Fórmula da Deformação Verdadeira: ε = ln(1 + e), e Onde Ela Aparece num Pórtico de Aço Real

Aqui está a coisa toda, antes de qualquer explicação:

ε_verd = ln(L / L₀) = ln(1 + e)

onde e = ΔL/L₀ é a deformação de engenharia comum que você já usa. Essa é a fórmula da deformação verdadeira, também chamada de deformação logarítmica, deformação natural ou deformação de Hencky. Foi escrita pela primeira vez por Paul Ludwik em 1909, numa monografia de 59 páginas sobre a mecânica da conformação de metais, e o motivo de ela vir de um livro de conformação, e não de um livro de estruturas, é justamente o assunto deste artigo.

A maioria dos artigos sobre essa fórmula para na álgebra. Este responde à pergunta que o engenheiro de estruturas realmente tem, que é se alguma coisa disso muda um número no desenho. A resposta é específica e tem duas metades. No regime elástico onde você projeta, a diferença entre as duas deformações é de 0,019 % num vão contraventado real, que é meio mícron ao longo de uma diagonal de 7,2 m, e você deve ignorá-la de propósito, não por descuido. No dobramento a frio, num modelo de elementos finitos não linear e no ensaio de tração que alimentou esse modelo, a diferença vai de 2 % a 14 %, e ignorá-la ali corrompe a análise.

As duas metades estão calculadas abaixo no motor real do CalcSteel, num vão contraventado que você poderia de fato construir.

A deformação de engenharia tem um único comprimento de referência e nunca o larga:

e = (L − L₀) / L₀ = ΔL / L₀

Cada milímetro de alongamento, o primeiro e o décimo milésimo, é dividido pelo mesmo L₀ original. Isso é uma escolha, não uma lei, e é uma escolha muito boa enquanto o alongamento for pequeno. Vira uma escolha ruim assim que a barra fica visivelmente mais longa do que era, porque você continua medindo contra um comprimento que a barra não tem mais.

A deformação verdadeira faz a outra escolha. Ela mede cada incremento contra o comprimento que existe à sua frente naquele momento:

dε = dL / L

Isso é um incremento, não uma deformação, então para chegar à deformação você precisa somar os incrementos. Eles são infinitesimais, e somar infinitesimais é integrar:

ε = ∫_L₀^L dL / L = ln(L) − ln(L₀) = ln(L / L₀)

O logaritmo não é uma hipótese de modelagem que alguém escolheu. É o que sai de integrar dL/L, e não existe outra resposta. Ludwik chamou o resultado de alongamento específico efetivo; hoje é a deformação verdadeira.

A mesma grandeza é escrita de três jeitos, e todos são a mesma equação:

O caminho de volta é igualmente limpo. Se você tem uma deformação verdadeira e quer a de engenharia de volta:

e = e^ε − 1

Uma substituição para fixar a ideia. Um corpo de prova de tração de A572 grau 50 chegando ao primeiro escoamento alonga e = fy/E = 345 / 200 000 = 0,001725, ou seja, 1725 µε. A deformação verdadeira é ln(1,001725) = 0,00172351, ou seja, 1723,5 µε. Os dois números concordam em três algarismos significativos e se separam no quarto, e essa razão é a história inteira do regime elástico.

Repare no que a terceira forma implica. Quando você pode escrever ε = ln(A₀/A), não precisa mais medir comprimento nenhum, só o pescoço do corpo de prova. É exatamente assim que a deformação verdadeira é recuperada de um corpo de prova depois que a barra começou a estricção e o comprimento de referência deixou de significar alguma coisa.

Pegue um comprimento de referência de 100 mm e alongue 10 %. Ele agora tem 110 mm. Alongue mais 10 %, que desta vez são 11 mm, e ele fica com 121 mm.

Você aplicou 10 % e depois 10 %. Pergunte qual é a deformação de engenharia total e a resposta não é 20 %. É (121 − 100)/100 = 21 %. As duas deformações de engenharia que você mediu se recusam a somar, e erram por 4,762 % da resposta.

As deformações verdadeiras somam. Não aproximadamente, exatamente, e por um motivo que cabe numa linha de álgebra:

ln(L₁/L₀) + ln(L₂/L₁) = ln(L₂/L₀)

O comprimento intermediário se cancela. Qualquer que tenha sido o caminho da barra de L₀ até L₂, e em quantas etapas você o tenha picado, as deformações verdadeiras somam o mesmo total. As de engenharia não conseguem fazer isso porque cada uma carrega escondido dentro de si um comprimento de referência diferente.

O tamanho da falha é exatamente e₁·e₂: (1 + e₁)(1 + e₂) = 1 + e₁ + e₂ + e₁e₂. É um termo de segunda ordem, e é por isso que a falha é invisível nas deformações de estrutura e fatal nas de conformação. Medimos ela no motor mais adiante, e o valor sai em 0,744 µε.

Aqui está o segundo defeito, e é ele que torna impossível escrever plasticidade em deformação de engenharia.

Pegue uma barra e alongue até o dobro do comprimento. Pegue uma barra idêntica e comprima até a metade do comprimento. Por qualquer leitura razoável, essas são deformações iguais e opostas. A deformação de engenharia discorda:

Faça as duas coisas na mesma barra e você termina exatamente onde começou. A deformação verdadeira registra isso corretamente, como +ln 2 seguido de −ln 2, somando zero. A deformação de engenharia registra um resíduo de +50 %, que não corresponde a nada que tenha acontecido.

Há um limite duro escondido na mesma assimetria. A deformação de engenharia de compressão nunca pode passar de −100 %, porque o comprimento não pode ficar abaixo de zero. A deformação verdadeira de compressão vai a menos infinito conforme o comprimento tende a zero, que é a afirmação fisicamente honesta: achatar alguma coisa exige deformação sem limite, não 100 % de uma.

A terceira razão para a deformação verdadeira existir é que ela torna trivial a condição de volume constante. Alongue uma barra na direção 1 e deixe ela encurtar nas direções 2 e 3. Em deformação verdadeira, volume constante é:

ε₁ + ε₂ + ε₃ = 0

Uma soma limpa de três números. A versão em deformação de engenharia da mesma afirmação física é (1 + e₁)(1 + e₂)(1 + e₃) = 1, um produto, que ninguém quer dentro de um critério de escoamento.

O aço não conserva volume no regime elástico. Pegue o caso axial do próprio motor, a L 100x100x8 tracionada até o primeiro escoamento, a 1725 µε. Com ν = 0,3 a deformação transversal é −517,5 µε em cada uma das duas direções laterais, logo:

ΔV/V = ε(1 − 2ν) = 1725 × 0,4 = 690 ppm, ou seja, +0,069 %

A cantoneira está de fato maior em volume do que estava, por sete partes em dez mil, e a aba de 100 mm dela estreitou 51,75 µm. Agora empurre além do escoamento. O fluxo plástico no metal é um rearranjo de átomos, não uma mudança no espaçamento entre eles, então o volume para de mudar. Faça ΔV/V = 0 na mesma equação e você obtém ν = 0,5, que é o motivo de todo modelo de plasticidade citar um coeficiente de Poisson de 0,5 enquanto a parte elástica do mesmo modelo cita 0,3.

Não são duas propriedades de material contraditórias. É um material só, com uma resposta elástica que muda de volume e uma resposta plástica que não pode.

Expanda o logaritmo em série e a pergunta se responde sozinha:

ln(1 + e) = e − e²/2 + e³/3 − ...

Então a deformação verdadeira fica abaixo da de engenharia por e²/2, e como fração da deformação essa falta é e/2. Uma deformação de 0,2 % é subestimada em cerca de 0,1 % dela mesma. Uma deformação de 20 % é subestimada em cerca de 10 % dela mesma. Uma regra cobre a faixa inteira, e ela é precisa a menos de um cinquentavo de um por cento até 2 % de deformação:

Leia a tabela como um mapa de quando se importar. Tudo acima da linha do escoamento é uma diferença na quarta cifra significativa de um número que você arredondou para três. Tudo abaixo da linha do patamar é uma diferença que um revisor pegaria. A fronteira fica em torno de 1 % de deformação, que é também, e não por coincidência, a fronteira em que um solver elástico linear deixa de ser a ferramenta certa.

Chega de álgebra. Aqui está uma estrutura, e aqui está o motor que vai dentro do CalcSteel resolvendo ela.

Um único vão contraventado, 6 m de largura e 4 m de altura. Travessa IPE 300, pilares HEB 200, bases rotuladas e uma diagonal L 100x100x8 indo do pé do pilar esquerdo ao topo do pilar direito, com 7211,1 mm de comprimento. Ele recebe 20 kN/m de carga gravitacional na travessa e uma carga lateral de 100 kN no beiral.

Antes de confiar em qualquer deformação que saia dele, o modelo tem que se provar de duas maneiras. Primeiro, o equilíbrio global: a soma das reações horizontais volta como −100,000 kN contra 100 kN aplicados, e a soma das reações verticais como 120,000 kN contra os 20 × 6 = 120 kN aplicados. Exato, em toda casa decimal que o solver reporta.

Segundo, a rigidez. Tracionando a mesma L 100x100x8 axialmente com 270,3 kN, o motor devolve um alongamento de 6,21979 mm contra os 6,21979 mm da forma fechada NL/AE, um erro de 0,000004 %. Dividir a tensão por essa deformação recupera E = 200 000 MPa a partir do campo de deslocamentos, em vez de assumir o valor. Ninguém contou ao motor o que é uma deformação, e ele acabou de nos dizer o módulo de Young.

Agora os números abaixo significam alguma coisa.

O motor reporta 119,04 kN de tração na diagonal, mais um pequeno momento de 1,357 kNm que ela pega dos nós. Sobre os 1566,9 mm² de uma L 100x100x8 isso dá 75,97 MPa, que é 22,0 % de fy para o A572 grau 50: uma tensão de serviço nada notável e inteiramente realista.

Dois caminhos independentes até a deformação de engenharia concordam em 0,012 %: um pela lei de Hooke a partir do esforço no elemento, outro puramente geométrico, medindo o quanto o motor afastou os dois nós de extremidade. Essa concordância é o que dá licença para a última linha.

E a última linha é a resposta honesta ao título do artigo. Converter para deformação verdadeira muda a deformação dessa barra em 0,0721 µε. Espalhado pela diagonal inteira de 7211,1 mm isso é um comprimento de 0,52 µm, cerca de um centésimo da espessura de um fio de cabelo, numa barra que alongou 2,7391 mm. Não existe tolerância de laminação, tolerância de montagem nem certificado de material na Terra apertado o bastante para essa diferença ser observável.

Esse é o resultado correto, não um resultado decepcionante. É por isso que a AISC 360, a EN 1993-1-1 e a NBR 8800 são todas escritas em deformação de engenharia e nunca mencionam o logaritmo: na faixa que esses documentos governam, a conversão é ruído aritmético.

A afirmação sobre aditividade lá de cima foi feita com números redondos de corpo de prova. Ela merece uma medição real, então aqui está ela na mesma diagonal.

A barra é tracionada em duas etapas iguais de 270,3 kN cada, 172,51 MPa por etapa, terminando em 345,01 MPa, que é o primeiro escoamento do A572 grau 50 e o último ponto em que um solver linear ainda está dizendo a verdade. O detalhe é que um motor linear não atualiza a própria geometria, então a segunda etapa foi resolvida num modelo reconstruído no comprimento que a primeira etapa deixou. Isso é um passo lagrangiano atualizado explícito, feito na mão, e é a única forma de fazer a pergunta honestamente.

Repare que o segundo alongamento é maior, 6,22515 contra 6,21979 mm, vindo da força idêntica. A barra ficou mais longa, então a mesma tensão compra mais alongamento. É o problema inteiro do comprimento de referência numa linha.

As deformações de engenharia ficam 0,744 µε abaixo, o que é 0,0431 % da resposta, e esse número não é aproximadamente e₁·e₂, é e₁·e₂ em toda casa decimal que a aritmética carrega. As deformações verdadeiras concordam na décima primeira casa decimal, que é o arredondamento do próprio solver e mais nada.

A teoria dizia que o resíduo seria o produto das duas deformações. O motor, que não sabe nada sobre logaritmos, produziu exatamente isso.

A calculadora de pórtico abaixo roda ao vivo nesta página. Defina um vão, uma altura, uma carga e um perfil, e leia a tensão combinada elástica que ela reporta para o pilar. Depois faça a conversão na mão, o que leva dois passos:

• e = σ / E, com E = 200 000 MPa (29 000 ksi). Uma tensão de 150 MPa dá e = 0,00075, ou seja, 750 µε.
• ε = ln(1 + e). ln(1,00075) = 0,00074972, ou seja, 749,72 µε.

Aumente a carga até o pórtico chegar perto da capacidade e observe o que não acontece: a diferença continua na quarta cifra significativa. Você não consegue fazer esses dois números discordarem com um caso de carga, porque no regime elástico eles só discordam por e/2 e e é pequeno por definição. O único jeito de separar os dois é sair do regime elástico de vez, que é o assunto das duas próximas seções.

Esta é a que vive em desenho de fabricação de verdade. Toda chapa de gusset dobrada, toda chapa de base dobrada, toda terça conformada a frio pega uma chapa e a enrola em torno de um raio. A fibra externa tem que percorrer um caminho maior que o meio da chapa, e se a linha neutra fica na meia espessura a deformação de engenharia que ela alcança é:

e = t / (2r + t) = 1 / (2(r/t) + 1)

com r o raio interno de dobra e t a espessura da chapa. Essa fórmula é a que as recomendações de dobramento a frio da AISI e do AISC usam para decidir se uma dobra vai trincar, comparando o resultado com a deformação de ruptura do aço. Veja o que ela dá, e qual é a deformação verdadeira em cada ponto:

Duas dessas linhas são números normativos, não ilustrações. O AISI RP98-1, o estudo de dobramento a frio de Brockenbrough republicado em 2022, fixa um piso prático absoluto de r/t = 1,5 para conformar chapa a frio e lista 1,5t como raio interno mínimo sugerido para o A572-50 até 3/4 pol. de espessura. O Manual do AISC é mais conservador para esse grau em 1/4 e 1/2 pol., com r/t = 2,5. Então as duas linhas com que um fabricante de fato trabalha são a de 25,00 % e a de 16,67 %, onde as duas medidas de deformação estão a 10,74 % e 7,51 % uma da outra.

Ponha isso ao lado do vão contraventado. O mesmo aço, no mesmo prédio, é deformado 145 vezes mais pela dobradeira do que pela carga de vento de projeto, e a medida de deformação que você usa deixa de ser um detalhe.

O segundo lugar é uma caixa de diálogo de configuração, e errar ali é silencioso.

Um solver de elementos finitos não linear integra o equilíbrio sobre a forma deformada, então a tensão que ele quer é força sobre a área real, que está encolhendo, e a deformação que ele quer é logarítmica. Abaqus, ANSYS e todo código de uso geral documentam isso do mesmo jeito: a tabela de material plástico recebe tensão verdadeira contra deformação plástica verdadeira. A conversão a partir dos números que o ensaio de tração produziu são três linhas:

• σ_verd = σ_eng(1 + e)
• ε_verd = ln(1 + e)
• ε_plástica = ε_verd − σ_verd/E

Pule essas linhas e cole a curva de engenharia direto, e o solver lê a queda depois da tensão última como se o aço estivesse enfraquecendo. Aço real nunca amolece; a curva de engenharia só vira para baixo porque a área está encolhendo mais rápido do que a carga está subindo. Um modelo ao qual se disse que o aço amolece vai localizar uma rótula plástica no elemento que por acaso escoou primeiro e reportar uma carga de colapso baixa demais, por um motivo que nada na saída vai apontar.

As magnitudes são as da tabela acima. No alongamento uniforme de 15 % de um corpo de prova típico de grau 50, a deformação verdadeira é 13,976 % em vez de 15 %, um erro de 6,825 % na abscissa de cada ponto de encruamento que você digita. O mesmo corpo de prova é onde a conversão tem que acontecer de qualquer jeito: assim que a barra estrangula, a deformação deixa de ser uniforme no comprimento de referência e a única medição honesta que sobra é ε = ln(A₀/A) na estricção.

O Eurocode 3 parte 1-5 Anexo C, que rege a modelagem em elementos finitos de estruturas de aço, é explícito ao dizer que o modelo de material tem que combinar com a medida de deformação que a análise usa. O trabalho sísmico chega ao mesmo lugar pelo outro lado: uma demanda de ductilidade citada como 2 % de deformação é 1,9803 % em termos verdadeiros, 1 % de erro, o que está dentro do ruído de um extensômetro mas não dentro do ruído de um modelo de fadiga de baixo ciclo que eleva a deformação a uma potência.

1. Converter no regime elástico e chamar isso de rigor. Abaixo do escoamento a conversão muda a quarta cifra significativa. No vão contraventado são 0,52 µm numa barra de 7,2 m. Fazer isso não deixa o projeto mais seguro, deixa o relatório mais comprido.

2. Não converter quando a deformação passa de mais ou menos 1 %. A mesma conversão que é ruído a 0,17 % vale 6,825 % a 15 %. Dobramento a frio, elementos finitos não lineares e pós-processamento de corpo de prova estão todos acima da linha.

3. Somar deformações de engenharia de etapas separadas. Duas etapas de 10 % dão 21 %, não 20 %. No motor, duas etapas elásticas ficam 0,744 µε abaixo, que é exatamente e₁·e₂, então o erro cresce com o quadrado da deformação.

4. Usar ε = ln(A₀/A) antes de o aço escoar. Essa forma pressupõe volume constante, o que só vale no fluxo plástico. No regime elástico ν é 0,3, o volume cresce 0,069 % no primeiro escoamento, e o caminho pela área dá a resposta errada.

5. Casar deformação verdadeira com tensão de engenharia. As duas conversões são separadas e as duas são necessárias. Uma curva de σ_eng contra ε_verd não é propriedade de material de coisa nenhuma; é uma conversão pela metade.

6. Supor que os limites de deformação das normas são deformações verdadeiras. Não são. O alongamento na ruptura de um certificado de usina, os 15 % ou 21 % da especificação, é deformação de engenharia sobre um comprimento de referência declarado, e comparar isso com uma deformação verdadeira saída de um modelo de elementos finitos subestima a demanda em cerca de metade da deformação.

A versão curta: a fórmula da deformação verdadeira é ε = ln(1 + e), vale a pena entender porque ela explica por que a plasticidade é escrita do jeito que é, e no pórtico elástico que você está projetando hoje ela não vai mudar nada. Qual dos dois fatos importa depende inteiramente de o aço à sua frente estar sendo analisado ou estar sendo dobrado.