Deformação na engenharia: o critério de ductilidade por trás da norma, com uma verificação passo a passo

Pegue uma viga contínua de dois vãos, um IPE 400 em S355 sobre dois trechos de 8 m, com carga uniforme. Verifique do jeito mais rigoroso com que ainda se verifica qualquer coisa: análise elástica, módulo resistente elástico, tensão na fibra extrema não pode passar de fy. Ela carrega 49,31 kN/m.

Agora verifique a mesma viga do jeito que a norma de fato permite. Use o módulo plástico, porque a seção é compacta. Redistribua o momento do apoio, porque a seção consegue formar uma rótula e girar. Mesmo aço, mesmo perfil, mesmo vão, mesmos apoios, nada soldado, nada enrijecido. Ela carrega 64,12 kN/m. São 30,0 % mais carga, e é de graça no sentido de que ninguém manda a fatura.

Só que alguma coisa paga. Os 30 % a mais são comprados com deformação: o aço no apoio tem de esticar mais do que uma verificação de primeiro escoamento jamais cogita, e continuar inteiro enquanto estica. A norma nunca imprime esse número. Ela escreve a permissão em tensão, em módulo resistente, em porcentagem de momento, e a deformação que está gastando em silêncio fica fora da página.

Este artigo devolve esse número à página. Rodamos o motor real do CalcSteel na viga, integramos a seção real fibra a fibra e precificamos cada permissão na única moeda que as torna comparáveis: múltiplos da deformação de escoamento. Depois vamos ver o que a cláusula de material de fato garante e se a conta fecha.

Deformação é uma razão entre comprimentos: quanto uma fibra alongou, dividido por quanto ela media. Não tem unidade, e por isso costuma ser dada em microdeformação, 1 µε = 0,000001, ou em porcentagem.

O número que transforma isso numa moeda é a deformação de escoamento:

εy = fy / E

Para o S355 com E = 200 GPa, isso dá 355/200000 = 0,001775, ou 1 775 µε, ou 0,1775 %. Para o S235 são 1 175 µε. Para o S460, 2 300 µε. O motor concorda: tracione um tirante IPE 400 de 6 m com 800 kN e ele alonga 2,8415 mm, o que dá 473,6 µε, que devolve E = 200 000 MPa exatos. Toda constante constitutiva daqui para baixo é medida no solver, não suposta.

Daqui em diante, todo preço é dado como μ = ε/εy, a razão de ductilidade. μ = 1 é o primeiro escoamento. μ = 15 é o número para guardar, e a próxima seção explica por quê.

A maioria dos engenheiros recita de cor as cláusulas de resistência da EN 1993-1-1 e nunca leu a §3.2.2, o que é uma pena, porque é ela que torna as outras legais. É um requisito de ductilidade, e tem três partes:

• fu / fy ≥ 1,10. O aço tem de ficar mais forte depois de escoar, em pelo menos 10 %.
• Alongamento na ruptura ≥ 15 % num comprimento de referência de 5,65√A₀.
• εu ≥ 15 εy. A deformação na tensão última de tração tem de ser no mínimo quinze vezes a deformação de escoamento.

Essa terceira linha é a oferta de toda a conta. Ela é deliberadamente escrita como uma razão e não como uma deformação, e a seção 11 mostra o motivo: a demanda também é uma razão, então uma cláusula escrita assim cobre todos os graus de uma vez só. Para o S355 significa que o aço promete 15 × 1 775 = 26 625 µε, ou seja, 2,662 % de deformação, antes de chegar ao seu pico de tração.

A AISC 360 não deixa isso explícito do mesmo jeito, porque não precisa: o ASTM A992 traz uma razão máxima entre escoamento e ruptura de 0,85 e um alongamento mínimo, que é a mesma garantia escrita pela outra ponta.

Então: o aço oferece 15 εy. O resto deste artigo é sobre o que a norma gasta dessa conta.

Nada do que vem abaixo vale a leitura se o solver estiver errado, então ele é calibrado primeiro contra um caso com forma fechada exata. Dois vãos de 8 m, IPE 400, singelos 30 kN/m nos dois, 32 elementos por vão:

Os momentos são exatos porque um elemento cúbico reproduz um campo de momento parabólico sem erro nenhum de discretização. Os 0,048 % da flecha são o arredondamento da própria forma fechada, já que wL⁴/185EI é ela mesma uma aproximação de wL⁴/(184,6 EI). A calibração passa, e o mesmo modelo é usado em tudo o que vem depois.

A rota elástica é a que todo mundo aprende. Pegue o módulo resistente elástico, iguale a tensão na fibra extrema a fy, e essa é a sua capacidade.

Integrando o IPE 400 real fibra a fibra, com a mesma contribuição de raio de concordância que o registro de perfis do CalcSteel usa, sai Wel = 1 111,1 cm³ e portanto Mel = 355 × 1 111,1 = 394,45 kNm. Iguale o momento de apoio wL²/8 a isso e a viga carrega 49,31 kN/m.

Qual é a deformação nessa carga? Exatamente εy, em exatamente uma fibra, em exatamente uma seção transversal: o topo da mesa sobre o apoio central. Dois milímetros abaixo dela, o aço ainda está elástico e com folga. Noventa e nove e pouco por cento da viga está ociosa. Esse é o custo da rota elástica: μ = 1,0, e ele não compra nada além de uma consciência muito arrumada.

Uma nota de conciliação antes de os números se empilharem. As propriedades de seção aqui são integradas da geometria laminada, não lidas de tabela, e a tabela EN publicada para um IPE 400 dá Wel = 1 156 cm³ e Wpl = 1 307 cm³ porque modela os raios de concordância de forma mais completa. Os valores de tabela ficam cerca de 4 % acima, então todo kNm e todo kN/m absoluto deste artigo está cerca de 4 % a favor da segurança contra uma conferência de manual. Nenhuma razão muda, e as razões são o argumento inteiro.

A primeira permissão é a mais barata. Assim que a fibra extrema escoa, a seção não rompe: a zona escoada avança para dentro enquanto o núcleo elástico encolhe, e o momento continua subindo até um teto de fy·Wpl. A razão entre os dois tetos é o fator de forma:

α = Wpl / Wel = 1 256,4 / 1 111,1 = 1,1308

As tabelas publicadas para um IPE 400 dão 1 307/1 156 = 1,1306. Duas partes em dez mil, numa grandeza calculada por dois caminhos inteiramente diferentes. Mpl = 446,03 kNm, e a viga passa a carregar 55,75 kN/m, +13,1 % acima da rota elástica.

É aqui que a tabela de preços começa a doer. A curva momento contra curvatura da seção real não é um canto vivo, é um joelho que se achata de forma assintótica. Com um aço elastoplástico perfeito ideal, você chega a 98 % do Mpl em μ = 2,14, a 99,5 % em μ = 4,27 e a 99,9 % só em μ = 9,55. Você nunca chega de fato ao Mpl: a última lasca dele mora na curvatura infinita.

O aço real é mais generoso, porque encrua. Com o encruamento mínimo que a §3.2.2 garante, a seção entrega um Mpl de verdade em μ = 2,871, o que dá 5 096 µε, cerca de 0,51 % de deformação. Esse é o preço honesto do módulo plástico: chame de 2,9 εy, contra uma oferta de 15.

A segunda permissão é a que paga. Numa viga contínua o momento do apoio é o pico e o momento do vão é só 9/16 dele, então o apoio comanda enquanto o vão fica em 56 % de utilização. A redistribuição muda o problema de lugar: deixe o apoio escoar e largar momento, e o vão recolhe o que sobra até os dois estarem trabalhando.

Agora a cláusula. A EN 1993-1-1 §5.4.1(4)B é quase universalmente citada como se permitisse 15 % de redistribuição. Leia o texto de verdade e ele diz algo sutilmente diferente: para seções de Classe 1 ou Classe 2 em viga contínua, pode-se usar análise global elástica em que alguns momentos de pico superam a resistência plástica à flexão em 15 % no máximo, desde que os esforços internos permaneçam em equilíbrio e haja capacidade de rotação adequada.

Isso é um excesso, não um corte. Se o pico elástico pode valer 1,15 Mpl, então o quanto você tira desse pico é 1 − 1/1,15 = 13,04 %, e não 15 %. Inverter os dois vale cerca de 2 % de carga, sempre contra a segurança.

A AISC 360 vende a mesma permissão de forma mais simples: redução fixa de 10 % dos momentos negativos nos apoios, para barras compactas, travadas lateralmente e hiperestáticas sob carga gravitacional, com os momentos positivos aumentados para manter o equilíbrio. Era a §B3.7 na AISC 360-10 e na 360-16, e o parágrafo migrou para o Anexo 8 na AISC 360-22.

Precificada na mesma viga, com o motor confirmando a distribuição elástica em cada nível de carga:

Na última linha o pico elástico que o solver devolve é 512,9 kNm, exatamente 1,15 Mpl, e o momento do vão subiu de 56 % para 70 % de utilização. O equilíbrio nunca foi quebrado: a área de que o apoio abriu mão reapareceu no vão, e a soma continua sendo wL²/8. O que mudou foi qual seção transversal agora precisa ser dúctil o bastante para permitir isso.

Um diagrama de momentos redistribuído não é uma escolha livre de números que somam certo. É a afirmação de que o apoio rotulou e girou, e essa rotação é calculável. Divida a viga contínua em dois vãos biapoiados e superponha:

θ = wL³/12EI − 2·M_B·L/3EI

Os dois termos de flexibilidade vêm do motor, não de tabela. A rotação de extremidade de um vão isolado de 8 m sob 64,12 kN/m mede 30,7773 mrad contra uma forma fechada de 30,7773. A rotação de extremidade do mesmo vão sob momento puro de extremidade mede 3,6000 mrad contra 3,6000, aplicada através de um balanço real de 1 m com uma força de 60 kN na ponta, porque o solver não aceita momento nodal e forjar um é como essa verificação costuma dar errado.

Duas conferências de sanidade antes de usar o resultado. Jogue o momento elástico de apoio na mesma expressão e a dobra exigida é −0,000047 mrad, ou seja, zero até a sétima casa: o diagrama elástico é por definição o que não precisa de rótula nenhuma. Jogue o valor de projeto de 446,1 kNm e a dobra exigida é 8,0288 mrad pelo motor, contra 8,0289 mrad em forma fechada.

Essa é a fatura. Para usar os 30 % que a norma oferece, a seção sobre o apoio tem de girar 8,03 mrad segurando o seu momento de plastificação. Se ela consegue, já não é uma pergunta de momento, é uma pergunta de deformação.

Agora resolva a viga direito, com compatibilidade no lugar de uma hipótese. A rotação plástica que uma seção consegue fornecer é o excesso da curvatura real sobre a elástica, integrado ao longo do comprimento em que o momento está acima do Mel:

θ_oferta = ∫ [ κ(M(x)) − M(x)/EI ] dx

Sem comprimento de rótula suposto, sem forma triangular suposta. O diagrama de momentos é o do próprio motor, numa malha fina com um nó a cada 25 mm, e κ(M) sai invertido da integração de fibras da seção real. Depois é bissecção no momento do apoio até a oferta igualar a demanda.

Com um aço elastoplástico perfeito ideal, a viga se acomoda num momento de apoio de 446,0 kNm, que são 0,99991 Mpl e uma redistribuição de 13,06 %, quase exatamente os 13,04 % da norma. Até aqui, tudo bem. O preço não está:

• ductilidade de curvatura de pico μ = 32,47
• deformação na fibra externa 57 633 µε, ou seja, 5,763 %
• espalhada por uma zona escoada de 350 mm, 0,88 vez a altura da seção

Contra uma oferta de 15 εy, a margem é 0,46. A conta não fecha. Ao pé da letra, um aço plástico ideal não conseguiria sacar legalmente a permissão que a sua própria norma concede.

O motivo é o topo plano da curva ideal. Para espremer os últimos 0,01 % de Mpl de uma seção que não tem encruamento, a curvatura tem de disparar. Toda essa curvatura é cobrada da fibra extrema, e a conta é 5,8 % de deformação.

O aço real não tem topo plano, e a cláusula que garante a oferta também garante o conserto. Tome a §3.2.2 no seu mínimo literal: uma reta de (εy, fy) até (15 εy, 1,10 fy). Isso é uma inclinação de encruamento de

E_sh = 0,10 fy / (14 εy) = E/140 = 1 428,6 MPa

Nada aqui é inventado nem ajustado. É o aço mais fraco que a cláusula admite. Refaça a solução de compatibilidade idêntica com essa única mudança:

Dez por cento de encruamento cortam a demanda de deformação por um fator de quatro. Dois mecanismos fazem isso, e vale carregar os dois na cabeça:

• A curva deixa de ser plana. Uma seção que encrua alcança o Mpl em μ = 2,87 e continua subindo, então o momento que ela precisa entregar deixa de estar numa assíntota da qual só dá para se aproximar.
• A rótula se espalha. Como a seção continua ganhando resistência, a zona escoada cresce de 350 mm para 450 mm, e uma zona mais longa entrega os mesmos 8,03 mrad com curvatura menor em todo o seu comprimento.

Há uma consequência de projeto escondida na segunda linha. A viga real quer manter 464,6 kNm no apoio, não 446,0, porque ela encrua em vez de estancar. Dimensionar o apoio para o Mpl é portanto a favor da segurança no apoio e ligeiramente contra a segurança no vão, e é por isso que as normas limitam a redistribuição em vez de deixar você reivindicar o valor que quiser.

Ponha as quatro permissões num eixo só, na moeda em que todas elas são denominadas:

Agora a parte que explica o formato da cláusula. Refaça o balanço inteiro em quatro graus de aço:

A demanda de deformação em porcentagem quase dobra do S235 para o S460. A demanda em múltiplos de εy não se mexe nem um pouco: 7,94 em todas as linhas, com dispersão abaixo de 0,5 %. Isso não é coincidência, é a estrutura do problema. Tanto a demanda quanto a oferta escalam com fy/E, então a razão entre elas é um número puro. Uma cláusula escrita como εu ≥ 15 εy cobre todos os graus com uma linha só, e uma cláusula escrita como limite de deformação teria precisado de um número diferente para cada um.

A margem é 1,89 em todas as linhas. Confortável, e não tão confortável a ponto de a cláusula ter sido desnecessária.

Tudo o que veio acima supõe que a mesa e a alma conseguem de fato alcançar essas deformações sem enrugar antes. Essa suposição tem nome, e é classificação de seção. A classe é apresentada como uma tabela de limites b/t, o que a faz parecer uma regra de geometria. É uma regra de capacidade de deformação:

• Classe 1: forma rótula plástica e a segura durante toda a rotação. É a única classe autorizada a sacar a redistribuição.
• Classe 2: alcança o Mpl, mas não o segura tempo suficiente para girar. Módulo plástico sim, redistribuição não.
• Classe 3: para no primeiro escoamento. εmax = εy, e o argumento inteiro deste artigo fica indisponível.
• Classe 4: sofre flambagem local antes de escoar em qualquer ponto. Até o módulo elástico precisa ser reduzido.

A pista é o ε dos limites: a Tabela 5.2 da EN 1993-1-1 os escreve como 9ε, 10ε, 14ε para mesa em balanço e 72ε, 83ε, 124ε para alma sob flexão, com ε = √(235/fy). Um grau mais alto precisa de mais deformação antes de escoar, então a chapa dele tem de ficar mais robusta para sobreviver à mesma viagem. Limite de geometria que depende da tensão de escoamento não é limite de geometria.

Para o S355, ε = 0,8136, então os limites de Classe 1 são c/t ≤ 7,32 na mesa e c/t ≤ 58,58 na alma. Lendo c/t direto do registro de perfis em produção, a família IPE inteira, do 200 ao 600, sai Classe 1: mesas entre 4,14 e 5,28, almas entre 28,39 e 42,83. Todas elas têm folga, por um fator entre 1,4 e 1,8 na mesa.

É essa a lição de verdade. A permissão é segura de sacar num perfil I laminado, e é exatamente o tipo de permissão que você não pode levar para uma viga soldada esbelta, onde uma alma com c/t = 90 é Classe 3 e toda a conta acima fica sem efeito.

O jeito mais rápido de sentir o tamanho da permissão é rodar as duas rotas você mesmo. A calculadora abaixo resolve uma viga e devolve o momento e a flecha.

1. Coloque um vão de 8 m com um IPE 400 e 49,31 kN/m. O momento que sai é a capacidade elástica, 394 kNm num apoio, e essa é a viga que uma verificação de primeiro escoamento entrega.
2. Agora entre com 64,12 kN/m, a carga que o dimensionamento redistribuído permite. Compare os momentos, depois compare as flechas. A resistência subiu 30 %, e outra coisa subiu junto.
3. Troque o perfil para um IPE 450 e veja quanto do argumento dá para comprar de volta com 8 kg/m de aço a mais em vez de com ductilidade.

Duas coisas que a calculadora não faz por você, e nenhuma calculadora faz: confirmar que a seção é Classe 1 no seu grau de aço, e confirmar que a região da rótula está travada contra flambagem lateral com torção. As duas são pré-requisito, não detalhe posterior.

Tudo até aqui foi um argumento de resistência, e resistência raramente é o que decide uma viga de piso de 8 m. Flechas, calculadas elasticamente em cada nível de carga, porque uma verificação de serviço não pode usar a reserva plástica:

O limite para um vão de 8 m em L/300 é 26,67 mm. A rota elástica passa. Nenhuma rota que gasta deformação passa, e a primeiríssima permissão, a de graça, já basta para estourar o limite.

Isso não é contradição, é o formato real do espaço de projeto. A reserva plástica aumenta a carga que uma seção suporta sem aumentar a rigidez dela em um por cento, porque rigidez é EI e nem E nem I se mexeram. Numa terça de cobertura com limite de flecha generoso, ou numa viga verificada contra carga total em vez de só a sobrecarga, os 30 % são dinheiro. Numa viga de piso sob L/360, eles são impossíveis de gastar, e saber disso antes de desenhar o pórtico é a razão inteira de precificar a permissão.

• Citar os 15 % como corte. A §5.4.1(4)B permite que o pico elástico supere o Mpl em 15 %, o que é uma redução de 13,04 % desse pico. A diferença vale cerca de 2 % de carga, e cai sempre para o lado errado.
• Redistribuir numa seção Classe 3. A permissão é escrita para a Classe 1, e a Classe 2 ganha o módulo plástico sem a rotação. Uma alma Classe 3 faz εmax = εy, e a conta inteira desaba para a primeira linha.
• Esquecer de travar a rótula. Uma rótula da qual se espera um giro de 8 mrad já totalmente escoada quase não tem rigidez lateral sobrando. Se ela não estiver contida perto do apoio, a capacidade de rotação que você supôs foi embora, e não há aviso nenhum no diagrama de momentos.
• Verificar flecha com o diagrama redistribuído. Serviço é elástico. Os 66,9 kNm que você tirou do apoio são uma construção de resistência, e usar o momento reduzido para calcular δ esconde exatamente a reprovação que a seção anterior encontrou.
• Supor material elastoplástico ideal numa verificação de rotação. Não é a favor da segurança e não é neutro, é selvagemente pessimista: 32,5 εy contra 7,9. Verificação manual que usa isso vai rejeitar seções perfeitamente adequadas.
• Confundir o alongamento de 15 % com a capacidade de deformação local. O alongamento na ruptura é medido num comprimento de referência de 5,65√A₀ e inclui a estricção. O número que paga uma rótula é εu ≥ 15 εy, a deformação uniforme antes de a estricção começar, que é o menor e o mais honesto dos dois.
• Tratar a rótula como um ponto. Ela tem de 350 a 450 mm, cerca de uma altura de seção, e é esse comprimento que torna a rotação pagável. Qualquer método manual que concentre a curvatura plástica num ponto teórico ou precisa de um comprimento de rótula calibrado ou dá uma resposta sem significado.
• Levar a permissão para uma ligação parafusada ou soldada. Os 8,03 mrad têm de acontecer em algum lugar. Se o apoio for uma chapa de topo parafusada em vez de um perfil laminado contínuo, a capacidade de rotação é a da ligação, não a da viga, e costuma ser bem menor.

O fio que atravessa os oito é o mesmo: a norma vende permissões na linguagem da tensão, e a fatura sempre chega em deformação. Ler a fatura exige uma curva momento contra curvatura, uma demanda de rotação e uma cláusula de material. Não é difícil. Só não está impresso em lugar nenhum do desenho.