Rigidez y resistencia del arriostramiento: lo que un arriostre debe entregar de verdad para contar como arriostre

Toda investigación de una falla de estabilidad parece dar con la misma fotografía: una diagonal, una cantonera, una barra, atornillada prolijamente en su sitio, sin hacer absolutamente nada. El arriostre estaba presente. Estaba conectado. Y la columna de al lado igual pandeó como si el arriostre no estuviera. La razón casi nunca es que el arriostre fuera demasiado débil. Es que el arriostre era demasiado blando.

Esta es la parte de la estabilidad que sorprende la primera vez. Nos entrenan para dimensionar miembros por fuerza: hallar la demanda, elegir una sección, verificar que su capacidad supere la demanda. Un arriostre no funciona así. Un arriostre no es principalmente un miembro que carga fuerza; es un dispositivo de rigidez. Su trabajo es mantener un punto de una columna o una viga lo bastante quieto para que el miembro se vea forzado a pandear en un modo más corto y más resistente. Y mantener un punto quieto es una cuestión de rigidez primero, resistencia después.

Así que un arriostre tiene que entregar dos cosas distintas, y acertar una no te da la otra. Necesita rigidez suficiente para cambiar el modo de pandeo siquiera, y resistencia suficiente para sobrevivir a la fuerza que el cambio de modo, más la inevitable falta de rectitud de la columna, empuja de vuelta hacia él. Esta guía está escrita para el estudiante que se topa con AISC Apéndice 6 o con el capítulo 16 de Salmon y Johnson por primera vez, y para el ingeniero en ejercicio o freelance que quiere ver los dos requisitos derivados, medidos en un motor de pandeo real, y convertidos en las dos verificaciones normativas que de verdad gobiernan. Cada número abajo está calculado: algunos a mano a partir del modelo de Winter, otros por el solucionador de pandeo por elementos finitos de CalcSteel, y los dos coinciden.

Empecemos por lo que un arriostre te compra. Una columna cargada axialmente y articulada en ambos extremos pandea bajo la carga de Euler, Pe = pi^2 EI / L^2, en una sola curvatura suave sobre toda su longitud L. La forma pandeada tiene su mayor desplazamiento lateral a media altura. Ahí es precisamente donde un arriostre hace más bien.

Sostén ese punto a media altura contra el movimiento lateral y la columna ya no puede curvarse en una sola media onda larga. La forma más baja que le queda es una S: dos medias ondas, una en cada mitad, con un nodo estacionario en el arriostre. Cada mitad se comporta ahora como una columna articulada de longitud L/2, así que la carga crítica pasa a ser pi^2 EI / (L/2)^2 = 4 Pe. Un arriostre en el lugar correcto cuadruplica la carga de pandeo. El miembro no se volvió más resistente en ningún sentido material; su longitud no arriostrada se acortó, y la carga de pandeo escala con uno sobre esa longitud al cuadrado.

Pongámosle números concretos. Toma un IPE 300 (área 53.8 cm2, eje débil Iy = 603 cm4), de 8 m de largo, en acero A992, cargado de modo que quiera pandear respecto a su eje débil, el eje que un arriostre suele controlar. A mano, Pe = pi^2 (200 GPa)(603 cm4)/(8 m)^2 = 186 kN. Arriostra la media altura y la teoría dice 4 Pe = 744 kN. Cuando entregamos este modelo exacto al análisis de pandeo lineal de CalcSteel, la columna no arriostrada devuelve 186.0 kN, coincidiendo con el valor de Euler a tres decimales, y el segundo modo de esa misma columna, la forma en S con un nodo a media altura, queda en 743.9 kN. El arriostre no crea la carga arriostrada de la nada; simplemente hace que el propio segundo modo de la columna sea el que gobierna.

Ahora la trampa. Ese 4 Pe supuso un arriostre rígido: un punto sostenido perfectamente quieto. Los arriostres reales son resortes, no apoyos rígidos. Una diagonal tiene flexibilidad axial EA/L; su conexión de extremo tiene deslizamiento y holgura en los agujeros de los tornillos; el punto al que arriostra puede moverse él mismo. La verdadera pregunta no es si un arriostre existe, sino si es lo bastante rígido y lo bastante resistente, y esas son dos pruebas distintas que un arriostre puede aprobar o reprobar de forma independiente.

La rigidez decide si la columna puede alcanzar la carga arriostrada siquiera. Dale a una columna un arriostre demasiado blando y no salta a 4 Pe; aterriza en algún punto intermedio, porque el arriostre deja que su punto se desplace y la columna pandea en una forma de compromiso más larga que L/2. La rigidez es lo que cambia el modo de pandeo.

La resistencia decide si el arriostre sobrevive una vez que está haciendo su trabajo. Una columna nunca es perfectamente recta. Su pequeña imperfección inicial significa que, bajo carga, el punto arriostrado empuja de verdad lateralmente sobre el arriostre, y el arriostre tiene que empujar de vuelta con una fuerza real sin fluir ni pandear él mismo. La resistencia es lo que carga esa fuerza.

Los dos modos de falla son distintos. Un arriostre resistente pero flexible, una barra gruesa sobre un alcance largo y blando, nunca entrega la carga arriostrada: la columna pandea temprano a una carga por la que nunca se le preguntó a la resistencia del arriostre. Un arriostre rígido pero débil, un elemento corto y rechoncho que fluye a baja fuerza, sostiene el punto justo hasta que llega la demanda, y entonces se rompe y suelta la columna. Un arriostre real tiene que superar ambos umbrales. El resto de esta guía trata de dónde se sitúan esos dos umbrales, y resulta que están ligados: la cantidad de resistencia que un arriostre necesita depende de cuánta rigidez tiene.

La forma clásica de hallar la rigidez que un arriostre necesita es el modelo de barras rígidas de George Winter, y vale la pena hacerlo a mano porque explica la fórmula normativa en una línea. Reemplaza la columna flexible por dos barras rígidas, cada una de longitud Lb = L/2, articuladas en los extremos y con una rótula en el punto de arriostre, donde un resorte de rigidez beta sostiene la unión. Dale al punto de arriostre un pequeño desplazamiento lateral y pregunta qué rigidez de resorte se necesita para mantener la columna quebrada en equilibrio bajo la carga axial P.

Tomando momentos en la barra rígida superior respecto a su articulación superior, la fuerza axial P actuando a través del desplazamiento produce un empuje lateral en el arriostre de P·(desplazamiento)/Lb. La barra inferior aporta lo mismo, así que el resorte debe suministrar 2 P·(desplazamiento)/Lb para sostener la unión. Igualando la fuerza del resorte beta·(desplazamiento) a esa demanda y cancelando el desplazamiento se obtiene la rigidez ideal:

beta_i = 2 Pr / Lb

Esta es la rigidez mínima de resorte que permite que la columna alcance la carga Pr. Provee menos y el punto de arriostre se desplaza y la columna pandea por debajo de la carga arriostrada; provee exactamente beta_i y, en esta columna recta idealizada, la carga arriostrada apenas se alcanza. Para nuestro IPE 300, la carga arriostrada es Pr = 4 Pe = 744 kN y Lb = 4 m, así que beta_i = 2·744/4 = 372 kN/m. Nota de qué depende beta_i: crece con la carga que se arriostra y decrece con la longitud no arriostrada. Cargas mayores y segmentos más cortos necesitan arriostres más rígidos, que es exactamente por qué los arriostres muy juntos en columnas muy cargadas son los que quedan gobernados por la rigidez.

El beta_i de Winter viene de una idealización de barras rígidas, así que la pregunta honesta es si una columna elástica real coincide. Podemos verificarlo directamente. Modela el IPE 300 en el solucionador de pandeo por elementos finitos de CalcSteel, adjunta un único resorte lateral de rigidez beta en el nodo a media altura, y corre el análisis de pandeo lineal para un barrido de beta desde cero hacia arriba. Cada corrida devuelve la carga crítica elástica Pcr; la graficamos contra Pe.

El resultado es la curva que todo texto de arriostramiento dibuja pero rara vez calcula:

• beta = 0 (sin arriostre): Pcr = 1.00 Pe = 186 kN. Pandeo de longitud completa, como se esperaba.
• beta = 0.25 beta_i (93 kN/m): Pcr = 1.80 Pe. Un cuarto de la rigidez ideal compra menos de un tercio del salto.
• beta = 0.50 beta_i (186 kN/m): Pcr = 2.57 Pe. La mitad de la rigidez, bastante menos de la mitad del beneficio.
• beta = 0.75 beta_i (279 kN/m): Pcr = 3.31 Pe.
• beta = 1.00 beta_i (372 kN/m): Pcr = 4.00 Pe = 744 kN. La carga arriostrada se alcanza.
• beta = 2.00 beta_i (744 kN/m): Pcr = 4.00 Pe. Añadir rigidez más allá de beta_i no hace nada por la carga crítica; la columna ya pandea entre arriostres.

Salen dos cosas. Primero, el punto de saturación del motor, el menor beta al que Pcr alcanza 4 Pe, es 371.9 kN/m, frente a los 371.9 kN/m de Winter: coincidencia a cuatro cifras significativas. Para un único arriostre central la fórmula de barras rígidas no solo es cercana, es exacta. Segundo, la aproximación al arriostramiento completo es lenta y no lineal. La mitad de la rigidez ideal no te da la mitad de la carga; te da 2.57 Pe de un posible 4. Esta es la razón cuantitativa por la que un arriostre que está meramente presente, pero blando, casi no vale nada: la rigidez tiene que estar casi todo el camino hasta beta_i antes de que aparezca la mayor parte del beneficio.

El barrido de arriba fue para una columna perfectamente recta. Las columnas reales no lo son, y eso es lo que convierte la cuestión de rigidez en una cuestión de resistencia y fuerza la rigidez de diseño por encima de beta_i.

Dale a la columna una pequeña imperfección inicial en el punto de arriostre, una falta de rectitud Delta_o que las normas toman como cerca de Lb/500. Bajo carga, la fuerza axial actuando a través de ese desvío lo amplifica, y el arriostre tiene que sostener el desplazamiento amplificado. Trabajando el equilibrio de segundo orden del modelo de Winter con la imperfección, la fuerza del arriostre en la carga de diseño resulta:

F_br = beta_i · Delta_o / (1 - beta_i/beta)

Lee lo que hace esa fracción. A medida que la rigidez del arriostre beta se acerca a la ideal beta_i, el denominador tiende a cero y la fuerza requerida del arriostre tiende a infinito. Un arriostre con exactamente la rigidez ideal necesitaría resistencia infinita, porque deja que la imperfección se amplifique sin límite. Esa es toda la razón por la que la rigidez ideal es un piso que debes superar con margen, no un objetivo sobre el que sentarte.

Añade rigidez y la fuerza cae rápido. Para una falta de rectitud Lb/500 (Delta_o = 8 mm aquí) en la carga arriostrada Pr = 744 kN:

• beta = 1.5 beta_i: desplazamiento total 24 mm, fuerza del arriostre 8.9 kN = 1.2% Pr.
• beta = 2.0 beta_i: desplazamiento total 16 mm, fuerza del arriostre 6.0 kN = 0.8% Pr.
• beta = 3.0 beta_i: fuerza del arriostre 4.5 kN = 0.6% Pr.
• beta = 10 beta_i: fuerza del arriostre 3.3 kN, acercándose al piso de 0.4% Pr.

Por esto la regla de diseño es el doble de la rigidez ideal. En beta = 2 beta_i la imperfección inicial de 8 mm aproximadamente se duplica a 16 mm y la fuerza del arriostre se estabiliza en un manejable 0.8% de la carga de la columna. Reduce a la mitad el margen de rigidez, a 1.5 beta_i, y tanto el desplazamiento como la fuerza se disparan. El requisito de rigidez y el requisito de resistencia no son independientes: comprar rigidez por encima de la ideal es lo que mantiene la demanda de resistencia pequeña y finita.

AISC 360 Apéndice 6 convierte exactamente este modelo en dos números por arriostre, una resistencia requerida y una rigidez requerida, y separa los arriostres en dos tipos según cómo trabajan.

El arriostramiento relativo controla un punto arriostrado respecto al adyacente, tal como una diagonal en un panel arriostrado en X ata dos niveles de piso entre sí. El arriostramiento nodal (puntual) sostiene un único punto contra una referencia independiente, efectivamente fija, tal como un puntal horizontal ata una columna a un muro rígido o a un vano arriostrado. Los arriostres nodales trabajan más duro, porque no pueden compartir la demanda con un vecino, así que sus coeficientes son mayores.

Para el arriostramiento de columnas las disposiciones son:

• Nodal: resistencia requerida Pbr = 0.01 Pr; rigidez requerida beta_br = (1/phi)(8 Pr / Lbr), con phi = 0.75.
• Relativo: resistencia requerida Pbr = 0.004 Pr; rigidez requerida beta_br = (1/phi)(2 Pr / Lbr).

Los coeficientes de resistencia, 1% y 0.4%, son el resultado de la imperfección que acabas de ver, redondeado para diseño. Los coeficientes de rigidez llevan el factor de dos por la imperfección más una holgura conservadora adicional: el 8 Pr/Lbr nodal usa el límite de muchos arriostres en lugar del 2 Pr/Lbr de un único arriostre, así que es seguro sin importar cuántos arriostres compartan la columna. Aplicado a nuestro IPE 300 con Pr = 744 kN y Lbr = 4 m, el arriostramiento nodal pide una fuerza de arriostre de 7.4 kN y una rigidez de 1980 kN/m; el arriostramiento relativo pide 3.0 kN y 496 kN/m. El 1/phi en el término de rigidez es deliberado: un arriostre que apenas cumple la rigidez ideal no es seguro, así que la norma exige la rigidez con un factor de resistencia exactamente como lo haría con una resistencia.

Júntalo todo en el IPE 300, arriostrado a media altura a un vano arriostrado rígido (un arriostre nodal), y cargando una carga requerida igual a su capacidad arriostrada, Pr = 744 kN.

Paso 1, la carga que el arriostre habilita. Sin arriostrar, la carga de Euler de eje débil de la columna es 186 kN. Arriostrar la media altura apunta a 4 Pe = 744 kN, así que el arriostre tiene que ser lo bastante bueno para dejar que la columna alcance 744 kN. Todo lo que sigue usa Pr = 744 kN y Lbr = 4 m.

Paso 2, la verificación de resistencia. Resistencia nodal requerida del arriostre Pbr = 0.01·744 = 7.4 kN. Es trivialmente pequeña; casi cualquier cantonera o barra, y sus tornillos, cargan 7.4 kN sin pensarlo. La resistencia rara vez es la restricción que ata para un arriostre compacto.

Paso 3, la verificación de rigidez. Rigidez nodal requerida beta_br = (1/0.75)(8·744/4) = 1980 kN/m. Ahora compara un candidato: una barra de acero de 2.5 m de largo arriostrando al vano rígido provee una rigidez axial EA/L = (200 GPa)·A/2.5 m. Para alcanzar 1980 kN/m se necesita A = 1980·2.5/200e6 = 2.5e-5 m2, cerca de 25 mm2, una barra de 6 mm. Eso supera con holgura ambas verificaciones. Pero cambia la barra directa por una diagonal larga y de poca pendiente, o agrega una conexión ranurada con deslizamiento, y la rigidez efectiva se desploma mientras la resistencia sigue bien, y la columna pierde su arriostramiento en silencio. La lección está en cuál verificación estuvo cerca de fallar: no los 7.4 kN de fuerza, sino los 1980 kN/m de rigidez, y la conexión se sitúa dentro de esa rigidez en serie con el miembro del arriostre.

Paso 4, no olvides la referencia. beta_br es la rigidez exigida en el punto arriostrado, que es la combinación en serie del miembro del arriostre, sus conexiones, y la flexibilidad de aquello a lo que arriostra. Un arriostre perfecto anclado a un muro que él mismo oscila es solo tan rígido como el eslabón más blando. Por esto los esquemas de arriostramiento apoyado y unilateral necesitan que la referencia se verifique, no que se suponga rígida.

Todo lo anterior fue una columna arriostrada contra el pandeo por flexión, pero los mismos dos requisitos gobiernan el arriostramiento de vigas contra el pandeo lateral-torsional, con una adición: un arriostre de viga debe controlar el giro, no solo el movimiento lateral de una ala. Un arriostre que sostiene lateralmente el ala comprimida arriostra la viga; uno que sostiene solo el ala traccionada, o el centroide, puede dejar que la sección ruede y sirve de poco. El arriostramiento de vigas en el Apéndice 6 viene en los mismos sabores relativo y nodal, más el arriostramiento torsional (un miembro transversal rígido o una losa conectada) que restringe el giro directamente, y las fórmulas de rigidez llevan la misma estructura, una rigidez ideal duplicada por la imperfección.

También vale la pena nombrar las disposiciones de arriostre, porque cambian contra qué se mide la rigidez. Los arriostres relativos (arriostramiento en X, chevrones) atan un punto a su vecino. Los arriostres nodales (un puntal a un vano rígido) atan un punto a una referencia fija. El arriostramiento continuo (una cubierta o muro adherido a lo largo del miembro) provee una rigidez distribuida por unidad de longitud. Y los sistemas apoyados, donde varias columnas comparten un vano arriostrado, suman todas las cargas de las columnas apoyadas al Pr que el arriostramiento debe resistir, un lugar común y peligroso para subdimensionar la referencia. Si quieres el catálogo más amplio de sistemas laterales y dónde encaja cada uno, mira la pieza complementaria sobre sistemas de arriostramiento de acero; este artículo trata de lo que cualquiera de esos arriostres debe entregar para contar.

Ninguna de estas arroja un error en el análisis. Cada una deja un arriostre que se ve bien en el plano y no hace su trabajo.

1. Dimensionar el arriostre solo por resistencia. La fuerza del 1% es fácil de aprobar y casi no te dice nada. La verificación de rigidez es la que gobierna, y es la que la gente salta.
2. Ignorar la flexibilidad de la conexión. beta_br es la rigidez en el punto arriostrado. Un miembro de arriostre rígido sobre una conexión ranurada, que desliza, o de agarre de tornillo largo puede entregar una fracción de su EA/L desnudo. La conexión se suma en serie y a menudo domina.
3. Suponer que la referencia es rígida. Un arriostre nodal es solo tan bueno como aquello a lo que arriostra. Ancla a un muro o vano que él mismo se deforma y la rigidez efectiva es la combinación en serie, no el arriostre solo.
4. Arriostrar el punto equivocado o el ala equivocada. Un arriostre de columna fuera del eje de pandeo, o un arriostre de viga sobre el ala traccionada, restringe un movimiento que el miembro no iba a hacer. La forma pandeada decide dónde ayuda un arriostre.
5. Olvidar las cargas de columnas apoyadas. Cuando las columnas apoyadas cuelgan su estabilidad de un vano arriostrado, el arriostramiento debe resistir la suma de sus cargas. Dimensionarlo para una columna es un colapso clásico.
6. Tratar un arriostre blando como arriostramiento completo. Por debajo de la rigidez ideal la columna no alcanza la carga arriostrada; aterriza corta, como mostró el barrido (la mitad de la rigidez da 2.57 Pe, no 4). Un arriostre presente pero blando no es un crédito parcial en el que te puedas apoyar sin verificar la capacidad reducida real.

La forma más rápida de sentir por qué el arriostramiento rinde es cambiar la longitud no arriostrada tú mismo y ver cómo responde la carga de pandeo. Abre la calculadora de pandeo de columnas abajo, ingresa el IPE 300 (o cualquier sección), y fija la longitud no arriostrada en los 8 m completos: verás la carga crítica de eje débil cerca de 186 kN. Ahora reduce a la mitad la longitud a 4 m, el valor que entrega un arriostre a media altura, y la carga salta a aproximadamente 744 kN, el aumento de cuatro veces del que trata todo este artículo. La calculadora está haciendo el pi^2 EI/L^2 que un arriostre te permite invocar con la L más corta.

Esa es la división honesta del trabajo. La calculadora te da las capacidades arriostrada y no arriostrada en segundos; el Apéndice 6 te dice si el arriostre que dibujaste es de verdad lo bastante rígido y lo bastante resistente para ganarse la longitud más corta. De aquí, las lecturas naturales siguientes son pandeo de Euler, de donde viene el pi^2 EI/L^2, y el pandeo lateral-torsional, el modo que un arriostre en el eje equivocado no logra frenar.