Classification des sections : compacte, non compacte et élancée, décidée par deux ratios

Demandez à une poutre en acier son moment résistant et la norme pose une question d'abord : cette section transversale peut-elle réellement développer la contrainte sur laquelle vous comptez, ou une plaque mince en son sein va-t-elle voiler localement et céder tôt ? Cette question a une réponse en un mot, la classe de section, et elle est l'une de trois : compacte, non compacte ou élancée.

La classe n'est pas un détail. Elle décide quelle équation vous avez même le droit d'utiliser. Une section compacte peut plastifier de part en part et atteindre son moment plastique complet Mp. Une section non compacte plastifie à la fibre extrême mais une semelle ou une âme voile avant que toute la section ne plastifie, donc le moment utilisable se situe sous Mp. Une section élancée a une plaque si mince qu'elle voile alors que l'acier est encore élastique, bien avant la plastification, et la résistance chute encore davantage. Même acier, même portée, trois nombres très différents, choisis par la géométrie.

La bonne nouvelle est que tout le verdict vient de seulement deux ratios. Pour un profil en I doublement symétrique vous mesurez à quel point la semelle est trapue et à quel point l'âme est trapue, comparez chacun à deux limites, et lisez la classe. Ce guide est écrit pour l'étudiant qui rencontre le Tableau B4.1 de l'AISC pour la première fois, et pour l'ingénieur en exercice ou indépendant qui veut les trois cas traités qui rendent le tableau concret. Chaque nombre ci-dessous est calculé à partir de la géométrie réelle de la section, à Fy = 345 MPa (la nuance 50 ksi utilisée dans la plupart de la littérature sur la flexion), et vérifié à la main contre les dispositions de l'AISC.

La physique sous tout le sujet est le voilement des plaques. Une plaque plane sous compression sur ses bords ne rompt pas par écrasement ; elle voile latéralement hors de son plan à une contrainte qui dépend presque entièrement de sa largeur par rapport à son épaisseur, le ratio b/t. Une plaque trapue, b/t faible, peut être poussée jusqu'à la plastification et au-delà avant de voiler. Une plaque mince, b/t élevé, voile de façon élastique à une contrainte bien en dessous de la plastification.

Imaginez maintenant la semelle et l'âme d'une poutre au moment où la section tente de développer sa pleine résistance. Les deux sont des plaques en compression du côté comprimé. Si elles sont assez trapues, elles gardent leur forme pendant que les fibres plastifient et que la section plastifie, et la poutre délivre Mp. Si elles sont trop minces, l'une d'elles ondule et voile en premier, et la poutre n'atteint jamais le moment que sa limite d'élasticité promettait.

Les trois classes ne sont que trois positions sur cette courbe. Compacte : la plaque atteint la plastification et peut soutenir la déformation nécessaire pour plastifier la section, donc aucune pénalité locale. Non compacte : la plaque atteint la plastification en surface mais voile avant que la section ne plastifie totalement, donc vous perdez la réserve plastique. Élancée : la plaque voile alors qu'elle est encore élastique, donc vous ne pouvez même pas atteindre la plastification sur la section brute. La classification, c'est la norme qui transforme ce comportement continu de voilement de plaque en trois régimes de calcul, avec deux limites marquant les frontières.

Pour un profil en I doublement symétrique en flexion, deux éléments peuvent voiler, donc vous mesurez deux ratios.

Le ratio de semelle, λf = bf/(2tf). La semelle comprimée est une plaque non raidie : elle est appuyée par l'âme le long d'un bord et libre le long de l'autre. Vous prenez la moitié de la largeur de semelle bf/2, la saillie de l'âme vers le bout, sur l'épaisseur de semelle tf. Une semelle large et mince a un λf élevé et voile facilement.

Le ratio d'âme, λw = h/tw. L'âme est une plaque raidie : elle est tenue par une semelle le long de ses deux longs bords. Ici h est la hauteur libre de l'âme (entre les semelles, moins les congés pour un profil laminé) et tw est l'épaisseur de l'âme. Une âme haute et mince a un λw élevé.

L'appui des bords est la raison pour laquelle les deux éléments ont des limites complètement différentes. Une plaque tenue sur ses deux bords est bien plus difficile à voiler qu'une plaque libre sur un bord, donc l'âme peut se permettre un ratio bien plus grand avant d'avoir des ennuis. C'est pourquoi, comme vous le verrez, la limite compacte de la semelle est autour de 9 alors que la limite compacte de l'âme est autour de 90 : le même acier, mais dix fois l'élancement toléré, purement parce que l'âme a un appui des deux côtés et pas la semelle.

Deux autres règles découlent de la même idée. Utilisez le bon b : pour la semelle c'est la saillie bf/2, pas la largeur totale ; pour une âme laminée, h exclut les congés. Et ce sont les ratios pour un I doublement symétrique fléchi autour de l'axe fort. Les U, les tés, les cornières et les profils creux ont leurs propres définitions d'éléments dans le Tableau B4.1, mais la logique, plaque trapue contre plaque mince, est identique.

Chaque ratio est comparé à deux limites. λp est la limite compacte : à ou en dessous, l'élément peut plastifier, et la section garde sa réserve plastique. λr est la limite élancée : au-dessus, l'élément voile de façon élastique. Entre les deux, l'élément est non compact.

Les deux limites varient avec √(E/Fy), et cette racine carrée porte toute la physique. La capacité au voilement de la plaque dépend de la rigidité E ; la demande est fixée par la limite d'élasticité Fy que vous cherchez à atteindre. Augmentez Fy et vous demandez à la même plaque de tenir une contrainte plus élevée sans voiler, donc la limite sur b/t doit se resserrer. La classification dépend donc de la nuance d'acier, pas de la géométrie seule.

Pour un I doublement symétrique en flexion (AISC 360 Tableau B4.1b), avec E = 200 GPa et Fy = 345 MPa (A992, 50 ksi, donc √(E/Fy) = 24.08) :

• Semelle : λp = 0.38√(E/Fy) = 9.15, λr = 1.0√(E/Fy) = 24.1.
• Âme : λp = 3.76√(E/Fy) = 90.5, λr = 5.70√(E/Fy) = 137.

Passez à l'acier A36 (Fy = 250 MPa) et chaque limite se relâche : le λp de la semelle monte à 10.75, λr à 28.3. Ce décalage n'est pas académique. Prenez une vraie poutre laminée, un W200x46, dont le ratio de semelle est bf/(2tf) = 9.23. En A36 il se situe sous la limite de 10.75 et est compact. En A992 la limite s'est resserrée à 9.15, et la même poutre, pas un millimètre changé, est maintenant non compacte. Quand quelqu'un annonce une section comme compacte, la question honnête est toujours : compacte à quel Fy ?

Vous avez maintenant deux ratios et, pour chacun, deux limites. Classer la section se fait en trois étapes.

1. Calculez λf = bf/(2tf) et rangez-le dans une catégorie : compact si λf ≤ λp,f, élancé si λf > λr,f, non compact entre les deux.
2. Calculez λw = h/tw et rangez-le de la même façon contre les limites de l'âme.
3. La classe de la section est le pire des deux. Une semelle compacte ne peut pas sauver une âme élancée, et une âme compacte ne peut pas sauver une semelle non compacte.

Cette dernière règle est celle qu'on oublie. Une section avec une âme magnifiquement trapue et une semelle mince est une section non compacte, et sa résistance est gouvernée par la semelle, pas l'âme. En pratique un élément gouverne presque toujours et l'autre est confortablement à l'intérieur de sa limite, ce qui explique pourquoi les ingénieurs expérimentés jettent un œil à la semelle d'une poutre laminée et à l'âme d'une poutre reconstituée haute en premier. Mais vous devez vérifier les deux, car l'élément gouvernant n'est pas toujours celui auquel vous vous attendez.

Les trois sections traitées qui suivent sont choisies pour que chaque classe soit décidée par un élément différent : une poutre laminée compacte sur les deux plans, une poutre soudée dont la semelle est non compacte alors que l'âme va bien, et une poutre reconstituée dont l'âme est élancée alors que la semelle va bien.

Commencez par une poutre laminée à chaud ordinaire, un IPE 400 en acier A992 (Fy = 345 MPa). Sa géométrie : largeur de semelle bf = 180 mm, épaisseur de semelle tf = 13.5 mm, épaisseur d'âme tw = 8.6 mm, hauteur libre de l'âme h = 331 mm.

Semelle : λf = bf/(2tf) = 180/(2·13.5) = 6.67. La limite compacte est 9.15, donc 6.67 ≤ 9.15 : compacte.
Âme : λw = h/tw = 331/8.6 = 38.5. La limite compacte est 90.5, donc 38.5 ≤ 90.5 : compacte.

Les deux éléments sont compacts, confortablement, donc la section est compacte et elle développe son moment plastique complet :

Mp = Fy·Zx = 345 MPa · 1307 cm³ = 451 kNm

en utilisant le module plastique de catalogue Zx = 1307 cm³. Aucune pénalité de voilement local ne s'applique. La seule chose qui peut maintenant réduire le moment résistant sous Mp est le déversement, un effet de longueur non maintenue qui est un chapitre à part, pas un effet de classe de section. C'est le cas pour lequel les poutres laminées sont conçues : les laminoirs proportionnent les I standard de sorte qu'en nuances ordinaires la semelle et l'âme soient toutes deux compactes, ce qui est exactement pourquoi une section compacte est l'hypothèse par défaut d'une vérification rapide de poutre.

Maintenant une poutre reconstituée soudée brésilienne, un VS 600x81, le genre de poutre reconstituée qu'un fabricant réalise en soudant trois plaques. Sa semelle est une plaque de 300 mm de seulement 9.5 mm d'épaisseur ; l'âme est de 8.0 mm d'épaisseur sur une hauteur libre de 581 mm.

Semelle : λf = 300/(2·9.5) = 15.79. C'est au-dessus de la limite compacte 9.15 mais en dessous de la limite élancée 24.1, donc la semelle est non compacte.
Âme : λw = 581/8.0 = 72.6 ≤ 90.5, donc l'âme est compacte.

Le pire verdict gouverne : la section est non compacte, et la semelle est la coupable. Parce que la semelle plastifie mais voile avant que la section ne plastifie totalement, l'AISC F3.2 trace une droite pour Mn entre le moment plastique à λp et la valeur 0.7·Fy·Sx à λr :

Mn = Mp − (Mp − 0.7·Fy·Sx)·(λf − λp)/(λr − λp)

Avec Zx = 2358 cm³ et Sx = 2092 cm³, les ancrages sont Mp = 345·2358 = 813.5 kNm et 0.7·Fy·Sx = 505.2 kNm. La semelle se situe à une fraction (15.79 − 9.15)/(24.1 − 9.15) = 0.445 du parcours le long de la droite, donc :

Mn = 813.5 − (813.5 − 505.2)·0.445 = 676 kNm, environ 83% de Mp.

Ces 17% sont le prix de la semelle mince. Rien de l'analyse, des charges ou de la limite d'élasticité n'a changé ; la section ne peut simplement pas encaisser son moment plastique complet parce que l'ondulation de la semelle le plafonne. Épaississez cette semelle à 16 mm et λf tombe à 9.4, presque compacte, et presque toute la réserve revient. C'est là que la classification se rentabilise : elle vous dit exactement combien de moment un choix de proportion vous coûte.

Le troisième cas est là où l'élancée vit réellement : une poutre reconstituée soudée haute à âme mince, le cheval de bataille des chemins de roulement de ponts roulants et des ponts. Prenez une poutre de 1650 mm de hauteur avec des semelles compactes de 400 x 25 mm et une âme de seulement 8 mm d'épaisseur sur une hauteur libre de 1600 mm.

Semelle : λf = 400/(2·25) = 8.0 ≤ 9.15, compacte.
Âme : λw = 1600/8 = 200. La limite élancée est 137, et 200 > 137, donc l'âme est élancée.

Une âme élancée change de chapitre. Vous quittez les dispositions compactes et non compactes et entrez dans l'AISC F5, la section poutre reconstituée, et vous payez deux fois. D'abord, une âme élancée ne peut pas développer la plastification sur toute sa hauteur, donc la capacité est bâtie sur le module élastique de résistance Sx, pas le plastique Zx : vous perdez la réserve plastique purement et simplement. Ensuite, F5 multiplie par un facteur de réduction de voilement de flexion de l'âme Rpg, qui tient compte de l'âme post-voilée qui déleste la contrainte vers les semelles :

Rpg = 1 − aw/(1200 + 300·aw)·(h/tw − 5.70√(E/Fy)) ≤ 1.0

avec aw = (h·tw)/(bf·tf) = (1600·8)/(400·25) = 1.28. Cela donne Rpg = 0.95. Avec Sx = 19315 cm³ et la semelle compacte développant Fcr = Fy :

Mn = Rpg·Fy·Sx = 0.95 · 345 · 19315 = 6326 kNm

Comparez cela au moment plastique qu'un calcul négligent rapporterait, Mp = Fy·Zx = 7373 kNm. L'âme élancée coûte environ 14% par rapport à ce Mp, et plus important encore elle vous place dans un régime de calcul avec ses propres règles de cisaillement, de raidisseurs et de flexion. Notez le fait honnête sous cet exemple : aucun profil laminé n'atteint une âme élancée, et même les poutres reconstituées soudées hautes d'un catalogue standard plafonnent autour de h/tw = 120, encore non compactes. Les âmes élancées sont quelque chose que vous construisez, en soudant une plaque d'âme plus mince que n'importe quelle section laminée, ce qui est exactement pourquoi les poutres reconstituées portent des raidisseurs transversaux.

Tout ce qui précède était de la flexion, AISC Tableau B4.1b, avec trois classes. Mettez la même section en compression axiale uniforme et vous basculez au Tableau B4.1a, qui n'a que deux classes : non élancée et élancée. Il n'y a pas de compacte pour un poteau, parce qu'un poteau n'a pas de réserve de moment plastique à protéger ; la seule question est de savoir si l'élément voile localement avant que tout le membre n'atteigne sa charge d'écrasement, donc une seule limite λr sépare non élancée d'élancée.

Les limites en compression sont aussi bien plus strictes, parce qu'un poteau charge toute la semelle et l'âme en compression uniforme plutôt que la contrainte triangulaire que voit une poutre. Pour le même acier A992 : la limite de la semelle non raidie est 0.56√(E/Fy) = 13.5, et la limite de l'âme raidie est 1.49√(E/Fy) = 35.9, contre la limite compacte d'âme en flexion de 90.5.

Faites passer notre IPE 400 compact par le tableau de compression. Semelle : bf/(2tf) = 6.67 ≤ 13.5, non élancée. Âme : h/tw = 38.5, et maintenant la limite est 35.9, donc 38.5 > 35.9 : l'âme est élancée. La même âme qui était confortablement compacte en poutre (38.5 bien sous 90.5) est élancée en poteau, ce qui déclenche une réduction d'aire effective (le Q ou les dispositions de largeur effective) sur la capacité en compression. Une section, une géométrie, deux verdicts complètement différents, parce que la flexion et la compression pure posent à la plaque deux questions différentes. Classez toujours pour le cas de charge dans lequel vous vous trouvez.

La classification n'est jamais le but final ; c'est l'interrupteur qui sélectionne l'équation de résistance. En rassemblant les trois cas, en flexion :

• Compacte : Mn = Mp = Fy·Zx. Moment plastique complet, le module plastique, aucune pénalité locale. (Le déversement peut encore la réduire, séparément.)
• Non compacte : Mn interpole linéairement de Mp vers 0.7·Fy·Sx à mesure que le ratio gouvernant parcourt de λp à λr. Vous gardez la première plastification mais perdez la réserve plastique, en proportion.
• Élancée : Mn est bâtie sur le module élastique Sx et réduite par un facteur de voilement local (Rpg pour l'âme en F5, ou un Fcr réduit pour une semelle élancée). Vous perdez la réserve plastique entièrement et prenez une pénalité de voilement en plus.

En compression l'interrupteur est binaire : un membre non élancé utilise son aire brute, tandis qu'un élément élancé force une réduction d'aire effective (ou de facteur Q) qui tire la capacité du poteau vers le bas. Dans tous les cas, la classe que vous attribuez est ce qui décide si vous multipliez par Zx ou Sx, si vous interpolez ou réduisez, et si vous êtes au Chapitre F3, F4 ou F5. Obtenez les deux ratios corrects et le reste du calcul de flexion suit ; obtenez-les faux et chaque nombre en aval hérite de l'erreur.

Aucune de celles-ci ne renvoie d'erreur. Chacune retourne juste une classe assurée et fausse.

1. Utiliser la largeur totale de la semelle. Le ratio de semelle est la saillie bf/(2tf), pas bf/tf. Diviser par deux la largeur de semelle est le glissement le plus courant, et il transforme une semelle non compacte en une semelle faussement compacte.
2. Ignorer Fy. Les limites bougent avec √(E/Fy). Une section compacte en A36 peut être non compacte en A992, comme l'a montré le W200x46. Il n'existe pas de section compacte sans nuance annoncée.
3. Supposer que laminé signifie compact. La plupart des poutres laminées sont compactes en nuances ordinaires, mais pas toutes, et dès que vous soudez une section reconstituée l'hypothèse disparaît. Les poutres soudées sont là où vivent le non compact et l'élancé.
4. Classer pour la mauvaise charge. La flexion a trois classes et des limites d'âme généreuses ; la compression uniforme en a deux et des strictes. Utilisez le Tableau B4.1a pour les membres comprimés et B4.1b pour les membres fléchis, et vérifiez les deux pour un poteau-poutre.
5. Ne vérifier que la semelle. L'âme gouverne les sections hautes à âme mince, et elle gouverne presque tous les poteaux. Le pire des deux éléments fixe la classe, donc les deux doivent être vérifiés.
6. Faire confiance au Mp d'un calculateur de poutre sans la classe. Un outil de poutre rapide rapporte typiquement Mp = Fy·Zx et une vérification de déversement, en supposant implicitement une section compacte. Pour un profil soudé ou à parois minces ce Mp peut être optimiste ; la classification est ce qui vous dit s'il faut y croire.

La façon la plus rapide de faire adhérer tout ceci est de classer une section vous-même. Ouvrez le calculateur de poutre ci-dessous, choisissez un profil, et lisez son moment plastique Mp = Fy·Zx et ses propriétés de section. Faites ensuite les deux ratios à la main à partir de la géométrie que l'outil affiche : bf/(2tf) pour la semelle et h/tw pour l'âme, chacun contre 0.38√(E/Fy) et 1.0√(E/Fy) pour la semelle, 3.76√(E/Fy) et 5.70√(E/Fy) pour l'âme. Si les deux tombent compacts, le Mp que le calculateur rapporte est la capacité réelle, sous réserve seulement de la vérification de déversement. Si l'un tombe non compact ou élancé, ce Mp est le plafond et le vrai Mn se situe en dessous, par l'interpolation F3.2 ou la réduction F5 que vous savez maintenant mener.

C'est l'honnête division du travail : l'outil vous donne les propriétés de section et le moment plastique vite, et les deux ratios vous disent quelle équation de résistance ces propriétés ont réellement le droit d'utiliser. À partir d'ici, les lectures suivantes naturelles sont les propriétés de section qui alimentent Sx et Zx, et le voilement flexion-torsion, où l'histoire des éléments élancés se poursuit du côté de la compression.