Contraventamento em X de Aço: o Critério do Comprimento Efetivo Por Trás da Norma

O contraventamento em X de aço, um X de duas diagonais atravessando um vão, é a forma mais rígida e mais barata de impedir que um pórtico de aço oscile. O vento ou um sismo empurra o piso para o lado; o X converte esse empurrão horizontal em força axial pura nas diagonais e a manda direto para a base. Sem flexão, sem deriva, apenas duas escoras e tirantes trabalhando em linha. É por isso que quase todo galpão, núcleo de torre e mezanino que você já viu esconde um X em algum lugar de suas paredes.

Como o caminho de carga é tão simples, o projeto parece simples também, e essa é a armadilha. Quando o pórtico pende para um lado, uma diagonal se estica (tração) e a outra encurta (compressão). A diagonal tracionada quase nunca é o problema: o aço é enormemente resistente à tração. A diagonal comprimida é o jogo inteiro, porque uma diagonal longa e esbelta não esmaga, ela flamba, e a resistência à flambagem desaba com o quadrado do comprimento.

Então toda a verificação se reduz a um comprimento: sobre que distância a diagonal comprimida pode flambar? Erre isso e você ou reprova um tubo que na verdade está bom, ou, pior, aprova um que não está. Este artigo deriva a resposta a partir da estática, e depois faz uma verificação completa numa seção real com forças calculadas pelo motor de elementos finitos do CalcSteel em um vão de 6.0 m por 4.0 m. Você pode reproduzir a capacidade à flambagem por conta própria na calculadora incorporada mais abaixo.

Aqui vai uma definição para citar: o contraventamento em X de aço é um sistema lateral em que duas diagonais atravessam um vão formando um X, de modo que sob uma carga horizontal uma diagonal trabalha em tração e a outra em compressão, levando a força horizontal do pavimento à fundação como força axial.

Por que o X, e não uma diagonal só? Uma diagonal única tem que trabalhar nos dois sentidos: é tirante quando o pórtico pende para um lado e escora quando pende para o outro, então precisa ser dimensionada para compressão sobre todo o seu comprimento, o caso menos eficiente. Um chevron (V invertido) coloca duas diagonais sob uma viga, mas força uma carga vertical desequilibrada nessa viga quando uma diagonal flamba, e é por isso que as vigas de chevron ficam pesadas. O X é o ponto ótimo: as duas diagonais se cruzam e podem ser conectadas onde se encontram, e essa conexão é exatamente o que encurta o comprimento de flambagem da diagonal que estiver comprimida. A geometria que parece uma conveniência de detalhamento está fazendo trabalho estrutural.

Novo em sistemas laterais de aço? Nossa visão geral dos sistemas de contraventamento em aço monta o cenário, e o que um contraventamento precisa de fato entregar cobre o lado da rigidez. Aqui vamos direto ao número que dimensiona o contraventamento em X.

Comece pela estática. Uma força horizontal do pavimento H chega ao vão pelo diafragma de piso e tem que ser resistida pelas componentes horizontais das forças nas diagonais. Cada diagonal fica a um ângulo theta com a horizontal, com cosseno theta = B / L = 6.0 / 7.211 = 0.8321 no nosso vão. Resolva o equilíbrio horizontal no topo do vão:

(T + C) · cos θ = H

Num X simétrico as duas diagonais são imagens espelhadas idênticas, então sob uma força horizontal simétrica elas tomam força igual e oposta, T = C. Isso divide a força cortante ao meio:

T = C = H / (2 cos θ) = 300 / (2 · 0.8321) = 180.3 kN

Esse é o projeto tração / compressão, em que você conta com as duas diagonais trabalhando ao mesmo tempo. Há uma segunda forma, muito comum, de projetar um contraventamento em X: só à tração. Você assume que a diagonal comprimida já flambou e libera sua carga, de modo que a diagonal tracionada sozinha carrega toda a força horizontal do pavimento:

T = H / cos θ = 300 / 0.8321 = 360.6 kN

O só à tração é a escolha padrão para contraventamentos esbeltos como barras redondas e chatos, que não conseguem carregar compressão significativa de qualquer forma. O tração / compressão é usado quando as diagonais são robustas o bastante para trabalhar nos dois sentidos, e é aí que o critério do comprimento efetivo mostra seu valor. Vamos verificar a diagonal comprimida, o caso mais difícil, e a seção do motor abaixo confirma os dois números.

Agora o número que importa. A diagonal comprimida é uma escora, e a capacidade de uma escora é governada pela flambagem. O resultado de Euler conta a história toda: a carga em que uma escora rotulada flamba é

P_cr = π² E I / (KL)²

Tudo depende de KL, o comprimento efetivo, a distância sobre a qual o elemento é livre para se curvar. Reduza KL pela metade e você quadruplica a carga de flambagem. Então a pergunta não é quão resistente é o tubo, é qual pedaço dele está livre para flambar.

Aqui está o critério. Num contraventamento em X as duas diagonais se cruzam e, se você as conecta onde se encontram, a diagonal tracionada, puxada e esticada, segura firme esse ponto de cruzamento. Para a diagonal comprimida o cruzamento é, portanto, um ponto de travamento: ela não pode flambar sobre a diagonal inteira, apenas sobre a metade entre a sua extremidade e o cruzamento. Essa é a base que Picard e Beaulieu puseram em terreno firme: para um X com as diagonais interligadas na interseção e uma carregando tração, dimensione a diagonal comprimida para um comprimento efetivo de

KL = 0.5 L = 0.5 · 7.211 = 3.606 m

um fator de comprimento efetivo K de cerca de 0.5 sobre o comprimento inteiro da diagonal. El-Tayem e Goel confirmaram experimentalmente a base da meia diagonal, medindo algo mais perto de 0.85 da meia metade para cantoneiras simples. Uma ressalva importa: a restrição só é tão real quanto a diagonal tracionada que a fornece. Ela cresce com a força de tração e com a rigidez da diagonal tracionada, então a conexão do cruzamento não é opcional, e uma diagonal tracionada pouco carregada ou frouxa deixa o ponto de travamento amolecer e empurra K de volta para 1.0. Tome o comprimento inteiro e você está projetando como se o cruzamento não existisse. O resto deste artigo mostra exatamente o que isso custa.

A verificação precisa de três coisas da seção, e a norma escreve cada uma delas.

1. Flambagem por compressão (AISC 360 E3). A tensão elástica (de Euler) é F_e = π² E / (KL/r)², onde r é o raio de giração. A norma então a reduz para elementos reais e imperfeitos. Abaixo do limite de esbeltez 4.71√(E/F_y) = 111.8 a ruína é inelástica e F_cr = 0.658^(Fy/Fe) F_y; acima dele o elemento é plenamente elástico e F_cr = 0.877 F_e. A compressão de projeto é φP_n = 0.90 F_cr A_g. Essa é exatamente a curva E3 que o critério acima alimenta, através de KL/r.

2. Escoamento por tração (AISC 360 D2). A diagonal tracionada é verificada ao escoamento na seção bruta, φP_n = 0.90 F_y A_g (e à ruptura na seção líquida na ligação, que apontamos mas não dimensionamos aqui).

3. Limites de esbeltez. A AISC 360 recomenda KL/r ≤ 200 para elementos comprimidos e L/r ≤ 300 para elementos tracionados. Não são equações de resistência, são boa prática: um elemento além dessas razões é frouxo demais para manusear, transportar e montar reto, e cede sob o próprio peso. Para pórticos contraventados sísmicos a AISC 341 é ainda mais rígida, limitando a esbeltez do contraventamento para que ele se comporte de forma previsível ao longo das reversões de carga.

Duas capacidades, um fato geométrico (KL = 0.5 L). A seguir, colocamos números nelas.

Montamos o vão exato do topo deste artigo no motor de elementos finitos do CalcSteel: um vão de um pavimento contraventado em X, 6.0 m de largura e 4.0 m de altura, com a força horizontal do pavimento H = 300 kN entregue pelo topo do vão como faria um diafragma de piso. O motor resolve o pórtico hiperestático e devolve a força axial em cada elemento.

As duas diagonais voltam como:

• Diagonal tracionada: T = +179.5 kN.
• Diagonal comprimida: C = −179.5 kN.

Duas verificações sobre esse resultado. Primeiro, simetria: o motor dá |T| = |C| = 179.5 kN exatamente, como um X simétrico exige. Segundo, o valor manual: T = C = H / (2 cos θ) = 180.3 kN, e o motor fica dentro de 0.4% dele, em 179.5 kN. O pequeno resíduo é ação de pórtico genuína, os pilares tomam uma fração da força cortante em flexão, o que é real e a favor da segurança para a diagonal. A fórmula da treliça rotulada não é uma aproximação que você torce para valer; é o que o pórtico de fato faz.

Remova uma diagonal no mesmo modelo e a sobrevivente salta para 357.7 kN, confirmando o valor só à tração H / cos θ = 360.6 kN. Então a solicitação de cálculo sobre a diagonal comprimida é Cu = 179.5 kN. Agora dimensionamos para ela.

A seção

Tome um tubo quadrado SHS 100x100x8 em aço S355 (F_y = 355 MPa, E = 200000 MPa). Suas propriedades: A_g = 2944 mm², I = 418.4 cm⁴, r = 37.7 mm. O comprimento inteiro da diagonal é L = 7.211 m.

O jeito errado: comprimento inteiro

Assuma que a diagonal flamba sobre seu comprimento inteiro, KL = 7.211 m. Então KL/r = 191.3, bem acima do limite 111.8, então é elástica: F_e = 54.0 MPa, F_cr = 0.877 · 54.0 = 47.3 MPa, e φP_n = 0.90 · 47.3 · 2944 = 125.4 kN. Contra Cu = 179.5 kN isso é uma verificação de 143%: reprova, e com folga. Nessa base você jogaria o tubo fora e buscaria uma seção bem mais pesada.

O jeito certo: meio comprimento

Agora use o critério. A diagonal tracionada trava o cruzamento, então KL = 0.5 L = 3.606 m e KL/r = 95.6. Isso está abaixo do limite 111.8, então a ruína é inelástica: F_e = 215.8 MPa, F_cr = 0.658^(355/215.8) · 355 = 178.3 MPa, e φP_n = 0.90 · 178.3 · 2944 = 472.5 kN. Contra Cu = 179.5 kN isso é uma verificação de 38%: passa, com margem.

Mesmo tubo, mesmos 179.5 kN, mesmo aço. A única coisa que mudou foi se você creditou o cruzamento como um ponto de travamento. Essa única decisão moveu φP_n de 125.4 kN para 472.5 kN, um fator de 3.8, porque a capacidade escala com 1/(KL)². Esse é o critério por trás da norma, em uma linha resolvida.

Todo o critério é uma entrada: o comprimento efetivo. Na calculadora abaixo, insira o tubo SHS 100x100x8 em S355 e ajuste o comprimento para os 7.211 m inteiros, depois observe a capacidade, e reduza para 3.606 m para vê-la saltar. Você está vendo φP_n passar de reprovar para passar puramente porque o comprimento de flambagem caiu pela metade. Isso é um contraventamento em X em miniatura.

É o mesmo motor AISC E3 usado nos números resolvidos acima, grátis, e sem login para a conta.

Por completude, verifique a diagonal tracionada. O escoamento na seção bruta dá φP_n = 0.90 · F_y · A_g = 0.90 · 355 · 2944 = 940.6 kN. Contra T = 179.5 kN isso é apenas 19% utilizado. Sua esbeltez é L/r = 191.3, confortavelmente abaixo do limite de tração de 300.

Esse resultado desigual, 19% em tração contra uma verificação de compressão que só passa no meio comprimento, é o ponto inteiro do artigo. A compressão governa um contraventamento em X, sempre. A diagonal tracionada quase nunca é a restrição decisiva; a seção é definida por como a diagonal comprimida flamba, que é definido pelo seu comprimento efetivo, que é definido pelo detalhe do cruzamento. Projete o contraventamento como se fosse um elemento tracionado e você vai dimensioná-lo leve demais.

É também por isso que os sistemas só à tração existem e são engenharia honesta: se a diagonal é esbelta demais para carregar compressão útil (uma barra redonda ou chato com KL/r bem além de 200), pare de fingir que ela consegue. Projete cada diagonal para o H / cos θ = 360.6 kN inteiro em tração, aceite que a comprimida flamba sem causar dano, e detalhe as ligações para tomar a reversão. O que você nunca pode fazer é creditar capacidade de compressão que não verificou.

O critério só é verdadeiro se a estrutura corresponder à hipótese. Algumas coisas têm que estar certas, e é aí que os contraventamentos em X de fato dão errado.

• Conecte as diagonais no cruzamento. O meio comprimento é comprado pela diagonal tracionada segurando o ponto de cruzamento. Se as duas diagonais simplesmente passam uma pela outra sem conexão, não há ponto de travamento fora do plano e KL volta para perto do comprimento inteiro. Um parafuso ou uma pequena chapa de reforço na interseção é o que torna KL = 0.5 L legítimo.
• No plano vs fora do plano. O cruzamento restringe a diagonal comprimida fora do plano do pórtico diretamente. No plano do pórtico também funciona quando as diagonais estão interligadas ali, mas na dúvida, verifique os dois eixos e deixe o maior KL/r governar. Para um tubo quadrado o raio de giração é igual nos dois sentidos, então o pior caso é simplesmente o maior comprimento efetivo.
• Fique de olho nos tetos de esbeltez. A AISC 360 recomenda que a esbeltez de compressão KL/r fique em 200 ou abaixo e a de tração L/r em 300 ou abaixo. Nossa diagonal está em KL/r = 95.6 no comprimento travado (meio), bem dentro de 200. Em um pórtico contraventado concêntrico especial sísmico esse mesmo 200 vira um limite decisivo sob a AISC 341, não só uma recomendação.
• Projete o resto por capacidade. As vigas, os pilares, as chapas de reforço e os chumbadores que o contraventamento acessa precisam ser dimensionados para a capacidade do contraventamento, não para a solicitação elástica do caso de carga. Em um pórtico contraventado sísmico (AISC 341 SCBF) isso significa a tração esperada do contraventamento R_yF_yA_g e a compressão pós-flambagem, de modo que o contraventamento seja o fusível e tudo à sua volta permaneça elástico.

Normas: esta verificação segue a AISC 360-16 (E3 para compressão, D2 para tração) com o comprimento efetivo do X de Picard e Beaulieu, confirmado experimentalmente por El-Tayem e Goel; o Eurocode 3 (EN 1993-1-1) dá as mesmas curvas de flambagem com sua própria notação, e o EN 1998-1 cobre o detalhamento sísmico. No Brasil o dimensionamento de elementos segue a NBR 8800. A carga pode vir do vento ou de um sismo, mas o critério para a diagonal comprimida é idêntico de onde quer que ela venha.

Os erros que mais transformam um contraventamento em X correto no papel em uma verificação errada:

• Flambar a diagonal comprimida sobre o comprimento inteiro. Se as diagonais estão conectadas no cruzamento, use KL = 0.5 L. Esquecer disso, como nossa verificação resolvida mostra, pode reprovar um tubo que na verdade está bom por larga margem.
• Reivindicar o meio comprimento sem conexão no cruzamento. O erro oposto. Sem conexão, sem ponto de travamento, sem meio comprimento. O detalhe tem que existir.
• Dimensionar o contraventamento pela tração. A compressão governa um contraventamento em X. Verifique a diagonal comprimida primeiro; a diagonal tracionada quase sempre terá folga.
• Confundir só à tração com tração / compressão. No só à tração cada diagonal carrega o H / cos θ inteiro; no tração / compressão cada uma carrega metade. Use o errado e você erra por um fator de dois.
• Ignorar os tetos de esbeltez. KL/r além de 200 em compressão, ou L/r além de 300 em tração, não é só ineficiente, é um elemento que você não consegue montar reto.

Perguntas frequentes

O contraventamento em X é só à tração ou a diagonal comprimida conta? Os dois são válidos. Contraventamentos esbeltos (barras redondas, chatos) são projetados só à tração; contraventamentos robustos (cantoneiras, tubos) podem ser projetados tração / compressão, e então o critério do comprimento efetivo define a seção.

Por que o comprimento efetivo é a metade da diagonal? Porque a diagonal tracionada, conectada no cruzamento, segura o ponto médio da diagonal comprimida, de modo que ela só pode flambar sobre metade do seu comprimento. K é cerca de 0.5 sobre o comprimento inteiro.

O contraventamento em X funciona para sismo? Sim. Um pórtico contraventado concêntrico especial (SCBF) usa exatamente esse X, com o detalhamento da AISC 341 para que o contraventamento escoe e flambe de forma previsível enquanto o resto do pórtico permanece elástico.

O contraventamento em X de aço é uma ideia executada com cuidado: converter uma força horizontal do pavimento em força axial em duas diagonais, e dimensionar a seção por como a comprimida flamba.

• A força horizontal do pavimento se divide como T = C = H / (2 cos θ) = 180.3 kN num X simétrico, ou a diagonal tracionada carrega o H / cos θ = 360.6 kN inteiro no só à tração.
• O critério é o comprimento efetivo da diagonal comprimida: a diagonal tracionada trava o cruzamento, então KL = 0.5 L = 3.606 m, não os 7.211 m inteiros.
• Nossa diagonal SHS 100x100x8 S355: no comprimento inteiro φP_n = 125.4 kN reprova (143%); no meio comprimento φP_n = 472.5 kN passa (38%), contra Cu = 179.5 kN do motor do CalcSteel. A tração é um não-evento a 19%.
• Conecte as diagonais no cruzamento, mantenha KL/r em 200 ou abaixo e L/r em 300 ou abaixo, e projete por capacidade tudo o que o contraventamento acessa.

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