L'arc à trois articulations : pourquoi l'articulation le rend résoluble par la statique seule

La plupart des structures courbes ne peuvent pas être résolues par la statique seule. Un arc encastré, construit encastré à ses deux naissances, est hyperstatique au troisième degré : l'équilibre vous fournit trois équations et la structure cache six réactions inconnues, si bien que vous ne pouvez pas trouver les efforts sans faire intervenir la section, le matériau et un calcul de compatibilité. Même l'arc à deux articulations, plus doux, articulé à ses deux appuis, cache encore une inconnue surabondante que l'équilibre ne peut pas atteindre, et cette inconnue est précisément la poussée horizontale que l'arc exerce vers l'extérieur contre ses fondations.

L'arc à trois articulations est l'exception, et c'est exactement pour cela qu'il ouvre tout cours d'Analyse des structures et de Structures I. Ajoutez une articulation de plus, à la clé, et la structure courbe devient isostatique. Quatre idées d'équilibre toutes simples vous donnent alors chaque réaction à la main, sans aucune référence à la section, au matériau ou à la température. C'est le cas rare où une structure courbe, qui exerce une poussée, est aussi maniable qu'une poutre sur deux appuis simples.

Cet article traite le sujet de bout en bout. Une seule formule, H = M_c / h, fait tout le travail ; trois exemples résolus y mettent des chiffres réels, chacun vérifié face au moteur d'éléments finis de CalcSteel ; et une courte expérience démontre la chute annoncée dans le titre, à savoir que la troisième articulation transforme un problème de raideur en un problème de statique et que la poussée cesse de se soucier de la section que vous choisissez. Géométrie de référence tout du long : portée L = 20 m, flèche h = 5 m, soit h/L = 1/4.

Un arc est un élément courbe qui reprend la charge transversale principalement par compression axiale le long de sa longueur, plutôt que par flexion dans sa hauteur. Parce qu'il travaille en compression, on peut en construire un en pierre, en brique ou en béton non armé, des matériaux résistants en compression et presque inutiles en traction. C'est toute la raison pour laquelle l'arc a survécu à toutes les autres formes structurales anciennes : il transforme une charge descendante en une compression que le matériau peut réellement encaisser.

Une poutre fait l'inverse. Elle franchit sa portée par flexion : la fibre supérieure se raccourcit, la fibre inférieure s'allonge, et le matériau doit être bon à la fois en compression et en traction. L'arc échange cette flexion contre de la compression, et le prix de cet échange se paie aux appuis. Un arc chargé n'appuie pas droit vers le bas sur ses naissances ; il appuie vers l'extérieur et vers le bas, selon une droite inclinée. La composante verticale de cette réaction est V, familière sur toute poutre. La composante horizontale est la poussée H, et c'est la caractéristique déterminante du comportement de l'arc : les appuis doivent physiquement résister à l'écartement.

Nommons la géométrie, car la suite de l'article s'en sert. La distance horizontale entre appuis est la portée L. La hauteur de la clé au-dessus de la ligne des naissances est la flèche h. Les appuis sont les naissances ; le sommet de l'arc est la clé. Le rapport h/L est ce qui fixe la poussée. Comme H = M_c / h, un arc plus surbaissé (h plus petit) exige une poussée H plus grande pour reprendre la même charge : divisez la flèche par deux et vous doublez la poussée. Un arc élancé ménage ses fondations ; un arc plat et élégant les malmène.

Les arcs se présentent selon trois dispositions d'appuis, et ils occupent trois positions très différentes sur l'échelle de l'isostaticité. La différence tient entièrement au nombre de composantes de réaction que chacun porte, comparé au nombre d'équations dont vous disposez pour les trouver.

L'arc encastré (sans articulation) est encastré à ses deux extrémités. Chaque appui encastré porte une réaction horizontale, une réaction verticale et un moment : 6 composantes de réaction. Face à elles, vous n'avez que les 3 équations de l'équilibre global, si bien que l'arc encastré est hyperstatique au 3e degré. L'arc à deux articulations est articulé à ses deux appuis. Une articulation porte une réaction horizontale et une réaction verticale mais aucun moment, il y a donc 4 composantes de réaction face à 3 équations d'équilibre : hyperstatique au 1er degré. L'unique inconnue surabondante qu'il cache est exactement la poussée horizontale H, le seul nombre que l'équilibre ne peut pas vous donner. L'arc à trois articulations garde les deux articulations d'appui mais ajoute une articulation à la clé. Toujours 4 réactions, mais vous disposez maintenant d'une quatrième équation, et il devient isostatique.

Voici l'idée clé, et il est facile de l'inverser. L'articulation de clé n'ajoute aucune réaction : c'est une articulation interne, pas un appui, elle n'introduit donc aucun effort nouveau dans le décompte. Ce qu'elle ajoute, c'est une équation de condition : le moment fléchissant doit être nul à une articulation, car une articulation ne peut pas transmettre de moment. Cette équation supplémentaire est exactement ce qui manquait à l'arc à deux articulations. Il lui en manquait une, et l'articulation de clé en fournit précisément une. C'est là toute l'astuce.

Faisons le décompte complet pour l'arc à trois articulations. Deux appuis articulés donnent 4 composantes de réaction inconnues : une horizontale et une verticale en A, une horizontale et une verticale en B. Pour résoudre quatre inconnues, il faut quatre équations indépendantes. L'équilibre global en fournit trois : ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0. L'articulation de clé fournit la quatrième : le moment fléchissant à la clé est nul. Quatre inconnues, quatre équations, donc le degré d'hyperstaticité vaut 0. La structure est exactement isostatique.

La quatrième équation s'appelle une équation de condition, et le nom mérite d'être compris. Les équations d'équilibre ordinaires décrivent la structure dans son ensemble. Une équation de condition décrit une libération interne : elle dit qu'en un point précis, un effort interne est contraint à une valeur connue par la façon dont la structure est construite. À une articulation, cet effort est le moment fléchissant interne, et sa valeur connue est zéro, car une articulation est libre de tourner et ne peut pas transmettre de moment à travers elle. Écrivez cette condition et vous avez ajouté une équation sans ajouter la moindre inconnue.

Chaque articulation interne d'une structure vaut une équation de condition, et réduit donc d'un le degré d'hyperstaticité. L'arc à deux articulations était hyperstatique au premier degré, à exactement une équation près. Insérez une articulation, gagnez exactement une équation, et le déficit se referme à zéro. C'est la règle générale qui sous-tend toute la famille des arcs, et c'est pourquoi c'est le nombre d'articulations, et non le nombre d'appuis, qui fait de l'arc à trois articulations le membre maniable de l'ensemble.

La solution se réduit à deux étapes et une formule : H = M_c / h. La quantité M_c n'est pas le moment propre de l'arc. C'est le moment fléchissant qu'une poutre sur deux appuis simples de même portée, soumise aux mêmes charges verticales, aurait à la position horizontale de la clé. Vous résolvez une poutre droite fictive, vous y lisez un seul nombre, vous le divisez par la flèche, et vous avez la poussée. La formule suppose que les deux naissances sont au même niveau.

Étape 1 : les réactions verticales. Appliquez l'équilibre global à l'arc entier. Comme les deux naissances sont au même niveau, les deux réactions horizontales agissent le long de cette même ligne et ont un bras de levier nul par rapport à l'un ou l'autre appui. Prendre les moments en A ne fait donc intervenir que les réactions verticales et les charges appliquées, exactement comme pour une poutre droite sur deux appuis simples de portée L. Il en résulte que V_A et V_B sont identiques aux réactions de la poutre sur deux appuis. Les composantes verticales de l'arc ne sont que celles de la poutre.

Étape 2 : la poussée. Coupez l'arc à la clé et prenez la moitié gauche (de A à la clé C) comme corps libre. La moitié droite ne peut appuyer sur la moitié gauche qu'à travers l'articulation en C, et une articulation transmet une force mais aucun moment. Prenez donc les moments en C, et la force inconnue à l'articulation disparaît entièrement. Il reste V_A·(L/2) moins H_A·h moins le moment des charges de la moitié gauche par rapport à C, le tout égal à zéro. Remarquez maintenant le groupe V_A·(L/2) moins les moments des charges : c'est précisément le moment fléchissant de la poutre sur deux appuis à la position de la clé, M_c. L'équation est donc M_c moins H·h = 0, qui se réarrange en H = M_c / h. Un corps libre, une équation de moment, et la poussée en tombe.

Prenons un arc à trois articulations en pointe (triangulaire), de portée L = 20 m, de flèche h = 5 m, soumis à une seule charge ponctuelle verticale P = 40 kN à la clé. Appliquons la recette. La charge est à mi-portée, donc par symétrie les réactions verticales la partagent également : V_A = V_B = P/2 = 20 kN.

Maintenant la poussée. Le moment de la poutre sur deux appuis à mi-portée sous une charge ponctuelle centrale est le classique M_c = PL/4 = 40 × 20 / 4 = 200 kN·m. Divisez par la flèche : H = M_c / h = 200 / 5 = 40 kN. C'est toute la solution à la main. Chaque réaction : A porte H = 40 kN et V = 20 kN, et B porte H = 40 kN et V = 20 kN.

Le moteur de CalcSteel, la clé étant modélisée comme une libération de moment en about de barre et les deux appuis articulés, renvoie A (H = 40 kN, V = 20 kN) et B (H = 40 kN, V = 20 kN), en accord avec les valeurs calculées à la main à la précision machine, avec un moment nul aux deux articulations. La géométrie offre un bonus : puisque chaque jambe droite d'un arc en pointe va d'un appui au sommet et que la seule charge est au sommet, chaque moitié est une barre soumise à deux forces. Elle reprend une compression axiale pure de valeur √(20² + 40²) = 44,7 kN, sans aucune flexion sur toute la longueur de la jambe. Une charge ponctuelle au sommet d'un arc en pointe est funiculaire : la forme suit exactement la charge, si bien que rien ne fléchit.

Toute la méthode se réduit à une seule lecture : trouver le moment fléchissant de la poutre sur deux appuis à la position de la clé, puis diviser par la flèche. Tout le reste est de l'arithmétique. Le calculateur gratuit d'effort tranchant et de moment de CalcSteel ci-dessous vous donne ce moment directement. Fixez la portée, posez les mêmes charges verticales que celles de l'arc, et lisez M_c directement sur le diagramme du moment fléchissant à la position horizontale de la clé. Ensuite H = M_c / h.

Reproduisez l'exemple 1 pour prendre le pli : une travée sur deux appuis simples de 20 m avec une charge de 40 kN à mi-portée donne M_c = 200 kN·m, et 200 / 5 = 40 kN de poussée. Ou reproduisez l'exemple 3 ci-dessous : placez une charge de 60 kN au quart de la portée d'une travée de 20 m, lisez le moment sous la mi-portée, et vous obtiendrez 150 kN·m, soit H = 30 kN. Le calculateur est le vrai solveur, pas un aperçu, et il tourne dans votre navigateur sans connexion pour le calcul.

Lorsque vous voulez l'arc lui-même plutôt que la poutre équivalente, modélisez-le dans l'éditeur complet de CalcSteel : posez une libération de moment au nœud de clé, articulez les deux appuis, et lisez les réactions. Le même moteur d'éléments finis qui a produit chaque nombre de cet article y tourne sur la structure entière.

Maintenant un arc à trois articulations parabolique, mêmes L = 20 m et h = 5 m, soumis à une charge uniforme w = 10 kN/m sur toute la portée, mesurée par unité de longueur horizontale. Les réactions verticales sont celles de la poutre sur deux appuis pour une charge uniforme sur toute la travée : V_A = V_B = wL/2 = 100 kN. Le moment de la poutre sur deux appuis à mi-portée est le classique M_c = wL²/8 = 10 × 20² / 8 = 500 kN·m, donc la poussée vaut H = M_c / h = 500 / 5 = 100 kN.

Le moteur confirme les réactions, 100 kN verticale et H = 100 kN à chaque naissance. Mais le résultat frappant est la flexion. Modélisé en 16 segments, le moteur rapporte un moment fléchissant pratiquement nul en tout point de l'arc. Rien ne fléchit, nulle part. La parabole est la forme funiculaire pour une charge uniforme horizontale : la ligne de poussée, le trajet que la compression veut naturellement suivre, coïncide exactement avec l'axe de l'arc. Quand l'axe et la ligne de poussée sont la même courbe, il n'y a aucune excentricité pour fléchir la section, et tout l'arc travaille en compression pure.

La compression n'est pas constante le long de l'arc. Elle égale la poussée H = 100 kN à la clé, où l'axe est horizontal, et croît vers les naissances où l'axe est raide, atteignant la résultante des réactions d'appui, √(100² + 100²) = 141,4 kN. C'est la raison pour laquelle les arcs franchissent de si grandes portées avec si peu de matière : accordez la forme de l'arc à la charge et la flexion disparaît, ne laissant que la compression que le matériau encaisse bien. Trompez-vous de forme, comme le montre l'exemple suivant, et la flexion revient.

Voici la partie qui répond littéralement au titre. Reprenez l'arc en pointe de l'exemple 1 avec sa charge centrale P = 40 kN et résolvez-le deux fois dans le moteur, en ne changeant que la section. D'abord avec un profil léger, de l'ordre d'un IPE 400. Puis avec un profil bien plus lourd et plus raide, de l'ordre d'un W 600. La poussée revient H = 40,0 kN dans les deux cas, identique à quatre chiffres significatifs ou plus. Les réactions d'une structure isostatique ne dépendent pas du tout de la raideur EI, car l'équilibre seul les fixe, et l'équilibre ne mentionne jamais la section.

Retirez maintenant l'articulation de clé pour en faire un arc à deux articulations, hyperstatique au premier degré, et recommencez. La poussée est maintenant H = 31,0 kN avec la section légère et 30,9 kN avec la lourde. Deux choses ont changé à la fois, et les deux comptent. La valeur n'est plus le beau 40 kN que donnait la statique, car l'équilibre seul ne peut plus la trouver ; et elle varie avec la section, car les efforts dans une structure hyperstatique suivent la raideur relative des barres. Vous ne pouvez pas résoudre l'arc à deux articulations sans connaître EI, et la réponse obtenue y est liée.

Ce contraste est tout l'enjeu. La troisième articulation transforme un problème de raideur en un problème de statique. Pour un arc à trois articulations, vous n'avez jamais besoin de EI, d'un ordinateur ou d'une hypothèse sur la section pour obtenir les réactions ; un crayon et l'équilibre suffisent. Il y a un corollaire qui va au-delà de la simple commodité. Une structure isostatique ne développe aucune contrainte propre sous un déplacement imposé : un appui qui tasse, ou une élévation uniforme de température qui cherche à dilater l'arc, est simplement absorbé par la rotation libre aux articulations. Ainsi un arc à trois articulations tolère une culée qui s'enfonce ou un été chaud sans aucun effort inventé, là où un arc à deux articulations ou encastré développerait une flexion réelle pour combattre le mouvement. C'est la même leçon que notre note compagne sur le tassement d'appui tire sur une poutre continue, vue de l'autre côté : c'est l'isostaticité qui achète l'immunité.

L'isostaticité de l'arc à trois articulations rend les réactions résolubles à la main. Elle ne rend pas l'arc exempt de flexion. Seule une charge accordée, funiculaire, le fait. Voici le contre-exemple. Prenez l'arc parabolique, mêmes L = 20 m et h = 5 m, mais chargez-le d'une seule charge ponctuelle P = 60 kN à x = 5 m de l'appui gauche, au quart de la portée.

Les réactions viennent encore directement de la poutre sur deux appuis équivalente. En prenant les moments, la réaction éloignée vaut V_B = P·a/L = 60 × 5 / 20 = 15 kN, et la proche vaut V_A = 60 − 15 = 45 kN. Le moment de la poutre sur deux appuis à la clé, qui se trouve à mi-portée, est M_c = V_A × 10 − P × (10 − 5) = 450 − 300 = 150 kN·m. Vérifiez-le du côté droit : V_B × 10 = 150 kN·m, la même valeur. La poussée vaut donc H = M_c / h = 150 / 5 = 30 kN. Le moteur confirme V_A = 45 kN, V_B = 15 kN, H = 30 kN.

Mais maintenant l'arc fléchit. Une seule charge ponctuelle décentrée n'est pas funiculaire pour une parabole : la ligne de poussée de cette charge n'est pas la parabole selon laquelle l'arc a été construit, les deux courbes s'écartent donc, et l'écart entre elles est une excentricité, et l'excentricité, c'est du moment. Le moteur rapporte un moment fléchissant réel qui se développe le long de l'arc, culminant à environ 112,5 kN·m. Le point pédagogique mérite d'être dit clairement : les trois articulations rendent les réactions résolubles par la statique, mais elles ne rendent pas l'arc exempt de flexion. Que l'arc fléchisse ou non dépend de l'accord entre la charge et la forme, pas du nombre d'articulations.

L'arc à trois articulations apparaît partout où ses deux vertus, l'isostaticité et le montage facile, valent plus que la raideur brute. On le trouve dans les toitures de grande portée : gymnases, hangars d'avions, halls d'exposition et entrepôts, où une portée libre et une structure légère comptent. Il est courant dans les ponts de faible portée et les passerelles piétonnes, dans les portiques en lamellé-collé et en acier détaillés avec une articulation au faîtage, et dans les arcs en béton préfabriqué qui arrivent sur le chantier en deux moitiés et sont articulées ensemble à la clé.

Les avantages découlent directement de tout ce qui précède. Il est isostatique, donc l'analyse se fait à la main et sans discussion. Il est robuste au tassement et à la température, n'inventant aucune contrainte propre quand une culée s'enfonce ou que l'acier chauffe. Et il est facile à construire : deux moitiés sont levées, rejointes au sommet et articulées, sans lourde éclisse de continuité à fabriquer et à aligner à la clé. Les inconvénients sont l'envers de la même médaille. L'articulation de clé est un détail réel qu'il faut construire, protéger et entretenir. Et un arc à trois articulations est plus flexible qu'un arc à deux articulations ou encastré, il se déforme donc davantage, surtout sous charge dissymétrique, où les deux moitiés peuvent basculer autour de la clé. Pour les portées très grandes ou fortement chargées, les concepteurs acceptent souvent l'analyse hyperstatique d'un arc à deux articulations ou encastré, précisément pour gagner ce supplément de raideur.

Une précaution prime sur toutes les autres : la poussée doit aller quelque part. Elle doit être transmise à une fondation assez raide et assez résistante pour empêcher l'écartement, ou elle doit être reprise par un tirant tendu courant entre les deux naissances, ce qui transforme l'ensemble en arc à tirant et laisse le tirant, plutôt que le sol, refermer l'effort horizontal. Ignorer H est la rupture classique de l'arc : les appuis s'écartent, la portée s'ouvre, et l'arc s'affaisse. Un arc n'est pas une poutre courbe, et ses fondations ne sont pas celles d'une poutre.

L'arc à trois articulations est simple à résoudre et facile à mal lire. Voici les pièges qui prennent le plus souvent les étudiants et les ingénieurs en exercice.

• Oublier la poussée. L'erreur la plus coûteuse de toutes. Un arc n'est pas une poutre courbe : il pousse vers l'extérieur sur ses appuis, et cette poussée horizontale H est réelle, grande et permanente. Si votre modèle ou votre fondation l'ignore, les appuis s'écartent et l'arc rompt.
• Utiliser le moment propre de l'arc dans H = M_c / h. M_c est le moment fléchissant de la poutre sur deux appuis à la position de la clé, calculé sur une poutre droite fictive de même portée et de même charge. Ce n'est pas le moment dans l'arc lui-même (qui, à l'articulation de clé, est de toute façon nul). Résolvez la poutre équivalente, pas l'arc, pour obtenir M_c.
• L'articulation de clé doit-elle être exactement au centre ? Non. La formule compacte H = M_c / h suppose que la clé est au-dessus de la référence et que les naissances sont de niveau, mais la méthode est générale : prenez les moments par rapport à la position réelle de l'articulation, sur la moitié qui la contient, et la poussée en tombe où que soit l'articulation.
• Parabole, cercle ou chaînette, quelle forme ? La forme funiculaire dépend de la charge. Une parabole est funiculaire pour une charge uniforme par unité de longueur horizontale (comme notre exemple 2). Une chaînette est funiculaire pour une charge répartie le long de la propre longueur de l'arc, comme le poids propre. Un arc circulaire n'est funiculaire pour aucune des deux, il reprend donc toujours une certaine flexion, même sous son propre poids.
• Un arc à trois articulations est-il plus faible ? Il est plus flexible, et il voit des moments de pointe plus grands sous charge dissymétrique. Mais il est bien plus facile à analyser et il est insensible au tassement et aux contraintes propres d'origine thermique. Il échange de la raideur contre de l'isostaticité, et pour bien des structures c'est le bon échange.
• Comment le modéliser ? Posez une libération de moment au nœud de clé, articulez les deux appuis, et lisez les réactions. Un bon contrôle de cohérence est inclus : changez la section et les réactions ne devraient pas bouger. Si elles bougent, c'est que vous n'avez pas réellement libéré la clé.

• Deux articulations d'appui donnent 4 réactions ; trois équations d'équilibre plus une équation de condition (moment nul à l'articulation de clé) donnent 4 équations, si bien que l'arc à trois articulations est isostatique, degré 0. L'articulation de clé ajoute une équation, pas une réaction.
• La poussée vaut H = M_c / h, où M_c est le moment de la poutre sur deux appuis à la position de la clé, et un arc plus surbaissé (h plus petit) appelle une poussée plus grande.
• Une parabole sous charge uniforme est funiculaire : la ligne de poussée se pose sur l'axe de l'arc, la flexion est pratiquement nulle, et l'arc travaille en compression pure, ce qui explique pourquoi il franchit de grandes portées avec peu de matière.
• La poussée de l'arc à trois articulations est indépendante de la raideur (H = 40,0 kN pour une section légère comme pour une section lourde), alors que la poussée de l'arc à deux articulations dérive (31,0 contre 30,9 kN). L'isostaticité rend aussi l'arc insensible au tassement et aux contraintes propres d'origine thermique.
• Résoluble ne veut pas dire sans flexion : une charge ponctuelle décentrée sur une parabole développe quand même une flexion réelle (jusqu'à environ 112,5 kN·m), car seule une charge accordée, funiculaire, l'annule.
• La poussée ne disparaît jamais : elle doit aboutir sur une fondation capable ou un tirant tendu entre les naissances. L'ignorer écarte les appuis et fait s'affaisser l'arc.