchos proyectistas buscan un Ly cercano a la longitud del panel para que las dos verificaciones coincidan.

¿Necesita el cordón inferior alguna vez arriostramiento lateral? Sí, siempre que un caso de carga (succión de viento, o una carga móvil) pueda ponerlo en compresión. Un cordón traccionado no pandea, pero el mismo cordón bajo carga invertida sí, y debe satisfacer la misma verificación.

El arriostramiento lateral de una cercha es una idea aplicada con cuidado: el cordón comprimido es una columna, y los arriostramientos deciden qué tan larga es esa columna.

• La fuerza del cordón es C = M/d. Nuestra cercha de 24 m pone 720 kN en el cordón superior SHS 120, motor y cálculo a mano coincidiendo hasta el dígito.
• El cordón tiene dos longitudes no arriostradas. Las diagonales del alma dan Lx = 3.0 m en el plano gratis; el arriostramiento lateral fija Ly fuera del plano, y solo Ly es tuyo para perder.
• La resistencia cae con 1/L², así que el mismo cordón pasa al 87 % arriostrado cada 3.0 m, falla al 221 % arriostrado cada 6.0 m, y no está permitido arriostrado solo en el centro del vano.
• El Apéndice 6 quiere que el arriostramiento entregue resistencia (7.2 kN) y rigidez (2560 kN/m), y que lleve ambas de vuelta a un anclaje rígido. La rigidez gobierna.
• La succión invierte los cordones: el cordón inferior lleva 432 kN de compresión y necesita su propio arriostramiento, el ítem que más a menudo se deja fuera del plano.

¿Quieres probarlo en tu propia cercha? La calculadora de pandeo de columnas y el editor completo de CalcSteel son gratuitos, y CalcSteel es gratis para estudiantes. Fija la fuerza del cordón, dimensiona la sección, y deja que la separación de arriostramientos haga el trabajo.