Deformação na física: o critério por trás da norma, com uma verificação passo a passo

Rode um IPE 300 sobre um vão simplesmente apoiado de 6 m com 12 kN/m no motor do CalcSteel e a tela devolve dois números. O momento no meio do vão é 54,00 kNm. A flecha no meio do vão é 12,504 mm, ou seja, L/480. Os dois são úteis, os dois entram no relatório, e nenhum deles é o que o aço está de fato fazendo.

O que o aço está fazendo é alongar 500 partes por milhão na mesa inferior e encurtar a mesma quantidade na superior. Esse número, 500 µε, é a deformação. O solver nunca o imprimiu. Nenhuma cláusula da AISC 360 ou da EN 1993-1-1 pede para compará-lo com coisa alguma. E, mesmo assim, é a grandeza a que o material responde, a grandeza que um extensômetro colado ali leria, e a grandeza de que toda verificação de escoamento trata em silêncio.

Este é um artigo de fundamentos com uma verificação numérica anexada. Ele define deformação como a física define, o que é mais rigoroso e mais estranho do que a definição que a maioria dos engenheiros carrega, e depois recupera essa definição do motor de elementos finitos em produção por dois caminhos independentes, para mostrar que a definição não é decorativa.

Aqui está a definição, e o que importa notar é o que falta nela. Tome um corpo. Cada ponto material dele sai de onde estava e vai para onde está agora. Chame esse campo de deslocamentos de u(x). A deformação normal na direção x é a derivada desse campo:

ε_x = ∂u_x / ∂x

Nenhuma força. Nenhuma rigidez. Nenhum material. Nenhum coeficiente de segurança. Deformação é uma grandeza puramente cinemática: descreve como um corpo mudou de forma, e seria definida do mesmo jeito para aço, borracha, água ou uma galáxia. A força entra depois, por uma afirmação separada chamada lei constitutiva, e toda a arte da mecânica dos sólidos está em manter essas duas afirmações separadas.

A versão de deformação de engenharia que quase todo mundo encontra primeiro, ε = ΔL/L, é essa mesma definição com a derivada trocada por uma razão finita, válida quando o alongamento é uniforme ao longo do comprimento. É a definição num caso particular, não uma definição diferente.

O que a derivada compra é precisão numa pergunta que a razão finita nem consegue fazer: o que acontece quando o corpo inteiro se move?

Se a deformação é uma derivada do deslocamento, então um campo de deslocamentos igual em toda parte tem de produzir exatamente zero de deformação. Derive uma constante e não sobra nada. Fisicamente: pegue uma viga carregada e leve-a para o outro lado da sala, e você não a tensionou nem um pascal a mais.

Dito em palavras parece óbvio, e é fácil de errar em código, então vale testar na coisa que de fato faz as suas contas. Pegamos o mesmo modelo do IPE 300, transladamos cada nó em 137 m em x, 42 m em y e 19 m em z, um deslocamento de corpo rígido de 144,55 m, e resolvemos de novo.

Cada nó dessa segunda rodada tem coordenadas completamente diferentes e deslocamentos absolutos completamente diferentes. Nenhum esforço interno se mexeu. É a definição fazendo o seu trabalho: o motor mede movimento relativo entre pontos vizinhos, e 144,55 m de movimento comum não contribuem com nada.

Essa mesma invariância é a razão de um recalque de apoio não fazer nada numa estrutura isostática. Baixe uma extremidade de uma viga biapoiada em 30 mm e a viga gira como corpo rígido até a nova posição, sem curvatura acrescentada em lugar nenhum e sem momento em lugar nenhum. Faça o mesmo numa viga contínua de três apoios e aparecem curvatura real, deformação real e momento real, porque essa estrutura não consegue absorver o movimento sem fletir. A diferença não é o tamanho do movimento. É o movimento ter ou não gradiente.

O campo de deslocamentos tem três componentes e há três direções para derivar, o que dá nove derivadas. Separe cada par numa parte simétrica e numa antissimétrica, jogue fora a antissimétrica (ela é rotação rígida, que acabamos de estabelecer que não é deformação), e o que sobra é o tensor de pequenas deformações:

ε_ij = ½ ( ∂u_i/∂x_j + ∂u_j/∂x_i )

Ele é simétrico, então nove entradas colapsam em seis números independentes: três deformações normais, que mudam comprimentos, e três distorções, que mudam ângulos. Um ângulo reto riscado na superfície de uma alma carregada não continua reto, e o tanto que ele abre ou fecha é a distorção.

Aqui está a armadilha que já custou mais nota de prova e mais hora de depuração do que qualquer outro item desta página. Há duas convenções em circulação:

• A distorção de engenharia γ_xy é a variação total do ângulo reto, em radianos. É o que um extensômetro informa, o que γ = τ/G devolve e o que as normas de projeto querem dizer.
• A distorção tensorial ε_xy é exatamente a metade dela. É a que pertence à matriz acima, e a única versão para a qual as fórmulas de rotação e transformação, inclusive o círculo de Mohr, estão corretas.

γ = 2ε. Jogue a leitura de um extensômetro direto numa fórmula de transformação escrita para o tensor e todo valor principal que sair está errado por um fator ligado a dois. Não é um erro sutil, mas é um erro silencioso, porque a resposta continua com cara de deformação.

Deformação é comprimento dividido por comprimento. Metro sobre metro, milímetro sobre milímetro, corta. A deformação é adimensional, e qualquer unidade que você vir grudada nela é um recurso de contabilidade, não uma unidade física.

As deformações do aço estrutural são inconvenientemente pequenas, então circulam quatro notações para a mesma grandeza:

A microdeformação vence na prática pelo mesmo motivo que o milímetro vence o metro num desenho: põe os números de trabalho na faixa de 100 a 2000, onde um humano consegue compará-los de relance. Um µε é uma parte por milhão.

Ponha a faixa inteira num eixo só e as proporções assustam. O escoamento chega em 1250 µε para fy = 250 MPa e em 1725 µε para fy = 345 MPa. O alongamento na ruptura de um corpo de prova de tração fica em torno de 20 %, ou seja, 200 000 µε. Todo o regime elástico, a parte sobre a qual todo cálculo de projeto discute, são os primeiros 0,18 % de uma viagem que vai até 20 %. Tudo depois disso é a reserva que chamamos de ductilidade, e ela é cerca de duas ordens de grandeza maior que a parte em que projetamos.

Nada até aqui mencionou aço. A deformação seria definida do mesmo jeito para um elástico de borracha. O material entra por uma segunda afirmação, inteiramente separada: a lei constitutiva, que diz qual tensão uma dada deformação produz. Para o aço abaixo do escoamento, essa afirmação é a lei de Hooke.

σ = E · ε

E, o módulo de elasticidade, é uma propriedade medida. O motor do CalcSteel usa E = 200 GPa e G = 76,92 GPa para aço laminado a quente, e esses dois juntos fixam o coeficiente de Poisson em ν = E/2G − 1 = 0,30.

Não foi preciso acreditar no motor quanto a E. Tracione um tirante IPE 300, A = 5381 mm², com 500 kN e o motor informa a extremidade livre andando 2,7875 mm ao longo de 6000 mm. Isso é uma deformação de 464,6 µε contra uma tensão de 92,92 MPa, e 92,92 / 0,0004646 = 200 000 MPa. Módulo de elasticidade recuperado do campo de deslocamentos, não arbitrado.

Duas coisas sobre essa constante merecem ser levadas adiante. Primeiro, ela é idêntica para todo aço estrutural: A36, A572-50, S355 e MR250 têm o mesmo E. Mudar de aço muda onde o escoamento acontece, nunca o quanto o aço é rígido. Segundo, o valor é tanto convenção quanto medição. A AISC 360 usa 29 000 ksi, cerca de 199,9 GPa. O Eurocode 3 §3.2.6 usa 210 000 MPa. Mesmo aço, 5 % de diferença em toda deformação que você calcular a partir de uma tensão, o que passa a importar no instante em que você compara a leitura de um extensômetro com um valor calculado.

O exemplo é deliberadamente banal: um IPE 300 em aço MR250, fy = 250 MPa, simplesmente apoiado em 6,00 m, com carga uniforme de 12 kN/m. Altura da seção de 300 mm, então c = 150 mm da linha neutra até a fibra extrema. I_x = 8097 cm⁴ e S_x = I_x/c = 539,8 cm³, os dois vindos do catálogo em produção. O modelo é discretizado em 24 elementos, o que dá um nó a cada 250 mm, por motivos que importam na parte 2.

Antes de confiar em qualquer coisa que o motor diga sobre deformação, ele tem de reproduzir as duas respostas de solução fechada que todo mundo conhece:

A flecha é L/480, folgadamente dentro de um limite típico de L/300, e a tensão de flexão vai dar 100 MPa contra um escoamento de 250 MPa. Essa viga passa em tudo. E é esse o ponto: não estamos olhando para uma falha, estamos olhando para o que uma viga perfeitamente saudável faz fisicamente.

O primeiro caminho até a deformação não usa nenhuma propriedade de material. É cinemática pura, exatamente como a definição exige.

Fletir uma viga curva o eixo dela. A cinemática de Euler-Bernoulli diz que seções planas permanecem planas e normais a essa curva, e daí a deformação a uma distância y da linha neutra é

ε(y) = −y · κ, em que κ = 1/R = v''

κ é a curvatura, R o raio de curvatura e v'' a segunda derivada da forma deformada. Note que as únicas entradas são uma forma e uma distância. Nada aqui sabe que a viga é de aço.

O motor entrega a forma diretamente: 25 flechas nodais, espaçadas de 250 mm. Tomando a diferença central de segunda ordem das três flechas em torno do meio do vão, resulta

κ = 0,003331 1/m, ou seja, R = 300,2 m

Uma viga de 6 m curvada num raio de 300 metros. Vale parar nisso: a barriga que você notaria, 12,5 mm, vem de um arco tão suave que o raio dele é cinquenta vezes o vão. Multiplique a curvatura por c = 150 mm e a deformação na fibra extrema é

ε = κ · c = 0,003331 × 0,150 = 499,58 µε

A fibra inferior está tracionada nesse valor, a superior comprimida na mesma magnitude, e a linha neutra está em zero. E os totais são pequenos de um jeito fácil de subestimar: integrando a deformação ao longo de toda a mesa inferior, essa fibra termina 2,0 mm mais longa do que começou, enquanto a viga desceu 12,5 mm. O movimento visível é seis vezes o alongamento real, porque a maior parte da flecha é rotação acumulada, não extensão do material.

O segundo caminho ignora a forma por completo e passa pelo material. Pegue o momento das forças de elemento, converta em tensão com o módulo resistente, divida por E:

σ = M / S_x = 54,00 kNm / 539,8 cm³ = 100,03 MPa
ε = σ / E = 100,03 / 200 000 = 500,17 µε

Dois caminhos, um partindo de uma forma e outro de uma força, se encontrando em:

A diferença não é erro de modelagem e não é física. É aritmética. Uma diferença central de segunda ordem aproxima v'' com um termo de truncamento de h²/12 × v'''', e para esta viga, com h = 250 mm, esse termo vale 0,116 % da curvatura. É a diferença finita, não o motor, que está 0,12 % fora. Reduza o espaçamento nodal à metade e a diferença cai por um fator de quatro.

A concordância é o resultado de verdade. Ao motor foram pedidos flechas e momentos, nada mais. A palavra deformação não aparece em lugar nenhum da saída dele. Ainda assim, a forma que ele devolveu e as forças que ele devolveu carregam a mesma deformação, com três dígitos, porque as duas são consequências de um único campo de deslocamentos. É essa a cara da consistência interna de um solver, e é a verificação que vale rodar sempre que você estiver na dúvida se um modelo está lhe dizendo algo real.

A calculadora abaixo é a ferramenta de vigas do CalcSteel em produção. Ponha nela o seu vão, a sua carga e o seu perfil e ela devolve o momento máximo, a flecha máxima com a relação L/x correspondente e a tensão de flexão σ = M/S_x.

Para transformar essa saída na física deste artigo, faça uma divisão:

ε [µε] = σ [MPa] / 200 000 × 1 000 000 = σ × 5

Com E = 200 GPa a conversão é assim limpa: cinco microdeformações por megapascal. Uma tensão de 100 MPa são 500 µε. Uma tensão de 160 MPa são 800 µε. Ponha o vão em 6 m, o perfil em IPE 300 e a carga em 12 kN/m e você deve cair nos 100,03 MPa e nos 12,5 mm da verificação acima.

Depois tente a comparação que torna concreta a última seção deste artigo. Vá carregando a viga até a flecha marcar L/300, anote a tensão, multiplique por cinco. Agora estique o vão para 9 m e carregue de novo até L/300. Mesmo veredito de flecha, e uma deformação um terço menor.

Tracione uma barra num eixo e ela não só fica mais comprida. Ela fica mais fina. Esse acoplamento é o coeficiente de Poisson, e é por ele que a deformação num ponto é um tensor mesmo quando o carregamento é o mais unidimensional possível.

De volta ao tirante de 500 kN. A deformação axial era 464,6 µε. As duas deformações transversais valem, cada uma,

ε_t = −ν · ε_a = −0,30 × 464,6 = −139,4 µε

Num IPE 300 isso significa que a mesa de 150 mm fica 20,91 µm mais estreita e a altura de 300 mm perde 41,81 µm, enquanto a barra ganha 2,7875 mm de comprimento. Ninguém vai medir esses dois números em obra, e ainda assim eles são reais, e são a razão de uma chapa larga tracionada se comportar de um jeito no centro e de outro nas bordas livres.

Some as três e você obtém a deformação volumétrica:

ΔV/V = ε_x + ε_y + ε_z = ε_a(1 − 2ν) = 464,6 × 0,40 = +185,8 µε

A barra ganha 0,0186 % de volume. O aço não é incompressível. Só um material com ν = 0,50, como a borracha perto do seu limite, mantém o volume constante ao ser esticado, e o fato de o aço não manter é exatamente a razão de a pressão hidrostática sozinha não fazê-lo escoar. Essa observação é a semente do critério de von Mises, que joga fora a parcela volumétrica da deformação e julga a falha só pela parcela distorcional.

Abra qualquer norma de aço e você não vai achar um limite de deformação para o dimensionamento comum de barras. A AISC 360 e a NBR 8800 comparam tensões e forças. A EN 1993-1-1 compara efeitos de cálculo contra resistências de cálculo. A deformação não está na inequação.

Nem precisa estar, porque abaixo do escoamento σ = Eε é um mapa um para um com uma única constante dentro. Divida os dois lados de uma verificação de tensão por E e você tem uma verificação de deformação com conteúdo idêntico:

σ ≤ f_y  ⟺  ε ≤ f_y/E = ε_y

A nossa viga em 500 µε contra fy = 250 MPa, que corresponde a ε_y = 1250 µε, está a 40,0 % da deformação de escoamento e a 40,0 % da tensão de escoamento. A mesma fração, necessariamente. As normas escolheram tensão porque é o que uma máquina de ensaio informa e o que uma fórmula de resistência produz naturalmente, não porque a tensão seja a grandeza mais fundamental. Fisicamente, a deformação vem antes: o material se deforma, e a tensão é a resposta dele.

O disfarce cai no instante em que o mapa deixa de ser um para um, que é exatamente no escoamento. Passado esse ponto, uma tensão corresponde a um patamar inteiro de deformações, e as normas que precisam falar de comportamento além do escoamento são obrigadas a voltar para a linguagem da deformação:

• Classificação de seções. A Classe 1 a 4 da EN 1993-1-1 é uma afirmação sobre quanta rotação, ou seja, quanta deformação, uma seção transversal consegue entregar antes de flambar localmente. As seções Classe 1 são as autorizadas a alcançar grandes deformações plásticas.
• Cálculo plástico. Uma rótula plástica é uma região a que se pede deformar muito além de ε_y enquanto o momento dela fica em M_p. Só a deformação consegue descrever o que acontece ali.
• Detalhamento sísmico. Fatores de ductilidade, demandas de rotação e as exigências da AISC 341 são demandas de deformação com outros nomes.
• Alongamento no certificado da usina. A porcentagem no certificado do material é uma deformação, e é a única deformação que a maioria dos engenheiros lê num documento na vida.

Existe uma cláusula que de fato não é um critério de deformação, e é justamente a que mais gente supõe ser um substituto dele: o limite de flecha.

Ajustamos quatro vigas para o motor informar exatamente δ = L/300 e depois lemos a deformação no meio do vão de cada uma:

As quatro são igualmente aceitáveis para a cláusula de estado limite de serviço. Uma delas está exigindo do aço o dobro da outra. As cargas diferem por um fator de nove e as deformações não as acompanham, o que denuncia que quem manda ali é algo mais simples.

E é mesmo. Iguale 5wL⁴/384EI = L/k, substitua em ε = Mc/EI, e a carga, o módulo e o momento de inércia se cancelam todos:

ε = 48c / (5kL) = 9,6 c / (kL), logo, para k = 300, ε = 0,016 · h/L

A deformação no limite de flecha depende da relação altura sobre vão e de mais nada. Nem do perfil, nem da carga, nem do aço. O motor concorda com essa fórmula com erro menor que 0,12 % nas quatro vigas, que é o mesmo truncamento de diferença finita de antes.

Vale dizer as consequências práticas com todas as letras. Uma viga alta e curta levada a L/300 fica em 85 % da deformação de escoamento para aço com fy = 250 e vai ser governada por resistência muito antes de por serviço. Uma viga baixa e de vão longo levada ao mesmo L/300 fica em 43 % e é governada por serviço, sem discussão. Se você já se perguntou por que a flecha dimensiona algumas das suas vigas e a tensão dimensiona outras, essa única relação é a maior parte da resposta. E é por isso que subir o aço salva a primeira viga e não faz absolutamente nada pela segunda: um fy maior move ε_y, e o critério de flecha nunca olhou para ε_y.

• Tratar um deslocamento como se fosse deformação. Uma flecha de 30 mm não diz quase nada sobre o quanto o material está sendo exigido até você saber o vão e a altura. A nossa viga de 9 m se move 50 % mais que a de 6 m e se deforma 33 % menos.
• O fator dois na distorção. γ = 2ε. Extensômetros e normas informam γ; o tensor e toda fórmula de transformação querem ε. Misturar os dois divide ou multiplica a resposta por dois, em silêncio.
• Usar o E errado na conversão. 200 GPa, 210 GPa e 29 000 ksi estão todos em uso diário. Uma deformação calculada a partir de uma tensão herda 5 % de dispersão só dessa escolha, o que é mais que a tolerância da maioria das pessoas ao comparar um extensômetro com um modelo.
• Supor que um aço mais forte se deforma menos. O tipo de aço não muda E. Uma viga em A572-50 e uma em A36, mesmo perfil e mesma carga, têm a mesma flecha e a mesma deformação. Só muda a distância até o escoamento.
• Esquecer que a deformação linear não tolera rotação grande. O tensor de pequenas deformações descarta a rotação em primeira ordem, o que só está correto enquanto as rotações continuam pequenas. Empurre uma barra esbelta para o terreno dos grandes deslocamentos e a medida linear acusa deformação que não existe. É a hora de mudar para uma análise geometricamente não linear.
• Confundir deformação de engenharia com deformação verdadeira no regime errado. Em 500 µε as duas diferem 0,025 % e ninguém se importa. Em 20 % de alongamento diferem cerca de 9 %, e a distinção decide se um número significa alguma coisa.
• Ler um campo de deformações que nenhum campo de deslocamentos poderia produzir. As componentes de deformação não são independentes: são seis derivadas de três funções, e têm de satisfazer as condições de compatibilidade. Em duas dimensões, isso é ∂²ε_x/∂y² + ∂²ε_y/∂x² = ∂²γ_xy/∂x∂y. Campos de deformação interpolados ou montados à mão que a violem correspondem a um corpo que se rasgou por dentro.