Tensões residuais em perfis laminados: por que a curva de flambagem não é a curva de Euler

Pegue um W 250 x 73, ASTM A572 Grau 50, fy = 345 MPa, rotulado nas duas extremidades, 5 m de comprimento, flambando pelo eixo de menor inércia. Duas respostas de livro-texto delimitam o problema. Euler dá a carga crítica elástica, Ncr = π²EI/L² = 3063 kN. O escoamento dá a carga de plastificação total, A·fy = 3172 kN. A coluna não vence nenhuma das duas, então o teto honesto é a menor delas: 3063 kN.

Agora pergunte ao motor. Rodando a mesma barra pela verificação que está no ar no CalcSteel, o Capítulo E da AISC 360 devolve resistência nominal de 2056 kN, e a NBR 8800 devolve os mesmos 2056 kN antes do coeficiente de ponderação. São 32,9 % abaixo do teto que as duas fórmulas clássicas fixaram, e nenhum fator de resistência entrou ainda. O φ e o γ vêm depois, e levam mais.

Essa diferença não é conservadorismo, e não é chute. É um efeito físico medido, com nome próprio: tensão residual. A barra chegou na obra já tensionada. Ninguém a carregou. Quem fez isso foi a laminadora, e aconteceu enquanto o aço esfriava no leito, nas horas seguintes à saída da última cadeira de laminação.

Este artigo segue essa tensão de onde ela nasce até onde ela aparece na sua verificação: a ordem de resfriamento de um perfil quente, o padrão que ela deixa para trás, por que esse padrão ataca o eixo fraco com mais violência que o forte, e como ele transformou a hipérbole de Euler na curva de flambagem que toda norma moderna de fato usa.

Um perfil laminado a quente deixa a última cadeira por volta de 1000 °C e esfria ao ar parado. Se cada fibra esfriasse na mesma velocidade, o perfil encolheria de forma uniforme e terminaria com tensão interna zero. Não é o que acontece, por um motivo puramente geométrico.

A velocidade de resfriamento depende de quanta superfície um pedaço de metal tem em relação ao seu volume, e de quanto metal quente vizinho está irradiando de volta para ele. Num perfil I, essas duas coisas variam muito de ponto para ponto:

• As bordas das mesas são finas e ficam expostas em três lados ao mesmo tempo. Perdem calor mais rápido.
• O meio da alma é fino e aberto nas duas faces. Também esfria rápido.
• O encontro da alma com a mesa é o metal mais espesso do perfil, e está cercado por todos os lados de outro metal quente que continua irradiando nele. Esfria por último, muitas vezes com folga.

O mecanismo é este, e vale enunciar devagar porque tudo o que vem depois decorre dele. As bordas esfriam primeiro, contraem e ficam rígidas enquanto o encontro ainda está mole e quente. Depois o encontro esfria e tenta contrair por sua vez. Só que agora ele está preso a metal que já enrijeceu. A retração dele é impedida.

Uma região que quer encolher e é segurada termina tracionada. As regiões que a seguram precisam empurrar de volta, então terminam comprimidas. O aço chega à temperatura ambiente com um campo de tensão travado que nunca conseguirá dissipar: tração onde esfriou por último, compressão onde esfriou primeiro. Nenhuma carga foi aplicada, e a barra já está tensionada num nível que importa.

Os padrões de tensão residual medidos em perfis I laminados a quente são notavelmente consistentes, e é por isso que puderam virar um modelo de projeto. O padrão do ECCS, o que está por trás das curvas europeias de flambagem, descreve um perfil I laminado assim:

• Compressão nas bordas das mesas, caindo linearmente ao longo da mesa.
• Tração no encontro da alma com a mesa e no centro da mesa.
• Tração na alma perto das mesas, virando compressão na meia altura.

A magnitude depende das proporções do perfil, e a divisão está em h/b = 1,2:

Nosso W 250 x 73 tem 253 mm de altura e 254 mm de largura, então h/b = 0,996 e ele cai do lado severo. Antes de alguém carregá-lo, as bordas das mesas já carregam cerca de 172,5 MPa de compressão. Isso é metade da tensão de escoamento do material, gasta.

Duas propriedades desse campo de tensão decidem tudo o que vem depois. Primeira, ele é autoequilibrado: integre sobre a seção transversal e você obtém força zero e momento zero. Tem que ser assim, porque nada externo está segurando a barra. Segunda, ele não é uniforme: é compressão exatamente nos lugares que mais importam para a estabilidade.

O autoequilíbrio é o que torna a tensão residual tão fácil de descartar. Uma coluna muito atarracada, curta demais para flambar, ainda alcança A·fy. As bordas comprimidas escoam cedo, o centro tracionado absorve a diferença, e a carga total de plastificação não muda. Ali a tensão residual não custa nada. É quando a coluna precisa se manter reta que a conta chega.

Agora empurre a coluna. A compressão aplicada é uniforme na seção, pelo menos enquanto tudo está elástico. Ela não substitui a tensão residual; ela se soma. O que cada fibra sente é a soma.

Acompanhe as bordas das mesas, que já estão a 0,5 fy de compressão. Elas atingem o escoamento quando

σ_aplicada + 0,5 fy = fy, ou seja, σ_aplicada = 0,5 fy = 172,5 MPa

A coluna começa a escoar com metade da sua carga de plastificação. Não com 90 %, não com 100 %. Com 50 %, nas bordas das mesas, enquanto o resto da seção está confortavelmente elástico e enquanto a tensão média na barra ainda parece perfeitamente segura no papel.

Empurre mais e a zona plastificada avança para dentro a partir das bordas. Com 0,7 fy aplicados, os 10 % externos de cada meia mesa já plastificaram. A barra não está rompendo, e uma verificação de tensão não reclamaria. Mas mudou algo que a verificação de tensão não enxerga: o metal escoado não contribui mais com rigidez. Aço escoado tem módulo tangente perto de zero. Para efeito de resistir ao próximo incremento de flexão, aquelas bordas deixaram de existir.

Esta é a dobradiça do assunto inteiro. Flambagem é problema de rigidez, não de resistência. Uma coluna flamba quando a rigidez à flexão que ela ainda consegue mobilizar deixa de bastar para endireitá-la contra a carga que tenta curvá-la. A tensão residual não reduz a resistência do material em lugar nenhum. Ela reduz a rigidez disponível no momento da flambagem, plastificando partes da seção cedo demais.

Aqui está a parte que raramente é explicitada, e ela responde uma curiosidade com que todo estudante esbarra: por que as normas tratam os dois eixos do mesmo perfil laminado de forma diferente, se o padrão de tensão residual é idêntico para os dois?

Por causa de onde o escoamento acontece. O primeiro metal a plastificar são as bordas das mesas, e as bordas das mesas são o material com o maior braço de alavanca em relação ao eixo fraco. Em relação ao eixo forte, elas contribuem pela distância ao eixo neutro na direção da altura, que é a mesma para toda a largura da mesa. Em relação ao eixo fraco, elas contribuem pela distância ao longo da largura da mesa, e perder a faixa mais externa sai caro.

Coloque número nisso. Se uma faixa de largura c plastifica em cada borda, o núcleo elástico de cada mesa tem largura b_e = b − 2c, e:

• Eixo forte: o I_x das mesas é aproximadamente b_e·t_f·(h/2)², proporcional a b_e. Perca 30 % da largura e você perde cerca de 30 % da parcela das mesas.
• Eixo fraco: o I_y das mesas é t_f·b_e³/12, proporcional a b_e ao cubo. Perca 30 % da largura e você conserva 0,7³ = 34 % da parcela das mesas.

Calculado sobre a geometria real do W 250 x 73, alma incluída:

Com 30 % plastificado, o eixo forte perdeu cerca de um quarto da rigidez e o eixo fraco perdeu dois terços. Mesma seção, mesma tensão residual, mesma carga aplicada. A diferença é puramente para qual eixo o material perdido estava trabalhando.

Essa assimetria sozinha é a razão de a EN 1993-1-1 não dar ao perfil I laminado uma curva de flambagem. Ela dá duas, uma por eixo, e o eixo fraco sempre fica com a pior.

A teoria clássica de colunas oferece dois limites e nada entre eles. Euler dá a tensão crítica elástica, válida para barras esbeltas. O escoamento dá fy, válido para barras atarracadas. Trace os dois contra o índice de esbeltez reduzido λ₀ = √(A·fy/Ncr) e você obtém uma reta horizontal em χ = 1 até λ₀ = 1, e depois a hipérbole de Euler χ = 1/λ₀². Elas se encontram num canto vivo em λ₀ = 1.

Colunas reais não seguem esse canto. Elas ficam bem abaixo dele, e os ensaios dizem isso desde o século XIX. A tensão residual é a razão principal, a falta de retilineidade inicial é a outra, e as duas interagem: uma barra levemente curva e com as bordas plastificadas é muito mais fraca do que qualquer um dos dois efeitos isolados sugeriria.

Varrendo λ₀ de 0,01 a 2,6 e comparando a curva da AISC 360 contra o teto de Euler mais escoamento, a perda não é uniforme. Ela tem um máximo bem definido:

O pior ponto é λ₀ = 1,0, onde a norma preserva 0,658 do teto clássico e joga fora 34,2 %. Isso não é coincidência do gráfico: 0,658 elevado a λ₀² é exatamente a fórmula inelástica da AISC, e em λ₀ = 1 o expoente vale 1, então o coeficiente aparece sem disfarce.

Olhe as duas pontas e o formato do efeito fica evidente. Para uma coluna muito atarracada, a tensão residual é autoequilibrada e a carga de plastificação fica intacta. Para uma coluna muito esbelta, a flambagem acontece com tensão tão baixa que nada plastificou, então a rigidez elástica inteira está disponível e sobra só a parcela da falta de retilineidade, os 12,3 % constantes que você vê na cauda. No meio, a plastificação parcial está no auge do estrago, e é exatamente ali que mora a maioria das colunas reais.

A tensão residual não custa nada nas duas pontas e custa o máximo no meio. Se você guardar uma frase deste artigo, guarde essa.

Chega de teoria. Abaixo está o mesmo perfil rodado pela verificação de projeto que está no ar no CalcSteel, para vários comprimentos, birrotulado, flambando pelo eixo de menor inércia. Todo valor do motor foi reproduzido à mão a partir das equações da norma antes de ser publicado, 68 conferências no total, e a rodada aborta se algum par divergir mais de 0,02 %.

A seção, como o motor a calcula a partir da geometria laminada: A = 91,95 cm², Ix = 11124 cm⁴, Iy = 3880 cm⁴, rx = 11,00 cm, ry = 6,50 cm. Contra os valores publicados em catálogo, isso é 1,0 % abaixo em área e 0,2 % abaixo em Iy, a diferença usual vinda de como os raios de concordância são idealizados. Carga de plastificação A·fy = 3172 kN.

A linha de 5 m é a do primeiro parágrafo. Ela cai quase exatamente em λ₀ = 1, o pior ponto da curva, e perde 32,9 %. Repare também que essas são resistências nominais. Os valores de projeto são ainda menores: a AISC aplica φ_c = 0,90, então a coluna de 5 m vale 1851 kN, e a NBR 8800 divide por γ_a1 = 1,10, dando 1869 kN. As duas normas usam a mesma curva, 0,658^λ₀² abaixo de λ₀ = 1,5 e 0,877/λ₀² acima, e diferem só em como aplicam o coeficiente.

Um detalhe que vale sinalizar para quem for reproduzir isto: em 1 m e 1,5 m o motor não devolve a resposta de flambagem por flexão no eixo fraco. Ele devolve flambagem por torção, que governa neste perfil atarracado e largo em comprimentos muito curtos. A conferência à mão precisa tomar o mesmo mínimo entre os três modos elásticos, ou vai divergir do motor e, nesse caso, quem está certo é o motor.

Rode o mesmo W 250 x 73 nos dois eixos e a assimetria da seção de rigidez aparece como capacidade:

A AISC 360 e a NBR 8800 resolvem isso com uma curva só e deixam a esbeltez trabalhar: o eixo fraco tem raio de giração menor, então ele cai mais adiante na mesma curva. Para essas duas normas, a história acaba aí.

A EN 1993-1-1 vai além, e é aqui que a física das seções anteriores vira linha de tabela. Ela escolhe uma curva diferente por eixo, por proporção do perfil, por espessura de mesa e por classe do aço, e a escolha é tradução direta do padrão de tensão residual. Para perfis I laminados em S235 a S420:

Nosso perfil tem h/b = 0,996 e t_f = 14,2 mm, então fica com a curva b no eixo forte e a curva c no eixo fraco. Em 6 m isso significa 2448 kN no forte e 1344 kN no fraco: o eixo fraco é punido duas vezes, uma pela esbeltez maior e outra por ser mandado para uma curva pior. As cinco curvas são a mesma fórmula com cinco valores do fator de imperfeição α: 0,13, 0,21, 0,34, 0,49 e 0,76 para a0, a, b, c e d. Em λ₀ = 1 elas dão χ = 0,725, 0,666, 0,597, 0,540 e 0,467, uma diferença de 36 % entre o melhor e o pior perfil com esbeltez idêntica.

Uma nota sobre como o motor do CalcSteel trata isso hoje: a verificação EN 1993 dele usa a curva b (α = 0,34) como padrão único para toda seção, então os números de curva c citados acima são a mesma expressão fechada avaliada com α = 0,49, o valor que a Tabela 6.2 atribui a este perfil em z-z. Os números de AISC 360 e NBR 8800 deste artigo saem todos direto do motor.

Coloque a sua seção e o seu comprimento de flambagem na calculadora abaixo e observe as duas respostas se separarem. A carga crítica de Euler é o teto clássico deste artigo; as capacidades da AISC 360 e da NBR 8800 são esse teto menos tudo o que a tensão residual e a falta de retilineidade levam embora.

Vale ler a diferença como diagnóstico. Se a sua coluna voltar perto de λ₀ = 1, você está em cima do pior ponto da curva e aproximadamente um terço da capacidade clássica já foi. Travar o eixo fraco para tirar a coluna desse ponto costuma sair mais barato que aumentar o perfil, porque isso desce na escala de λ₀ para a região onde a punição encolhe rápido.

Todo engenheiro que já usou a AISC 360 digitou 0,658 e 0,877 sem que ninguém contasse o que eles são. Não são constantes deduzidas. São coeficientes de calibração, e a calibração foi ancorada na tensão residual.

A linhagem começa na parábola do CRC, a fórmula de coluna do AISC ASD até 1989. Ela foi construída sobre uma hipótese explícita: a tensão residual de compressão nas bordas das mesas vale 0,5 fy, então a coluna permanece totalmente elástica só até uma tensão aplicada de fy/2, e acima disso a seção plastifica progressivamente. Essa hipótese produz

Fcr = fy·[1 − fy·λ²/(4π²E)], válida até Cc = √(2π²E/fy)

e ela tem uma assinatura: em λ = Cc a parábola vale exatamente fy/2. Para aço de 345 MPa, Cc = 107,0, e a conferência confirma que a parábola cai em 0,5 fy ali com nove casas decimais. A hipótese de 0,5 fy de tensão residual não está escondida na fórmula; ela é a fórmula.

Quando a AISC migrou para o LRFD em 1986, a parábola foi substituída por uma exponencial ajustada a dados de ensaio e às curvas de coluna do SSRC, que tinham sido produzidas analisando colunas com padrões medidos de tensão residual junto com a falta de retilineidade inicial. A dedução está documentada no Engineering Journal da AISC: o coeficiente inelástico foi fixado em λ = 1,0 para cair num alvo de Fcr/fy de cerca de 0,56 com φ = 0,85, o que dá 0,6589; o coeficiente elástico veio de igualar os dois ramos em λ = 1,5, o que dá 0,8774; e a transição foi colocada em λ = 1,5 justamente "para aproximar a histórica compatibilização das curvas elástica e inelástica do ASD num nível de tensão de Fy/2".

Ou seja, a curva moderna herdou o ponto de transição da parábola antiga, e a parábola antiga obteve esse ponto ao assumir 0,5 fy de tensão residual. A NBR 8800 adotou o mesmo par de expressões. Quando você digita 0,658 numa planilha, está digitando um número cuja ascendência vai dar na velocidade com que a borda de uma mesa esfria.

Depois que você enxerga a tensão residual, ela aparece em vários lugares que normalmente são ensinados como regras sem relação entre si.

• Flambagem lateral com torção. O Capítulo F da AISC 360 constrói a faixa inelástica de FLT sobre 0,7Fy, e o comprimento limite Lr é o comprimento destravado em que a FLT elástica alcança essa tensão. O 0,7 é 1 − 0,3: a mesma tensão residual de compressão de 0,3Fy nas bordas das mesas, agora reduzindo o momento em que a mesa comprimida começa a escoar. Mesma física, outro estado limite.
• Corte e furação. A tensão residual está em equilíbrio consigo mesma. Retire material e você retira parte desse equilíbrio, e a peça se move para encontrar um novo. É por isso que recortar a mesa de uma viga, cortar a maçarico uma tira longa de uma chapa ou furar um padrão denso de parafusos pode deixar a peça visivelmente fora de esquadro, sem ninguém ter carregado nada. O fabricante conhece isso como problema de sequência muito antes de ser problema de tensão.
• Perfis soldados. A soldagem cria um ciclo térmico bem mais agudo que a laminação, e a tensão residual perto do cordão pode se aproximar do escoamento. Perfis I soldados costumam receber curvas de flambagem piores que os laminados de proporção equivalente. Há um contraexemplo interessante: chapas com borda cortada a maçarico terminam com tração na borda, porque a borda cortada é aquecida e esfria por último, e um perfil soldado feito de chapa oxicortada flamba melhor no eixo fraco que um feito de chapa com borda de laminação. Quem decide é a rota de fabricação, não a geometria.
• Perfis formados a frio. A tensão residual ali é outro animal, dominada por flexão através da espessura vinda dos rolos de conformação em vez do resfriamento. É uma das razões de o aço formado a frio ter família de norma própria e método de resistência próprio em vez de emprestar as curvas dos laminados a quente.
• Perfis pesados. Material mais espesso esfria de forma mais desigual, então a tensão residual piora conforme o perfil engorda. A EN 1993 acompanha isso explicitamente: passando de 100 mm de espessura de mesa, o perfil I laminado cai para a curva d nos dois eixos, α = 0,76, a pior curva da tabela.

• Dimensionar coluna pela carga de Euler. Euler é um limite superior que coluna real nenhuma alcança. Em λ₀ = 1 ele superestima a capacidade em 34 %, e isso antes de qualquer fator de resistência. Use para entender o problema, nunca para dimensionar a peça.
• Achar que perfil mais pesado é mais seguro contra este efeito. É o contrário. Mesas mais espessas esfriam de forma mais desigual e carregam tensão residual mais alta, e é por isso que as curvas normativas pioram com a espessura da mesa, não melhoram.
• Tratar os dois eixos como a mesma verificação com comprimento diferente. Verdade na AISC e na NBR, falso na EN 1993, onde o eixo fraco também é mandado para uma curva pior. Rodar um trabalho pelo Eurocódigo com uma curva só para os dois eixos superestima a capacidade do eixo fraco de um perfil largo em cerca de 10 % em λ₀ = 1, e bem mais adiante na curva.
• Concluir que autoequilibrada quer dizer inofensiva. Quer dizer sim que a carga de plastificação não muda, e essa é exatamente a armadilha. No instante em que a estabilidade entra, um campo de tensão internamente equilibrado vira problema de rigidez.
• Ignorar o que a fabricação faz com uma peça reta. Oxicorte, solda pesada e retirada desbalanceada de material perturbam um equilíbrio travado, e a peça se move. Desempená-la depois acrescenta ainda mais tensão residual.
• Ler utilização baixa como folga confortável. Uma coluna com 50 % da carga de plastificação já tem as bordas das mesas escoadas. Nada num diagrama de tensões mostra isso, e a rigidez de que o próximo incremento de carga vai precisar já está reduzida.

O resumo honesto é curto. A curva de flambagem não é a curva de Euler porque o aço não estava neutro quando você o recebeu. Ele veio pré-tensionado pelo próprio resfriamento, começa a escoar com metade da carga que você esperaria, perde a rigidez do eixo fraco três vezes mais rápido que a do eixo forte, e as normas carregam essa correção por você, discretamente, desde os anos 1960.