Déformation thermique dans les éléments bridés : l'effort qu'une poutre acier développe lorsqu'elle ne peut pas se dilater

Les charges structurales, vous pouvez les montrer du doigt. La gravité tire vers le bas, le vent pousse de côté, un pont roulant suspend son crochet. La température est différente : rien ne pousse, rien ne pend, et pourtant un élément bridé peut supporter un effort supérieur à la plupart des charges pour lesquelles vous l'avez dimensionné. Il naît d'un mouvement auquel on ne permet pas de se produire.

Tout matériau se dilate lorsqu'on le chauffe, et l'acier se dilate assez généreusement pour que cela compte : une longue poutre au soleil, un pipe rack par un après-midi d'été, un tablier de pont entre ses culées. Laissé libre, l'élément grandit simplement et personne ne s'en aperçoit. Boulonnez-le entre deux appuis rigides et cette même croissance se transforme en contrainte, car l'acier lutte désormais pour occuper un espace qu'il n'a pas le droit d'atteindre.

Cet article suit cet effort depuis le coefficient de dilatation jusqu'à un IPE 300 traité en exemple, vérifie chaque chiffre par rapport au moteur CalcSteel en production, et se termine là où vit réellement le dimensionnement : le détail qui laisse l'élément respirer.

Chauffez une barre et elle s'allonge d'une déformation proportionnelle à la variation de température. C'est tout :

ε = α·ΔT (déformation thermique libre), donc δ = α·ΔT·L (mouvement thermique libre).

Ici, α est le coefficient de dilatation thermique. Pour l'acier de construction, il vaut 12 × 10⁻⁶ par °C, soit 12 microdéformations par degré. Multipliez par la longueur et vous obtenez le mouvement libre. Il n'y a pas encore de contrainte : une barre libre à une extrémité s'allonge, ses atomes s'installent un peu plus loin les uns des autres, et l'effort interne est exactement nul.

Mettons des chiffres dessus. L'IPE 300 que nous utilisons tout au long de l'article, d'une portée de 6 m, chauffé de 40 °C : δ = 12 × 10⁻⁶ × 40 × 6000 mm = 2,88 mm. Presque trois millimètres de croissance. Retenez ce chiffre, car tout ce qui suit raconte ce qui arrive lorsque ces 2,88 mm sont refusés.

Le coefficient est une propriété du matériau, mesurée plutôt que déduite. Il indique à quelle vitesse l'espacement du réseau cristallin croît avec la température, et il varie davantage d'un matériau à l'autre que la plupart des ingénieurs ne s'en souviennent :

Deux lectures comptent pour le dimensionnement de l'acier. D'abord, l'inox se dilate environ 40 pour cent de plus que l'acier au carbone, ce qui explique qu'un composant en inox boulonné dans une ossature en acier au carbone puisse développer sa propre lutte thermique même lorsque l'ensemble est chauffé uniformément. Ensuite, l'acier de construction et le béton se superposent presque, 12 contre 11. Cette quasi coïncidence est ce qui permet au béton armé et aux sections mixtes acier-béton de résister aux variations de température : les deux matériaux grandissent ensemble et on ne demande jamais à l'adhérence d'arbitrer un grand écart.

L'aluminium, avec une valeur presque double de celle de l'acier, est la mise en garde. Un élément en aluminium bridé comme l'est notre poutre aurait bien plus de mouvement à supprimer, et l'effort thermique augmente d'autant.

Bloquez maintenant les deux extrémités. La poutre veut toujours grandir de δ = α·ΔT·L, mais les appuis refusent chaque millimètre. La compatibilité fait la comptabilité : la variation totale de longueur doit être nulle, donc le raccourcissement mécanique imposé à l'élément doit annuler exactement la croissance thermique libre.

L'allongement thermique libre moins le raccourcissement élastique sous l'effort interne N égale zéro : α·ΔT·L − N·L/(A·E) = 0. Résolvez pour N et la longueur s'élimine :

N = E·A·α·ΔT

C'est l'effort que le bridage doit supporter, et c'est une compression : on comprime l'élément pour le ramener à une longueur qu'il préférerait dépasser. Divisez par l'aire et vous obtenez la contrainte :

σ = N/A = E·α·ΔT

Deux éliminations méritent qu'on s'y arrête. La longueur L a disparu de N, et l'aire A a disparu de σ. La température ne produit pas un effort qui croît avec la portée, et elle ne produit pas une contrainte qui dépend du poids de votre section. Elle produit une contrainte fixée entièrement par le matériau et la variation de température, et un effort fixé par cette contrainte et l'aire. Le moteur FEM concorde au millimètre, comme le montrent les sections suivantes.

Injectez les valeurs de l'acier dans σ = E·α·ΔT. Avec E = 200 GPa et α = 12 µε/°C :

σ = 200000 MPa × 12 × 10⁻⁶ × ΔT = 2,4 × ΔT (MPa)

Chaque degré Celsius de variation de température empêchée vaut 2,4 MPa de contrainte dans un acier entièrement bridé. Cette seule constante permet de cerner le problème de tête avant de toucher à la calculatrice :

La conséquence pour le dimensionnement tombe vite. Une variation de 40 °C, bien dans ce que voit une poutre exposée peinte en foncé entre une nuit d'hiver et un après-midi d'été, représente 96 MPa de compression sans aucune charge appliquée. Pour un acier courant MR250 ou A36 à limite d'élasticité de 250 MPa, le bridage complet atteint la limite d'élasticité à ΔT = 250/2,4 = 104 °C, et pour le S235 à 98 °C. Ce ne sont pas des températures d'incendie. C'est l'écart entre une matinée de montage et un mauvais après-midi, sur un élément qui était détaillé pour bouger et qui, quelque part, ne l'a plus été.

Prenons l'IPE 300 concrètement. Le moteur CalcSteel calcule son aire à partir de la géométrie de la section, soit A = 53,81 cm², conforme à la valeur du catalogue. Portée 6 m, les deux extrémités entièrement bridées contre le mouvement axial, hausse de température 40 °C.

• Mouvement libre qu'il veut faire : δ = α·ΔT·L = 12 × 10⁻⁶ × 40 × 6000 = 2,88 mm.
• Contrainte bridée : σ = 2,4 × 40 = 96 MPa (compression).
• Effort de bridage : N = σ·A = 96 MPa × 5381 mm² = 516,6 kN.

516,6 kN. C'est la réaction que chaque appui doit fournir, la poussée axiale que les assemblages doivent transmettre, et la compression que l'élément doit supporter, le tout à partir d'une variation de température et de rien d'autre. Pour le confirmer, nous avons exécuté le moteur FEM en production sur la même barre, appliqué les 516,6 kN calculés, et relu un allongement d'exactement 2,88 mm et une réaction d'appui de 516,6 kN. L'effort qui supprime la croissance libre est précisément l'effort qui l'aurait produite. Cette équivalence est au cœur de l'action thermique bridée, et le moteur la reproduit au millimètre.

Le résultat qui surprend les étudiants à chaque fois : allongez la poutre et l'effort thermique reste exactement le même. Passez le même IPE 300 à 3, 6 et 9 m dans le moteur, tous chauffés de 40 °C :

Le mouvement libre double de 3 à 6 m et triple de 3 à 9 m, car δ = α·ΔT·L est proportionnel à la longueur. L'effort, lui, ne bouge pas du tout. Il reste à 516,6 kN pour toutes les portées, car N = E·A·α·ΔT n'a jamais contenu L au départ. Un élément plus long dispose simplement de plus de longueur pour répartir la même déformation bloquée, il emmagasine donc la même contrainte.

L'intuition à retenir : la température charge un élément par la déformation, pas par l'effort. Une membrure de treillis de 30 m bridée d'un bout à l'autre ne développe pas trente fois la poussée thermique d'un lien de 1 m. Elle développe la même contrainte, et le même effort pour la même aire. La longueur n'intervient que dans la quantité de mouvement que vous auriez dû accommoder pour éviter entièrement l'effort.

Un effort thermique bridé est une compression, et la compression dans un élément élancé soulève une seconde question que la contrainte seule ne résout pas : flambe-t-il avant d'atteindre la limite d'élasticité ? Pour notre IPE 300 en tant que poteau de 6 m, non contreventé autour de son axe faible, les caractéristiques de section du moteur donnent un rayon de giration ry = 3,35 cm et un élancement KL/ry = 179. La charge critique d'Euler autour de cet axe vaut

Ncr = π²·E·Iy / L² = π² × 200 GPa × 602,9 cm⁴ / (6 m)² = 331 kN.

L'effort bridé à 40 °C, 516,6 kN, vaut 1,56 fois cette valeur. L'élément ne monte pas jusqu'à 96 MPa avant de s'arrêter ; il flambe d'abord. Pire, le flambement arrive tôt : la compression atteint la charge d'Euler de 331 kN pour une variation de température de seulement 25,6 °C. Un élément élancé et bridé peut flamber sous un doux après-midi tiède, bien avant que la contrainte ne paraisse alarmante sur le papier.

C'est pourquoi l'effort thermique bridé n'est pas qu'une simple vérification de contrainte. Dans un élément contreventé, l'effort est réel mais le chemin du flambement est fermé, il s'écoule donc vers les assemblages et la structure porteuse sous forme de poussée. Dans un élément non contreventé ou faiblement contreventé, ce même effort peut trouver le mode de flambement et l'emprunter. La calculatrice en direct ci-dessous vous permet d'entrer une section et une longueur et de voir dans quel cas vous êtes.

Entrez votre section, votre longueur de flambement et un effort axial ci-dessous. Pour le relier à cet article, calculez d'abord l'effort thermique bridé, N = E·A·α·ΔT, ou lisez la contrainte directement avec la règle des 2,4 MPa par °C et multipliez par l'aire, puis saisissez cet effort et comparez-le à la capacité au flambement que renvoie la calculatrice. Si l'effort thermique se situe au-dessus de la courbe, l'élément flambe sous la seule température. S'il se situe en dessous, l'effort est toujours présent, et vos assemblages et vos appuis doivent le supporter.

La calculatrice exécute les mêmes vérifications que le moteur CalcSteel : la charge critique d'Euler avec les capacités de dimensionnement AISC 360 et NBR 8800 côte à côte, avec la déformée de flambement et la longueur de flambement K·L tracées pour votre poteau.

Le bridage complet est le cas le plus défavorable, et il est aussi rare. Les appuis réels cèdent un peu, et les détails réels laissent souvent un jeu délibéré. Les deux soulagent l'effort, et l'arithmétique est simple : l'élément se dilate librement jusqu'à ce qu'il ferme le jeu, puis ne bloque que le mouvement restant.

Avec un jeu g, le mouvement supprimé est δ − g, et l'effort varie avec ce qui reste : N = E·A·(α·ΔT − g/L). Sur notre IPE 300 de 6 m à 40 °C, où le mouvement libre est de 2,88 mm, le moteur confirme :

Un jeu de 1 mm, un trou oblong ou un boulon légèrement lâche, évacue déjà un tiers de l'effort. Un jeu égal au mouvement libre complet, 2,88 mm, l'évacue en totalité : l'élément arrive au bout de sa course exactement lorsque la température culmine et ne développe pas un seul kN. C'est toute l'idée de conception derrière les détails de dilatation, et c'est pourquoi le chiffre à détailler n'est pas l'effort mais le mouvement, δ = α·ΔT·L, la seule grandeur de cet article qui croît vraiment avec la longueur.

L'effort de dilatation bridée n'est pas une curiosité de manuel. Il gouverne les détails dans toute la pratique de la construction métallique :

• Longues poutres et rives de plancher encastrées rigidement dans des poteaux raides, où une variation estivale de température pousse les poteaux vers l'extérieur avec toute la poussée thermique.
• Ponts, le cas classique, où les joints de dilatation et les appuis glissants ou à balancier existent exactement pour cette raison. Un tablier bridé d'un bout à l'autre enverrait des efforts énormes dans les culées.
• Rails de pont roulant et longues poutres de roulement, continus sur de nombreux mètres, où la dilatation accumulée est reprise à des coupures planifiées.
• Pipe racks et structures de procédé, où les conduites chaudes et l'acier qui les porte bougent tous deux, et où les ancrages et les guides sont placés pour décider où l'effort a le droit de se développer.
• Incendie, le cas extrême, où ΔT se mesure en centaines de degrés. Les poutres bridées dans un incendie développent des compressions qui poussent les poteaux et peuvent faire rompre les assemblages bien avant que l'acier ne perde sa résistance, ce qui explique pourquoi la dilatation thermique bridée est au cœur de l'ingénierie de la structure au feu.

L'effort naît d'un mouvement refusé, donc chaque solution est une manière d'accorder le mouvement ou de prévoir l'effort. Dans l'ordre approximatif de leur fréquence :

• Le laisser bouger. Joints de dilatation, trous oblongs, appuis glissants et une extrémité articulée avec une extrémité libre donnent tous à l'élément un endroit où grandir. Dimensionnez le jeu au mouvement libre δ = α·ΔT·L pour la plage de température attendue, avec marge.
• Relâcher une extrémité. Un élément encastré à une extrémité et libre à l'autre ne développe aucun effort thermique axial ; il s'allonge simplement. Beaucoup d'assemblages sont détaillés précisément pour rester libres axialement tout en transmettant le cisaillement.
• Dimensionner pour l'effort. Là où le bridage est inévitable, reprenez la poussée honnêtement : vérifiez l'élément pour la compression thermique combinée à ses autres charges, et vérifiez que les assemblages et la structure porteuse peuvent reprendre la réaction. Rappelez-vous que c'est une compression, donc le flambement, et pas seulement la limite d'élasticité, est en jeu.
• Fractionner la longueur. Les longues structures continues sont divisées en blocs thermiques par des joints de mouvement, de sorte qu'aucune longueur bridée unique n'accumule jamais un grand mouvement à combattre.

• Croire que les éléments plus longs développent plus d'effort. Ce n'est pas le cas. L'effort vaut E·A·α·ΔT, sans longueur dedans. Les éléments plus longs développent plus de mouvement, ce qui change le détail, pas l'effort.
• Supposer qu'une section plus lourde est plus sûre face à la température. Une aire plus grande reprend plus d'effort, N = E·A·α·ΔT, à exactement la même contrainte, σ = E·α·ΔT. Surdimensionner ne réduit pas la contrainte thermique ; cela peut même augmenter la poussée dans les appuis.
• Vérifier la contrainte et oublier le flambement. L'effort thermique est une compression. Dans un élément élancé et bridé, il peut atteindre la charge d'Euler bien en dessous de la limite d'élasticité, comme notre IPE 300 à 25,6 °C.
• Utiliser le mauvais α. L'inox et l'aluminium se dilatent nettement plus que l'acier au carbone. Un détail en inox dimensionné avec les 12 µε/°C de l'acier sous-estime à la fois le mouvement et, en cas de bridage, l'effort.
• Détailler l'effort au lieu du mouvement. Vous ne pouvez pas dimensionner économiquement la plupart des assemblages pour la poussée bridée complète. Le bon geste est presque toujours de dimensionner le jeu : accordez le δ et l'effort n'apparaît jamais.