La déformation en physique : le critère derrière les normes, avec une vérification chiffrée

Faites passer un IPE 300 sur une portée isostatique de 6 m sous 12 kN/m dans le moteur CalcSteel et deux nombres s'affichent à l'écran. Le moment à mi-portée vaut 54,00 kNm. La flèche à mi-portée vaut 12,504 mm, soit L/480. Les deux sont utiles, les deux finissent dans une note de calcul, et aucun des deux ne dit ce que l'acier fait réellement.

Ce que fait l'acier, c'est s'allonger de 500 parties par million dans la semelle inférieure et se raccourcir d'autant dans la semelle supérieure. Ce nombre, 500 µε, c'est la déformation. Le solveur ne l'a jamais affiché. Aucune clause de l'AISC 360 ni de l'EN 1993-1-1 ne demande de la comparer à quoi que ce soit. C'est pourtant la grandeur à laquelle le matériau répond, celle que lirait une jauge de déformation collée sur la pièce, et celle dont toute vérification de plastification parle en secret.

Cet article traite des fondamentaux, avec une vérification chiffrée à l'appui. Il définit la déformation comme la physique la définit, ce qui est plus strict et plus surprenant que la définition que la plupart des ingénieurs transportent avec eux, puis il retrouve cette définition dans le moteur EF de production par deux voies indépendantes, pour prouver qu'elle n'a rien de décoratif.

Voici la définition, et ce qu'il faut remarquer, c'est ce qui en est absent. Prenez un corps. Chaque point matériel se déplace de là où il était vers là où il est maintenant. Appelons ce champ de déplacement u(x). La déformation normale suivant x est la dérivée de ce champ :

ε_x = ∂u_x / ∂x

Aucune force. Aucune rigidité. Aucun matériau. Aucun coefficient de sécurité. La déformation est une grandeur purement cinématique : elle décrit comment un corps a changé de forme, et elle se définirait à l'identique pour l'acier, le caoutchouc, l'eau ou une galaxie. La force n'arrive qu'ensuite, par un énoncé distinct appelé loi de comportement, et tout l'art de la mécanique des solides consiste à tenir ces deux énoncés séparés.

La version en déformation d'ingénieur, ε = ΔL/L, celle que l'on rencontre en premier, est cette même définition avec la dérivée remplacée par un rapport fini, valable quand l'allongement est uniforme sur la longueur. C'est la définition dans un cas particulier, pas une autre définition.

Ce que la dérivée vous apporte, c'est une réponse précise à une question que le rapport ne sait même pas poser : que se passe-t-il quand le corps entier se déplace ?

Si la déformation est une dérivée du déplacement, alors un champ de déplacement identique partout doit produire exactement zéro déformation. Dérivez une constante et il ne reste rien. Physiquement : prenez une poutre chargée, portez-la à l'autre bout de la pièce, et vous ne l'avez pas sollicitée d'un pascal de plus.

Dit avec des mots cela paraît évident, et c'est facile à rater dans du code, donc cela vaut la peine de le tester sur l'outil qui fait vraiment vos calculs. Nous avons repris le même modèle IPE 300, translaté chaque nœud de 137 m en x, 42 m en y et 19 m en z, soit un déplacement en bloc de 144,55 m, et relancé le calcul.

Chaque nœud de ce second calcul a des coordonnées complètement différentes et des déplacements absolus complètement différents. Pas un seul effort interne n'a bougé. C'est la définition qui fait son travail : le moteur mesure le mouvement relatif entre points voisins, et 144,55 m de mouvement commun n'y contribuent en rien.

C'est la même invariance qui explique qu'un tassement d'appui ne fasse rien à une structure isostatique. Abaissez de 30 mm une extrémité d'une poutre sur deux appuis simples : la poutre tourne comme un corps rigide vers sa nouvelle position, sans courbure ajoutée nulle part et sans moment nulle part. Faites de même sur une poutre continue à trois appuis et vous obtenez une vraie courbure, une vraie déformation et un vrai moment, parce que cette structure ne peut pas absorber le mouvement sans fléchir. La différence ne tient pas à l'amplitude du mouvement. Elle tient à savoir si le mouvement a un gradient.

Le champ de déplacement a trois composantes et il y a trois directions de dérivation, ce qui donne neuf dérivées. Décomposez chaque paire en une partie symétrique et une partie antisymétrique, jetez la partie antisymétrique (c'est la rotation rigide, dont nous venons d'établir qu'elle n'est pas une déformation), et il reste le tenseur des petites déformations :

ε_ij = ½ ( ∂u_i/∂x_j + ∂u_j/∂x_i )

Il est symétrique, donc les neuf termes se ramènent à six nombres indépendants : trois déformations normales qui changent des longueurs, et trois distorsions qui changent des angles. Un angle droit tracé sur la surface d'une âme chargée ne reste pas droit, et la quantité dont il s'ouvre ou se ferme est la distorsion.

Voici le piège qui a coûté plus de points aux examens et plus d'heures de débogage que tout le reste de cette page. Deux conventions circulent :

• La distorsion d'ingénieur γ_xy est la variation totale de l'angle droit, en radians. C'est ce que rapporte une jauge de déformation, ce que renvoie γ = τ/G, et ce que visent les normes de calcul.
• La distorsion tensorielle ε_xy en vaut exactement la moitié. C'est elle qui a sa place dans la matrice ci-dessus, et la seule version pour laquelle les formules de rotation et de changement de base, cercle de Mohr compris, sont correctes.

γ = 2ε. Injectez une lecture de jauge telle quelle dans une formule de transformation écrite pour le tenseur et chaque valeur principale qui en sort est fausse d'un facteur lié à deux. L'erreur n'est pas subtile, mais elle est discrète, parce que le résultat ressemble toujours à une déformation.

La déformation est une longueur divisée par une longueur. Mètres sur mètres, millimètres sur millimètres, cela se simplifie. La déformation est adimensionnelle, et toute unité que vous lui voyez accolée est un artifice de notation plutôt qu'une unité physique.

Les déformations de l'acier de construction sont incommodément petites, si bien que quatre notations circulent pour la même grandeur :

La microdéformation l'emporte en pratique pour la même raison que le millimètre l'emporte sur le mètre sur un plan : elle place les nombres de travail entre 100 et 2000, là où un humain les compare d'un coup d'œil. Un µε vaut une partie par million.

Mettez toute la plage sur un même axe et les proportions surprennent. La plastification arrive à 1250 µε pour fy = 250 MPa et à 1725 µε pour fy = 345 MPa. L'allongement à la rupture sur une éprouvette de traction vaut environ 20 %, soit 200 000 µε. Tout le domaine élastique, celui dont discute chaque note de calcul, ce sont les premiers 0,18 % d'un parcours qui va jusqu'à 20 %. Tout ce qui vient après est la réserve que nous appelons ductilité, et elle est environ deux ordres de grandeur plus étendue que la part dans laquelle nous dimensionnons.

Rien de ce qui précède n'a mentionné l'acier. La déformation se définirait de la même façon pour un élastique. Le matériau entre par un second énoncé, entièrement séparé : la loi de comportement, qui dit quelle contrainte produit une déformation donnée. Pour l'acier sous la limite élastique, cet énoncé est la loi de Hooke.

σ = E · ε

E, le module d'Young, est une propriété mesurée. Le moteur CalcSteel porte E = 200 GPa et G = 76,92 GPa pour l'acier laminé à chaud, et ces deux valeurs fixent ensemble le coefficient de Poisson à ν = E/2G − 1 = 0,30.

Nous n'avons pas eu à croire le moteur sur parole pour E. Tirez un tirant IPE 300, A = 5381 mm², à 500 kN et le moteur annonce une extrémité libre qui se déplace de 2,7875 mm sur une longueur de 6000 mm. Cela fait une déformation de 464,6 µε pour une contrainte de 92,92 MPa, et 92,92 / 0,0004646 = 200 000 MPa. Le module d'Young retrouvé à partir du champ de déplacement, et non supposé.

Deux remarques sur cette constante méritent d'être retenues. D'abord, elle est identique pour toutes les nuances de construction : A36, A572-50, S355 et MR250 ont le même E. Changer de nuance déplace le point de plastification, jamais la rigidité de l'acier. Ensuite, la valeur relève autant de la convention que de la mesure. L'AISC 360 utilise 29 000 ksi, soit environ 199,9 GPa. L'Eurocode 3 §3.2.6 utilise 210 000 MPa. Même acier, 5 % d'écart sur toute déformation calculée à partir d'une contrainte, ce qui compte dès l'instant où vous comparez une lecture de jauge à une valeur calculée.

L'exemple traité est volontairement banal : un IPE 300 en acier MR250, fy = 250 MPa, sur deux appuis simples de 6,00 m, sous une charge uniforme de 12 kN/m. Hauteur de section 300 mm, donc c = 150 mm de l'axe neutre à la fibre extrême. I_x = 8097 cm⁴ et S_x = I_x/c = 539,8 cm³, tous deux issus du catalogue de production. Le modèle est maillé en 24 éléments, soit un nœud tous les 250 mm, pour des raisons qui comptent en partie 2.

Avant d'accorder le moindre crédit à ce que le moteur dit de la déformation, il lui faut reproduire les deux résultats analytiques que tout le monde connaît :

La flèche vaut L/480, confortablement en deçà d'une limite courante de L/300, et la contrainte de flexion se révélera être de 100 MPa face à une limite élastique de 250 MPa. Cette poutre passe toutes les vérifications. C'est bien le propos : nous ne regardons pas une ruine, nous regardons ce qu'une poutre en parfaite santé fait physiquement.

La première voie vers la déformation n'utilise aucune propriété de matériau. C'est de la cinématique pure, exactement comme la définition l'exige.

Fléchir une poutre courbe son axe. La cinématique d'Euler-Bernoulli pose que les sections planes restent planes et normales à cette courbe, d'où la déformation à une distance y de l'axe neutre :

ε(y) = −y · κ, avec κ = 1/R = v''

κ est la courbure, R le rayon de courbure, et v'' la dérivée seconde de la déformée. Remarquez que les seules données d'entrée sont une forme et une distance. Rien ici ne sait que la poutre est en acier.

Le moteur nous donne la forme directement : 25 flèches nodales, espacées de 250 mm. La différence seconde centrée des trois flèches autour de la mi-portée donne

κ = 0,003331 1/m, soit R = 300,2 m

Une poutre de 6 m courbée à un rayon de 300 mètres. Cela vaut la peine de s'y arrêter : la flèche que l'on remarque, 12,5 mm, provient d'un arc si doux que son rayon vaut cinquante fois la portée. Multipliez la courbure par c = 150 mm et la déformation en fibre extrême vaut

ε = κ · c = 0,003331 × 0,150 = 499,58 µε

La fibre inférieure est tendue à cette valeur, la fibre supérieure comprimée de la même quantité, et l'axe neutre est à zéro. Et les totaux sont petits d'une façon qu'on sous-estime facilement : en intégrant la déformation sur toute la semelle inférieure, cette fibre finit 2,0 mm plus longue qu'au départ, alors que la poutre, elle, est descendue de 12,5 mm. Le mouvement visible vaut six fois l'allongement réel, parce que l'essentiel de la flèche est de la rotation accumulée, pas de l'extension de matière.

La seconde voie ignore complètement la forme et passe par le matériau. Prenez le moment issu des efforts d'élément, convertissez-le en contrainte avec le module de section, divisez par E :

σ = M / S_x = 54,00 kNm / 539,8 cm³ = 100,03 MPa
ε = σ / E = 100,03 / 200 000 = 500,17 µε

Deux voies, l'une partie d'une forme et l'autre d'un effort, qui se rejoignent :

Cet écart n'est ni une erreur de modélisation, ni de la physique. C'est de l'arithmétique. Une différence seconde centrée approche v'' avec un terme de troncature en h²/12 × v'''', et pour cette poutre avec h = 250 mm ce terme vaut 0,116 % de la courbure. C'est la différence finie, et non le moteur, qui est à 0,12 % près. Divisez par deux l'espacement des nœuds et l'écart tombe d'un facteur quatre.

L'accord est le vrai résultat. On a demandé au moteur des flèches et des moments, rien d'autre. Le mot déformation n'apparaît nulle part dans sa sortie. Pourtant la forme qu'il a renvoyée et les efforts qu'il a renvoyés portent la même déformation, à trois chiffres près, parce que les deux découlent d'un seul champ de déplacement. Voilà à quoi ressemble la cohérence interne d'un solveur, et c'est la vérification à faire chaque fois que vous doutez qu'un modèle vous dise quelque chose de réel.

Le calculateur ci-dessous est l'outil poutre de production de CalcSteel. Entrez-y votre portée, votre charge et votre section, et il renvoie le moment maximal, la flèche maximale avec son rapport L/x, et la contrainte de flexion σ = M/S_x.

Pour convertir sa sortie dans la physique de cet article, une seule division :

ε [µε] = σ [MPa] / 200 000 × 1 000 000 = σ × 5

À E = 200 GPa la conversion est aussi nette : cinq microdéformations par mégapascal. Une contrainte de 100 MPa fait 500 µε. Une contrainte de 160 MPa fait 800 µε. Réglez la portée à 6 m et la section sur un IPE 300 avec 12 kN/m, et vous devez retomber sur les 100,03 MPa et les 12,5 mm de la vérification ci-dessus.

Essayez ensuite la comparaison qui rend concrète la dernière partie de cet article. Chargez la poutre jusqu'à lire une flèche de L/300, notez la contrainte, multipliez par cinq. Étirez maintenant la portée à 9 m et rechargez jusqu'à L/300. Même verdict de flèche, et une déformation inférieure d'un tiers.

Tirez sur une barre selon un axe et elle ne fait pas que s'allonger. Elle s'amincit. Ce couplage, c'est le coefficient de Poisson, et c'est pourquoi la déformation en un point est un tenseur, même quand le chargement est aussi unidimensionnel qu'un chargement peut l'être.

Retour au tirant à 500 kN. La déformation axiale valait 464,6 µε. Les deux déformations transversales valent chacune

ε_t = −ν · ε_a = −0,30 × 464,6 = −139,4 µε

Sur un IPE 300, cela veut dire que la semelle de 150 mm se rétrécit de 20,91 µm et que la hauteur de 300 mm en perd 41,81 µm, pendant que la barre gagne 2,7875 mm de longueur. Personne ne mesurera jamais ces deux nombres sur un chantier, ils n'en sont pas moins réels, et ils expliquent pourquoi une large tôle tendue ne se comporte pas de la même façon en son centre et sur ses bords libres.

Additionnez les trois et vous obtenez la déformation volumique :

ΔV/V = ε_x + ε_y + ε_z = ε_a(1 − 2ν) = 464,6 × 0,40 = +185,8 µε

La barre gagne 0,0186 % de volume. L'acier n'est pas incompressible. Seul un matériau à ν = 0,50, comme le caoutchouc près de sa limite, garde un volume constant quand on l'étire, et que l'acier ne le fasse pas est précisément la raison pour laquelle une pression hydrostatique seule ne le plastifiera pas. Cette observation est le germe du critère de von Mises, qui écarte la partie volumique de la déformation et juge la ruine sur la seule partie de distorsion.

Ouvrez n'importe quelle norme acier et vous n'y trouverez aucune limite de déformation pour le dimensionnement courant des barres. L'AISC 360 et la NBR 8800 comparent des contraintes et des efforts. L'EN 1993-1-1 compare des sollicitations de calcul à des résistances de calcul. La déformation n'est pas dans l'inégalité.

Elle n'a pas besoin d'y être, parce que sous la limite élastique σ = Eε est une correspondance biunivoque avec une seule constante à l'intérieur. Divisez les deux membres d'une vérification en contrainte par E et vous obtenez une vérification en déformation au contenu identique :

σ ≤ f_y  ⟺  ε ≤ f_y/E = ε_y

Notre poutre à 500 µε face à fy = 250 MPa, soit ε_y = 1250 µε, est à 40,0 % de la déformation de plastification et à 40,0 % de la contrainte de plastification. La même fraction, nécessairement. Les normes ont choisi la contrainte parce que c'est ce que rapporte une machine d'essai et ce qu'une formule de résistance produit naturellement, non parce que la contrainte serait la grandeur la plus fondamentale. Physiquement, la déformation est en amont : le matériau se déforme, et la contrainte est sa réponse.

Le déguisement tombe dès que la correspondance cesse d'être biunivoque, c'est-à-dire exactement à la plastification. Au-delà de ce point, une même contrainte correspond à tout un palier de déformations, et les normes qui doivent parler du comportement au-delà de la limite élastique sont ramenées de force au langage de la déformation :

• Classification des sections. Les classes 1 à 4 de l'EN 1993-1-1 énoncent quelle rotation, donc quelle déformation, une section transversale peut fournir avant de voiler localement. Les sections de classe 1 sont celles autorisées à atteindre de grandes déformations plastiques.
• Calcul plastique. Une rotule plastique est une zone à laquelle on demande de se déformer bien au-delà de ε_y pendant que son moment reste à M_p. Seule la déformation permet de décrire ce qui s'y passe.
• Dispositions parasismiques. Les coefficients de ductilité, les demandes en rotation et les exigences de l'AISC 341 sont des demandes en déformation sous un autre nom.
• Allongement sur le certificat matière. Le pourcentage porté sur le certificat matière est une déformation, et c'est la seule déformation que la plupart des ingénieurs lisent un jour sur un document.

Il existe une clause qui n'est réellement pas un critère de déformation, et c'est celle que l'on prend le plus souvent pour son équivalent : la limite de flèche.

Nous avons réglé quatre poutres pour que le moteur annonce exactement δ = L/300, puis nous avons lu la déformation à mi-portée sur chacune :

Les quatre sont également acceptables au regard de la clause de service. L'une d'elles fait travailler son acier deux fois plus qu'une autre. Les charges varient d'un facteur neuf et les déformations ne les suivent pas, ce qui trahit que quelque chose de plus simple commande.

C'est bien le cas. Posez 5wL⁴/384EI = L/k, reportez dans ε = Mc/EI, et la charge, le module et le moment quadratique se simplifient tous :

ε = 48c / (5kL) = 9,6 c / (kL), donc à k = 300, ε = 0,016 · h/L

La déformation à la limite de flèche dépend du rapport hauteur sur portée et de rien d'autre. Ni de la section, ni de la charge, ni de la nuance. Le moteur suit cette formule à mieux que 0,12 % près sur les quatre poutres, ce qui est la même troncature de différence finie que tout à l'heure.

Les conséquences pratiques méritent d'être dites simplement. Une poutre haute et courte poussée à L/300 se tient à 85 % de la déformation de plastification pour un acier fy = 250 et sera gouvernée par la résistance bien avant le service. Une poutre élancée de grande portée poussée au même L/300 se tient à 43 % et est nettement gouvernée par le service. Si vous vous êtes déjà demandé pourquoi la flèche dimensionne certaines de vos poutres et la contrainte les autres, ce seul rapport en donne l'essentiel de la réponse. Et c'est pourquoi monter en nuance sauve la première poutre et ne fait absolument rien pour la seconde : un fy plus élevé déplace ε_y, et le critère de flèche n'a jamais regardé ε_y.

• Prendre un déplacement pour une déformation. Une flèche de 30 mm ne dit presque rien de la sollicitation réelle du matériau tant que vous ne connaissez pas la portée et la hauteur. Notre poutre de 9 m se déplace 50 % plus que celle de 6 m et se déforme 33 % moins.
• Le facteur deux sur le cisaillement. γ = 2ε. Les jauges et les normes rapportent γ ; le tenseur et toutes les formules de transformation veulent ε. Les confondre divise ou multiplie silencieusement le résultat par deux.
• Utiliser le mauvais E pour la conversion. 200 GPa, 210 GPa et 29 000 ksi sont tous en usage quotidien. Une déformation calculée à partir d'une contrainte hérite d'une dispersion de 5 % de ce seul choix, ce qui dépasse la tolérance de la plupart des gens quand ils comparent une jauge à un modèle.
• Croire qu'un acier plus résistant se déforme moins. La nuance ne change pas E. Une poutre en A572-50 et une poutre en A36 de même section sous la même charge fléchissent à l'identique et se déforment à l'identique. Seule la marge jusqu'à la plastification change.
• Oublier que la déformation linéaire ne tolère pas les grandes rotations. Le tenseur des petites déformations écarte la rotation au premier ordre, ce qui n'est correct que tant que les rotations restent petites. Poussez une barre élancée dans le domaine des grands déplacements et la mesure linéaire annonce une déformation qui n'existe pas. C'est le moment de passer à une analyse géométriquement non linéaire.
• Confondre déformation d'ingénieur et déformation vraie dans le mauvais régime. À 500 µε elles diffèrent de 0,025 % et personne ne s'en soucie. À 20 % d'allongement elles diffèrent d'environ 9 % et la distinction décide si un nombre veut dire quelque chose.
• Lire un champ de déformation qu'aucun champ de déplacement ne pourrait produire. Les composantes de déformation ne sont pas indépendantes : ce sont six dérivées de trois fonctions, et elles doivent satisfaire les conditions de compatibilité. En deux dimensions, cela s'écrit ∂²ε_x/∂y² + ∂²ε_y/∂x² = ∂²γ_xy/∂x∂y. Un champ de déformation interpolé ou assemblé à la main qui les viole correspond à un corps qui s'est déchiré lui-même.