La dérivée seconde : courbure, ligne élastique, et comment une poutre fléchit réellement

En Calcul I, la dérivée seconde servait au test de concavité. Une f'' positive signifiait que la courbe retenait l'eau, une f'' négative qu'elle la déversait, et là où f'' changeait de signe on marquait un point d'inflexion. Utile pour esquisser des courbes, facile à ranger comme technique d'examen. C'est aussi, presque mot pour mot, l'équation qui gouverne chaque poutre qu'un ingénieur en structures dimensionne un jour.

La forme que prend une poutre chargée en fléchissant porte un nom, la ligne élastique, et c'est une véritable fonction v(x) : la flèche verticale en chaque point le long de la portée. Sa dérivée seconde v''(x) est la courbure de cette forme, et la courbure n'est pas une décoration. Multipliez-la par la rigidité de flexion EI et vous obtenez le moment fléchissant que la poutre reprend à cette section. La concavité que vous testiez pour réussir le calcul différentiel est le diagramme des moments, à l'échelle.

C'est la troisième étape d'une courte série. La première montrait que la dérivée dM/dx est l'effort tranchant ; la deuxième que le moment est l'intégrale définie de l'effort tranchant. Celle-ci va une dérivée plus loin et une intégrale plus profond, jusqu'à la forme elle-même. Les trois poutres traitées ci-dessous sont résolues sur le véritable moteur CalcSteel, et dans chacune nous dérivons deux fois la flèche calculée pour voir apparaître le diagramme des moments.

La dérivée première est un taux : à quelle vitesse la fonction change. La dérivée seconde est le taux de ce taux : à quelle vitesse la pente elle-même tourne. Sur un graphe, cela se lit comme la concavité. Là où f''(x) > 0 la pente augmente et la courbe se courbe vers le haut comme le fond d'une vallée ; là où f''(x) < 0 la pente diminue et la courbe se rabat comme le sommet d'une colline ; là où f''(x) = 0 la courbure s'aplatit un instant, une inflexion.

Deux faits de ce rappel passent directement dans les structures. D'abord, la dérivée seconde mesure à quel point une courbe se courbe fortement, indépendamment de sa pente : une courbe presque plate peut avoir une grande courbure si elle tourne rapidement. Ensuite, le signe de f'' vous indique de quel côté la courbe est creusée. Retenez les deux. Dans un instant, ils deviennent l'intensité de la flexion d'une poutre et le fait qu'elle fléchit en creux ou en bosse.

Une subtilité mérite d'être signalée dès maintenant. En calcul pur, la courbure exacte d'un graphe est v'' / (1 + v'²) élevé à la puissance 3/2, et non simplement v''. Pour une poutre les pentes sont minuscules, quelques millièmes de radian, donc v'² est négligeable et la courbure se réduit à v'' lui-même. Cette approximation des petites pentes est la seule hypothèse qui transforme un problème géométrique non linéaire difficile en l'équation linéaire nette ci-dessous.

La courbure a un sens géométrique concret. En tout point, ajustez le cercle qui épouse le mieux la courbe ; son rayon est le rayon de courbure ρ, et la courbure est κ = 1/ρ. Une droite a un rayon infini et une courbure nulle. Une courbe fortement courbée a un petit rayon et une grande courbure. Pour la ligne élastique, κ = v''.

Les nombres rendent la chose réelle. Sur la première poutre traitée ci-dessous, le moteur courbe une poutre en acier de 6 m jusqu'à une courbure à mi-portée de 0.00143 par mètre. Inversez-la et la poutre à mi-portée suit un cercle de rayon d'environ 700 m. La poutre paraît parfaitement droite à l'œil, et pourtant ce faible arc de 700 m reprend 45 kN·m de moment. Voilà pourquoi la courbure, et non la flèche, est la mesure honnête de l'intensité du travail d'une section : deux poutres peuvent fléchir du même millimètre et être courbées selon des rayons complètement différents.

Parce que la courbure des petites pentes n'est autre que v'', la dérivée seconde de la déformée est la courbure, à la précision dont toute poutre en acier a besoin. Tout ce qui suit n'est que comptabilité sur cette seule identité.

La relation qui lie le tout est l'équation d'Euler-Bernoulli de la ligne élastique :

M(x) = EI · v''(x)

Lisez-la lentement. M est le moment fléchissant. E est le module d'élasticité, 200 GPa pour l'acier. I est le moment quadratique de la section, la résistance de la forme à la flexion. Leur produit EI est la rigidité de flexion. Et v'' est la courbure. L'équation dit que le moment repris par une section est sa rigidité multipliée par l'intensité avec laquelle elle est forcée à fléchir. Section plus rigide ou moment plus grand, et la même courbure coûte davantage ; section plus souple, et le même moment la fléchit davantage.

Réarrangée, c'est la forme en courbure κ = v'' = M/EI, la phrase que les étudiants de Calcul II rencontrent comme double intégration : le moment étant donné, la courbure est M/EI, intégrez une fois pour la pente, encore une fois pour la flèche. Mais l'équation est en réalité le barreau central d'une échelle de cinq fonctions, chaque barreau étant une dérivée de celui du dessus :

v → θ = v' → M = EI·v'' → V = EI·v''' → w = EI·v''''

Flèche, pente, moment, effort tranchant, charge. Une fonction, dérivée tour à tour. Le moment se trouve à la dérivée seconde, ce qui explique pourquoi la dérivée seconde est celle qui compte le plus pour un ingénieur : c'est le premier barreau qui se transforme en contrainte.

Prenez la poutre que tout cours dessine en premier : un IPE 360 sur appuis simples, portée L = 6 m, sous une charge uniforme w = 10 kN/m. Sa section a I = 15,727.9 cm⁴, donc avec E = 200 GPa la rigidité de flexion vaut EI = 31,456 kN·m². Résolu sur le moteur CalcSteel, le moment à mi-portée est le M = wL²/8 = 45 kN·m des manuels, et la poutre fléchit de 5.365 mm à mi-portée, exactement la forme close 5wL⁴/384EI.

Lisez maintenant la forme comme du calcul différentiel. Le diagramme des moments est une parabole, du deuxième degré. Puisque M = EI·v'', la courbure v'' est cette même parabole divisée par EI, et pour obtenir la flèche vous l'intégrez deux fois. Intégrer deux fois une courbe du deuxième degré donne une courbe du quatrième degré, donc la ligne élastique est une quartique. Voilà pourquoi une poutre uniformément chargée fléchit selon cette courbe pleine et arrondie particulière : c'est la quatrième primitive d'une charge constante.

L'identité est vérifiable, alors nous l'avons vérifiée. En prenant la flèche calculée par le moteur en 25 stations le long de la portée et en la dérivant deux fois numériquement, on obtient la courbure ; en multipliant par EI on retrouve le diagramme des moments à 0.13% près du pic. La courbure à mi-portée ressort à 0.00143 par mètre contre la forme close M/EI = 45 / 31,456 = 0.00143. La parabole du diagramme des moments et la quartique de la déformée sont le même objet, à deux dérivées d'écart.

Le signe de la dérivée seconde n'est pas un détail technique ; c'est la différence entre une poutre qui fléchit en creux et une qui fléchit en bosse. Là où la poutre se courbe concave vers le haut, creusée pour retenir l'eau, v'' est positif et le moment est positif : les fibres inférieures s'étirent, les supérieures se compriment. C'est le moment positif, l'état d'une poutre simple à mi-portée. Là où la poutre se courbe dans l'autre sens, v'' est négatif et le moment est négatif : les fibres supérieures s'étirent, les inférieures se compriment. C'est le moment négatif, ce qui se produit au-dessus de l'appui intérieur d'une poutre continue.

Entre un creux et une bosse, la courbure doit passer par zéro. C'est le point d'inflexion du Calcul I, et sur une poutre il a un sens physique précis : c'est la section où le moment fléchissant est nul. Ce même changement de concavité que vous appreniez à marquer sur un graphe est la section qu'un projeteur peut traiter comme une rotule vis-à-vis du moment, car il n'y a aucun moment à transmettre à cet endroit. Courbure nulle, moment nul, inflexion : trois noms pour un même point.

Voilà aussi pourquoi le diagramme des moments et la déformée partagent toujours leur histoire de signe. Là où la poutre plonge en vallée, elle est en moment positif ; là où elle s'arque, elle est en moment négatif. Vous pouvez lire l'un à partir de l'autre sans le moindre calcul, car ils sont la même dérivée seconde.

Changez les appuis et la forme change avec eux. Prenez le même IPE 360 en console de 3 m, encastré au mur et libre à l'extrémité, avec une charge de 20 kN suspendue au bout. Le moteur rapporte un moment d'encastrement de P·L = 60 kN·m et une flèche en bout de 5.722 mm, exactement la forme close PL³/3EI.

Ici le diagramme des moments est une droite : maximal à l'encastrement, tombant à zéro à l'extrémité libre, car le bras de levier de la charge en bout se réduit à rien à cet endroit. Puisque la courbure est le moment sur EI, la courbure est cette même droite, la plus grande à l'encastrement et nulle à l'extrémité. Intégrez deux fois une courbure du premier degré et la ligne élastique est une cubique. La poutre est fléchie le plus fortement exactement là où elle est retenue, courbure 0.00191 par mètre à l'encastrement, et reste presque droite près de l'extrémité alors même que c'est là qu'elle se déplace le plus.

Ce dernier point est celui sur lequel les étudiants trébuchent, il vaut donc la peine d'être énoncé clairement : l'endroit où une poutre se déplace le plus et l'endroit où elle fléchit le plus ne sont pas le même endroit. L'extrémité se déplace de 5.7 mm et a une courbure nulle ; l'encastrement ne bouge pas du tout et a la courbure maximale. La flèche est la fonction ; la courbure est sa dérivée seconde ; un maximum de l'une n'a rien à voir avec un maximum de l'autre. Dériver deux fois la courbe de flèche du moteur retrouve le moment linéaire à 0.05% près du pic.

La troisième poutre affine l'idée. Remettez l'IPE 360 sur deux appuis sur 6 m, mais remplacez la charge uniforme par une seule force de 40 kN à mi-portée. Le moteur donne M = PL/4 = 60 kN·m au centre et une flèche à mi-portée de 5.722 mm, exactement PL³/48EI.

Maintenant le diagramme des moments est un triangle, deux droites montant vers un pic aigu sous la charge. La courbure est ce triangle sur EI, elle culmine donc elle aussi sous la charge à 0.00191 par mètre, et la ligne élastique est cubique par morceaux, une cubique sur chaque moitié se rejoignant au centre. La déformée est lisse à l'œil, mais sa courbure présente un coin juste sous la charge ponctuelle, car une force concentrée est le seul endroit où le diagramme des moments présente une brisure.

C'est la leçon de calcul différentiel que les structures rendent physique. Une charge ponctuelle est idéalisée comme agissant en un seul point, donc la courbure grimpe à son maximum sur une tranche infiniment mince. Loin de cette tranche, dériver deux fois la flèche du moteur reproduit le moment à 0.01% près du pic ; ce n'est qu'au nœud chargé lui-même que la différence seconde chevauche la brisure, exactement comme une dérivée seconde se comporte mal en un coin. Les charges réelles se répartissent sur une petite longueur et le pic s'arrondit, mais les mathématiques sont honnêtes : la dérivée seconde voit le coin que la dérivée première cache.

Lire au sujet de la courbure est une chose ; regarder la déformée réagir à une charge que vous choisissez en est une autre. Le calculateur ci-dessous est le véritable solveur de poutre CalcSteel, le même moteur d'éléments finis qui a produit chaque nombre ci-dessus. Choisissez un profil, réglez une portée, posez une charge, et lisez la flèche, le moment et la forme selon laquelle elle fléchit.

Essayez l'expérience derrière cet article. Doublez la charge et regardez la flèche doubler tandis que la forme reste la même : la ligne élastique est linéaire en la charge. Puis gardez la charge et passez à une section plus haute ; la flèche chute fortement, car I croît avec le cube de la hauteur et EI est au dénominateur de la courbure. Vous pilotez M = EI·v'' à la main, en ressentant comment la rigidité se troque contre la courbure pour un moment fixé.

Les étudiants demandent à quoi servait vraiment la séquence de calcul différentiel. Une poutre y répond d'un bout à l'autre. La dérivée seconde et la concavité du Calcul I, c'est M = EI·v'' : la courbure qui se transforme en moment puis en contrainte. Le point d'inflexion est la section de moment nul. Les primitives de la fin du Calcul I remontent l'échelle à l'envers : intégrez la courbure pour la pente, intégrez encore pour la flèche.

Le Calcul II fournit la finition. Les deux constantes d'intégration qui apparaissent quand vous intégrez M/EI deux fois ne sont pas des détails en suspens ; elles sont fixées par les conditions aux limites, les appuis. Une articulation impose une flèche nulle à cet endroit ; un encastrement impose une flèche nulle et une pente nulle. Résolvez pour les constantes et la ligne élastique est entièrement déterminée. C'est la méthode de la double intégration, la première méthode manuelle qu'enseigne tout cours de structures, et ce n'est rien d'autre que le Calcul II appliqué à M/EI.

La carte honnête est donc celle-ci : la charge est la dérivée quatrième de la déformée, et la flèche est l'intégrale quatrième de la charge, le moment se trouvant à la dérivée seconde au milieu. Chaque poutre traitée ci-dessus parcourt un morceau de cette échelle. La dérivée seconde de la salle d'examen était depuis le début la colonne vertébrale de l'analyse des structures.

1. Confondre flèche et courbure. La plus grande flèche et la plus grande flexion sont en général des sections différentes. Une console se déplace le plus à l'extrémité libre, qui a une courbure nulle, et fléchit le plus à l'encastrement, qui ne bouge pas. Dimensionnez la section à partir du moment, qui est la courbure, et non à partir de l'endroit où elle fléchit visiblement.

2. Oublier le signe. v'' positif est un moment positif (flexion en creux), v'' négatif est un moment négatif (flexion en bosse). Négligez le signe sur une poutre continue et vous renforcez la mauvaise face au-dessus de l'appui, là où le moment est négatif et où les fibres supérieures sont en traction.

3. Traiter EI comme une constante alors qu'il ne l'est pas. M = EI·v'' suppose que la section et le matériau sont les mêmes le long de la portée. Effilez la barre, changez de nuance, ou fissurez une section en béton, et EI varie avec x, donc un moment égal donne une courbure inégale. Le moteur gère cela élément par élément ; une seule formule manuelle ne le fait pas.

4. Utiliser la courbure non linéaire complète. La courbure exacte est v'' / (1 + v'²) élevé à la puissance 3/2. Pour une poutre les pentes sont minuscules et elle se réduit à v'', ce qui est toute la raison pour laquelle l'équation est linéaire. Cette simplification n'échoue que pour des barres très élancées et très flexibles à grandes pentes, ce qui relève d'une autre analyse, du second ordre.

5. Lire une brisure de charge ponctuelle comme une erreur. La courbure présente un véritable coin sous une charge concentrée parce que le diagramme des moments y présente une brisure. La déformée reste lisse ; seule sa dérivée seconde est discontinue. Ce sont les mathématiques qui sont correctes, pas le modèle qui se casse.

Le moteur n'intègre pas M/EI symboliquement. Il résout la poutre par la méthode directe de la rigidité, qui est la même équation sous forme matricielle. Chaque élément porte la solution exacte de EI·v'''' = w intégrée dans ses fonctions de forme : les polynômes cubiques d'Hermite, ces mêmes formes quartiques et cubiques dont sont ressorties les poutres traitées ci-dessus. Les flèches et rotations nodales sont les inconnues, les appuis sont les conditions aux limites, et la matrice de rigidité assemblée est l'équation de la dérivée quatrième discrétisée.

Voilà pourquoi chaque vérification de cet article a bouclé. Quand nous avons pris la flèche calculée par le moteur, l'avons dérivée deux fois et multipliée par EI, nous avons retrouvé le diagramme des moments à une fraction de pour cent, parce que le moteur a construit cette flèche pour satisfaire M = EI·v'' élément par élément dès le départ. La courbure n'est pas un simple post-traitement ; c'est la grandeur que le solveur résout réellement, la flèche et le moment étant deux lectures de la même forme.

Ainsi, quand l'application dessine une déformée à côté d'un diagramme des moments, elle ne dessine pas deux résultats distincts. Elle dessine une fonction et sa dérivée seconde, à l'échelle de EI. Le calcul différentiel qu'on vous a appris pour esquisser des courbes est le calcul différentiel que le moteur exécute pour tenir un bâtiment debout.