Tensão na Física: o Tensor, o Critério por Trás da Norma e uma Verificação Resolvida

Eis uma barra que você poderia dimensionar esta tarde. Um IPE 400 em S355, em balanço de 0,9 m a partir de um pilar, levando 380 kN na ponta e tracionado para fora por 150 kN. Curto, atarracado, sem nada de especial. O tipo de consolo que segura uma viga de rolamento ou um equipamento de planta.

Faça as verificações do jeito que todo mundo faz. Flexão: o momento no engaste é 342,0 kNm, a tensão elástica na fibra externa é 311,82 MPa contra fy = 355 MPa, então a utilização é 0,878. Cisalhamento: 380 kN contra uma resistência plástica ao cisalhamento de 875,07 kN, utilização 0,434. As duas passam. A EN 1993-1-1 só pede que você combine as duas quando o cisalhamento supera metade da resistência ao cisalhamento, e 0,434 é menor que 0,5, então não há mais nada a fazer. O consolo é liberado com 88 % da capacidade.

Agora vá a um ponto 186,5 mm acima da linha neutra, onde a alma encontra a mesa, e anote o estado de tensão real ali. Uma tensão normal de 291,97 MPa e uma tensão de cisalhamento de 96,08 MPa, ao mesmo tempo, na mesma partícula de aço. Combine as duas como a física manda, e a tensão efetiva é 336,07 MPa. Utilização 0,947.

Nenhuma das verificações estava errada. A tensão de flexão é mesmo 311,82 MPa e o cisalhamento está mesmo abaixo do limite. O que ficou de fora é que tensão em um ponto não é um número, e as duas verificações estavam lendo dois números diferentes do mesmo objeto. Este artigo trata do que é esse objeto, por que um critério é necessário para reduzi-lo a um número, onde a norma é esse critério disfarçado, e onde ela é um atalho com um ponto cego mensurável.

Tensão é apresentada como força sobre área, σ = F/A. Para uma barra tracionada no seu eixo isso é completo e correto, e é por isso que a definição sobrevive tanto tempo antes de alguém notar o buraco nela.

O buraco é a área. Qual área? Corte a mesma barra carregada com um plano perpendicular ao eixo e a força que atravessa esse plano é inteiramente normal a ele: tração pura, sem cisalhamento. Corte a mesma barra, no mesmo ponto, com um plano a 45 graus, e a mesma força interna passa a ter uma componente ao longo do corte. O material não mudou, o carregamento não mudou, o ponto não mudou. Só a pergunta mudou, e a resposta mudou junto.

Então a definição honesta é local e direcional. Tome uma pequena área ΔA em um ponto, com normal unitária externa n. O material do outro lado puxa o lado de cá com uma força ΔF. O vetor tensão é

t(n) = lim(ΔA → 0) ΔF / ΔA

t é um vetor, tem três componentes, e é função de n. Essa última parte é a história inteira. Não existe “a tensão neste ponto” até que você diga em qual plano está cortando. Existe um estado de tensão, e o vetor tensão é o que se obtém ao interrogar esse estado com uma direção.

Note também que t não precisa apontar na direção de n. Na tração pura ele aponta. No corte a 45 graus não aponta, e a parte de t ao longo de n é a tensão normal σn enquanto a parte contida no plano é a tensão de cisalhamento τn. Separar t assim é a única razão pela qual as palavras normal e cisalhamento significam alguma coisa.

Se o vetor tensão muda a cada plano, e há infinitos planos passando por um ponto, parece que seria preciso informação infinita para descrever um estado de tensão. Cauchy provou na década de 1820 que bastam nove números, e na prática apenas seis.

O argumento é um corpo livre. Tome um tetraedro minúsculo no ponto com três faces nos planos coordenados e a quarta face cortada segundo uma normal n arbitrária. Os vetores tensão nas três faces coordenadas são conhecidos. Escreva o equilíbrio de forças, faça o tetraedro encolher a nada para que as forças de volume (que escalam com o volume) desapareçam diante das forças de superfície (que escalam com a área), e o vetor tensão na face arbitrária fica determinado pelos outros três:

t(n) = σ · n, ou seja tᵢ = σᵢⱼ nⱼ

σᵢⱼ é o tensor de tensões de Cauchy. Seu primeiro índice diz qual face, o segundo diz em que direção a componente aponta. Os termos da diagonal σxx, σyy, σzz são tensões normais. Os termos fora da diagonal são cisalhamentos.

Nove viram seis por causa do equilíbrio de momentos no mesmo cubo que encolhe. Se σxy não fosse igual a σyx, o desequilíbrio produziria um momento que escala com o cubo do tamanho enquanto a inércia resistente escala com a quinta potência, de modo que um cubo pequeno o bastante giraria com aceleração angular ilimitada. Ele não gira. Portanto σᵢⱼ = σⱼᵢ, o tensor é simétrico, e seis números descrevem todo plano que passa pelo ponto.

É nesse sentido que tensão é um tensor e não uma lista de nove números. Um tensor é um objeto que leva uma direção a um vetor de um jeito que não depende dos eixos em que você por acaso o escreveu, e σ · n é exatamente esse mapa.

Tome o ponto que importa no consolo resolvido, a junção alma/mesa, onde o motor e a seção dão σxx = 291,97 MPa, τxy = 96,08 MPa e todo o resto nulo. Depois gire o plano de corte ao longo de 180 graus, um grau por vez, e avalie t = σ · n em cada um.

• A tensão normal σn vai de -28,77 MPa a 320,74 MPa. A mesma partícula de aço está comprimida em alguns planos e perto do escoamento em tração em outros.
• A tensão de cisalhamento τn vai de 0 a 174,76 MPa, e o máximo cai a 62 graus do eixo da viga.
• Onde σn é máximo, τn é exatamente zero, e vice-versa. Esses dois extremos estão a 45 graus um do outro, sempre.

Nada do material ou do carregamento mudou ao longo dessa varredura. Só a orientação de um corte imaginário. Se alguém te entrega um número e o chama de tensão em um ponto, esse número é uma amostra desta curva, e a pergunta útil é qual amostra.

Isso também explica algo que se vê em qualquer corpo de prova de tração rompido. Tracione uma barra de aço dúctil e ela não se parte no plano onde a tensão normal é máxima. Ela cisalha em um plano a cerca de 45 graus, porque é ali que a tensão de cisalhamento é máxima, e metais dúcteis rompem por deslizamento, não por separação. A superfície de fratura é uma fotografia dessa varredura.

Gire os eixos e as componentes do tensor mudam. Isso é inevitável e é um problema, porque uma regra de projeto não pode depender de como alguém desenhou a malha. Girar o tensor deste ponto em torno de z por alguns ângulos arbitrários dá:

Toda componente se move. Só σxx vai de 319,32 MPa até 0,00 MPa, uma oscilação da tensão inteira, apenas girando o papel. A última coluna não se move nem um pouco, até a nona casa decimal.

A razão é que três combinações específicas das componentes são invariantes sob rotação:

I₁ = σxx + σyy + σzz = 291,97 MPa
I₂ = σxxσyy + σyyσzz + σzzσxx - τxy² - τyz² - τzx² = -9 231,55 MPa²
I₃ = det(σ) = 0

São o traço, a soma dos menores principais e o determinante, e eles valem em todo ângulo testado aqui com precisão de uma parte em um milhão. Qualquer função construída apenas com I₁, I₂ e I₃ é automaticamente independente dos eixos, e essa é a matéria-prima de que todo critério de escoamento é feito.

Entre todos os planos varridos acima existem três, mutuamente perpendiculares, nos quais o vetor tensão é puramente normal: o cisalhamento se anula e t aponta direto na direção de n. Esses são os planos principais, suas normais são as direções principais, e as tensões normais neles são as tensões principais σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃. Formalmente são os autovalores de σ, e por isso existem para qualquer tensor simétrico e por isso são invariantes.

Para um estado de viga, com σy = σz = 0, a álgebra é curta:

σ₁,₃ = σ/2 ± √((σ/2)² + τ²), tan 2θp = 2τ/σ

No ponto da junção: σ₁ = 320,75 MPa, σ₂ = 0, σ₃ = -28,78 MPa, com a direção principal em θp = 16,68 graus. Note que σ₁ é maior que os 291,97 MPa de onde você partiu. O cisalhamento não apenas soma uma segunda tensão ao lado da normal, ele eleva a maior tração no material acima de qualquer uma das duas.

A tensão de cisalhamento máxima sai na sequência: τmax = (σ₁ - σ₃)/2 = 174,77 MPa, em planos a θp + 45° = 61,68 graus. A varredura de 180 graus encontrou seu pico de 174,76 MPa a 62 graus, que é a mesma resposta com resolução de um grau. O círculo de Mohr não é nada além do gráfico dessas fórmulas, com centro σ/2 e raio √((σ/2)² + τ²).

O critério de Tresca diz que o material escoa quando σ₁ - σ₃ atinge fy. Aqui essa diferença é 349,53 MPa contra 355, então Tresca coloca este ponto em 0,984 da capacidade. É o mais conservador dos dois critérios em cerca de 4 % neste estado, e é aquele sobre o qual a maioria das normas de concreto e as normas de aço mais antigas foram construídas.

Separe qualquer tensor de tensões em duas partes. A parte hidrostática é a tensão média σm = I₁/3 vezes a identidade: tração ou compressão igual em todas as direções, que muda volume mas não forma. O que sobra é o tensor desviador, s = σ - σm I, que muda forma mas não volume.

O fato experimental por trás de todo modelo de plasticidade de metais é que o escoamento é um fenômeno do desviador. Metais escoam por discordâncias deslizando em planos, o deslizamento é movido por cisalhamento, e pressão pura não produz cisalhamento em plano nenhum. Bridgman ganhou um prêmio Nobel em parte por mostrar que o aço sob pressão hidrostática enorme escoa na mesma tensão desviadora que o aço à pressão atmosférica.

Dá para ver isso na aritmética. Tome o tensor da junção e some p a todos os três termos da diagonal:

A tensão média percorre mais de 5 500 MPa. A tensão de von Mises se move 5,7 × 10⁻¹⁴ MPa, que é ruído de ponto flutuante, não física. Logo o critério tem de ser função apenas do desviador, e o invariante mais simples do desviador que não é identicamente nulo é o segundo, J₂.

Essa é a dedução inteira de von Mises. Escoar quando J₂ atinge um valor crítico, calibrar esse valor contra um ensaio de tração simples onde o escoamento ocorre em fy, e você chega a

σvm = √(½[(σ₁-σ₂)² + (σ₂-σ₃)² + (σ₃-σ₁)²]) ≤ fy

e para o estado de viga, onde só σ e τ sobrevivem, ela se reduz à forma que você já viu na norma sem que ninguém dissesse de onde veio:

σvm = √(σ² + 3τ²)

Tudo acima é agora aplicado a uma barra, sem nada suposto que pudesse ter sido calculado.

A estrutura. Um IPE 400 em S355, engastado em uma extremidade, em balanço de 0,9 m, com 380 kN aplicados para baixo na ponta e 150 kN puxando para fora ao longo do eixo. Dois casos são rodados: este, e uma versão mais longa de 2,5 m levando 120 kN, para mostrar uma barra comum por contraste.

O motor. Os esforços internos vêm de app.engine.solver.run_analysis, o mesmo solver que roda por trás do CalcSteel. Antes de confiar nele, um caso de controle: uma IPE 400 biapoiada de 8 m sob 30 kN/m tem de devolver wL²/8, wL/2 e 5wL⁴/384EI. Ele devolve 240,00 kNm, 120,00 kN e 35,99968 mm contra uma forma fechada de 35,999678 mm. O controle passa com erro menor que 0,001 %, então o consolo pode rodar. No engaste o motor dá N = 150,0 kN, V = 380,0 kN e M = 342,0 kNm, batendo exatamente com H, P e P·L, como uma barra isostática tem de fazer.

A seção. Tensões precisam de geometria, e o registro de perfis guarda aproximações para esta forma (seu Zx de 655 cm³ é grosso modo metade do valor verdadeiro), então a seção é integrada a partir das dimensões reais: alma, mesas e os quatro raios de concordância. Isso dá A = 8 446,4 mm², I = 23 260 cm⁴, Wel = 1 163,0 cm³ e Wpl = 1 310,7 cm³, contra valores publicados em tabela de 8 450 mm², 23 130 cm⁴, 1 156 cm³ e 1 307 cm³. Todos ficam dentro de 0,61 %. Como o balanço é isostático, os N, V e M do motor não dependem disso em nada.

O campo, depois conferido de trás para frente. A tensão normal é σ(y) = N/A + M·y/I e o cisalhamento é τ(y) = V·Q(y)/(I·t(y)), com Q integrado numericamente sobre a mesma seção. Um campo de tensões só é o campo de tensões da barra se ele integrar de volta aos esforços internos da barra, então ele é obrigado a provar isso:

• ∫σ dA = 150,000 kN contra o N = 150,0 kN do motor
• ∫σ·y dA = 342,000 kNm contra o M = 342,0 kNm do motor
• ∫τ dA = 380,001 kN contra o V = 380,0 kN do motor

Os três fecham com erro menor que 0,001 %. Daqui em diante o tensor é real, não ilustrativo.

Avalie o tensor em três alturas e passe cada um pela maquinaria: tensões principais, Tresca, von Mises.

Leia a primeira linha e a segunda juntas. Descendo 13,5 mm da superfície, a tensão normal cai 19,85 MPa, exatamente como o diagrama linear de flexão manda. E a tensão efetiva sobe 24,25 MPa, porque o cisalhamento que ela ganha no caminho conta três vezes dentro de √(σ² + 3τ²).

Varrer a altura toda confirma que a tensão de von Mises máxima da seção fica na junção, com 336,07 MPa, e não na fibra externa, com 311,82 MPa. A verificação à flexão avalia a seção justamente na altura em que a resposta é 7,8 % baixa demais.

A linha da linha neutra merece um olhar à parte. A tensão normal ali é 17,76 MPa, que não é nada além da tração axial de 150 kN espalhada pela área. Quase toda a tensão efetiva de 216,36 MPa vem do cisalhamento, e √3 × 124,49 = 215,62, o resto sendo a pequena contribuição axial. Este é o ponto em que o critério é cisalhamento puro, e a penúltima seção mostra que a norma já sabe a resposta dele.

Um detalhe na junção merece atenção separada, porque pega gente que calcula τ = VQ/It com cuidado e depois lê o valor do lado errado de uma linha.

Em y = 186,5 mm exatamente, a alma acaba e a mesa começa. Q, o primeiro momento da área além do corte, é contínuo ali: ele não se importa que a forma esteja prestes a ficar mais larga. A espessura t não é contínua de jeito nenhum. Ela salta de tw = 8,6 mm para b = 180 mm.

Como τ = VQ/(I·t), a tensão de cisalhamento salta na razão dessas larguras:

• lado da alma na interface: τ = 96,08 MPa, σvm = 336,07 MPa
• lado da mesa na interface: τ = 4,59 MPa, σvm = 292,08 MPa
• razão: 20,93, que é b/tw = 180/8,6 até a sexta casa decimal

Mesma altura, mesmo Q, mesmo V, duas respostas separadas por 44 MPa em tensão efetiva. O lado da alma é o que governa, e é o que as pessoas pulam quando avaliam a mesa.

É também por isso que a aproximação clássica τ ≈ V/(tw·hw), que espalha o cisalhamento uniformemente pela alma, funciona tão bem para perfis I laminados: quase todo o cisalhamento mora mesmo na alma, porque as mesas são largas demais para levar qualquer tensão relevante com o mesmo Q. É uma boa aproximação para a média e uma má aproximação para o pico, que é o que o critério leva em conta.

O jeito mais rápido de tornar isso concreto é digitar o ponto resolvido e olhar o círculo. Entre com σx = 291,97 MPa, σy = 0 e τxy = 96,08 MPa, que é a junção do consolo, e você deve obter σ₁ = 320,75 MPa, σ₃ = -28,78 MPa, θp = 16,68° e τmax = 174,77 MPa.

Depois tente as duas linhas limites da tabela. Zere τ e deixe σ em 311,82: o círculo colapsa sobre o eixo, σ₁ = σ e von Mises iguala a tensão de flexão, que é a verificação à flexão da norma. Zere σ e ponha τ em 124,49: o círculo se centra na origem, σ₁ = -σ₃ = τ, e von Mises é √3 × τ. Tudo o que a norma faz com uma viga mora entre esses dois extremos.

Nada disso é uma descoberta que as normas deixaram passar. Duas das cláusulas mais familiares do projeto em aço são o critério de von Mises avaliado em um ponto especial, e reconhecer isso faz com que elas deixem de ser arbitrárias.

A verificação à flexão é von Mises na fibra externa. Na superfície de uma viga a tensão de cisalhamento é exatamente zero, porque não há material além dela contra o qual cisalhar, então Q = 0 ali. Ponha τ = 0 em σvm = √(σ² + 3τ²) e você obtém σvm = |σ|. A regra “σ ≤ fy” não é uma simplificação do critério naquele ponto, ela é o critério naquele ponto, exatamente.

O limite de cisalhamento é von Mises na linha neutra. Em uma barra com pouca força axial a tensão normal na meia altura é quase zero, então σvm se reduz a √3 τ. Igualando isso a fy sai a tensão de escoamento ao cisalhamento:

τy = fy/√3 = 0,5774 fy, que para o S355 é 204,96 MPa

É daí que vem todo 0,577 da literatura, e daí que vem diretamente o Vpl,Rd = Av·fy/(√3·γM0) da EN 1993-1-1. O AISC 360 escreve 0,6 Fy em vez disso, o que para o S355 dá 213,0 MPa, 3,9 % acima do valor puro de von Mises; a diferença é absorvida pelo fator de resistência e pelo coeficiente de flambagem da alma por cisalhamento Cv que anda junto. Tresca, aliás, daria exatamente 0,5 fy, e é por isso que algumas referências antigas usam metade da tensão de escoamento para cisalhamento.

E em um lugar a norma imprime isso na cara. A EN 1993-1-1 §6.2.1(5) dá uma verificação geral conservadora para qualquer ponto de uma seção transversal como √(σx² + σz² - σxσz + 3τ²) ≤ fy/γM0. Esse é o critério de von Mises em estado plano de tensão, escrito na norma, disponível para quem quiser conferir o ponto da junção na mão.

Entre a fibra externa e a linha neutra, a norma não avalia o critério. Ela verifica flexão no topo, cisalhamento na alma, e combina os dois só quando o cisalhamento é grande. A EN 1993-1-1 §6.2.8 abre esse gatilho em V > 0,5 Vpl, abaixo do qual nenhuma redução da resistência ao momento é exigida.

Então mantenha o momento do consolo resolvido em 342,0 kNm, varra o cisalhamento de zero a Vpl, e meça o quanto a tensão de von Mises verdadeira da junção supera a tensão normal que a verificação à flexão enxerga naquela mesma altura:

A penalidade passa de 5 % em V/Vpl = 0,25, que é metade de onde a norma começa a perguntar. Quando o gatilho enfim abre, o efeito para o qual ele abre já chegou a 19,6 %. Essa faixa, entre um quarto e metade de Vpl, é o tamanho medido do atalho.

O que não é o mesmo que dizer que a norma é insegura, e é preciso ser preciso sobre o porquê:

• Os coeficientes parciais ficam por cima de tudo isso. γM0 = 1,00 na EN e φb = 0,90 no AISC, com coeficientes de carga de 1,35 e 1,5 por baixo, deixam muito mais que 15 % de folga em qualquer projeto real.
• A verificação é elástica e a seção não é. Um IPE 400 em S355 é Classe 1, de modo que atingir fy em um ponto a 186,5 mm de altura apenas inicia um escoamento local que redistribui para as fibras vizinhas. Primeiro escoamento não é ruína para um perfil laminado compacto.
• As barras que chegam a V/Vpl = 0,25 com momento alto na mesma seção formam uma família pequena: consolos curtos, vigas com recorte, tocos muito carregados, e vigas de alma cheia soldadas em que a alma é deliberadamente fina.

O resumo honesto é que as verificações separadas são uma calibração, ajustada para as barras que a maioria projeta, e o tensor é a coisa que está sendo aproximada. No consolo comum de 2,5 m a aproximação custa 2,05 % e ninguém deveria se importar. No de 0,9 m ela custa 15,10 % e vale dez minutos com √(σ² + 3τ²) na junção.

Os dois critérios são invariantes, os dois ignoram tensão hidrostática, os dois se reduzem a fy na tração simples. Eles divergem no que dizem sobre todo o resto dos estados.

Tresca escoa quando a tensão de cisalhamento máxima atinge fy/2, isto é quando σ₁ - σ₃ = fy. Desenhado no espaço das tensões principais é um hexágono. Von Mises é a elipse circunscrita a ele no estado plano de tensão, de modo que os dois concordam exatamente em seis pontos e von Mises nunca é mais conservador em lugar nenhum.

A maior diferença é o cisalhamento puro, onde Tresca escoa em 0,500 fy e von Mises em 0,577 fy, uma diferença de 15,5 %. No ponto da junção do consolo resolvido Tresca dá σ₁ - σ₃ = 349,53 MPa contra 336,07 MPa de von Mises, de modo que Tresca é 4,0 % mais exigente ali.

As normas de aço escolheram von Mises por duas razões. Ele bate melhor com ensaios de torção de paredes finas e de carregamento combinado em metais dúcteis, tipicamente dentro de alguns por cento, enquanto Tresca é conservador em até 15 %. E ele é suave: o hexágono tem cantos onde a superfície de escoamento não tem normal única, o que torna a regra de fluxo plástico ambígua e as implementações em elementos finitos incômodas. Tresca sobrevive onde seu conservadorismo é bem-vindo e sua álgebra é mais simples, e é por isso que você ainda o encontra em vasos de pressão.

• Citar uma tensão sem um plano. “A tensão na solda é 180 MPa” é incompleto até o plano ser nomeado. Na junção deste consolo o mesmo ponto lê de -28,77 a 320,74 MPa em tensão normal.
• Somar σ e τ aritmeticamente. São componentes diferentes de um mesmo objeto, não duas cargas em uma viga. 291,97 + 96,08 = 388,05 não significa nada; √(291,97² + 3·96,08²) = 336,07 é a resposta.
• Verificar só a fibra externa. Nesta barra o ponto que governa está 13,5 mm abaixo da superfície, e a verificação à flexão erra por 7,8 %.
• Ler τ do lado da mesa na junção. Mesmo y, mesmo Q, mas t salta de 8,6 para 180 mm e a resposta muda por um fator de 20,93. O valor da alma é o que governa.
• Tratar 0,5 Vpl como física. É um limiar de quando a norma exige uma interação, não a carga em que a interação começa. A interação esteve lá o tempo todo, valendo 5 % já com metade desse cisalhamento.
• Esperar que a tensão hidrostática importe. Uma barra bem abaixo da superfície, sob pressão, escoa na mesma tensão desviadora que uma na superfície, até a décima quarta casa decimal na aritmética acima.
• Usar von Mises onde ele não se aplica. É um critério para metais dúcteis. Fadiga, fratura frágil, parafusos ao cisalhamento e concreto têm cada um seu próprio estado limite, e nenhum deles é √(σ² + 3τ²) ≤ fy.

A frase única para levar embora: tensão na física é um tensor, a norma verifica um escalar, e um critério de escoamento é a taxa de câmbio entre os dois. Saber onde a taxa de câmbio é exata e onde ela é um arredondamento diz quais barras você assina em um minuto e quais merecem dez.