La déformation en ingénierie : le critère de ductilité derrière la norme, avec une vérification chiffrée

Prenez une poutre continue à deux travées, un IPE 400 en S355 sur deux portées de 8 m, sous charge uniforme. Vérifiez-la de la manière la plus stricte que l'on pratique encore : analyse élastique, module de résistance élastique, contrainte en fibre extrême limitée à fy. Elle porte 49,31 kN/m.

Vérifiez maintenant la même poutre comme la norme l'autorise réellement. Utilisez le module plastique, parce que la section est compacte. Redistribuez le moment sur appui, parce que la section sait former une rotule et tourner. Même acier, même profilé, même portée, mêmes appuis, rien de soudé en plus, rien de raidi. Elle porte 64,12 kN/m. Cela fait 30,0 % de charge en plus, et c'est gratuit au sens où personne ne vous envoie de facture.

Sauf que quelque chose paie bel et bien. Ces 30 % supplémentaires s'achètent en déformation : l'acier sur appui doit s'allonger bien au-delà de ce qu'une vérification à la première plastification envisage, et tenir pendant qu'il le fait. La norme n'imprime jamais ce nombre. Elle écrit l'autorisation en contrainte, en module de résistance, en pourcentage de moment, et la déformation qu'elle dépense en silence reste hors de la page.

Cet article la remet sur la page. Nous passons la poutre au moteur réel de CalcSteel, nous intégrons la section réelle fibre à fibre, et nous chiffrons chaque autorisation dans la seule monnaie qui les rende comparables : les multiples de la déformation d'élasticité. Ensuite, nous allons lire ce que la clause matériau garantit vraiment et nous voyons si le compte est bouclé.

La déformation est un rapport de longueurs : de combien une fibre s'est allongée, rapporté à sa longueur initiale. Elle n'a pas d'unité, et c'est pourquoi on la donne d'ordinaire en microdéformations, 1 µε = 0,000001, ou en pourcentage.

Le nombre qui en fait une monnaie, c'est la déformation d'élasticité :

εy = fy / E

Pour le S355 avec E = 200 GPa, cela donne 355/200000 = 0,001775, soit 1 775 µε, soit 0,1775 %. Pour le S235, c'est 1 175 µε. Pour le S460, 2 300 µε. Le moteur confirme : tirez un tirant IPE 400 de 6 m avec 800 kN et il s'allonge de 2,8415 mm, soit 473,6 µε, ce qui redonne exactement E = 200 000 MPa. Toutes les constantes de comportement ci-dessous sont mesurées sur le solveur, pas supposées.

À partir d'ici, chaque prix est exprimé en μ = ε/εy, le rapport de ductilité. μ = 1, c'est la première plastification. μ = 15 est le nombre à retenir, et la section suivante explique pourquoi.

La plupart des ingénieurs récitent les clauses de résistance de l'EN 1993-1-1 sans avoir jamais lu le §3.2.2, ce qui est dommage, car c'est lui qui rend les autres légales. C'est une exigence de ductilité, et elle a trois volets :

• fu / fy ≥ 1,10. L'acier doit gagner en résistance après avoir plastifié, d'au moins 10 %.
• Allongement à la rupture ≥ 15 % sur une longueur entre repères de 5,65√A₀.
• εu ≥ 15 εy. La déformation à la résistance ultime en traction doit valoir au moins quinze fois la déformation d'élasticité.

Cette troisième ligne est le côté offre de tout le compte. Elle est délibérément écrite comme un rapport et non comme une déformation, et la section 11 en donne la raison : la demande est elle aussi un rapport, donc une clause écrite ainsi couvre toutes les nuances d'un coup. Pour le S355, cela veut dire que l'acier promet 15 × 1 775 = 26 625 µε, soit 2,662 % de déformation, avant d'atteindre son pic de traction.

L'AISC 360 ne le formule pas de la même manière, parce qu'il n'en a pas besoin : l'ASTM A992 impose un rapport limite d'élasticité sur résistance à la traction plafonné à 0,85 et un allongement minimal, ce qui est la même garantie écrite par l'autre bout.

Donc : l'acier offre 15 εy. Le reste de cet article porte sur ce que la norme dépense sur ce compte.

Rien de ce qui suit ne vaut la lecture si le solveur est faux, donc il est d'abord étalonné sur un cas dont la forme analytique est exacte. Deux travées de 8 m, IPE 400, un simple 30 kN/m sur les deux, 32 éléments par travée :

Les moments sont exacts parce qu'un élément cubique reproduit un champ de moments parabolique sans la moindre erreur de discrétisation. Les 0,048 % sur la flèche sont l'arrondi de la forme analytique elle-même, puisque wL⁴/185EI est déjà une approximation de wL⁴/(184,6 EI). L'étalonnage passe, et le même modèle sert à tout ce qui suit.

La voie élastique est celle que tout le monde apprend. Prenez le module de résistance élastique, fixez la contrainte en fibre extrême à fy, et voilà votre capacité.

En intégrant l'IPE 400 réel fibre à fibre, avec la même contribution des congés de raccordement que celle du registre de profilés de CalcSteel, on obtient Wel = 1 111,1 cm³ et donc Mel = 355 × 1 111,1 = 394,45 kNm. Égalez le moment sur appui wL²/8 à cette valeur et la poutre porte 49,31 kN/m.

Quelle est la déformation sous cette charge ? Exactement εy, dans exactement une fibre, dans exactement une section : le dessus de la semelle au-dessus de l'appui central. Deux millimètres plus bas, l'acier est encore élastique avec de la marge. Quatre-vingt-dix-neuf virgule quelque pour cent de la poutre ne travaille pas. Voilà le coût de la voie élastique : μ = 1,0, et cela n'achète rien d'autre qu'une conscience très propre.

Une note de réconciliation avant que les nombres ne s'accumulent. Les caractéristiques de section utilisées ici sont intégrées à partir de la géométrie laminée, pas lues dans un tableau, et le tableau EN publié pour un IPE 400 donne Wel = 1 156 cm³ et Wpl = 1 307 cm³, parce qu'il modélise les congés de manière plus complète. Les valeurs de tableau sont environ 4 % plus hautes, donc chaque kNm et chaque kN/m absolus de cet article sont environ 4 % conservatifs face à une vérification sur abaque. Pas un seul rapport ne change, et ce sont les rapports qui font tout l'argument.

La première autorisation est la moins chère. Une fois la fibre extrême plastifiée, la section ne ruine pas : la zone plastifiée progresse vers l'intérieur pendant que le noyau élastique se rétracte, et le moment continue de monter vers un plafond fy·Wpl. Le rapport des deux plafonds est le facteur de forme :

α = Wpl / Wel = 1 256,4 / 1 111,1 = 1,1308

Les tableaux publiés pour un IPE 400 donnent 1 307/1 156 = 1,1306. Deux parties pour dix mille, sur une grandeur calculée par deux voies entièrement différentes. Mpl = 446,03 kNm, et la poutre porte maintenant 55,75 kN/m, soit +13,1 % de plus que la voie élastique.

C'est ici que la liste des prix commence à mordre. La courbe moment-courbure de la section réelle n'est pas un angle, c'est un coude qui s'aplatit asymptotiquement. Avec un acier élastique parfaitement plastique idéal, vous atteignez 98 % de Mpl à μ = 2,14, 99,5 % à μ = 4,27 et 99,9 % seulement à μ = 9,55. Vous n'atteignez jamais vraiment Mpl : le dernier éclat de moment habite à courbure infinie.

L'acier réel est plus clément, parce qu'il s'écrouit. Avec l'écrouissage minimal que garantit le §3.2.2, la section délivre un vrai Mpl à μ = 2,871, soit 5 096 µε, environ 0,51 % de déformation. Voilà le prix honnête du module plastique : disons 2,9 εy, face à une offre de 15.

La deuxième autorisation est celle qui rapporte. Dans une poutre continue, le moment sur appui est le pic et le moment en travée n'en vaut que les 9/16, donc l'appui gouverne pendant que la travée reste à 56 % d'utilisation. La redistribution déplace le problème : laissez l'appui plastifier et se délester de moment, et la travée reprend la charge jusqu'à ce que les deux travaillent.

Maintenant la clause. L'EN 1993-1-1 §5.4.1(4)B est presque universellement cité comme autorisant une redistribution de 15 %. Lisez le texte réel et il dit quelque chose de subtilement différent : pour des sections de classe 1 ou de classe 2 dans une poutre continue, l'analyse globale élastique peut être utilisée lorsque certains moments de pointe dépassent la résistance plastique en flexion de 15 % au maximum, à condition que les efforts internes restent en équilibre et qu'une capacité de rotation suffisante soit disponible.

C'est un dépassement, pas une coupe. Si le pic élastique peut valoir 1,15 Mpl, alors ce que vous retirez de ce pic vaut 1 − 1/1,15 = 13,04 %, et non 15 %. Prendre cela à l'envers vaut environ 2 % de charge, toujours dans le sens non conservatif.

L'AISC 360 vend la même autorisation plus simplement : une réduction forfaitaire de 10 % des moments négatifs sur appuis, pour des barres compactes, maintenues latéralement et hyperstatiques sous charge gravitaire, avec les moments positifs augmentés pour conserver l'équilibre. C'était le §B3.7 dans l'AISC 360-10 et dans le 360-16, et le paragraphe est passé en Annexe 8 dans l'AISC 360-22.

Chiffré sur la même poutre, le moteur confirmant la distribution élastique à chaque niveau de charge :

À la dernière ligne, le pic élastique que renvoie le solveur vaut 512,9 kNm, exactement 1,15 Mpl, et le moment en travée est passé de 56 % à 70 % d'utilisation. L'équilibre n'a jamais été rompu : l'aire que l'appui a cédée réapparaît en travée, et la somme reste wL²/8. Ce qui a changé, c'est quelle section doit désormais être assez ductile pour le permettre.

Un diagramme de moments redistribué n'est pas un choix libre de nombres qui tombent juste. C'est l'affirmation que l'appui a formé une rotule et a tourné, et cette rotation se calcule. Coupez la poutre continue en deux travées isostatiques et superposez :

θ = wL³/12EI − 2·M_B·L/3EI

Les deux termes de souplesse viennent du moteur, pas d'un tableau. La rotation d'extrémité d'une travée isolée de 8 m sous 64,12 kN/m mesure 30,7773 mrad, contre 30,7773 en forme analytique. La rotation d'extrémité de la même travée sous un moment d'extrémité pur mesure 3,6000 mrad contre 3,6000, appliqué par un vrai porte-à-faux de 1 m avec une force de 60 kN en bout, parce que le solveur n'accepte pas de moment nodal et que simuler un moment est la façon habituelle de rater cette vérification.

Deux contrôles de bon sens avant d'utiliser le résultat. Injectez le moment sur appui élastique dans la même expression et l'angle requis vaut −0,000047 mrad, soit zéro à sept chiffres : le diagramme élastique est par définition celui qui ne demande aucune rotule. Injectez la valeur de calcul de 446,1 kNm et l'angle requis vaut 8,0288 mrad selon le moteur, contre 8,0289 mrad en forme analytique.

Voilà la facture. Pour utiliser les 30 % que la norme offre, la section au-dessus de l'appui doit tourner de 8,03 mrad tout en tenant son moment plastique. Savoir si elle en est capable n'est plus une question de moment, c'est une question de déformation.

Résolvons maintenant la poutre correctement, avec la compatibilité au lieu d'une hypothèse. La rotation plastique qu'une section peut fournir est l'excès de sa courbure réelle sur la courbure élastique, intégré sur la longueur où le moment dépasse Mel :

θ_offre = ∫ [ κ(M(x)) − M(x)/EI ] dx

Aucune longueur de rotule supposée, aucune forme triangulaire supposée. Le diagramme des moments est celui du moteur, sur un maillage fin avec un nœud tous les 25 mm, et κ(M) est inversée à partir de l'intégration fibre à fibre de la section réelle. Puis on dichotomise sur le moment sur appui jusqu'à ce que l'offre égale la demande.

Avec un acier élastique parfaitement plastique idéal, la poutre se stabilise à un moment sur appui de 446,0 kNm, soit 0,99991 Mpl et une redistribution de 13,06 %, presque exactement les 13,04 % de la norme. Jusque-là tout va bien. Le prix, non :

• ductilité de courbure maximale μ = 32,47
• déformation en fibre extrême 57 633 µε, soit 5,763 %
• répartie sur une zone plastifiée de 350 mm de long, soit 0,88 fois la hauteur de la section

Face à une offre de 15 εy, la marge vaut 0,46. Le compte n'est pas bouclé. Pris au pied de la lettre, un acier plastique idéal ne pourrait pas encaisser légalement l'autorisation que sa propre norme accorde.

La raison, c'est le sommet plat de la courbe idéale. Pour extraire les derniers 0,01 % de Mpl d'une section sans écrouissage, il faut que la courbure s'emballe. Toute cette courbure est facturée à la fibre extrême, et l'addition monte à 5,8 % de déformation.

L'acier réel n'a pas de sommet plat, et la clause qui garantit l'offre garantit aussi le remède. Prenez le §3.2.2 à son minimum littéral : une droite de (εy, fy) à (15 εy, 1,10 fy). Cela donne une pente d'écrouissage de

E_sh = 0,10 fy / (14 εy) = E/140 = 1 428,6 MPa

Rien ici n'est inventé ni calé. C'est l'acier le plus faible que la clause admette. Relancez la résolution en compatibilité à l'identique, avec ce seul changement :

Dix pour cent d'écrouissage divisent la demande de déformation par quatre. Deux mécanismes s'en chargent, et les deux méritent d'être retenus :

• La courbe cesse d'être plate. Une section qui s'écrouit atteint Mpl à μ = 2,87 et continue de monter, donc le moment qu'elle doit fournir n'est plus sur une asymptote dont elle ne peut que s'approcher.
• La rotule s'étale. Comme la section continue de gagner en résistance, la zone plastifiée passe de 350 mm à 450 mm, et une zone plus longue délivre les mêmes 8,03 mrad avec une courbure plus faible partout.

Une conséquence de dimensionnement se cache dans la deuxième ligne. La poutre réelle veut garder 464,6 kNm sur l'appui, pas 446,0, parce qu'elle s'écrouit au lieu de plafonner. Dimensionner l'appui pour Mpl est donc conservatif sur l'appui et légèrement non conservatif sur la travée, et c'est pourquoi les normes bornent la redistribution au lieu de vous laisser en revendiquer autant que vous voulez.

Mettez les quatre autorisations sur un même axe, dans la monnaie qui les libelle toutes :

Voici maintenant ce qui explique la forme de la clause. Refaites tout le bilan dans quatre nuances :

La demande de déformation en pourcentage double presque du S235 au S460. La demande en multiples de εy ne bouge pas du tout : 7,94 partout, avec un écart inférieur à 0,5 %. Ce n'est pas une coïncidence, c'est la structure du problème. La demande comme l'offre varient en fy/E, donc leur rapport est un nombre pur. Une clause écrite εu ≥ 15 εy couvre toutes les nuances en une ligne, alors qu'une clause écrite en limite de déformation aurait exigé un nombre différent pour chacune.

La marge vaut 1,89 sur chaque ligne. Confortable, mais pas au point de rendre la clause inutile.

Tout ce qui précède suppose que la semelle et l'âme peuvent réellement atteindre ces déformations sans se plier avant. Cette hypothèse porte un nom : la classification des sections. La classe se présente comme un tableau de limites b/t, ce qui la fait passer pour une règle de géométrie. C'est une règle de capacité de déformation :

• Classe 1 : forme une rotule plastique et la tient pendant toute la rotation. C'est la seule classe autorisée à encaisser la redistribution.
• Classe 2 : atteint Mpl mais ne le tient pas assez longtemps pour tourner. Module plastique oui, redistribution non.
• Classe 3 : s'arrête à la première plastification. εmax = εy, et tout l'argument de cet article devient indisponible.
• Classe 4 : voile localement avant de plastifier où que ce soit. Même le module élastique doit être réduit.

L'indice, c'est le ε dans les limites : le tableau 5.2 de l'EN 1993-1-1 les écrit 9ε, 10ε, 14ε pour une semelle en console et 72ε, 83ε, 124ε pour une âme fléchie, avec ε = √(235/fy). Une nuance plus haute demande plus de déformation avant de plastifier, donc sa tôle doit rester plus trapue pour survivre au même trajet. Des limites de géométrie qui dépendent de la limite d'élasticité ne sont pas des limites de géométrie.

Pour le S355, ε = 0,8136, donc les limites de classe 1 valent c/t ≤ 7,32 pour la semelle et c/t ≤ 58,58 pour l'âme. En lisant c/t directement dans le registre de profilés de production, toute la famille IPE de 200 à 600 ressort en classe 1 : semelles entre 4,14 et 5,28, âmes entre 28,39 et 42,83. Chacune garde de la marge, d'un facteur compris entre 1,4 et 1,8 sur la semelle.

C'est là la vraie leçon. L'autorisation est sûre à encaisser sur un profilé en I laminé, et c'est exactement le genre d'autorisation à ne pas reporter sur une poutre reconstituée soudée élancée, où une âme à c/t = 90 est de classe 3 et où tout le compte ci-dessus tombe.

Le moyen le plus rapide de sentir la taille de l'autorisation, c'est de faire tourner les deux voies vous-même. Le calculateur ci-dessous résout une poutre et vous donne le moment et la flèche.

1. Réglez une portée de 8 m avec un IPE 400 et 49,31 kN/m. Le moment obtenu est la capacité élastique, 394 kNm sur un appui, et c'est la poutre que vous remet une vérification à la première plastification.
2. Entrez maintenant 64,12 kN/m, la charge que le calcul redistribué autorise. Comparez les moments, puis comparez les flèches. La résistance a gagné 30 %, et autre chose a monté avec elle.
3. Changez le profilé pour un IPE 450 et regardez quelle part de l'argument vous pouvez racheter avec 8 kg/m d'acier en plus, au lieu de la payer en ductilité.

Deux choses que le calculateur ne peut pas faire à votre place, et aucun calculateur ne le peut : confirmer que la section est de classe 1 dans votre nuance, et confirmer que la zone de rotule est maintenue contre le déversement. Les deux sont des préalables, pas des retouches de fin de projet.

Tout ce qui précède est un argument de résistance, et la résistance décide rarement d'une poutre de plancher de 8 m. Les flèches, calculées élastiquement à chaque niveau de charge, parce qu'une vérification d'aptitude au service n'a pas le droit d'utiliser la réserve plastique :

La limite d'une portée de 8 m à L/300 vaut 26,67 mm. La voie élastique passe. Aucune voie qui dépense de la déformation ne passe, et la toute première autorisation, la gratuite, suffit déjà à la rompre.

Ce n'est pas une contradiction, c'est la forme réelle de l'espace de conception. La réserve plastique augmente la charge qu'une section peut porter sans augmenter sa rigidité d'un seul pour cent, parce que la rigidité vaut EI et que ni E ni I n'ont bougé. Sur une panne de toiture avec une limite de flèche généreuse, ou sur une poutre vérifiée en charge totale plutôt qu'en charge d'exploitation seule, les 30 % sont de l'argent. Sur une poutre de plancher sous L/360, ils sont indépensables, et le savoir avant de dessiner l'ossature est tout l'intérêt du chiffrage de l'autorisation.

• Citer les 15 % comme une coupe. Le §5.4.1(4)B laisse le pic élastique dépasser Mpl de 15 %, ce qui fait une réduction de 13,04 % de ce pic. L'écart vaut environ 2 % de charge, et il tombe toujours du mauvais côté.
• Redistribuer sur une section de classe 3. L'autorisation est écrite pour la classe 1, et la classe 2 obtient le module plastique sans la rotation. Une âme de classe 3 impose εmax = εy, et tout le compte se réduit à la première ligne.
• Oublier de maintenir la rotule. Une rotule que l'on attend à 8 mrad de rotation, entièrement plastifiée, n'a presque plus de rigidité latérale. Si elle n'est pas maintenue près de l'appui, la capacité de rotation que vous aviez supposée disparaît, et le diagramme des moments n'en donne aucun avertissement.
• Vérifier la flèche avec le diagramme redistribué. L'aptitude au service est élastique. Les 66,9 kNm que vous avez retirés de l'appui sont une construction de résistance, et utiliser le moment réduit pour calculer δ masque précisément la non-conformité que la section précédente a trouvée.
• Supposer un matériau élastique plastique idéal dans une vérification de rotation. Ce n'est ni conservatif ni neutre, c'est follement pessimiste : 32,5 εy contre 7,9. Les vérifications manuelles qui s'en servent rejettent des sections parfaitement adéquates.
• Confondre les 15 % d'allongement avec la capacité de déformation locale. L'allongement à la rupture se mesure sur une longueur entre repères de 5,65√A₀ et inclut la striction. Le nombre qui paie une rotule est εu ≥ 15 εy, la déformation uniforme avant le début de la striction, la plus petite et la plus honnête des deux.
• Traiter la rotule comme un point. Elle mesure 350 à 450 mm de long, environ une hauteur de section, et c'est cette longueur qui rend la rotation abordable. Toute méthode manuelle qui concentre la courbure plastique en un point fictif exige soit une longueur de rotule calée, soit rend une réponse sans signification.
• Reporter l'autorisation sur un assemblage boulonné ou soudé. Les 8,03 mrad doivent bien se produire quelque part. Si l'appui est une platine d'about boulonnée plutôt qu'un profilé laminé continu, la capacité de rotation est celle de l'assemblage, pas celle de la poutre, et elle est en général bien plus faible.

Le fil qui traverse les huit est le même : la norme vend des autorisations dans le langage de la contrainte, et la facture arrive toujours en déformation. Lire la facture demande une courbe moment-courbure, une demande de rotation et une clause matériau. Ce n'est pas difficile. C'est simplement imprimé nulle part sur le plan.