La contrainte en physique : le tenseur, le critère derrière la norme, et une vérification chiffrée

Voici une barre que vous pourriez dimensionner cet après-midi. Un IPE 400 en S355, en console de 0,9 m sur un poteau, portant 380 kN en bout et tiré vers l'extérieur par 150 kN. Court, trapu, banal. Le genre de console qui porte un chemin de roulement ou un équipement de procédé.

Faites les vérifications comme tout le monde les fait. Flexion : le moment à l'encastrement vaut 342,0 kNm, la contrainte élastique à la fibre extrême vaut 311,82 MPa contre fy = 355 MPa, soit un taux de travail de 0,878. Cisaillement : 380 kN contre une résistance plastique au cisaillement de 875,07 kN, taux de travail 0,434. Les deux passent. EN 1993-1-1 ne vous demande de les combiner que si le cisaillement dépasse la moitié de la résistance au cisaillement, et 0,434 est inférieur à 0,5 : il n'y a donc rien de plus à faire. La console est validée à 88 % de sa capacité.

Allez maintenant en un point situé 186,5 mm au-dessus de l'axe neutre, là où l'âme rejoint la semelle, et écrivez l'état de contrainte réel qui y règne. Une contrainte normale de 291,97 MPa et une contrainte de cisaillement de 96,08 MPa, au même instant, sur la même particule d'acier. Combinez-les comme la physique l'exige et la contrainte équivalente vaut 336,07 MPa. Taux de travail 0,947.

Aucune des deux vérifications n'était fausse. La contrainte de flexion vaut bien 311,82 MPa et le cisaillement est bien sous la limite. Ce qui a disparu, c'est que la contrainte en un point n'est pas un nombre unique, et que les deux vérifications lisaient deux nombres différents dans le même objet. Cet article explique ce qu'est cet objet, pourquoi il faut un critère pour le réduire à un nombre, où la norme est ce critère déguisé, et où elle est un raccourci avec un angle mort mesurable.

On présente la contrainte comme une force sur une aire, σ = F/A. Pour une barre tirée selon son axe, c'est complet et exact, et c'est pourquoi cette définition survit si longtemps avant que quelqu'un n'en remarque le trou.

Le trou, c'est l'aire. Quelle aire ? Coupez la même barre chargée par un plan perpendiculaire à son axe et la force qui traverse ce plan lui est entièrement normale : traction pure, aucun cisaillement. Coupez la même barre, au même point, par un plan à 45 degrés, et le même effort interne possède maintenant une composante le long de la coupe. Le matériau n'a pas changé, le chargement n'a pas changé, le point n'a pas changé. Seule la question a changé, et la réponse a changé avec elle.

La définition honnête est donc locale et directionnelle. Prenez une petite aire ΔA en un point, de normale unitaire sortante n. La matière de l'autre côté tire sur celle d'en deçà avec une force ΔF. Le vecteur contrainte vaut

t(n) = lim(ΔA → 0) ΔF / ΔA

t est un vecteur, il a trois composantes, et il est fonction de n. Cette dernière partie est toute l'histoire. « La contrainte en ce point » n'existe pas tant que vous n'avez pas dit sur quel plan vous coupez. Il existe un état de contrainte, et le vecteur contrainte est ce que vous obtenez en interrogeant cet état avec une direction.

Notez aussi que t n'est pas forcément dirigé selon n. En traction pure, oui. Dans la coupe à 45 degrés, non : la part de t selon n est la contrainte normale σn tandis que la part située dans le plan est la contrainte de cisaillement τn. Décomposer t ainsi est la seule raison pour laquelle les mots normal et cisaillement veulent dire quelque chose.

Si le vecteur contrainte change avec chaque plan, et qu'il passe une infinité de plans par un point, on croirait qu'il faut une information infinie pour décrire un état de contrainte. Cauchy a démontré dans les années 1820 qu'il en faut neuf nombres, et en réalité six seulement.

L'argument est un bilan d'équilibre. Prenez un minuscule tétraèdre au point, avec trois faces sur les plans de coordonnées et la quatrième coupée selon une normale n quelconque. Les vecteurs contrainte sur les trois faces de coordonnées sont connus. Écrivez l'équilibre des forces, faites tendre le tétraèdre vers zéro pour que les forces de volume (qui varient comme le volume) disparaissent devant les forces de surface (qui varient comme l'aire), et le vecteur contrainte sur la face quelconque est fixé par les trois autres :

t(n) = σ · n, c'est-à-dire tᵢ = σᵢⱼ nⱼ

σᵢⱼ est le tenseur des contraintes de Cauchy. Son premier indice dit quelle face, le second dit dans quelle direction pointe la composante. Les termes diagonaux σxx, σyy, σzz sont des contraintes normales. Les termes hors diagonale sont des cisaillements.

Neuf devient six grâce à l'équilibre des moments sur le même cube qui rétrécit. Si σxy n'était pas égal à σyx, le déséquilibre produirait un moment variant comme le cube de la taille alors que l'inertie résistante varie comme la puissance cinquième : un cube assez petit tournerait donc avec une accélération angulaire non bornée. Ce n'est pas le cas. Donc σᵢⱼ = σⱼᵢ, le tenseur est symétrique, et six nombres décrivent tous les plans passant par le point.

C'est en ce sens que la contrainte est un tenseur plutôt qu'une liste de neuf nombres. Un tenseur est un objet qui associe un vecteur à une direction d'une façon qui ne dépend pas des axes dans lesquels vous l'avez écrit, et σ · n est exactement cette application.

Prenez le point qui compte dans la console étudiée, la jonction âme-semelle, où le moteur et la section donnent σxx = 291,97 MPa, τxy = 96,08 MPa et tout le reste nul. Puis faites tourner le plan de coupe sur 180 degrés, un degré à la fois, et évaluez t = σ · n sur chacun.

• La contrainte normale σn va de -28,77 MPa à 320,74 MPa. La même particule d'acier est en compression sur certains plans et proche de la plastification en traction sur d'autres.
• La contrainte de cisaillement τn va de 0 à 174,76 MPa, et le maximum tombe à 62 degrés de l'axe de la poutre.
• Là où σn est maximale, τn est exactement nulle, et réciproquement. Ces deux extrêmes sont séparés de 45 degrés, à chaque fois.

Rien du matériau ni du chargement n'a changé pendant ce balayage. Seule l'orientation d'une coupe imaginaire. Si quelqu'un vous tend un nombre en l'appelant la contrainte en un point, ce nombre est un échantillon de cette courbe, et la bonne question est : lequel.

Cela explique aussi ce que l'on voit sur n'importe quelle éprouvette de traction rompue. Tirez une barre d'acier ductile : elle ne se sépare pas sur le plan où la contrainte normale est la plus forte. Elle cisaille sur un plan à environ 45 degrés, parce que c'est là que la contrainte de cisaillement culmine, et que les métaux ductiles rompent par glissement, pas par arrachement. Le faciès de rupture est une photographie de ce balayage.

Faites tourner les axes et les composantes du tenseur changent. C'est inévitable et c'est un problème, car une règle de dimensionnement ne peut pas dépendre du sens dans lequel quelqu'un a tracé la trame. La rotation du tenseur de ce point autour de z de quelques angles arbitraires donne :

Toutes les composantes bougent. σxx à lui seul passe de 319,32 MPa à 0,00 MPa, un écart égal à la contrainte entière, uniquement en tournant la feuille. La dernière colonne ne bouge pas du tout, à neuf décimales près.

La raison est que trois combinaisons particulières des composantes sont invariantes par rotation :

I₁ = σxx + σyy + σzz = 291,97 MPa
I₂ = σxxσyy + σyyσzz + σzzσxx - τxy² - τyz² - τzx² = -9 231,55 MPa²
I₃ = det(σ) = 0

Ce sont la trace, la somme des mineurs principaux et le déterminant, et elles se conservent à tous les angles testés ici à une partie par million près. Toute fonction bâtie uniquement sur I₁, I₂ et I₃ est automatiquement indépendante des axes, et c'est la matière première de tout critère de plastification.

Parmi tous les plans balayés ci-dessus, il en existe trois, mutuellement perpendiculaires, sur lesquels le vecteur contrainte est purement normal : le cisaillement s'annule et t pointe exactement selon n. Ce sont les plans principaux, leurs normales sont les directions principales, et les contraintes normales qui s'y exercent sont les contraintes principales σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃. Formellement ce sont les valeurs propres de σ, ce qui explique qu'elles existent pour tout tenseur symétrique et qu'elles soient invariantes.

Pour un état de poutre, avec σy = σz = 0, l'algèbre est courte :

σ₁,₃ = σ/2 ± √((σ/2)² + τ²), tan 2θp = 2τ/σ

Au point de jonction : σ₁ = 320,75 MPa, σ₂ = 0, σ₃ = -28,78 MPa, avec la direction principale à θp = 16,68 degrés. Remarquez que σ₁ est supérieure aux 291,97 MPa du départ. Le cisaillement n'ajoute pas seulement une seconde contrainte à côté de la contrainte normale, il porte la plus grande traction dans la matière au-dessus de l'une comme de l'autre.

La contrainte de cisaillement maximale suit immédiatement : τmax = (σ₁ - σ₃)/2 = 174,77 MPa, sur les plans à θp + 45° = 61,68 degrés. Le balayage sur 180 degrés a trouvé son pic de 174,76 MPa à 62 degrés, soit la même réponse à la résolution d'un degré. Le cercle de Mohr n'est rien d'autre que le graphe de ces formules, de centre σ/2 et de rayon √((σ/2)² + τ²).

Le critère de Tresca dit que la matière plastifie quand σ₁ - σ₃ atteint fy. Ici cette différence vaut 349,53 MPa contre 355, donc Tresca place ce point à 0,984 de la capacité. C'est le plus conservateur des deux critères, d'environ 4 % dans cet état, et c'est celui sur lequel la plupart des normes béton et des anciennes normes acier ont été bâties.

Décomposez tout tenseur des contraintes en deux parties. La partie hydrostatique est la contrainte moyenne σm = I₁/3 multipliée par l'identité : traction ou poussée égale dans toutes les directions, qui change le volume mais pas la forme. Ce qui reste est le déviateur, s = σ - σm I, qui change la forme mais pas le volume.

Le fait expérimental derrière tout modèle de plasticité des métaux est que la plastification est un phénomène déviatorique. Les métaux plastifient par glissement de dislocations sur des plans, le glissement est piloté par le cisaillement, et une pression pure ne produit de cisaillement sur aucun plan. Bridgman a en partie obtenu le prix Nobel pour avoir montré que l'acier soumis à une énorme pression hydrostatique plastifie à la même contrainte déviatorique que l'acier à la pression atmosphérique.

On le voit dans l'arithmétique. Prenez le tenseur de la jonction et ajoutez p aux trois termes diagonaux :

La contrainte moyenne parcourt plus de 5 500 MPa. La contrainte de von Mises bouge de 5,7 × 10⁻¹⁴ MPa, ce qui est du bruit de virgule flottante, pas de la physique. Le critère doit donc être une fonction du seul déviateur, et l'invariant le plus simple du déviateur qui ne soit pas identiquement nul est le second, J₂.

Voilà toute la démonstration de von Mises. Plastification quand J₂ atteint une valeur critique, calage de cette valeur sur un essai de traction simple où la plastification survient à fy, et vous obtenez

σvm = √(½[(σ₁-σ₂)² + (σ₂-σ₃)² + (σ₃-σ₁)²]) ≤ fy

et pour l'état de poutre, où seuls σ et τ subsistent, cela se réduit à la forme que vous avez déjà vue dans la norme sans qu'on vous dise d'où elle venait :

σvm = √(σ² + 3τ²)

Tout ce qui précède est maintenant appliqué à une barre, sans rien supposer qui aurait pu être calculé.

La structure. Un IPE 400 en S355, encastré à une extrémité, en console de 0,9 m, avec 380 kN appliqués vers le bas en bout et 150 kN tirant vers l'extérieur selon l'axe. Deux cas sont traités : celui-ci, et une version plus longue de 2,5 m portant 120 kN, pour montrer une barre ordinaire en contrepoint.

Le moteur. Les efforts internes viennent de app.engine.solver.run_analysis, le solveur même qui tourne derrière CalcSteel. Avant de lui faire confiance, un cas de contrôle : un IPE 400 sur deux appuis simples de 8 m sous 30 kN/m doit rendre wL²/8, wL/2 et 5wL⁴/384EI. Il rend 240,00 kNm, 120,00 kN et 35,99968 mm contre une forme fermée de 35,999678 mm. Le contrôle passe à mieux que 0,001 %, la console peut donc tourner. À l'encastrement, le moteur donne N = 150,0 kN, V = 380,0 kN et M = 342,0 kNm, ce qui correspond exactement à H, P et P·L, comme une barre isostatique le doit.

La section. Les contraintes exigent de la géométrie, et le registre de profilés stocke des approximations pour cette forme (son Zx de 655 cm³ vaut à peu près la moitié de la vraie valeur), donc la section est plutôt intégrée à partir des dimensions réelles : âme, semelles et les quatre congés de raccordement. Cela donne A = 8 446,4 mm², I = 23 260 cm⁴, Wel = 1 163,0 cm³ et Wpl = 1 310,7 cm³, contre des valeurs de tables publiées de 8 450 mm², 23 130 cm⁴, 1 156 cm³ et 1 307 cm³. Chacune est à moins de 0,61 %. Comme la console est isostatique, les N, V et M du moteur n'en dépendent absolument pas.

Le champ, puis sa vérification à rebours. La contrainte normale vaut σ(y) = N/A + M·y/I et le cisaillement τ(y) = V·Q(y)/(I·t(y)), avec Q intégré numériquement sur la même section. Un champ de contraintes n'est le champ de contraintes de la barre que s'il s'intègre en redonnant les efforts internes de la barre : on lui fait donc le prouver :

• ∫σ dA = 150,000 kN contre N = 150,0 kN au moteur
• ∫σ·y dA = 342,000 kNm contre M = 342,0 kNm au moteur
• ∫τ dA = 380,001 kN contre V = 380,0 kN au moteur

Les trois bouclent à mieux que 0,001 %. À partir d'ici le tenseur est réel, pas illustratif.

Évaluez le tenseur à trois hauteurs et passez chacun dans la machinerie : contraintes principales, Tresca, von Mises.

Lisez la première et la deuxième ligne ensemble. En descendant de 13,5 mm sous la surface, la contrainte normale baisse de 19,85 MPa, exactement comme le diagramme linéaire de flexion l'impose. Et la contrainte équivalente monte de 24,25 MPa, parce que le cisaillement récupéré en chemin compte trois fois à l'intérieur de √(σ² + 3τ²).

Le balayage de toute la hauteur confirme que la contrainte de von Mises maximale de la section entière se situe à la jonction, à 336,07 MPa, et non à la fibre extrême, à 311,82 MPa. La vérification en flexion évalue la section précisément à la hauteur où la réponse est 7,8 % trop basse.

La ligne de l'axe neutre mérite son propre regard. La contrainte normale y vaut 17,76 MPa, ce qui n'est rien d'autre que la traction axiale de 150 kN répartie sur l'aire. La quasi-totalité de la contrainte équivalente de 216,36 MPa vient du cisaillement, et √3 × 124,49 = 215,62, le reste étant la petite contribution axiale. C'est le point où le critère est du cisaillement pur, et l'avant-dernière section montre que la norme en connaît déjà la réponse.

Un détail à la jonction mérite une attention à part, car il piège ceux qui calculent soigneusement τ = VQ/It puis le lisent du mauvais côté d'une ligne.

À y = 186,5 mm exactement, l'âme s'arrête et la semelle commence. Q, le moment statique de l'aire au-delà de la coupe, y est continu : il se moque que la forme soit sur le point de s'élargir. L'épaisseur t, elle, n'est pas continue du tout. Elle saute de tw = 8,6 mm à b = 180 mm.

Comme τ = VQ/(I·t), la contrainte de cisaillement saute du rapport de ces largeurs :

• côté âme de l'interface : τ = 96,08 MPa, σvm = 336,07 MPa
• côté semelle de l'interface : τ = 4,59 MPa, σvm = 292,08 MPa
• rapport : 20,93, soit b/tw = 180/8,6 à six décimales

Même hauteur, même Q, même V, deux réponses distantes de 44 MPa en contrainte équivalente. Le côté âme est celui qui gouverne, et c'est celui que l'on saute quand on évalue la semelle.

C'est aussi pourquoi l'approximation classique τ ≈ V/(tw·hw), qui répartit uniformément le cisaillement sur l'âme, est aussi bonne qu'elle l'est pour les profilés en I laminés : la quasi-totalité du cisaillement vit réellement dans l'âme, parce que les semelles sont trop larges pour porter une contrainte notable au même Q. C'est une bonne approximation de la moyenne et une mauvaise du pic, et c'est le pic qui intéresse le critère.

Le moyen le plus rapide de rendre cela concret est de saisir le point étudié et de regarder le cercle. Entrez σx = 291,97 MPa, σy = 0 et τxy = 96,08 MPa, qui sont la jonction de la console, et vous devriez obtenir σ₁ = 320,75 MPa, σ₃ = -28,78 MPa, θp = 16,68° et τmax = 174,77 MPa.

Essayez ensuite les deux lignes limites du tableau. Mettez τ à zéro et laissez σ à 311,82 : le cercle se réduit à un point sur l'axe, σ₁ = σ et von Mises égale la contrainte de flexion, ce qui est la vérification en flexion de la norme. Mettez σ à zéro et τ à 124,49 : le cercle se centre sur l'origine, σ₁ = -σ₃ = τ, et von Mises vaut √3 × τ. Tout ce que la norme fait à une poutre vit entre ces deux extrêmes.

Rien de tout cela n'est une découverte que les normes auraient manquée. Deux des clauses les plus familières du dimensionnement de l'acier sont le critère de von Mises évalué en un point particulier, et le reconnaître les rend moins arbitraires.

La vérification en flexion, c'est von Mises à la fibre extrême. À la surface d'une poutre la contrainte de cisaillement est exactement nulle, car il n'y a plus de matière au-delà contre laquelle cisailler, donc Q = 0 en ce point. Mettez τ = 0 dans σvm = √(σ² + 3τ²) et vous obtenez σvm = |σ|. La règle « σ ≤ fy » n'est pas une simplification du critère en ce point, elle est le critère en ce point, exactement.

La limite de cisaillement, c'est von Mises à l'axe neutre. Dans une barre à faible effort normal, la contrainte normale à mi-hauteur est proche de zéro, donc σvm se réduit à √3 τ. En égalant cela à fy on obtient la contrainte de plastification en cisaillement :

τy = fy/√3 = 0,5774 fy, soit 204,96 MPa pour le S355

C'est de là que vient tout 0,577 rencontré dans la littérature, et de là que vient directement le Vpl,Rd = Av·fy/(√3·γM0) de EN 1993-1-1. AISC 360 écrit plutôt 0,6 Fy, soit 213,0 MPa pour le S355, 3,9 % au-dessus de la valeur de von Mises pure ; l'écart est absorbé par le coefficient de résistance et par le coefficient de voilement par cisaillement de l'âme Cv qui l'accompagne. Tresca, incidemment, donnerait exactement 0,5 fy, et c'est pourquoi certaines références anciennes prennent la moitié de la limite d'élasticité pour le cisaillement.

Et à un endroit la norme l'imprime noir sur blanc. EN 1993-1-1 §6.2.1(5) donne une vérification générale et conservative pour tout point d'une section transversale sous la forme √(σx² + σz² - σxσz + 3τ²) ≤ fy/γM0. C'est le critère de von Mises en contraintes planes, écrit dans la norme, disponible pour qui veut vérifier le point de jonction à la main.

Entre la fibre extrême et l'axe neutre, la norme n'évalue pas le critère. Elle vérifie la flexion en haut, le cisaillement sur l'âme, et ne les combine que lorsque le cisaillement est grand. EN 1993-1-1 §6.2.8 ouvre ce seuil à V > 0,5 Vpl, en dessous duquel aucune réduction du moment résistant n'est exigée.

Alors maintenez le moment de la console étudiée à 342,0 kNm, balayez le cisaillement de zéro à Vpl, et mesurez de combien la vraie contrainte de von Mises à la jonction dépasse la contrainte normale que la vérification en flexion voit à cette même hauteur :

La pénalité franchit 5 % à V/Vpl = 0,25, soit la moitié du point où la norme commence à poser la question. Quand le seuil s'ouvre enfin, l'effet pour lequel il s'ouvre a déjà atteint 19,6 %. Cette bande, entre le quart et la moitié de Vpl, est la taille mesurée du raccourci.

Ce qui ne revient pas à dire que la norme n'est pas sûre, et il importe d'être précis sur le pourquoi :

• Les coefficients partiels se posent par-dessus tout cela. γM0 = 1,00 dans l'Eurocode et φb = 0,90 dans l'AISC, avec des coefficients de charge de 1,35 et 1,5 en dessous, laissent bien plus de 15 % de marge dans tout projet réel.
• La vérification est élastique et la section ne l'est pas. Un IPE 400 en S355 est de Classe 1, donc atteindre fy en un point à 186,5 mm de hauteur amorce simplement une plastification locale qui redistribue vers les fibres voisines. La première plastification n'est pas la ruine pour un profil laminé compact.
• Les barres qui atteignent V/Vpl = 0,25 avec un moment élevé dans la même section forment une petite famille : consoles courtes, poutres grugées, tronçons fortement chargés, et poutres reconstituées dont l'âme est volontairement mince.

Le résumé honnête est que les vérifications séparées sont un calage, réglé pour les barres que la plupart des gens dimensionnent, et que le tenseur est ce qui est approché. Sur la console ordinaire de 2,5 m l'approximation coûte 2,05 % et personne ne devrait s'en soucier. Sur celle de 0,9 m elle coûte 15,10 % et elle vaut dix minutes avec √(σ² + 3τ²) à la jonction.

Les deux critères sont invariants, les deux ignorent la contrainte hydrostatique, les deux se réduisent à fy en traction simple. Ils diffèrent par ce qu'ils disent de tous les autres états.

Tresca plastifie quand la contrainte de cisaillement maximale atteint fy/2, c'est-à-dire quand σ₁ - σ₃ = fy. Tracé dans l'espace des contraintes principales, c'est un hexagone. Von Mises est l'ellipse qui lui est circonscrite en contraintes planes, donc les deux coïncident exactement en six points et von Mises n'est jamais plus conservateur nulle part.

L'écart le plus large est le cisaillement pur, où Tresca plastifie à 0,500 fy et von Mises à 0,577 fy, une différence de 15,5 %. Au point de jonction de la console étudiée, Tresca donne σ₁ - σ₃ = 349,53 MPa contre 336,07 MPa pour von Mises, donc Tresca y est 4,0 % plus exigeant.

Les normes acier ont choisi von Mises pour deux raisons. Il colle mieux aux essais de torsion de parois minces et de chargement combiné sur métaux ductiles, typiquement à quelques pour cent près alors que Tresca est conservateur jusqu'à 15 %. Et il est régulier : l'hexagone possède des coins où la surface de charge n'a pas de normale unique, ce qui rend la loi d'écoulement plastique ambiguë et les implémentations en éléments finis délicates. Tresca survit là où son conservatisme est bienvenu et où son algèbre est plus simple, et c'est pourquoi on le rencontre encore dans le domaine des appareils à pression.

• Citer une contrainte sans plan. « La contrainte à la soudure vaut 180 MPa » est incomplet tant que le plan n'est pas nommé. À la jonction de cette console, le même point se lit n'importe où entre -28,77 et 320,74 MPa en contrainte normale.
• Additionner σ et τ arithmétiquement. Ce sont des composantes différentes d'un même objet, pas deux charges sur une poutre. 291,97 + 96,08 = 388,05 n'a aucun sens ; √(291,97² + 3·96,08²) = 336,07 est la réponse.
• Ne vérifier que la fibre extrême. Dans cette barre le point gouvernant est 13,5 mm sous la surface, et la vérification en flexion le manque de 7,8 %.
• Lire τ du côté semelle de la jonction. Même y, même Q, mais t saute de 8,6 à 180 mm et la réponse change d'un facteur 20,93. C'est la valeur côté âme qui gouverne.
• Prendre 0,5 Vpl pour de la physique. C'est un seuil déclenchant l'exigence normative d'interaction, pas la charge à laquelle l'interaction commence. L'interaction est là depuis le début, et vaut déjà 5 % à la moitié de ce cisaillement.
• Attendre que la contrainte hydrostatique compte. Une barre profondément sous pression plastifie à la même contrainte déviatorique qu'une barre en surface, à quatorze décimales près dans l'arithmétique ci-dessus.
• Utiliser von Mises là où il ne s'applique pas. C'est un critère de métal ductile. La fatigue, la rupture fragile, les boulons en cisaillement et le béton ont chacun leur propre état limite, et aucun d'eux n'est √(σ² + 3τ²) ≤ fy.

La phrase unique à emporter : la contrainte en physique est un tenseur, la norme vérifie un scalaire, et un critère de plastification est le taux de change entre les deux. Savoir où ce taux de change est exact et où il est un arrondi vous dit quelles barres vous pouvez signer en une minute et lesquelles en méritent dix.