Energia de deformação e carga de impacto: o que uma carga que cai faz e uma estática não

A energia de deformação é a energia armazenada dentro de um corpo à medida que ele se deforma sob carga. Numa peça elástica ela é totalmente recuperável: retire a carga e a peça volta, devolvendo a energia que armazenou. Essa única ideia é o que liga uma verificação estática rotineira ao que acontece quando uma carga cai.

Numa peça linear elástica a carga cresce de zero até seu valor final P enquanto a flecha cresce de zero até δ. Como força e flecha sobem juntas, em proporção, o trabalho realizado sobre a peça, e portanto a energia de deformação nela armazenada, é a área de um triângulo:

U = ½Pδ

Uma viga sob carga é apenas uma mola rígida. Escreva P = kδ, onde k é a rigidez da peça (para uma viga biapoiada com carga pontual central, k = 48EI/L³), e a mesma energia vira U = ½kδ². Por unidade de volume de material, a densidade de energia armazenada é u = σ²/2E, a área sob a reta tensão-deformação. Tudo o que segue sobre impacto vem de acompanhar essa energia enquanto um peso em queda a entrega. É a mesma contabilidade que sustenta os métodos de energia usados para calcular flechas.

Uma carga estática e uma carga que cai podem ter o mesmo peso, mas entregam sua energia de maneiras completamente diferentes.

Uma carga estática, aplicada gradualmente, sobe a partir de zero. A cada instante a peça só sente tanta carga quanto sua flecha atual consegue resistir, de modo que o trabalho externo é o triângulo ½Pδ, e ele iguala a energia de deformação armazenada. Não sobra nada.

Uma carga que cai ou subitamente aplicada chega com valor cheio. Todo o peso W está presente desde o primeiro instante do contato e continua realizando trabalho, força vezes distância, todo o caminho para baixo, até a peça finalmente pará-lo na flecha máxima. A peça tem de absorver cada parcela dessa energia como energia de deformação. Não há rampa suave para dividir a carga.

A ferramenta para o resto deste artigo é a conservação de energia. Desprezando amortecimento, som, calor e o esmagamento local no contato, e supondo que a peça permaneça elástica, a energia potencial que o peso perde ao cair iguala a energia de deformação armazenada na peça na flecha máxima. Esse balanço é tudo o que você precisa para descobrir com que força a carga realmente bate.

Comece pelo caso dinâmico mais suave possível: o peso é solto encostando na viga, com altura de queda zero. Ainda não é uma carga estática, porque age com valor cheio desde o primeiro instante.

Faça h = 0 no balanço de energia. O peso desce apenas δ_max, então libera W·δ_max, e isso vira energia de deformação ½k·δ_max²:

W·δ_max = ½k·δ_max²

A flecha estática sob o mesmo peso é δ_st = W/k, logo W = k·δ_st. Substitua e cancele um δ_max:

k·δ_st·δ_max = ½k·δ_max² → δ_max = 2δ_st

Uma carga subitamente aplicada produz exatamente o dobro da flecha, o dobro do momento fletor e o dobro da tensão da mesma carga aplicada gradualmente. O fator de impacto é n = 2. Esse é o piso: por mais cuidado que você tenha ao pousar uma carga e soltar, ela bate com o dobro do que pesa. No IPE 200 resolvido a seguir, o peso de 2 kN que flexiona a viga 0,712 mm e a tensiona a 10,7 MPa quando apoiado com cuidado chega a 1,42 mm e 21,4 MPa no instante em que é solto em contato.

Agora deixe o peso cair uma altura h antes de tocar a viga. Na flecha máxima ele desceu h + δ_max no total, então liberou energia potencial W(h + δ_max). Iguale isso à energia de deformação armazenada:

W(h + δ_max) = ½k·δ_max²

Divida por W e use W = k·δ_st:

h + δ_max = δ_max² / (2δ_st)

Resolva a equação do segundo grau para δ_max e fique com a raiz física, positiva:

δ_max = δ_st · [ 1 + √(1 + 2h/δ_st) ]

O colchete é o fator de impacto:

n = δ_max / δ_st = 1 + √(1 + 2h/δ_st)

Como a peça é linear, todo resultado estático escala pelo mesmo n: δ_max = n·δ_st, M_max = n·M_st e σ_max = n·σ_st. Dois limites vale a pena lembrar. Em h = 0 a fórmula dá n = 2, o caso subitamente aplicado. Para uma queda grande, h muito maior que δ_st, ela tende a n ≈ √(2h/δ_st), então a tensão cresce só com a raiz quadrada da altura de queda. Dobrar a altura não dobra a tensão, e um δ_st pequeno, ou seja, uma peça rígida, torna n grande. Guarde esse último ponto.

Tome um IPE 200 biapoiado, vão L = 4,0 m, e um peso W = 2,0 kN (cerca de 204 kg) no meio do vão, solto de h = 150 mm. Escoamento do aço f_y = 250 MPa. O motor de seções do CalcSteel informa A = 28,5 cm², I_x = 1873 cm⁴ e módulo de resistência S_x = 187,3 cm³.

Estático, carga apoiada com cuidado

δ_st = W·L³ / (48·E·I_x) = 0,712 mm. O motor FEM de produção devolve 0,712 mm no nó do meio do vão, batendo com a forma fechada em três casas decimais. O momento é M_st = W·L/4 = 2,0 kN·m, então a tensão de flexão é σ_st = M_st / S_x = 10,7 MPa. Contra f_y = 250 MPa isso é um aproveitamento de 4,3%. Estaticamente, é um não evento.

O mesmo peso, solto de 150 mm

n = 1 + √(1 + 2 × 150 / 0,712) = 21,6. Todo resultado estático se multiplica por esse fator:

• δ_max = 21,6 × 0,712 = 15,3 mm
• M_max = 21,6 × 2,0 = 43,1 kN·m
• σ_max = 21,6 × 10,7 = 230 MPa, um aproveitamento de 92%

Conferência de energia. O peso libera W(h + δ_max) = 2,0 × (0,150 + 0,0153) = 331 J, e a viga armazena ½k·δ_max² = 331 J. Batem, porque esse balanço é exatamente de onde o fator veio.

Ou seja, os mesmos 2 kN, soltos de 150 mm, fazem com a viga o que uma carga estática de 43 kN faria. Ela vai de 4,3% de aproveitamento para 92% sem mudar um grama de peso. Solte de cerca de 180 mm em vez de 150 e a fibra externa atinge f_y: a viga escoa.

O fator de impacto precisa de exatamente um número da análise: a flecha estática δ_st sob o peso aplicado como carga comum. Modele sua viga abaixo, leia δ_st e a tensão de flexão estática, depois multiplique por n = 1 + √(1 + 2h/δ_st) para a altura de queda que lhe interessa. Para uma carga simplesmente solta em contato, use n = 2.

A intuição estática diz que uma viga mais curta e rígida é mais segura: flexiona menos e seu momento W·L/4 é menor. Sob impacto essa intuição se inverte, e o motivo está na fórmula. O fator de impacto depende de δ_st, e uma viga mais rígida tem δ_st menor, logo n maior.

Mantenha o mesmo IPE 200, o mesmo W = 2 kN e o mesmo h = 150 mm, e mude só o vão:

À medida que o vão cresce, a tensão estática sobe, de 5,3 para 26,7 MPa, mas a tensão de impacto cai, de 315 para 168 MPa. A viga curta e rígida é a mais segura no estático e a mais perigosa no impacto. A viga longa e flexível é o contrário. Para uma queda grande, σ_max ≈ σ_st·√(2h/δ_st), o que dá proporcional a 1/√L: o mesmo comprimento que o prejudica no estático o ajuda no impacto, porque uma peça mais longa absorve a mesma energia a uma tensão menor. Note que as linhas de 2 m e 4 m preveem tensões iguais ou acima de f_y = 250 MPa, o que a fórmula elástica não consegue de fato entregar. Isso é assunto de uma seção mais adiante.

Por que mais material ou mais comprimento reduz a tensão de impacto? Porque impacto é sobre a energia que uma peça consegue absorver, e isso escala com o volume.

A densidade de energia de deformação, a energia armazenada por unidade de volume a uma tensão σ, é u = σ²/2E. O máximo que um material consegue armazenar permanecendo elástico, até o escoamento, é o módulo de resiliência:

u_r = f_y² / 2E

Para f_y = 250 MPa e E = 200 GPa isso dá 0,156 MJ/m³, cerca de 156 kJ/m³. A energia elástica que uma peça inteira consegue armazenar antes do primeiro escoamento é u_r vezes o volume efetivamente tensionado. Na flexão só as fibras externas atingem f_y, então a fração aproveitável é menor do que na tração pura, mas a mensagem se mantém: uma peça maior e mais longa tem mais volume para espalhar a energia, então atinge o escoamento a uma tensão de pico menor.

A tenacidade é toda a área sob a curva tensão-deformação até a fratura, a energia por volume incluindo o trabalho plástico. O aço doce é tenaz porque escoa e continua absorvendo energia muito além do primeiro escoamento. É por isso que um aço dúctil sobrevive a impactos que estilhaçariam um material frágil de mesma resistência: ele troca uma deformação permanente por não fraturar.

Se a tensão de impacto cai quando a energia se espalha por mais volume, então a pior coisa que você pode fazer é forçar a energia para dentro de um volume pequeno. Um entalhe, um furo de parafuso, um canto reentrante ou uma mudança brusca de seção fazem exatamente isso: obrigam a peça a armazenar a maior parte de sua energia de deformação numa região minúscula em torno da descontinuidade.

Estaticamente, um fator de concentração de tensão K_t eleva a tensão local por um múltiplo fixo, e para o aço dúctil isso costuma encerrar o assunto, porque ele escoa localmente e redistribui. Sob impacto o efeito se compõe. O volume pequeno e muito tensionado quase não tem capacidade de absorver energia, então a tensão local sobe muito mais rápido do que K_t sozinho sugeriria. Um resultado clássico da resistência dos materiais é que uma barra escalonada ou com sulco pode falhar sob um impacto que uma barra uniforme de mesma área mínima ignora, porque a barra uniforme espalha a energia por todo o seu comprimento enquanto a barra com sulco a despeja no sulco.

Na prática: mantenha as mudanças de seção graduais, evite cantos reentrantes vivos, mantenha furos de parafuso e recortes longe de regiões que vejam choque ou carga dinâmica, e esmerilhe entalhes e mossas em peças expostas a impacto. Um detalhe invisível sob carga estática pode governar sob uma carga que cai.

A fórmula n = 1 + √(1 + 2h/δ_st) se apoia em duas hipóteses: a peça permanece linear elástica, e nenhuma energia se perde em amortecimento, som, calor ou esmagamento local no ponto de contato. As duas importam.

Se a previsão elástica der σ_max acima de f_y, como o vão de 2 m deu, 315 MPa contra f_y = 250, a peça não consegue de fato atingir essa tensão. Em vez disso ela escoa, e a deformação plástica absorve energia a tensão aproximadamente constante. A boa notícia é que uma peça dúctil consegue absorver muito mais energia depois do escoamento do que antes, então pode sobreviver a um único impacto assumindo uma deformação permanente. A má notícia é que ela agora está torta, sua capacidade residual está reduzida, e um segundo impacto encontra uma peça já danificada. O fator elástico deixa de ser a resposta assim que prevê escoamento; ele só lhe diz que a reserva elástica se esgotou.

As perdas reais de energia agem no sentido contrário e reduzem o pico. Um coxim de borracha, uma ligação parafusada que desliza, ou o esmagamento do material no contato removem energia antes que ela chegue à peça como energia de deformação de flexão. É por isso que trilhos de ponte rolante, bases de máquinas e barreiras de impacto são deliberadamente detalhados para dissipar energia em vez de refleti-la. A fórmula é o limite superior limpo; o bom detalhamento é como você fica abaixo dele.

As normas raramente pedem que você deduza n a partir de uma altura de queda. Em vez disso, elas embutem o impacto num fator de amplificação de carga para os casos em que efeitos dinâmicos são rotineiros, e são conservadoras de propósito.

Pontes rolantes. A AISC 360 Seção A4.2 aumenta as cargas nominais de ponte rolante para impacto vertical: 25% para monovias e para pontes rolantes operadas de cabine ou remotamente, 10% para pontes rolantes operadas por botoeira, e 0% para pontes acionadas manualmente. A viga de rolamento é dimensionada com a carga de roda amplificada.

Máquinas e cargas móveis. A ASCE 7 acrescenta acréscimos de impacto: cargas de elevador são aumentadas em 100%, máquinas leves acionadas por eixo ou motor em 20%, máquinas alternativas ou unidades motrizes em 50%, e tirantes que sustentam pisos e sacadas em 33%.

O projeto sísmico é a mesma ideia na escala do edifício. O que mantém um pórtico de pé num terremoto é sua capacidade de absorver e dissipar energia, não a resistência bruta, e é por isso que o detalhamento dúctil e os pórticos contraventados que escoam de forma controlada são preferidos aos frágeis.

Pilaretes de impacto veicular, defensas e proteção contra queda de objetos em estruturas industriais e offshore são todos dimensionados pela energia absorvida, não por uma carga estática equivalente sozinha. O fio condutor de todos eles é o mesmo com que este artigo começou: uma massa em movimento carrega energia, e a estrutura tem de armazená-la ou dissipá-la.

Uma vez que você tem a flecha estática e a tensão estática, o fator de impacto é aritmética, e esses dois números são exatamente o que o motor do CalcSteel calcula para cada peça e cada combinação de cargas.

O fluxo é curto. Modele a peça, aplique a carga móvel ou que cai como uma carga estática comum, e leia δ_st no ponto de impacto junto com σ_st ou o aproveitamento nos resultados. Depois, ou multiplique a demanda estática pelo fator de impacto normativo da sua situação, um acréscimo de ponte rolante ou de máquina, ou amplifique por n = 1 + √(1 + 2h/δ_st) para uma queda genuína, e reverifique o momento e a tensão amplificados contra a capacidade da seção.

Como o motor informa flecha e tensão com a mesma precisão da forma fechada, o exemplo resolvido acima bateu em três casas decimais, você pode confiar no δ_st que alimenta o fator. Para vigas de rolamento e apoios de máquina, acrescente a porcentagem da AISC ou da ASCE como uma combinação de carga extra. Para uma carga que cai de verdade, amplifique por n e confirme que a peça fica abaixo do escoamento, porque assim que a previsão elástica cruza f_y o fator simples deixa de valer e você entra na discussão de energia plástica acima.