Cálculo Integral em uma Estrutura Real: as Sete Integrais Dentro de um Pórtico de Galpão

Um cliente quer um galpão de 20 m por 30 m. Vão livre, 7 m até o beiral, cobertura com 10 % de inclinação, seis pórticos a cada 6 m. Pilares HEB 300, vigas de cobertura IPE 400, S355, bases engastadas. É o edifício de aço mais ordinário que existe, e ele vai ser projetado alguns milhares de vezes só neste ano.

O cliente faz quatro perguntas. Quanto dá de aço. Vai ficar em pé no vento. As portas ainda vão fechar quando ventar. Quanto vai custar a pintura.

Cada uma dessas quatro respostas é o valor de uma integral, e também o é toda grandeza intermediária entre a pergunta e a resposta. Não por analogia, e não no sentido frouxo de que o cálculo sustenta a engenharia. Literalmente: o número que você escreve na folha é o que sai quando você integra alguma coisa.

Este artigo percorre a obra na ordem em que ela acontece de verdade e avalia cada uma delas, no mesmo edifício, com os mesmos dados de seção. Sete integrais. Todo valor abaixo foi calculado no motor de elementos finitos do CalcSteel ou integrado em forma fechada, e cada um é conferido contra algo independente: a tabela de perfis publicada da EN 10365, uma dedução manual ou um segundo método de solução.

A definição que te ensinaram é a área sob uma curva. Está correta, e é a forma menos útil de guardar a ideia numa obra real, porque quase nada do que você integra numa estrutura aparece desenhado como curva numa folha.

A definição de trabalho é mais curta. Integral é o que você faz quando uma grandeza varia e você precisa do total dela. Se não variasse, você multiplicaria. Pressão vezes área. Massa por metro vezes comprimento. Como varia, você multiplica sobre uma fatia pequena o bastante para que ela não varie dentro da fatia, depois soma as fatias, depois faz as fatias tenderem a zero. Esse último passo é toda a maquinaria, e é por ele que a resposta é exata em vez de aproximadamente certa.

Duas consequências atravessam tudo o que vem abaixo.

A primeira é que uma integral te dá mais que um total. A mesma maquinaria com um fator extra dentro te dá onde o total age. ∫p dA é a força; ∫z p dA dividido por ∫p dA é a altura em que ela age. Essa segunda integral, o momento estático, é a que se pula, e é a que decide a fundação.

A segunda é que pular uma integral nunca sai de graça, só às vezes sai barato. Todo atalho deste artigo é a troca de uma integral por uma única multiplicação, e cada um deles tem um erro mensurável, citado com duas casas decimais mais adiante. Alguns valem 0,06 %. Um vale 17,80 %.

Comece pela pergunta que o cliente faz primeiro, porque é a que decide se você pega a obra. Quanto dá de aço.

Massa é uma integral de volume, m = ∫ρ dV. O aço é homogêneo, então ρ sai de dentro da integral e sobra o volume, e o volume de uma barra prismática é ele mesmo uma integral ao longo do eixo: V = ∫A ds. A área da seção transversal A é constante ao longo de um perfil laminado, então isso colapsa em A vezes o comprimento e você chega nos familiares quilos por metro. Esse colapso é a razão de a tabela de perfis existir: alguém já fez a integral por você e imprimiu a resposta.

Confira que a resposta impressa é a integral. Integrando a seção do IPE 400, raios de concordância incluídos, sai A = 84,58 cm², e 84,58 cm² vezes 7 850 kg/m³ dá 66,39 kg/m contra os 66,3 kg/m da tabela, 0,14 % de diferença. O HEB 300 dá 117,03 kg/m contra 117,0. A tabela é a integral.

Agora rode a obra. Cada pórtico tem 14,0 m de pilar, dois trechos de 7,0 m, e 20,10 m de viga de cobertura, porque a viga inclinada mede √(10² + 1²) = 10,04988 m, não 10 m. Esses 49,9 mm a mais por viga são o tipo de coisa que some rápido e reaparece na entrega.

• Pilares: 14,0 m × 117,03 kg/m = 1 638,4 kg
• Vigas de cobertura: 20,10 m × 66,39 kg/m = 1 334,5 kg
• Um pórtico: 2 972,9 kg
• Seis pórticos: 17,837 toneladas, ou 29,73 kg por metro quadrado de piso

Esses 29,73 kg/m² são o número que um orçamentista carrega de cabeça, e é uma integral de volume vestida de roupa comum. Repare no que ele exclui: terças, longarinas, contraventamento, chapas de base, parafusos. Só os pórticos são tipicamente pouco menos da metade da tonelagem entregue de um galpão como esse.

A pressão de vento não é uniforme ao longo da parede. Ela cresce com a altura, porque a velocidade do vento cresce. A NBR 6123 modela essa subida com uma lei de potência, pelo fator S2, e a EN 1991-1-4 usa um perfil logarítmico que se comporta de maneira muito parecida nesta faixa de altura. Tome a forma de potência para campo aberto, então a pressão dinâmica varia com z^0,30, e com uma pressão de referência de 1,24 kPa a 10 m e um coeficiente de pressão externa de barlavento de 0,8:

p(z) = 0,8 × 1,24 × (z/10)^0,30 kPa

No topo de uma parede de 7 m isso dá 0,891 kPa. Na meia altura dá 0,724 kPa. Na altura do joelho é menos da metade do valor de topo. A pressão varia, então o total é uma integral, sobre o painel de 6,0 m de largura por 7,0 m de altura de um vão:

F = ∫₀^H p(z) b dz = k·b·H^(n+1)/(n+1), com k = 0,8 q/10^n e n = 0,30

Isso é a regra da potência, primeira semana de Cálculo I, e dá F = 28,797 kN no vão. Uma integração numérica sobre 200 000 faixas devolve o mesmo valor com doze algarismos significativos, que é a forma fechada conferindo a si mesma.

A segunda integral é a que importa mais, e é a que em geral não é escrita. Onde age esse 28,797 kN? Tome momentos em relação à base da parede enquanto integra:

z̄ = ∫ z p(z) b dz / ∫ p(z) b dz = H(n+1)/(n+2)

Para qualquer lei de potência essa razão é exata e independente da magnitude da pressão. Aqui z̄ = 7,0 × 1,3/2,3 = 3,957 m. Não 3,5 m. A resultante fica 13,0 % mais alta na parede que a meia altura, e o momento na base é 113,936 kN·m por vão.

Ninguém sai por aí querendo pular a integral. O que acontece é que alguém lê a pressão na meia altura numa tabela, multiplica pela área da parede e segue em frente. Parece defensável, é rápido, e custa o seguinte.

0,724 kPa × 7,0 m × 6,0 m = 30,408 kN, contra os 28,797 kN reais. São 5,59 % de força a mais, e por estar do lado alto, dá sensação de segurança. Aí o mesmo atalho põe essa força a 3,5 m, então o momento na base vira 106,43 kN·m contra os 113,94 kN·m reais, que são 6,59 % a menos. Carga demais, aplicada baixo demais.

O momento de tombamento é o número pelo qual a chapa de base, os chumbadores e a sapata são dimensionados. O atalho é contra a segurança exatamente no lugar em que errar é caro, e é conservador no lugar em que errar quase não custa nada, porque pilar de pórtico raramente é governado pelo cortante. Esse é o pior par possível, e é consequência direta de o atalho jogar fora a integral do momento estático.

A correção óbvia é fatiar a parede em faixas. Lê-se a pressão no topo de cada faixa, aplica-se àquela faixa, soma. É a regra do retângulo da integração numérica, e ela converge, devagar:

• 2 faixas: F fica 17,80 % alto, momento na base 9,60 % alto
• 4 faixas: F fica 10,15 % alto, momento na base 5,53 % alto
• 7 faixas, uma por metro: F ainda fica 6,31 % alto, momento na base 3,39 % alto

Sete faixas dão mais trabalho que a integral e ainda erram 6 %. Aplicar a pressão variável elemento a elemento ao longo de um pilar de 40 elementos, que é o que o modelo de análise abaixo de fato faz, reproduz a forma fechada com 0,058 %. Discretização fina converge; faixa grossa não.

Nada disso torna as normas erradas. As faixas normativas são traçadas de propósito do lado conservador da pressão, e ainda carregam coeficientes parciais por cima. O ponto é mais estreito e mais útil: você não sabe para que lado uma resposta em faixas erra, nem quanto, a menos que tenha a integral para comparar.

A carga de vento chega ao pórtico pelas telhas e pelas terças, então pegue uma terça agora. IPE 200, vencendo os 6,0 m entre dois pórticos, carregando uma faixa de 1,6 m de cobertura. Permanente mais sobrecarga a 0,50 kN/m² dá w = 0,80 kN/m, uniforme.

As duas relações que todo engenheiro de estruturas usa diariamente são diferenciais, e lê-las ao contrário as torna integrais:

dV/dx = −w, logo V(x) = V₀ − ∫w dx
dM/dx = V, logo M(x) = ∫V dx

O momento fletor em uma seção é a área com sinal sob o diagrama de cortante até aquela seção. Cada integração eleva o grau em um: carga constante dá cortante linear, que dá momento parabólico. Integre uma constante e você tem uma rampa; integre uma rampa e você tem uma parábola. As formas dos diagramas que você desenha desde o primeiro ano não são convenções, são os graus saindo das integrações.

Na terça: V no apoio é wL/2 = 2,400 kN, o motor devolve 2,400 kN. O momento no meio do vão é wL²/8 = 3,600 kN·m, o motor devolve 3,600 kN·m. Integre mais duas vezes, contra EI, e a flecha no meio do vão é 5wL⁴/384EI = 3,604 mm; o motor devolve 3,604 mm, contra um limite L/200 de 30,0 mm.

O momento é máximo no meio do vão aqui, e vale enunciar a razão com precisão, porque a razão errada é comum. Ele é máximo onde o cortante cruza o zero. O cortante é o integrando do momento, então onde o integrando troca de sinal a área acumulada para de crescer e começa a encolher. Em um vão simplesmente apoiado e simétrico isso acontece no meio. Descentre a carga, ou acrescente um balanço, e o zero do cortante se desloca, e o momento máximo se desloca junto. O meio do vão é coincidência deste caso de carga, não regra.

O momento já é conhecido. Para transformá-lo em tensão você precisa da forma da seção, e toda propriedade que descreve essa forma é uma integral sobre o mesmo corte. Quatro delas, cada uma com um peso diferente dentro.

• A = ∫dA. Peso nenhum. Quanto aço tem ali.
• Q = ∫y dA. Peso pela distância. Zero quando y é medido a partir do centroide, e isso é a definição de centroide, não uma coincidência.
• I = ∫y² dA. Peso pela distância ao quadrado. Quão longe do eixo o aço está, que é o que rigidez à flexão significa.
• Z = ∫|y| dA. Peso pelo módulo da distância. O módulo plástico, a versão plastificada da mesma ideia.

Integrando o IPE 400 real em 6 000 faixas horizontais, mais os quatro raios de concordância tratados como blocos de área r²(1 − π/4) a 0,2234 r da face da mesa, sai A = 84,58 cm² contra 84,50 da tabela, I = 23 300 cm⁴ contra 23 130, e Z = 1 312,8 cm³ contra 1 307,0. Todos dentro de 0,8 %. A integral do centroide devolve zero com quinze casas decimais, que é o que autoriza medir y a partir da linha neutra em primeiro lugar.

O peso ao quadrado em I é toda a razão de uma viga I ter forma de I. As duas mesas desta seção estão a 193 mm do eixo e a alma está espalhada por tudo o que está mais perto que isso. Afaste o aço do eixo e a contribuição dele cresce com o quadrado, e é por isso que uma seção alta e leve ganha de uma baixa e pesada, e por isso que o teorema dos eixos paralelos, I = I₀ + Ad², não é regra separada e sim o que cai da expansão de (y + d)² dentro da mesma integral.

As integrais 3 e 4 se encontram aqui, e o encontro é um teste, não um passo.

A análise dá esforços internos em uma seção: na base do pilar de barlavento sob vento, N = 1,787 kN e M = 69,406 kN·m. A seção dá uma distribuição de tensões: σ(y) = N/A + M y / I. Essas duas vieram de lugares completamente diferentes, então nada ainda garante que sejam consistentes. O equilíbrio exige que sejam, e o equilíbrio é enunciado como duas integrais:

∫σ dA = N e ∫σ y dA = M

Integre o campo de tensões suposto sobre a seção real e você obtém 1,7871 kN e 69,406 kN·m. Batem, com quatorze casas decimais no termo axial e exatamente no momento. Não é sorte, é a definição do que N e M significam: não são forças que existem ao lado das tensões, são as duas primeiras integrais do campo de tensões. Uma distribuição que não integra de volta nos esforços da análise não é o campo de tensões daquela barra, seja lá o que mais ela for.

O módulo de resistência cai direto disso. Se σ é linear em y então ∫σ y dA = (σ_max/c) ∫y² dA = σ_max I / c, logo M = σ_max × I/c e o familiar W = I/c não é mais que a segunda integral dividida pela distância à fibra extrema. Leve a seção à plastificação total, com σ = ±f_y em todo lugar, e a mesma integral vira ∫f_y|y| dA = f_y Z. Flexão elástica e plástica não são duas teorias. São a mesma integral sobre dois campos de tensões diferentes.

Para este HEB 300 em S355 isso dá um momento elástico de 600,2 kN·m e um momento plástico de 666,1 kN·m, um fator de forma de 1,110. Contra eles, os 69,4 kN·m da base levam a fibra extrema a 41,17 MPa, utilização de 0,116. Este pórtico está longe da capacidade à flexão, o que é normal para um galpão desse porte e já indica onde olhar em seguida.

Se a resistência está em 12 %, o pórtico vai ser governado por rigidez, e a terceira pergunta do cliente, as portas ainda vão fechar, é uma pergunta de deslocamento. Esta é a integral para a qual o artigo inteiro caminhava, porque é a que percorre a estrutura toda de uma vez em vez de uma seção ou uma barra.

O método da carga unitária diz: para achar o deslocamento em um ponto numa direção escolhida, aplique uma carga unitária ali, obtenha os esforços internos m e n que ela produz, e integre o produto deles com os esforços internos reais M e N sobre cada barra da estrutura.

δ = ∫ M m / EI ds + ∫ N n / EA ds

O ds corre ao longo das barras, todas as quatro, incluindo subir e atravessar as vigas inclinadas, onde ds é maior que a projeção horizontal. Os dois diagramas aqui foram lidos do motor, uma rodada com a pressão de vento real e outra com uma carga horizontal de 1 kN no beiral, e o produto foi integrado elemento a elemento em forma fechada.

A integral devolve 11,57778 mm. O motor, que nunca avalia essa integral e em vez disso monta e inverte uma matriz de rigidez, informa 11,57705 mm no mesmo nó. Diferem em 0,0063 %.

Dois métodos que não compartilham nada além do modelo e dos dados de seção. Um é uma solução matricial, o outro é cálculo sobre quatro barras que você faria no papel numa tarde. Concordar no quinto algarismo significativo é a razão de uma conferência manual sobre uma análise ainda valer a pena: não é um jeito mais lento de chegar à mesma resposta, é um caminho independente até ela.

Contra um limite de deriva no beiral de h/150 = 46,67 mm, 11,58 mm é uma utilização de 0,248. As portas vão fechar.

Um número solto saído de um solver diz se você passou. A integral diz por quê, porque você pode pará-la no meio do caminho e perguntar de onde veio o total. Divida os mesmos 11,578 mm por barra:

• Pilar de barlavento: 41,58 %
• Pilar de sotavento: 30,98 %
• Viga de cobertura de barlavento: 14,37 %
• Viga de cobertura de sotavento: 13,06 %

72,56 % do deslocamento se acumula nos dois pilares e 27,44 % nas vigas de cobertura. Se este pórtico tivesse reprovado na verificação de deriva, aumentar a altura da viga teria comprado, no máximo, um quarto da melhora por quilo que aumentar a altura dos pilares compraria. Essa é uma decisão de projeto lida direto de um integrando, e nenhum número isolado de deslocamento a contém.

A divisão entre os dois termos também merece atenção. O termo de flexão ∫Mm/EI ds é 99,823 % do total e o termo axial ∫Nn/EA ds é 0,177 %. Para um pórtico de proporções comuns o encurtamento axial é genuinamente desprezível, e é por isso que todo livro-texto o descarta. Ele deixa de ser desprezível em pórticos contraventados altos e em treliças, onde as barras são carregadas axialmente por projeto e o termo de flexão é o pequeno.

Não há termo de cortante nesta integral, e isso é uma correspondência deliberada com o solver, não uma omissão. O motor aqui é Euler-Bernoulli: um pilar em balanço sob carga na ponta devolve 116,75937 mm contra o valor F h³/3EI de 116,75937 mm, concordando em nove algarismos significativos, o que só é possível se a deformação por cortante estiver ausente. Acrescentar um termo de cortante de Timoshenko teria contribuído com 1,309 mm naquele balanço, 1,12 %. Real, pequeno, e não é o que este modelo contém.

Mais um resultado da mesma integral, e é o de levar embora. Resolva o pórtico de novo com um momento de inércia 4,62 % abaixo do valor da tabela publicada, exatamente o tipo de diferença entre um banco de perfis arredondado e a EN 10365, e o deslocamento sai 3,78 % maior. A integral é exata. A resposta dela vale só o que vale o ∫y² dA que você alimenta, e esse número veio da integral 4, três seções atrás. As sete não são independentes.

A terça acima é a mais limpa das sete para rodar à mão e conferir. Ponha o vão em 6,0 m e uma carga uniforme de 0,80 kN/m e você deve obter um cortante no apoio de 2,400 kN, um momento no meio do vão de 3,600 kN·m e uma flecha de 3,604 mm. Depois descentre a carga e veja o zero do cortante se deslocar, e o pico do momento se deslocar junto.

Troque a seção e veja o momento ficar exatamente onde está enquanto a flecha muda. O momento é a segunda integral da carga e não sabe nada sobre o aço; a flecha é a quarta, e EI entra na terceira. Estática antes de rigidez, e dá para ver a fronteira entre as duas aqui.

A quarta pergunta do cliente era a pintura, e a resposta é uma integral de contorno. A superfície pintada de uma barra é o caminho fechado em volta da seção transversal, ∮ds, multiplicado pelo comprimento.

Percorra o contorno de um perfil I com cantos vivos e você obtém 4b + 2h − 2t_w. Para o IPE 400 isso é 4(180) + 2(400) − 2(8,6) = 1 502,8 mm. Mas os cantos não são vivos, são raios de concordância de quarto de círculo de raio r, e cada um substitui um caminho de 2r por um arco de πr/2. Os quatro retiram 4(2r − πr/2) = 36,05 mm, dando 1 466,7 mm, ou 1,4667 m²/m. O valor publicado é 1,467 m²/m. A integral concorda em 0,02 %.

Esses raios de concordância são 2,4 % do perímetro. Ignore-os e cada metro de cada barra da obra fica superestimado em 2,4 %, o que é pouco até você multiplicar pelo edifício inteiro e comparar com um orçamento de pintura.

Rodando a obra: 14,0 m de HEB 300 a 1,732 m²/m dão 24,2 m², 20,10 m de IPE 400 a 1,467 m²/m dão 29,5 m², logo 53,7 m² por pórtico e 322,3 m² para os seis. São 18,07 m² de superfície por tonelada de aço, e essa razão é a razão de perfis leves custarem mais para proteger do que a tonelagem deles sugere.

A mesma integral de contorno tem uma segunda vida no projeto em situação de incêndio. O fator de massividade A_m/V, o perímetro exposto dividido pelo volume por metro, é 116,2 m⁻¹ para o HEB 300 e 173,4 m⁻¹ para o IPE 400. A viga de cobertura aquece cerca de uma vez e meia mais rápido que o pilar sob o mesmo incêndio, a partir das mesmas duas integrais: o contorno em cima e a área embaixo.

Cada um destes tem um número anexado, medido no edifício acima.

• Trocar uma pressão variável pelo valor dela na meia altura. 5,59 % de força a mais e 6,59 % de momento na base a menos, ao mesmo tempo. O sinal do erro é diferente nas duas grandezas, então nenhum coeficiente de segurança único cobre os dois.
• Esquecer a integral do momento estático. A resultante de uma lei de potência age em H(n+1)/(n+2), que para esta parede dá 3,957 m em vez de 3,5 m. Tudo o que vem depois do momento na base, a chapa de base, os chumbadores, a sapata, herda o erro.
• Confiar em um fatiamento grosseiro. Sete faixas em 7 m dão mais conta que a forma fechada e ainda erram 6,31 %. Se você vai discretizar, discretize direito ou integre.
• Supor que o momento máximo está no meio do vão. Ele está no zero do cortante, porque o cortante é o integrando. Nesta terça os dois coincidem; mude a carga e eles se separam.
• Medir a viga de cobertura na horizontal. O ds em uma inclinação de 10 % é 10,04988 m, não 10 m, na integral de massa, na de pintura e na de deslocamento. 0,5 % em toda quantidade de viga da obra.
• Alimentar a integral com dados de seção arredondados. Um momento de inércia 4,62 % abaixo da tabela muda o deslocamento calculado em 3,78 %. A integral não pode ser mais precisa que o que está sob o sinal de integração.

Sete integrais, um galpão, e a corrente corre de ponta a ponta sem lacuna. ∫ρ dV orçou. ∫p dA carregou e ∫z p dA decidiu onde. ∫w dx e ∫V dx levaram a carga até embaixo por uma terça. ∫dA, ∫y dA e ∫y² dA descreveram a forma que resiste a ela. ∫σ dA e ∫σ y dA provaram que as tensões e os esforços são o mesmo objeto visto duas vezes. ∫Mm/EI ds respondeu se as portas fecham, e disse qual barra corrigir se não fechassem. ∮ds foi para a nota fiscal.

A razão para saber disso não é que você vá avaliá-las à mão. Não vai; o software vai, alguns milhares de vezes, no segundo depois de você apertar Calcular. A razão é que o software só roda as integrais que você montou, sobre a geometria que você desenhou e as seções que você escolheu, e cada uma das sete tem um lugar onde pode ser silenciosamente alimentada com a coisa errada. Uma pressão lida em um ponto. Uma viga de cobertura medida no plano. Um módulo de resistência de uma tabela arredondada.

O engenheiro que sabe qual integral está sendo avaliada em cada passo sabe onde olhar quando um número volta errado. Esse é todo o retorno de Cálculo I e II, e ele chega na primeira obra de verdade, não na prova.