Effet de levier dans les assemblages en traction : l'effort supplémentaire que la géométrie impose au boulon

Vous dimensionnez une suspente pour une traction de 100 kN, vous la répartissez entre deux boulons, vous vérifiez chaque boulon pour 50 kN de traction, et cela passe largement. Puis l'assemblage se desserre, les boulons s'allongent, et une expertise de rupture constate que les boulons reprenaient bien plus de 50 kN chacun. Rien n'était surchargé sur le papier. L'effort supplémentaire ne venait pas de la charge appliquée. Il venait de la géométrie de l'aile, et il porte un nom : l'effet de levier.

L'effet de levier est le seul phénomène d'assemblage où la structure ajoute au boulon une charge qui n'apparaît jamais dans le schéma de corps libre que vous avez tracé. Il survient chaque fois qu'un boulon tire sur une plaque ou une aile libre de fléchir : une suspente en té, une platine d'about boulonnée, une double cornière en traction, une platine de pied en soulèvement. L'aile fléchit, son bord extérieur prend appui en retour contre le support, et cette réaction de contact fait levier sur le boulon comme la panne fendue d'un marteau arrache un clou. La traction du boulon n'est plus la charge appliquée divisée par le nombre de boulons. C'est cette part plus un effort de levier Q que fixent l'épaisseur de l'aile et la position du boulon.

Ce guide consiste à transformer Q en une valeur. Chaque résistance présentée ici a été vérifiée face au moteur d'assemblages de CalcSteel, qui renvoie exactement la résistance à la traction du boulon phi Fnt Ab, et l'effort de levier est calculé avec la méthode de la Partie 9 du AISC Steel Construction Manual, recoupée à la main. Nous l'avons écrit pour trois lecteurs. Si vous êtes étudiant, l'effet de levier est le sujet que votre cours d'assemblages évoque en une ligne sans jamais le quantifier. Si vous êtes ingénieur en exercice ou calculiste indépendant, passez directement à l'exemple traité et au balayage d'épaisseur, là où quelques millimètres d'aile décident de 30 pour cent de votre effort de boulon. Et si vous voulez seulement la règle : une aile mince fait reprendre au boulon plus que la charge, et on corrige cela avec de l'acier dans l'aile, pas avec plus de boulons.

L'effet de levier côtoie les états limites de la plaque dans le guide de dimensionnement des assemblages boulonnés, mais c'est un mode de rupture différent. La pression diamétrale et la section nette, c'est la plaque qui cède. L'effet de levier, c'est le boulon surchargé en traction par une aile qui refuse de rester plane.

Commençons par la mécanique, car l'effet de levier ne prend son sens qu'une fois l'aile vue comme une poutre. Prenez un profilé té suspendu à un support : l'âme est tirée vers le bas par une charge de traction, l'aile est boulonnée au support de chaque côté de l'âme.

Une aile rigide n'a pas d'effet de levier

Imaginez l'aile infiniment rigide. Elle ne peut pas fléchir, elle reste donc plane contre le support et se soulève uniformément. Seuls les boulons la retiennent, chaque boulon reprend donc exactement sa part de la charge appliquée, T égale la traction totale divisée par le nombre de boulons. Il n'y a de contact nulle part ailleurs, pas d'effet de levier, et la traction du boulon est la valeur que vous attendiez. C'est l'idéal dont s'approche toute aile épaisse.

Une aile flexible fléchit et repousse

Rendez maintenant l'aile réaliste. Sous la traction de l'âme, l'aile fléchit en double courbure : elle forme une rotule près de l'âme où elle est bridée, et une seconde rotule au droit de la ligne de boulons. Entre le boulon et le bord libre, l'aile tourne de sorte que son bord extérieur appuie en retour sur le support. Cet effort de contact est l'effort de levier Q. C'est une réaction que l'aile invente en fléchissant, et elle doit être équilibrée quelque part.

Le levier se referme sur le boulon

Prenez les moments autour de la face de l'âme et l'image se met en place. La traction appliquée T agit au droit de l'âme, l'effort de levier Q agit au bord de l'aile, et le boulon se trouve entre les deux. Pour que l'aile soit en équilibre, le boulon doit retenir les deux, si bien que la traction du boulon vaut B égale T plus Q. Le bord de l'aile et le boulon forment un levier exactement comme la panne fendue d'un marteau : plus le débord de l'aile est long et souple, plus le bord fait levier, et plus le boulon est étiré au-delà de la charge que vous avez appliquée. L'effet de levier est réel, mécanique, et entièrement déterminé par la façon dont l'aile fléchit.

Parce que l'effet de levier est un problème de flexion, il est piloté par la géométrie, et la méthode de la Partie 9 du AISC Manual réduit cette géométrie à une poignée de longueurs. Apprenez ces cinq-là et les équations se lisent d'elles-mêmes.

• b, la distance de l'axe du boulon à la face de l'âme. C'est là que l'aile est bridée, b est donc le bras de levier du boulon contre la charge appliquée. Un petit b, des boulons rapprochés de l'âme, signifie un levier court et peu d'effet de levier.
• a, la distance de l'axe du boulon au bord de l'aile. C'est là qu'agit le contact de levier. L'AISC plafonne la valeur utilisée dans les calculs à a égale 1.25 b, car un débord très large ne fait pas croître l'effet de levier sans limite.
• b prime égale b moins db sur 2 et a prime égale a plus db sur 2, les mêmes longueurs décalées jusqu'au bord de la tige du boulon. Ce sont les bras qui apparaissent réellement dans les équations, avec db le diamètre du boulon.
• rho égale b prime sur a prime, le rapport qui mesure l'ampleur du levier du bord de l'aile sur le boulon. Un grand rho, des boulons loin de l'âme et près du bord, signifie un fort effet de levier.
• p, la longueur d'aile tributaire attribuée à un boulon le long de l'assemblage, et delta égale 1 moins d prime sur p, qui réduit la résistance de l'aile pour tenir compte du trou de boulon de diamètre d prime qui retire de la matière à la ligne critique.

Pour la suspente traitée ci-dessous, avec un entraxe de boulons g égale 90 mm en travers d'une âme de 10 mm et une aile de 150 mm de large : b égale (90 moins 10) sur 2 égale 40 mm, a égale (150 moins 90) sur 2 égale 30 mm. Puis b prime égale 40 moins 10 égale 30 mm, a prime égale 30 plus 10 égale 40 mm, rho égale 0,75. Avec une longueur tributaire de 100 mm et un trou normal de 22 mm, delta égale 1 moins 22 sur 100 égale 0,78. Chaque valeur d'effet de levier de cet article se construit à partir de ces cinq grandeurs.

Le AISC Steel Construction Manual, Partie 9, offre une façon compacte de vérifier l'effet de levier sans résoudre l'aile comme un portique à chaque fois. Il compare l'aile dont vous disposez à l'aile qu'il faudrait pour faire disparaître l'effet de levier, puis indique quelle part de la capacité du boulon subsiste. Trois grandeurs font tout le travail.

Étape 1 : la résistance à la traction du boulon B

B est la résistance de calcul à la traction d'un boulon, B égale phi Fnt Ab, avec phi égale 0,75, Fnt la résistance nominale à la traction, et Ab l'aire nominale du boulon. C'est le plafond que le boulon ne peut jamais dépasser, avec ou sans effet de levier, et c'est exactement ce que renvoie le moteur d'assemblages de CalcSteel. Pour un M20 A325, Fnt égale 620 MPa et Ab égale 314.2 mm carrés, si bien que B égale 0.75 fois 620 fois 314.2 sur 1000 égale 146,1 kN.

Étape 2 : l'épaisseur cible tc

tc est l'épaisseur d'aile qui permettrait au boulon d'atteindre sa pleine résistance B sans aucun effet de levier. Elle vient de l'égalité entre le moment plastique de l'aile et le moment que l'effort du boulon applique sur le bras b prime :

tc égale racine carrée de (4 B b prime sur (phi p Fu)), avec phi égale 0.90 pour la flexion de l'aile et Fu la résistance de l'aile.

Pour la suspente traitée, tc égale racine carrée de (4 fois 146.1 fois 30 sur (0.90 fois 100 fois 400)) égale 22,1 mm. Lisez tc comme la réponse honnête à une question de concepteur : quelle épaisseur faudrait-il à cette aile pour que la géométrie cesse de voler de la capacité ? Ici, 22,1 mm.

Étape 3 : quelle capacité subsiste

Comparez l'aile dont vous disposez réellement, d'épaisseur t, à tc au moyen d'un facteur alpha prime qui mesure à quel point l'aile travaille en flexion :

alpha prime égale (1 sur (delta (1 plus rho))) fois ((tc sur t) au carré moins 1), borné entre 0 et 1.

La traction disponible par boulon, effet de levier compris, vaut alors T avail égale B fois (t sur tc) au carré fois (1 plus delta alpha prime). Lorsque t atteint tc, alpha prime vaut 0 et T avail égale B : pas d'effet de levier. Lorsque t est mince, alpha prime sature à 1 et T avail s'effondre. L'effort de levier à cette charge de calcul découle directement de l'équilibre : Q égale B moins T avail, l'écart entre ce que le boulon peut reprendre et ce que l'assemblage est autorisé à appliquer. Cet écart est l'effort supplémentaire créé par la géométrie.

Appliquons la méthode à un détail réel. Un profilé té suspend une charge de traction sous une poutre, boulonné par son aile avec deux boulons M20 A325, un de chaque côté de l'âme. Épaisseur de l'aile t égale 15 mm, résistance de l'aile Fu égale 400 MPa, épaisseur de l'âme 10 mm, entraxe des boulons g égale 90 mm, largeur de l'aile 150 mm, trous normaux d prime égale 22 mm, tributaire p égale 100 mm par boulon.

Étape 1 : géométrie

b égale 40 mm, a égale 30 mm, b prime égale 30 mm, a prime égale 40 mm, rho égale 0,75, delta égale 0,78. Les cinq longueurs telles que calculées à la section précédente.

Étape 2 : résistance du boulon et épaisseur cible

B égale 146,1 kN d'après le moteur. tc égale racine carrée de (4 fois 146.1 fois 30 sur (0.90 fois 100 fois 400)) égale 22,1 mm. L'aile dont vous disposez, 15 mm, est bien en dessous des 22,1 mm qui supprimeraient l'effet de levier, l'effet de levier est donc significatif et vous devez en tenir compte.

Étape 3 : quelle capacité l'aile conserve

alpha prime égale (1 sur (0.78 fois 1.75)) fois ((22.1 sur 15) au carré moins 1) égale 0,85. Comme il tombe entre 0 et 1, utilisez-le directement. Puis T avail égale 146.1 fois (15 sur 22.1) au carré fois (1 plus 0.78 fois 0.85) égale 112,4 kN par boulon. L'aile de 15 mm ne permet de charger chaque boulon qu'à 112,4 kN, pas à ses 146,1 kN complets.

Étape 4 : l'effort de levier

Q égale B moins T avail égale 146.1 moins 112.4 égale 33,7 kN. C'est l'effort supplémentaire créé par la géométrie. À la charge de calcul de 112,4 kN par boulon, le boulon reprend en réalité 112.4 plus 33.7 égale 146,1 kN, toute sa résistance à la traction. L'effet de levier a ajouté 30 pour cent au-dessus de la charge appliquée, et il n'est jamais apparu dans le schéma de corps libre appliqué. Un concepteur qui aurait vérifié 112,4 kN face à la résistance de boulon de 146,1 kN et se serait arrêté là aurait manqué un boulon exactement à sa limite.

Étape 5 : l'assemblage

Deux boulons reprennent 2 fois 112.4 égale 224,8 kN de traction appliquée. Si l'aile avait été rigide, les deux mêmes boulons reprendraient 2 fois 146.1 égale 292,2 kN. L'effet de levier a coûté 67,4 kN à cet assemblage, presque la capacité d'un boulon supplémentaire entier, et il l'a coûté dans l'aile, pas dans les fixations.

La chose la plus utile à intégrer est la rapidité avec laquelle l'effet de levier varie avec l'épaisseur de l'aile. Fixez la géométrie, le boulon et la charge, puis balayez l'épaisseur de l'aile t du mince à l'épais. Q chute abruptement à mesure que t grimpe vers tc égale 22,1 mm, et au-delà de tc il a disparu :

• t égale 12 mm : alpha prime sature à 1, T avail égale 76,9 kN, Q égale 69,2 kN. L'effet de levier ajoute 90 pour cent. Un boulon dimensionné pour 77 kN reprend 146 kN.
• t égale 15 mm (l'aile traitée) : T avail égale 112,4 kN, Q égale 33,7 kN, l'effet de levier ajoute 30 pour cent.
• t égale 18 mm : T avail égale 125,1 kN, Q égale 20,9 kN, l'effet de levier ajoute 17 pour cent.
• t égale 20 mm : T avail égale 134,9 kN, Q égale 11,2 kN, l'effet de levier ajoute 8 pour cent.
• t égale 22 mm (juste en dessous de tc) : T avail égale 145,7 kN, Q égale 0,4 kN, l'effet de levier a pour ainsi dire disparu.
• t égale 24 mm (au-dessus de tc) : T avail égale 146,1 kN, Q égale 0, pas d'effet de levier.

La forme de la courbe est la leçon. L'effet de levier n'est pas linéaire en épaisseur, c'est un terme au carré via (tc sur t) au carré, il punit donc brutalement les ailes minces puis disparaît presque comme une marche près de tc. Un changement de 3 mm, de 12 à 15 mm, divise par deux l'effort de levier, tandis que les mêmes 3 mm, de 18 à 21, l'effacent presque. Voilà pourquoi l'effet de levier est dangereux : il est invisible dans la charge appliquée et il croît vite précisément là où les concepteurs économisent, dans l'épaisseur de l'aile.

Tout ce qui précède se ramène à une seule comparaison : votre épaisseur d'aile t face à l'épaisseur cible tc. tc est l'aile qui fait atteindre au boulon sa pleine résistance B avec un effet de levier nul, et c'est l'objectif de dimensionnement le plus net de toute la méthode.

• Si t est supérieur ou égal à tc, l'aile est assez rigide. Il n'y a pas d'effet de levier, chaque boulon ne reprend que sa part de la charge appliquée, et l'assemblage est limité uniquement par la résistance du boulon B. La traction disponible vaut 2 B pour la paire.
• Si t est inférieur à tc, l'aile forme une rotule, l'effet de levier apparaît, et la traction disponible par boulon tombe à T avail, en dessous de B. Plus l'aile est mince, plus la chute est raide.

Cela transforme le dimensionnement vis-à-vis de l'effet de levier en un choix à quatre leviers, dans l'ordre où vous devriez les employer :

1. Épaissir l'aile jusqu'à tc. La correction directe. Dans la suspente traitée, passer de 15 à 22 mm fait passer l'assemblage de 224,8 à 292,2 kN, un gain de traction de 30 pour cent pour 7 mm de plaque, sans boulon supplémentaire. Souvent le changement le moins coûteux sur le plan.
2. Rapprocher les boulons de l'âme. Un entraxe plus serré réduit b, raccourcit le levier et abaisse rho, si bien que l'effet de levier diminue même à épaisseur égale. Surveillez le dégagement de la clé et le congé de l'âme.
3. Ne pas laisser déborder le bord de l'aile. Au-delà de a égale 1.25 b, la largeur supplémentaire n'apporte rien contre l'effet de levier et n'ajoute que du bord qui fait levier. Rognez-le.
4. Ajouter des boulons ou monter en classe. Des boulons plus nombreux ou plus résistants augmentent B, si bien que la même charge appliquée représente une plus petite fraction de la capacité. Cela aide le boulon, mais n'empêche pas l'aile de fléchir, employez-le donc en dernier.

L'instinct d'ajouter des boulons est en général le mauvais premier geste. L'effet de levier est un problème de rigidité, la correction honnête est donc la rigidité : aile plus épaisse, entraxe plus serré. La même logique régit le dimensionnement des platines de pied, où l'épaisseur de la platine face aux tiges d'ancrage est gouvernée par une vérification en flexion presque identique, et où le module de platine de pied de CalcSteel dimensionne la platine de la même manière.

Chacune de ces erreurs fait passer une vérification d'effet de levier sur le papier alors que le boulon réel est surchargé. Aucune ne déclenche d'alerte, ce qui est précisément la raison pour laquelle l'effet de levier continue de surprendre des ingénieurs pourtant soigneux.

1. Ignorer complètement l'effet de levier. La plus grave. Diviser la charge appliquée par le nombre de boulons et comparer le résultat à B suppose une aile rigide. Sur une aile mince, cela peut sous-estimer la traction du boulon de 30, 50, voire 90 pour cent, comme le montre le balayage.
2. Utiliser b et a au lieu de b prime et a prime. Les équations utilisent les bras décalés, b prime égale b moins db sur 2 et a prime égale a plus db sur 2. Sauter le décalage de db sur 2 déplace le levier et sous-estime l'effet de levier.
3. Oublier le plafond a égale 1.25 b. Un débord large ne continue pas d'aider. Utiliser le a complet lorsqu'il dépasse 1.25 b surestime la résistance du bord et masque l'effet de levier. Plafonnez a à 1.25 b dans les calculs.
4. Lire Fu sur le boulon, pas sur l'aile. tc et la flexion de l'aile utilisent la résistance de l'aile Fu, autour de 400 à 450 MPa pour un acier de construction, pas la résistance à la traction du boulon de 620 MPa ou plus. C'est l'aile qui fléchit.
5. Détailler un entraxe large pour l'accès de la clé. Le confort à la clé coûte de la capacité. Un entraxe plus grand signifie un b plus grand, un levier plus long, et plus d'effet de levier. Gardez les boulons aussi près de l'âme que le congé et la clé le permettent.

L'effet de levier n'est pas une curiosité propre aux suspentes en té. Il apparaît dans tout assemblage en traction où un boulon tire sur une aile ou une plaque susceptible de fléchir, et il est facile de le manquer car le schéma de corps libre appliqué ne le montre jamais.

Suspentes en té et en double cornière

Le cas d'école, et celui traité plus haut. Un té ou une paire de cornières suspendus en traction, boulonnés par l'aile ou les ailes saillantes. Plus l'aile ou la cornière est mince, plus l'effet de levier est important. Les doubles cornières font levier par leurs deux ailes, vérifiez donc l'aile qui fléchit.

Assemblages par platine d'about sous moment

Le cas pratique le plus important. Dans une platine d'about boulonnée, l'effort de la semelle de la poutre tire la platine contre le poteau, et les boulons proches de la semelle tendue font levier exactement comme une suspente. L'effet de levier peut ajouter une part importante à ces boulons, et toute méthode de dimensionnement de platine d'about, du AISC Design Guide 4 au tronçon en té de l'Eurocode 3, est au fond un calcul d'effet de levier. Si vous détaillez des assemblages sous moment, c'est le cas qui compte.

Platines de pied en soulèvement

Un pied de poteau soumis à un soulèvement net tire les tiges d'ancrage, et une platine de pied mince fléchit et fait levier sur les tiges tout comme une aile fait levier sur un boulon. La vérification de dimensionnement des platines de pied pour l'épaisseur de la platine face aux tiges est le même problème de flexion sous un autre costume.

Où il se cache

L'effet de levier ne disparaît que lorsque l'aile est réellement rigide par rapport au boulon, t égal ou supérieur à tc, ou lorsque la charge est du cisaillement pur sans traction dans le boulon. Les assemblages antiglissement, les goussets de cisaillement et les éclisses en pression diamétrale sollicitées au cisaillement ne font pas levier. Dès l'instant où vous avez des boulons en traction contre une plaque déformable, l'effet de levier est sur la table, et la charge appliquée ne vous préviendra pas.

La façon la plus rapide de ressentir l'effet de levier est de regarder la résistance du boulon rester fixe pendant que la géométrie déplace la sollicitation. Le calculateur ci-dessous est l'outil de boulons de CalcSteel, gratuit et sans connexion pour les calculs. Il renvoie la résistance à la traction et au cisaillement du boulon à partir du même moteur d'assemblages face auquel chaque résistance de cet article a été vérifiée : phi Fnt Ab égale 146,1 kN pour un M20 A325, avec la précontrainte et l'interaction combinée avec le cisaillement à ses côtés.

Cette valeur du moteur est le plafond B de la méthode d'effet de levier. L'effort de levier Q est le calcul manuel de la Partie 9 ajouté par-dessus, car l'effet de levier se situe du côté sollicitation de la vérification, pas à l'intérieur du boulon : c'est une traction supplémentaire que l'aile délivre, et vous comparez le total B égale T plus Q à la résistance du boulon que l'outil vous donne. Réglez la classe et le diamètre pour lire B, puis faites passer votre épaisseur d'aile, votre entraxe et votre pince par la comparaison à tc ci-dessus pour voir quelle part de ce B la géométrie vous permet d'utiliser.

Dans un modèle complet, le travail se multiplie : chaque boulon, chaque plaque, chaque combinaison de charges, avec l'effet de levier sur les boulons tendus et la pression diamétrale, le cisaillement et le cisaillement de bloc sur la plaque. C'est ce qu'automatise le moteur d'assemblages de CalcSteel, et là où vous apportez encore le jugement : une traction excentrée, une platine d'about raidie, ou une aile trop mince pour qu'on s'y fie. Reprenez le même assemblage dans le flux de dimensionnement complet des assemblages boulonnés, où l'effet de levier côtoie les états limites de la plaque et où l'assemblage est dimensionné pour celui qui gouverne.