Les câbles et la chaînette : flèche, traction et la géométrie qui porte la charge

La plupart des éléments de structure sont un compromis. Une poutre reprend un peu de tout : flexion, effort tranchant, parfois effort normal. Un poteau travaille surtout en compression mais doit aussi être vérifié vis-à-vis de la flexion qu'entraîne le flambement. Un câble ne fait aucun compromis, car il en est physiquement incapable. Il ne peut pas pousser, donc il ne reprend aucune compression. Il n'a pour ainsi dire aucune hauteur, donc il ne reprend ni flexion ni effort tranchant. Un câble ne sait faire qu'une seule chose : tirer. Chacune de ses particules est en traction axiale pure, et rien d'autre.

Cela ressemble à une limitation paralysante, et en un sens c'en est une. Mais c'est aussi ce qui fait du câble la structure la plus honnête et la plus maniable de tout le cours d'Analyse des structures et de Structures I. Parce qu'un câble ne peut pas résister à la flexion, il ne peut pas forcer la charge à prendre une forme de son choix comme le fait une poutre rigide. Il n'a pas d'autre choix que de pendre selon l'unique forme qui reprend la charge par la seule traction. Cette forme porte un nom, le funiculaire, du latin qui désigne la corde, et tout le propos de cet article est que la géométrie du câble et ses efforts internes sont un seul et même fait vu deux fois.

Cet article traite le sujet de bout en bout. Une seule formule, H = M_c / d, fait tout le travail, et c'est exactement la formule que l'arc utilise pour sa poussée, ce qui n'a rien d'un hasard. Trois exemples résolus y mettent des chiffres réels, chacun vérifié face au moteur d'éléments finis de CalcSteel : une charge ponctuelle qui fait un V, une charge uniforme qui fait une parabole, et le poids propre qui fait une chaînette. Géométrie de référence tout du long : une portée L = 20 m entre deux ancrages au même niveau.

Un câble est un élément si élancé que sa raideur de flexion est négligeable : un câble d'acier, un toron de pont, une chaîne, un câble de précontrainte, un hauban. Modélisez-le comme parfaitement flexible et les conséquences sont absolues. Il ne reprend aucun moment fléchissant nulle part, car il n'a aucune raideur pour résister à la rotation. Il ne reprend aucune compression, car dès que l'on tente de pousser sur une corde, elle se détend simplement et flambe pour s'écarter. Il reste l'unique effort interne qu'une ligne flexible peut transmettre le long d'elle-même : la traction axiale. En tout point, la traction agit selon la tangente au câble, et c'est pourquoi le câble s'incurve pour suivre la charge plutôt que d'y résister sur place.

Un arc paie sa compression aux appuis : il appuie vers l'extérieur, et les naissances doivent résister à l'écartement. Un câble paie le prix inverse, en miroir. Parce que sa traction tire selon une droite inclinée à chaque extrémité, un câble chargé ne pend pas droit sous ses appuis. Il tire ses ancrages vers l'intérieur et vers le bas. La composante verticale de cette traction est V, familière sur toute réaction de poutre. La composante horizontale est la traction horizontale H, et c'est la caractéristique déterminante du comportement du câble : les ancrages doivent physiquement résister à être tirés l'un vers l'autre.

Nommons la géométrie, car la suite de l'article s'en sert. La distance horizontale entre appuis est la portée L. La chute verticale de la corde (la droite qui joint les ancrages) jusqu'au point le plus bas est la flèche d. Les appuis sont les ancrages ; le bas de la courbe est le point le plus bas. Le rapport d/L est ce qui fixe la traction, et il fonctionne exactement à rebours de l'intuition : un câble plus plat (flèche plus faible) exige un H plus grand pour reprendre la même charge. Tendez une corde à linge et elle pend encore, car un câble parfaitement droit ne peut reprendre aucune charge transversale.

Voici l'idée qui déverrouille tout le reste. Parce qu'un câble ne peut tirer que le long de sa propre longueur, il n'est en équilibre que lorsque sa forme s'aligne parfaitement sur le trajet de la charge. Si un seul morceau du câble avait la mauvaise forme, il resterait une composante de charge qu'il ne pourrait pas équilibrer par la seule traction, et il se déplacerait jusqu'à ce que la forme soit juste. Le câble trouve donc, de lui-même, la forme funiculaire : l'unique courbe le long de laquelle la charge donnée est reprise par la seule traction. Ce n'est pas vous qui imposez la forme au câble. C'est la charge.

Changez la charge et vous changez la forme, et il y a trois cas que tout cours aborde. Suspendez quelques charges concentrées au câble et il forme un polygone funiculaire : des segments droits entre les charges, avec un point anguleux à chaque point d'application, car une longueur droite de câble entre deux charges ponctuelles n'a rien qui l'incurve. Appliquez une charge uniforme par unité de longueur horizontale, à la façon dont le tablier d'un pont suspendu pend de son câble porteur par des suspentes rapprochées, et le câble prend une parabole. Faites porter au câble uniquement son propre poids, qui est uniforme par unité de longueur mesurée le long du câble, et il prend une chaînette, la courbe de la chaîne suspendue.

Ce ne sont pas des approximations d'une seule vraie forme. Ce sont trois réponses exactes à trois questions différentes, et savoir les distinguer représente la moitié de ce que ce sujet enseigne. La parabole et la chaînette en particulier semblent presque identiques quand le câble est surbaissé et divergent quand il pend profondément, et savoir quand la différence compte est un vrai jugement d'ingénieur que nous tranchons avec des chiffres plus loin dans l'article.

La solution se réduit à deux étapes et une formule, et c'est le jumeau en traction de l'arc. Étape 1 : les réactions verticales. Appliquez l'équilibre global au câble entier. Comme les deux ancrages sont au même niveau, les deux tractions horizontales agissent le long de cette même ligne et ont un bras de levier nul par rapport à l'un ou l'autre appui. Prendre les moments en un ancrage ne fait donc intervenir que les réactions verticales et les charges appliquées, exactement comme pour une poutre droite sur deux appuis simples de portée L. Il en résulte que V_A et V_B sont identiques aux réactions de la poutre sur deux appuis. Les composantes verticales du câble ne sont que celles de la poutre.

Étape 2 : la traction. Coupez le câble à son point le plus bas et prenez une moitié comme corps libre. Au point le plus bas, la tangente est horizontale, si bien que la traction interne y est purement horizontale et égale à H, sans composante verticale et sans moment. Prenez les moments par rapport à ce point de coupe et tout s'effondre. Il reste V_A·(distance au point le plus bas) moins le moment des charges de cette moitié, le tout équilibré par H·d. Remarquez maintenant que le premier groupe est précisément le moment fléchissant de la poutre sur deux appuis à la position du point le plus bas, M_c. L'équation est donc M_c moins H·d = 0, qui se réarrange en H = M_c / d.

C'est le même H = M_c / h que l'arc à trois articulations utilise pour sa poussée, avec la flèche d du câble à la place de la flèche h de l'arc. L'arc transforme M_c en compression qui pousse vers l'extérieur ; le câble transforme le M_c identique en traction qui tire vers l'intérieur. Résolvez une poutre droite imaginaire, lisez-y un seul moment, divisez par la flèche, et vous avez la traction. Tout ce qui suit n'est qu'arithmétique et interprétation.

Prenons un câble ancré en deux points distants de L = 20 m au même niveau, portant une seule charge ponctuelle verticale P = 40 kN à mi-portée, et suspendu de sorte que la flèche sous la charge soit d = 5 m. Avec une seule charge concentrée, le funiculaire est le plus simple des polygones, un V symétrique de deux segments droits. Appliquons la recette. La charge est à mi-portée, donc par symétrie les réactions verticales la partagent également : V_A = V_B = P/2 = 20 kN.

Maintenant la traction. Le moment de la poutre sur deux appuis à mi-portée sous une charge ponctuelle centrale est le classique M_c = PL/4 = 40 × 20 / 4 = 200 kN·m. Divisez par la flèche : H = M_c / d = 200 / 5 = 40 kN. C'est toute la solution à la main. Chaque ancrage porte H = 40 kN tirant vers l'intérieur et V = 20 kN tirant vers le bas. Comme chaque jambe droite va d'un ancrage à la charge sans rien qui agisse entre les deux, chaque jambe est une barre soumise à deux forces en traction pure, de valeur √(40² + 20²) = 44,7 kN, constante sur toute sa longueur.

Le moteur de CalcSteel, le câble étant modélisé comme une chaîne à deux segments avec une libération de moment au point le plus bas pour imposer la condition de câble flexible, renvoie A (H = 40 kN, V = 20 kN) et B (H = 40 kN, V = 20 kN), une traction d'appui de 44,7 kN et un moment nul partout, en accord avec la solution à la main à la précision machine. Comparez avec l'arc : une charge ponctuelle centrale sur un arc à trois articulations triangulaire de même portée et de même flèche donne les mêmes 40 kN, 20 kN et 44,7 kN, mais en compression. Le câble est l'arc réfléchi dans un miroir.

Voici maintenant le cas qui porte la plupart des câbles du monde. Un câble de portée L = 20 m reçoit une charge w = 10 kN/m uniforme par unité de longueur horizontale, l'idéalisation d'un tablier de pont suspendu accroché au câble porteur par de nombreuses suspentes verticales rapprochées. Suspendez-le avec une flèche réaliste d = 2 m, le dixième de la portée. Les réactions verticales sont celles de la poutre sur deux appuis pour une charge uniforme sur toute la travée : V_A = V_B = wL/2 = 100 kN. Le moment de la poutre sur deux appuis à mi-portée est le classique M_c = wL²/8 = 10 × 20² / 8 = 500 kN·m, donc la traction vaut H = M_c / d = 500 / 2 = 250 kN.

Sous une charge uniforme par unité de longueur horizontale, le funiculaire est une parabole exacte, et le moteur le confirme : modélisé en seize segments sur la parabole avec la libération au point le plus bas, il rapporte un moment pratiquement nul en tout point et une traction pure partout, avec des réactions de 100 kN verticale et 250 kN horizontale à chaque ancrage. C'est le miroir en traction de l'arc funiculaire : accordez la forme à la charge et la flexion disparaît, ne laissant que l'effort axial pour lequel le matériau est fait.

Mais la traction n'est pas constante le long du câble, et c'est ce qui piège le plus d'étudiants. La composante horizontale H = 250 kN est constante, la même dans chaque segment, car rien n'applique de force horizontale entre les ancrages. La traction totale est la résultante de ce H constant et de l'effort tranchant vertical que le câble reprend, lequel croît de zéro au point le plus bas jusqu'à la réaction complète aux ancrages. La traction est donc minimale au point le plus bas, où elle égale H = 250 kN, et maximale aux ancrages, où elle atteint √(250² + 100²) = 269 kN. Le câble est aussi plus long que la portée : à cette flèche, il mesure environ 20,52 m de câble pour franchir 20 m de vide. Un câble est toujours le plus sollicité là où il rencontre son appui.

La formule H = wL²/(8d) cache une décision de conception qui a des conséquences sur toute structure câblée réelle. La traction est inversement proportionnelle à la flèche. Fixez la portée et la charge, et la seule variable libre est la profondeur à laquelle vous laissez pendre le câble, et ce seul choix fixe l'effort dans le câble et l'effort sur les ancrages.

Mettons-y des chiffres avec le câble parabolique ci-dessus, w = 10 kN/m sur L = 20 m. À une flèche profonde de d = 4 m, la traction vaut H = 10 × 20² / (8 × 4) = 125 kN. Divisez la flèche par deux jusqu'à d = 2 m et la traction double à 250 kN. Divisez-la encore par deux jusqu'à d = 1 m et elle double de nouveau à 500 kN. La règle est aussi brutale que cela : divisez la flèche par deux, doublez la traction. Poussez la logique à sa limite et laissez la flèche tendre vers zéro, et H tend vers l'infini : un câble parfaitement droit ne peut reprendre aucune charge transversale, et c'est pourquoi aucune traction, si grande soit-elle, ne rendra une corde à linge plate.

La flèche n'est donc pas un détail esthétique de dernière minute, c'est le principal réglage structural. Un câble surbaissé et élégant paraît léger mais malmène ses ancrages et sollicite ses propres torons. Une flèche profonde ménage tout mais mange de la hauteur libre, exige des pylônes plus hauts et allonge le câble. Chaque pont suspendu, chaque toiture câblée, chaque hauban est un point choisi sur ce compromis, et l'ingénieur qui choisit la flèche choisit en réalité la traction.

La parabole répond à la question du pont suspendu, où le poids du tablier écrase celui du câble et pend par mètre horizontal. Mais un câble nu, une chaîne, une ligne de transport, un hauban peu chargé, porte surtout son propre poids, et le poids propre est uniforme par unité de longueur le long du câble, non par mètre horizontal. Le surcroît de câble dans les parties raides près des ancrages y ajoute du poids, si bien que la vraie forme n'est pas une parabole mais la chaînette, du latin catena, la chaîne.

La chaînette est la courbe y = a·cosh(x/a), où a = H/w est l'unique paramètre qui fixe toute sa géométrie, mesurée depuis le point le plus bas. Sa loi de traction est d'une belle simplicité : la traction en un point quelconque vaut T = w·y, proportionnelle à la hauteur de ce point au-dessus du niveau où la traction serait purement horizontale. La traction est donc minimale en bas et croît avec la hauteur vers les ancrages, et elle ne fait jamais intervenir de racine carrée ni de calcul d'effort tranchant.

Traitons un exemple. Prenons L = 20 m, un câble de poids propre w = 1 kN/m, et choisissons le paramètre a = 10 m. La traction horizontale vaut alors immédiatement H = w·a = 10 kN. La flèche découle de la forme, d = a·(cosh(L/2a) − 1) = 10 × (cosh(1) − 1) = 5,43 m, une flèche profonde. La traction vaut 10 kN au point le plus bas (égale à H) et monte à T = w·y aux sommets, √(10² + 11,75²) = 15,43 kN, la moitié de plus qu'en bas. La longueur propre du câble est S = 2a·sinh(L/2a) = 23,50 m pour franchir un vide de 20 m. Le moteur de CalcSteel, avec les nœuds placés sur la chaînette exacte et le poids propre réparti par longueur d'arc, renvoie H = 10 kN, une traction d'appui de 15,43 kN et une flexion négligeable, confirmant chaque nombre.

Les étudiants demandent souvent quelle courbe est la bonne, comme si l'une était la vérité et l'autre une erreur. Les deux sont exactes, pour des charges différentes. La parabole est exacte quand la charge est uniforme par unité de longueur horizontale. La chaînette est exacte quand la charge est uniforme par unité de longueur d'arc, ce qu'est le poids propre. Un câble à la fois chargé par un tablier et lourd de lui-même se situe quelque part entre les deux. La vraie question n'est donc pas laquelle est correcte mais de combien elles s'écartent, et cela dépend presque entièrement de la flèche.

Comparez les deux à portée égale et flèche égale sous le même poids propre, et les chiffres sont sans appel. À un rapport flèche/portée de 1/20, faible, la traction de la chaînette et celle de la parabole ne diffèrent que de 0,3 %. À 1/10, la flèche de service de la plupart des câbles de structure, l'écart est d'environ 1,3 %. À 1/8, il est de 2 %. Ce n'est que lorsque le câble pend profondément que la différence devient réelle : 4,7 % à 1/5, et 6,9 % à 1/4, la flèche profonde de notre exemple de chaînette.

Cela donne une règle empirique nette. Pour un câble surbaissé, dont la flèche ne dépasse pas environ le dixième de la portée, la parabole et la chaînette s'accordent à peu près à un pour cent près, et l'algèbre simple de la parabole suffit amplement au calcul. Pour un câble très fléchi, une chaîne librement drapée, une slackline, un feston décoratif, utilisez la chaînette, car le poids supplémentaire dans les flancs raides change réellement à la fois la forme et la traction. Les câbles de structure surbaissés sont des paraboles à toutes fins pratiques ; les chaînes profondément suspendues sont de vraies chaînettes.

Toute la méthode se réduit à une seule lecture : trouver le moment fléchissant de la poutre sur deux appuis à la position du point le plus bas, puis diviser par la flèche. Tout le reste est de l'arithmétique. Le calculateur gratuit d'effort tranchant et de moment de CalcSteel ci-dessous vous donne ce moment directement. Fixez la portée, posez les mêmes charges verticales que celles du câble, et lisez M_c directement sur le diagramme du moment fléchissant à la position horizontale du point le plus bas. Ensuite H = M_c / d.

Reproduisez l'exemple 1 pour prendre le pli : une travée sur deux appuis simples de 20 m avec une charge de 40 kN à mi-portée donne M_c = 200 kN·m, et 200 / 5 = 40 kN de traction. Ou reproduisez l'exemple 2 : une travée de 20 m sous 10 kN/m donne M_c = 500 kN·m, donc H = 500 / 2 = 250 kN pour 2 m de flèche. Une fois H connu, la traction maximale à l'ancrage n'est que la résultante de H et de la réaction d'extrémité V, et la traction minimale au point le plus bas est H lui-même. Le calculateur est le vrai solveur, pas un aperçu, et il tourne dans votre navigateur sans connexion pour le calcul.

Tout ce qui précède a suivi l'arc comme son ombre, à dessein, et la raison en est désormais explicite. En 1675, Robert Hooke publia le principe sous forme d'anagramme dont la solution se lit ainsi : comme pend la ligne flexible, ainsi mais renversé se dresse l'arc rigide. Suspendez une chaîne entre deux points et elle trouve, gratuitement, le funiculaire de sa charge en traction pure. Renversez cette courbe exacte, figez-la rigide, et vous obtenez l'arc idéal qui reprend la même charge en compression pure. La traction devient compression, la traction horizontale H devient la poussée H, et la formule H = M_c / d est littéralement la même formule, la flèche du câble étant renommée flèche de l'arc.

Ce n'est pas une métaphore, c'est un outil de conception. Antoni Gaudi suspendait des cordelettes lestées à l'envers pour trouver les formes en compression de la Sagrada Familia et de la crypte de la Colonia Guell, lisant l'arc idéal directement sur le modèle suspendu. Le funiculaire d'une charge quelconque est à la fois la forme parfaite du câble et, renversé, la forme parfaite de l'arc, et c'est pourquoi la parabole apparaît comme le câble de suspension idéal et, retournée, comme l'arc idéal sous un tablier uniforme.

La dualité porte aussi l'avertissement. La poussée d'un arc doit aboutir sur une fondation capable de résister à l'écartement, ou sur un tirant tendu entre les naissances. La traction d'un câble doit aboutir sur un ancrage capable de résister au rapprochement, ou sur une entretoise. La force horizontale ne disparaît jamais dans l'un ni dans l'autre, car c'est le mécanisme même qui permet à une ligne courbe de reprendre une charge transversale sans flexion. Respectez la traction et le câble est la structure la plus légère que vous puissiez construire. Ignorez-la et les ancrages bougent, la flèche s'accentue, et l'ensemble perd sa forme.

Les câbles l'emportent partout où la traction est le moyen efficace de franchir une portée, car un élément qui ne fait que tirer n'a besoin d'aucune matière pour résister au flambement et peut être filé dans l'acier le plus résistant qui soit. On les trouve comme câbles porteurs et suspentes des ponts suspendus et comme haubans des ponts à haubans ; comme câbles drapés ou radiaux des toitures câblées de stades et de grandes salles ; comme haubans qui stabilisent mâts, tours et structures provisoires ; comme lignes de transport tendues entre pylônes, où la flèche de la chaînette doit être vérifiée vis-à-vis de la distance de sécurité et de la traction supplémentaire d'une charge de givre ou d'une nuit froide ; et comme câbles de précontrainte qui précompriment le béton, un câble enfoui dans une poutre.

Les avantages découlent de la traction pure. Un câble est extrêmement léger pour la charge qu'il porte, il utilise l'acier à sa pleine résistance sans pénalité de flambement, et il est facile à monter en le tirant plutôt qu'en levant un élément rigide en place. Les inconvénients sont l'autre visage de la flexibilité. Un câble n'a presque aucune raideur propre, si bien qu'il bouge : il change de forme sous charge mobile ou dissymétrique, il s'allonge élastiquement, et il peut galoper ou flotter au vent, ce qui explique pourquoi les vraies structures câblées sont précontraintes, amorties ou raidies par un tablier. Et toute structure câblée vit ou meurt par son ancrage, le détail qui doit rattraper la traction incessante.

Une précaution prime sur toutes les autres, et c'est la même que l'arc enseignait de l'autre côté : la traction doit aller quelque part. Elle doit être transmise à un ancrage assez massif pour résister à être tiré vers l'intérieur, ou reprise par un tirant ou une entretoise qui referme la force horizontale à l'intérieur de la structure, comme la corde d'un arc referme sa poussée. Ignorer H est la rupture classique du câble : les ancrages se rapprochent, la flèche croît, la traction change, et la géométrie dont dépendait tout le projet s'en va sans bruit.

Les câbles sont simples à résoudre et faciles à mal lire. Voici les pièges qui prennent le plus souvent les étudiants et les ingénieurs en exercice.

• Croire que la traction est constante. Seule la composante horizontale H est constante le long du câble. La traction totale est minimale au point le plus bas (égale à H) et maximale aux ancrages. Dimensionnez le câble et l'ancrage pour la traction à l'appui, pas à mi-portée.
• Se tromper de mesure de charge. Une parabole est funiculaire pour une charge par unité de longueur horizontale ; une chaînette pour une charge par unité de longueur d'arc (le poids propre). Les confondre place le poids des flancs raides au mauvais endroit. Les câbles surbaissés s'en soucient à peine, les très fléchis oui.
• Oublier la traction, ou l'ancrage. La traction horizontale H ne disparaît jamais et est souvent la plus grande force du problème. Elle doit être reprise par un ancrage ou un tirant. C'est l'erreur de câble la plus coûteuse de toutes.
• Croire qu'un câble plus tendu est plus sûr. C'est l'inverse. H = wL²/(8d), donc réduire la flèche augmente la traction. Un câble tendu à bloc est un câble à forte traction, et un câble à flèche nulle exige une force infinie.
• Attendre d'un câble qu'il reprenne compression ou flexion. Il ne le peut pas. Si votre analyse met un câble en compression, le vrai câble s'est détendu et s'est retiré de la structure à cet endroit, ce qui est un problème de géométrie que votre modèle linéaire ne vous montrera pas.
• Comment le modéliser ? Placez les nœuds sur la forme funiculaire, articulez les deux ancrages, et libérez le moment au point le plus bas pour que la chaîne soit un câble flexible et non un portique rigide. Un modèle isostatique, avec libération, donne la traction exactement et indépendamment de la section, tout comme un vrai câble.

• Un câble reprend la charge en traction pure, ne peut prendre ni flexion ni compression, et adopte donc la forme funiculaire de sa charge : un polygone pour des charges ponctuelles, une parabole pour une charge uniforme par unité de longueur horizontale, une chaînette pour le poids propre.
• La traction horizontale vaut H = M_c / d, la formule de poussée de l'arc en traction, où M_c est le moment de la poutre sur deux appuis au point le plus bas et d la flèche. Une charge de 40 kN à mi-portée d'un câble de 20 m avec 5 m de flèche donne H = 40 kN, reproduit exactement par le moteur.
• La flèche fixe la traction : H = wL²/(8d), donc diviser la flèche par deux double la traction. Une charge de 10 kN/m sur 20 m tire à 250 kN pour 2 m de flèche, à 500 kN pour 1 m, et exigerait une traction infinie à flèche nulle.
• La traction n'est pas constante : minimale au point le plus bas (égale à H), maximale aux ancrages. Le câble parabolique passe de 250 kN à mi-portée à 269 kN aux pylônes, donc c'est à l'ancrage qu'il est le plus sollicité.
• Chaînette et parabole s'accordent à environ 1 % pour les câbles surbaissés (flèche inférieure au dixième de la portée) et divergent pour les câbles très fléchis (environ 7 % à une flèche du quart de la portée). Les câbles de structure surbaissés sont des paraboles ; les chaînes très fléchies sont de vraies chaînettes.
• Un câble est un arc renversé (Hooke, et les modèles suspendus de Gaudi). La traction ne disparaît jamais et doit aboutir sur un ancrage capable ou un tirant, sinon les ancrages se rapprochent et le câble perd sa forme.