Contraintes résiduelles dans les profilés laminés : pourquoi la courbe de flambement n'est pas la courbe d'Euler

Prenez un W 250 x 73, ASTM A572 Grade 50, fy = 345 MPa, articulé aux deux extrémités, 5 m de long, flambant selon son axe faible. Deux réponses de manuel encadrent le problème. Euler donne la charge critique élastique, Ncr = π²EI/L² = 3063 kN. La plastification donne la charge de ruine par compression, A·fy = 3172 kN. Le poteau ne bat ni l'une ni l'autre, le plafond honnête est donc la plus petite des deux : 3063 kN.

Interrogez maintenant le moteur. En passant la même barre par la vérification qui tourne en production dans CalcSteel, le chapitre E de l'AISC 360 renvoie une résistance nominale de 2056 kN, et l'NBR 8800 renvoie ces mêmes 2056 kN avant son coefficient partiel. C'est 32,9 % sous le plafond fixé par les deux formules classiques, et aucun facteur de résistance n'est encore entré en jeu. Le φ et le γ viennent après, et prennent davantage.

Cet écart n'est ni du conservatisme ni un arrangement. C'est un effet physique mesuré, qui porte son propre nom : la contrainte résiduelle. La barre est arrivée sur le chantier déjà contrainte. Personne ne l'a chargée. C'est le laminoir qui l'a fait, et cela s'est joué pendant que l'acier refroidissait sur le lit, dans les heures suivant sa sortie de la dernière cage.

Cet article suit cette contrainte de sa naissance jusqu'à son apparition dans votre vérification : l'ordre de refroidissement d'un profilé chaud, le motif qu'il laisse derrière lui, pourquoi ce motif attaque l'axe faible plus durement que l'axe fort, et comment il a transformé l'hyperbole d'Euler en la courbe de flambement que toute norme moderne utilise réellement.

Un profilé laminé à chaud quitte la dernière cage autour de 1000 °C et refroidit à l'air calme. Si chaque fibre refroidissait à la même vitesse, le profilé se contracterait uniformément et finirait avec une contrainte interne nulle. Ce n'est pas ce qui se passe, pour une raison entièrement géométrique.

La vitesse de refroidissement dépend de la surface qu'un morceau de métal offre par rapport à son volume, et de la quantité de métal chaud voisin qui rayonne vers lui. Sur un profilé en I, ces deux grandeurs varient beaucoup d'un point à l'autre :

• Les extrémités des semelles sont minces et exposées sur trois côtés à la fois. Elles perdent leur chaleur le plus vite.
• Le milieu de l'âme est mince et ouvert sur ses deux faces. Il refroidit lui aussi rapidement.
• La jonction âme-semelle est le métal le plus épais du profilé, et elle est entourée de tous côtés par d'autre métal chaud qui continue de rayonner sur elle. Elle refroidit en dernier, souvent avec une bonne marge.

Le mécanisme est le suivant, et il vaut la peine de l'énoncer lentement car tout le reste en découle. Les extrémités refroidissent en premier, se contractent et deviennent rigides pendant que la jonction est encore molle et chaude. Puis la jonction refroidit et tente de se contracter à son tour. Sauf qu'elle est désormais liée à du métal déjà figé. Son retrait est empêché.

Une région qui veut se contracter et qu'on retient finit tendue. Les régions qui la retiennent doivent repousser, elles finissent donc comprimées. L'acier atteint la température ambiante avec un champ de contraintes enfermé dont il ne se débarrassera jamais : traction là où il a refroidi en dernier, compression là où il a refroidi en premier. Aucune charge n'a été appliquée, et la barre est déjà contrainte à un niveau qui compte.

Les motifs de contraintes résiduelles mesurés sur les profilés en I laminés à chaud sont remarquablement constants, ce qui a permis d'en faire un modèle de calcul. Le motif de l'ECCS, celui qui sous-tend les courbes européennes de flambement, décrit un profilé en I laminé ainsi :

• Compression aux extrémités des semelles, décroissant linéairement le long de la semelle.
• Traction à la jonction âme-semelle et au centre de la semelle.
• Traction dans l'âme près des semelles, passant en compression à mi-hauteur.

L'amplitude dépend des proportions du profilé, et la frontière est à h/b = 1,2 :

Notre W 250 x 73 fait 253 mm de hauteur et 254 mm de largeur, donc h/b = 0,996 et il tombe du côté sévère. Avant que quiconque ne le charge, les extrémités de ses semelles portent environ 172,5 MPa de compression. C'est la moitié de la limite d'élasticité du matériau, déjà dépensée.

Deux propriétés de ce champ de contraintes décident de tout ce qui suit. D'abord, il est auto-équilibré : intégrez-le sur la section et vous obtenez une force nulle et un moment nul. Il le faut, puisque rien d'extérieur ne retient la barre. Ensuite, il n'est pas uniforme : c'est de la compression exactement là où cela compte le plus pour la stabilité.

C'est cet auto-équilibre qui rend la contrainte résiduelle si facile à écarter. Un poteau très trapu, trop court pour flamber, atteint toujours A·fy. Les extrémités comprimées plastifient tôt, le centre tendu reprend la différence, et la charge totale ne bouge pas. Là, la contrainte résiduelle ne coûte rien. C'est quand le poteau doit rester droit que la facture arrive.

Poussez maintenant sur le poteau. La compression appliquée est uniforme sur la section, du moins tant que tout reste élastique. Elle ne remplace pas la contrainte résiduelle ; elle s'y ajoute. Ce que chaque fibre ressent, c'est la somme.

Suivez les extrémités des semelles, déjà à 0,5 fy en compression. Elles atteignent la limite d'élasticité quand

σ_appliquée + 0,5 fy = fy, soit σ_appliquée = 0,5 fy = 172,5 MPa

Le poteau commence à plastifier à la moitié de sa charge de ruine. Pas à 90 %, pas à 100 %. À 50 %, aux extrémités des semelles, alors que le reste de la section est confortablement élastique et que la contrainte moyenne dans la barre semble encore parfaitement sûre sur le papier.

Poussez davantage et la zone plastifiée progresse vers l'intérieur depuis les extrémités. À 0,7 fy appliqués, les 10 % extérieurs de chaque demi-semelle ont plastifié. La barre ne ruine pas, et une vérification en contraintes ne protesterait pas. Mais quelque chose a changé qu'une vérification en contraintes ne voit pas : le métal plastifié n'apporte plus de rigidité. L'acier plastifié a un module tangent proche de zéro. Pour résister au prochain incrément de flexion, ces extrémités ont cessé d'exister.

C'est la charnière de tout le sujet. Le flambement est un problème de rigidité, pas de résistance. Un poteau flambe quand la rigidité de flexion qu'il peut encore mobiliser cesse de suffire à le redresser contre la charge qui cherche à le courber. La contrainte résiduelle ne diminue la résistance du matériau nulle part. Elle diminue la rigidité disponible au moment du flambement, en plastifiant des parties de la section trop tôt.

Voici la partie rarement explicitée, et elle répond à une curiosité que rencontre tout étudiant : pourquoi les normes traitent-elles différemment les deux axes d'un même profilé laminé, alors que le motif de contraintes résiduelles est identique pour les deux ?

À cause de l'endroit où la plastification se produit. Le premier métal à plastifier, ce sont les extrémités des semelles, et ces extrémités sont le matériau au plus grand bras de levier vis-à-vis de l'axe faible. Vis-à-vis de l'axe fort, elles contribuent par leur distance à l'axe neutre dans le sens de la hauteur, la même pour toute la largeur de semelle. Vis-à-vis de l'axe faible, elles contribuent par leur distance le long de la largeur de semelle, et perdre la bande la plus extérieure coûte cher.

Mettons-y des chiffres. Si une bande de largeur c plastifie à chaque extrémité, le noyau élastique de chaque semelle a une largeur b_e = b − 2c, et :

• Axe fort : l'I_x des semelles vaut à peu près b_e·t_f·(h/2)², proportionnel à b_e. Perdez 30 % de la largeur et vous perdez environ 30 % du terme des semelles.
• Axe faible : l'I_y des semelles vaut t_f·b_e³/12, proportionnel à b_e au cube. Perdez 30 % de la largeur et vous conservez 0,7³ = 34 % du terme des semelles.

Calculé sur la géométrie réelle du W 250 x 73, âme comprise :

À 30 % plastifié, l'axe fort a perdu environ un quart de sa rigidité et l'axe faible en a perdu deux tiers. Même section, même contrainte résiduelle, même charge appliquée. La différence tient uniquement à l'axe pour lequel travaillait le matériau perdu.

Cette seule asymétrie explique pourquoi l'EN 1993-1-1 ne donne pas une courbe de flambement au profilé en I laminé. Elle lui en donne deux, une par axe, et l'axe faible hérite toujours de la moins bonne.

La théorie classique des poteaux offre deux limites et rien entre les deux. Euler donne la contrainte critique élastique, valable pour les barres élancées. La plastification donne fy, valable pour les barres trapues. Tracez les deux en fonction de l'élancement réduit λ₀ = √(A·fy/Ncr) et vous obtenez une droite horizontale à χ = 1 jusqu'à λ₀ = 1, puis l'hyperbole d'Euler χ = 1/λ₀². Elles se croisent en un angle vif à λ₀ = 1.

Les poteaux réels ne suivent pas cet angle. Ils passent nettement dessous, et les essais le disent depuis le XIXe siècle. La contrainte résiduelle en est la raison principale, le défaut de rectitude initial l'autre, et les deux interagissent : une barre légèrement courbe dont les extrémités ont plastifié est bien plus faible que ce que chacun des deux effets pris seul laisserait croire.

En balayant λ₀ de 0,01 à 2,6 et en comparant la courbe de l'AISC 360 au plafond Euler plus plastification, la perte n'est pas uniforme. Elle présente un maximum net :

Le pire point est λ₀ = 1,0, où la norme conserve 0,658 du plafond classique et en jette 34,2 %. Ce n'est pas un hasard de tracé : 0,658 élevé à la puissance λ₀² est exactement la formule inélastique de l'AISC, et à λ₀ = 1 l'exposant vaut 1, si bien que le coefficient apparaît sans déguisement.

Regardez les deux extrémités et la forme de l'effet devient évidente. Pour un poteau très trapu, la contrainte résiduelle est auto-équilibrée et la charge de ruine reste intacte. Pour un poteau très élancé, le flambement survient à une contrainte si basse que rien n'a plastifié : toute la rigidité élastique est disponible et il ne reste que la part du défaut de rectitude, les 12,3 % constants visibles dans la queue de courbe. Entre les deux, la plastification partielle est à son maximum de nuisance, et c'est précisément là que vit la majorité des poteaux réels.

La contrainte résiduelle ne coûte rien aux deux extrémités et coûte le maximum au milieu. Si vous ne retenez qu'une phrase de cet article, retenez celle-là.

Assez de théorie. Voici le même profilé passé par la vérification de calcul qui tourne en production dans CalcSteel, sur une plage de longueurs, bi-articulé, flambant selon l'axe faible. Chaque valeur du moteur a été reproduite à la main à partir des équations normatives avant publication, 68 vérifications au total, et l'exécution s'interrompt si une paire diverge de plus de 0,02 %.

La section telle que le moteur la calcule à partir de la géométrie laminée : A = 91,95 cm², Ix = 11124 cm⁴, Iy = 3880 cm⁴, rx = 11,00 cm, ry = 6,50 cm. Comparé aux valeurs publiées en catalogue, cela fait 1,0 % de moins en aire et 0,2 % de moins en Iy, l'écart habituel dû à la façon d'idéaliser les congés de raccordement. Charge de ruine A·fy = 3172 kN.

La ligne à 5 m est celle du premier paragraphe. Elle tombe presque exactement à λ₀ = 1, le pire point de la courbe, et perd 32,9 %. Notez aussi qu'il s'agit de résistances nominales. Les valeurs de calcul sont encore plus basses : l'AISC applique φ_c = 0,90, donc le poteau de 5 m vaut 1851 kN, et l'NBR 8800 divise par γ_a1 = 1,10, ce qui donne 1869 kN. Les deux normes emploient la même courbe, 0,658^λ₀² en dessous de λ₀ = 1,5 et 0,877/λ₀² au-dessus, et ne diffèrent que par la façon d'appliquer le coefficient.

Un détail à signaler à qui voudrait reproduire ceci : à 1 m et 1,5 m, le moteur ne renvoie pas du tout la réponse de flambement par flexion selon l'axe faible. Il renvoie le flambement par torsion, qui gouverne sur ce profilé trapu et large aux très faibles longueurs. La vérification à la main doit prendre le même minimum des trois modes élastiques, sinon elle divergera du moteur et, dans ce cas, c'est le moteur qui a raison.

Passez le même W 250 x 73 selon ses deux axes et l'asymétrie de la section précédente apparaît en capacité :

L'AISC 360 et l'NBR 8800 traitent cela avec une seule courbe et laissent l'élancement faire le travail : l'axe faible a un rayon de giration plus petit, il atterrit donc plus loin sur la même courbe. Pour ces deux normes, l'histoire s'arrête là.

L'EN 1993-1-1 va plus loin, et c'est ici que la physique des sections précédentes devient une entrée de tableau. Elle choisit une courbe différente par axe, par proportion de profilé, par épaisseur de semelle et par nuance d'acier, et ce choix est la traduction directe du motif de contraintes résiduelles. Pour les profilés en I laminés en S235 à S420 :

Notre profilé a h/b = 0,996 et t_f = 14,2 mm : il prend donc la courbe b selon l'axe fort et la courbe c selon l'axe faible. À 6 m, cela donne 2448 kN sur le fort et 1344 kN sur le faible : l'axe faible est puni deux fois, une fois par son élancement plus grand et une seconde fois en étant déplacé sur une courbe moins bonne. Les cinq courbes sont la même formule avec cinq valeurs du facteur d'imperfection α : 0,13, 0,21, 0,34, 0,49 et 0,76 pour a0, a, b, c et d. À λ₀ = 1 elles donnent χ = 0,725, 0,666, 0,597, 0,540 et 0,467, soit 36 % d'écart entre le meilleur et le pire profilé à élancement identique.

Une note sur la façon dont le moteur de CalcSteel traite cela aujourd'hui : sa vérification EN 1993 emploie la courbe b (α = 0,34) comme valeur par défaut unique pour toute section, si bien que les chiffres de courbe c cités ci-dessus sont cette même expression analytique évaluée avec α = 0,49, la valeur que le tableau 6.2 attribue à ce profilé en z-z. Les chiffres AISC 360 et NBR 8800 de cet article sortent tous directement du moteur.

Entrez votre section et votre longueur de flambement dans le calculateur ci-dessous et regardez les deux réponses se séparer. La charge critique d'Euler est le plafond classique de cet article ; les capacités AISC 360 et NBR 8800 sont ce plafond moins tout ce que la contrainte résiduelle et le défaut de rectitude emportent.

L'écart mérite d'être lu comme un diagnostic. Si votre poteau revient près de λ₀ = 1, vous êtes sur le pire point de la courbe et environ un tiers de la capacité classique est déjà parti. Contreventer l'axe faible pour sortir le poteau de ce point revient souvent moins cher que de monter en profilé, car cela vous fait descendre l'échelle des λ₀ vers la zone où la pénalité diminue vite.

Tout ingénieur ayant utilisé l'AISC 360 a tapé 0,658 et 0,877 sans qu'on lui dise ce que c'était. Ce ne sont pas des constantes démontrées. Ce sont des coefficients de calage, et le calage a été ancré sur la contrainte résiduelle.

La lignée commence avec la parabole du CRC, la formule de poteau de l'AISC ASD jusqu'en 1989. Elle reposait sur une hypothèse explicite : la contrainte résiduelle de compression aux extrémités des semelles vaut 0,5 fy, donc le poteau ne reste totalement élastique que jusqu'à une contrainte appliquée de fy/2, et au-delà la section plastifie progressivement. Cette hypothèse produit

Fcr = fy·[1 − fy·λ²/(4π²E)], valable jusqu'à Cc = √(2π²E/fy)

et elle a une signature : à λ = Cc, la parabole vaut exactement fy/2. Pour un acier à 345 MPa, Cc = 107,0, et la vérification confirme que la parabole tombe bien sur 0,5 fy à neuf décimales près. L'hypothèse de 0,5 fy de contrainte résiduelle n'est pas cachée dans la formule ; elle est la formule.

Quand l'AISC est passée au LRFD en 1986, la parabole a été remplacée par une exponentielle calée sur des données d'essais et sur les courbes de poteaux du SSRC, elles-mêmes produites en analysant des poteaux à motifs de contraintes résiduelles mesurés, avec leur défaut de rectitude initial. La dérivation est documentée dans l'Engineering Journal de l'AISC : le coefficient inélastique a été fixé à λ = 1,0 pour atteindre une cible Fcr/fy d'environ 0,56 avec φ = 0,85, ce qui donne 0,6589 ; le coefficient élastique vient de l'égalisation des deux branches à λ = 1,5, ce qui donne 0,8774 ; et le raccord a été placé à λ = 1,5 précisément « pour approcher le raccordement historique des courbes élastique et inélastique de l'ASD à un niveau de contrainte de Fy/2 ».

La courbe moderne a donc hérité son point de raccord de l'ancienne parabole, et l'ancienne parabole tenait ce point de l'hypothèse de 0,5 fy de contrainte résiduelle. L'NBR 8800 a adopté le même couple d'expressions. Quand vous tapez 0,658 dans un tableur, vous tapez un nombre dont l'ascendance remonte à la vitesse de refroidissement d'une extrémité de semelle.

Une fois qu'on sait voir la contrainte résiduelle, elle réapparaît dans plusieurs endroits qu'on enseigne d'ordinaire comme des règles sans lien entre elles.

• Le déversement. Le chapitre F de l'AISC 360 bâtit le domaine inélastique de déversement sur 0,7Fy, et la longueur limite Lr est la longueur non maintenue à laquelle le déversement élastique atteint cette contrainte. Le 0,7, c'est 1 − 0,3 : la même contrainte résiduelle de compression de 0,3Fy aux extrémités des semelles, qui réduit cette fois le moment auquel la semelle comprimée commence à plastifier. Même physique, autre état limite.
• Découpe et perçage. La contrainte résiduelle est en équilibre avec elle-même. Retirez de la matière et vous retirez une partie de cet équilibre : la pièce bouge pour en trouver un nouveau. C'est pourquoi grugeoir une semelle de poutre, oxycouper une longue bande dans une tôle ou percer un semis de trous dense peut laisser une pièce visiblement déformée, sans que personne ne l'ait chargée. L'atelier connaît cela comme un problème de séquence bien avant que ce soit un problème de contraintes.
• Les profilés soudés. Le soudage crée un cycle thermique bien plus brutal que le laminage, et la contrainte résiduelle près du cordon peut approcher la limite d'élasticité. Les profilés en I soudés reçoivent en général des courbes de flambement moins bonnes que les laminés de proportions équivalentes. Il existe un beau contre-exemple : les tôles à bords oxycoupés finissent en traction sur les bords, parce que le bord coupé est chauffé et refroidit en dernier, et un profilé soudé fait de tôle oxycoupée flambe mieux selon l'axe faible qu'un profilé fait de tôle à bords de laminage. C'est la filière de fabrication qui décide, pas la géométrie.
• Les profilés formés à froid. Là, la contrainte résiduelle est d'une autre nature, dominée par la flexion dans l'épaisseur imposée par les galets de formage plutôt que par le refroidissement. C'est l'une des raisons pour lesquelles l'acier formé à froid dispose de sa propre famille normative et de sa propre méthode de résistance, au lieu d'emprunter les courbes des laminés à chaud.
• Les profilés lourds. Un matériau plus épais refroidit de façon plus inégale, donc la contrainte résiduelle empire à mesure que le profilé s'alourdit. L'EN 1993 le suit explicitement : au-delà de 100 mm d'épaisseur de semelle, le profilé en I laminé bascule sur la courbe d selon les deux axes, α = 0,76, la pire du tableau.

• Dimensionner un poteau avec la charge d'Euler. Euler est une borne supérieure qu'aucun poteau réel n'atteint. À λ₀ = 1, elle surestime la capacité de 34 %, et cela avant tout facteur de résistance. Servez-vous-en pour comprendre le problème, jamais pour dimensionner la pièce.
• Croire qu'un profilé plus lourd est plus sûr face à cet effet. C'est l'inverse. Des semelles plus épaisses refroidissent de façon plus inégale et portent une contrainte résiduelle plus élevée, et c'est bien pour cela que les courbes normatives empirent avec l'épaisseur de semelle au lieu de s'améliorer.
• Traiter les deux axes comme une même vérification avec une longueur différente. Vrai en AISC et en NBR, faux en EN 1993, où l'axe faible change aussi de courbe. Mener une affaire à l'Eurocode avec une seule courbe pour les deux axes surestime la capacité selon l'axe faible d'un profilé large d'environ 10 % à λ₀ = 1, et bien davantage plus loin sur la courbe.
• Conclure qu'auto-équilibré veut dire inoffensif. Cela veut bien dire que la charge de ruine ne change pas, et c'est exactement le piège. Dès que la stabilité entre en jeu, un champ de contraintes intérieurement équilibré devient un problème de rigidité.
• Ignorer ce que la fabrication fait à une pièce droite. L'oxycoupage, le soudage lourd et l'enlèvement de matière déséquilibré perturbent tous un équilibre enfermé, et la pièce bouge. La redresser ensuite ajoute encore de la contrainte résiduelle.
• Lire un taux de travail bas comme une marge confortable. Un poteau à 50 % de sa charge de ruine a déjà les extrémités de ses semelles plastifiées. Rien sur un diagramme de contraintes ne le montre, et la rigidité dont le prochain incrément de charge aura besoin est déjà réduite.

Le résumé honnête est court. La courbe de flambement n'est pas la courbe d'Euler parce que l'acier n'était pas neutre quand vous l'avez reçu. Il est arrivé précontraint par son propre refroidissement, il commence à plastifier à la moitié de la charge que vous attendiez, il perd la rigidité de son axe faible trois fois plus vite que celle de son axe fort, et les normes portent discrètement cette correction pour vous depuis les années 1960.