Le calcul intégral sur une structure réelle : les sept intégrales cachées dans un portique de hangar

Un client veut un hangar de 20 m sur 30 m. Portée libre, 7 m sous chéneau, une pente de toiture de 10 %, six portiques espacés de 6 m. Poteaux HEB 300, traverses IPE 400, S355, pieds encastrés. C'est le bâtiment métallique le plus ordinaire qui soit, et il sera calculé plusieurs milliers de fois cette année.

Le client pose quatre questions. Combien d'acier cela représente. Est-ce que cela tiendra au vent. Est-ce que les portes fermeront encore quand il soufflera. Combien coûtera la peinture.

Chacune de ces quatre réponses est la valeur d'une intégrale, et chaque grandeur intermédiaire entre la question et la réponse aussi. Pas par analogie, et pas au sens vague où le calcul infinitésimal sous-tendrait l'ingénierie. Littéralement : le nombre que vous écrivez sur la note de calcul est ce que vous obtenez en intégrant quelque chose.

Cet article parcourt l'affaire dans l'ordre où elle se déroule vraiment et évalue chacune d'elles, sur le même bâtiment, avec les mêmes données de section. Sept intégrales. Chaque valeur ci-dessous a été calculée sur le moteur aux éléments finis CalcSteel ou intégrée en forme fermée, et chacune est contrôlée par quelque chose d'indépendant : la table de profilés EN 10365 publiée, un calcul à la main, ou une seconde méthode de résolution.

La définition que l'on vous a enseignée est l'aire sous une courbe. Elle est exacte, et c'est la façon la moins utile de tenir l'idée sur une affaire réelle, parce que presque rien de ce que vous intégrez sur une structure n'est dessiné comme une courbe sur une feuille.

La définition de travail est plus courte. Une intégrale, c'est ce que vous faites quand une grandeur varie et qu'il vous en faut le total. Si elle ne variait pas, vous multiplieriez. Pression fois surface. Masse par mètre fois longueur. Comme elle varie, vous multipliez sur une tranche assez petite pour qu'elle n'y varie pas, puis vous additionnez les tranches, puis vous faites tendre les tranches vers zéro. Ce dernier pas, c'est toute la mécanique, et c'est pourquoi la réponse est exacte plutôt qu'approximativement juste.

Deux conséquences traversent tout ce qui suit.

La première, c'est qu'une intégrale vous donne plus qu'un total. La même mécanique avec un facteur supplémentaire à l'intérieur vous donne où s'applique ce total. ∫p dA est la force ; ∫z p dA divisé par ∫p dA est la hauteur d'application. Cette seconde intégrale, le moment statique, est celle que l'on saute, et c'est celle qui décide de la fondation.

La seconde, c'est que sauter une intégrale n'est jamais gratuit, seulement parfois bon marché. Chaque raccourci de cet article remplace une intégrale par une simple multiplication, et chacun a une erreur mesurable, chiffrée à deux décimales plus bas. Certains valent 0,06 %. Un vaut 17,80 %.

Commençons par la question que le client pose en premier, car c'est celle qui décide si vous décrochez l'affaire. Combien d'acier.

La masse est une intégrale de volume, m = ∫ρ dV. L'acier est homogène, donc ρ sort de l'intégrale et il vous reste le volume, et le volume d'une barre prismatique est lui-même une intégrale le long de son axe : V = ∫A ds. L'aire de la section A est constante le long d'un profilé laminé, ce qui réduit tout cela à A fois la longueur et vous donne les kilogrammes par mètre familiers. Cette réduction est la raison même de l'existence de la table de profilés : quelqu'un a déjà fait l'intégrale pour vous et en a imprimé le résultat.

Vérifions que la valeur imprimée est bien l'intégrale. En intégrant la section de l'IPE 400, congés de raccordement compris, on obtient A = 84,58 cm², et 84,58 cm² fois 7 850 kg/m³ font 66,39 kg/m contre les 66,3 kg/m de la table, 0,14 % d'écart. Le HEB 300 donne 117,03 kg/m contre 117,0. La table est l'intégrale.

Déroulons maintenant l'affaire. Chaque portique compte 14,0 m de poteau, deux longueurs de 7,0 m, et 20,10 m de traverse, car la traverse inclinée mesure √(10² + 1²) = 10,04988 m, et non 10 m. Ces 49,9 mm supplémentaires par traverse sont le genre de chose qui disparaît très vite et qui réapparaît à la livraison.

• Poteaux : 14,0 m × 117,03 kg/m = 1 638,4 kg
• Traverses : 20,10 m × 66,39 kg/m = 1 334,5 kg
• Un portique : 2 972,9 kg
• Six portiques : 17,837 tonnes, soit 29,73 kg par mètre carré de plancher

Ces 29,73 kg/m² sont le nombre qu'un métreur porte dans sa tête, et c'est une intégrale de volume en habits ordinaires. Notez ce qu'elle exclut : pannes, lisses de bardage, contreventements, platines d'assise, boulonnerie. Les seuls portiques représentent en général un peu moins de la moitié du tonnage livré d'un hangar de ce type.

La pression du vent n'est pas uniforme le long d'une paroi. Elle croît avec la hauteur, parce que la vitesse du vent croît. La NBR 6123 modélise cette croissance par une loi puissance, via son facteur S2, et l'EN 1991-1-4 emploie un profil logarithmique qui se comporte de façon très proche sur cette plage de hauteur. Prenez la forme puissance en rase campagne, la pression dynamique varie donc en z^0,30, et avec une pression de référence de 1,24 kPa à 10 m et un coefficient de pression extérieure au vent de 0,8 :

p(z) = 0,8 × 1,24 × (z/10)^0,30 kPa

En haut d'un voile de 7 m cela fait 0,891 kPa. À mi-hauteur, 0,724 kPa. À hauteur de genou, moins de la moitié de la valeur en tête. La pression varie, donc le total est une intégrale, sur le panneau de 6,0 m de large par 7,0 m de haut d'une travée :

F = ∫₀^H p(z) b dz = k·b·H^(n+1)/(n+1), avec k = 0,8 q/10^n et n = 0,30

C'est la règle des puissances, première semaine d'analyse, et elle donne F = 28,797 kN sur la travée. Une intégration numérique sur 200 000 bandes rend la même valeur à douze chiffres significatifs, ce qui est la forme fermée qui se contrôle elle-même.

La seconde intégrale est celle qui compte le plus, et c'est celle que l'on n'écrit en général pas. Où s'appliquent ces 28,797 kN ? Prenez les moments par rapport au pied du voile pendant que vous intégrez :

z̄ = ∫ z p(z) b dz / ∫ p(z) b dz = H(n+1)/(n+2)

Pour toute loi puissance ce rapport est exact et indépendant de l'intensité de la pression. Ici z̄ = 7,0 × 1,3/2,3 = 3,957 m. Pas 3,5 m. La résultante se situe 13,0 % plus haut sur le voile que la mi-hauteur, et le moment en pied vaut 113,936 kN·m par travée.

Personne ne décide de sauter l'intégrale. Ce qui se passe, c'est que quelqu'un lit la pression à mi-hauteur dans un tableau, multiplie par l'aire du voile, et passe à la suite. Cela paraît défendable, c'est rapide, et voici ce que cela coûte.

0,724 kPa × 7,0 m × 6,0 m = 30,408 kN, contre 28,797 kN en réalité. Soit 5,59 % de force en trop, et comme c'est du côté haut, cela paraît sûr. Ensuite le même raccourci place cette force à 3,5 m, donc le moment en pied devient 106,43 kN·m contre 113,94 kN·m en réalité, soit 6,59 % en moins. Trop de charge, appliquée trop bas.

Le moment de renversement est le nombre sur lequel sont dimensionnées la platine d'assise, les tiges d'ancrage et la fondation. Le raccourci est non conservatif exactement là où se tromper coûte cher, et il est conservatif là où se tromper ne coûte presque rien, car un poteau de portique est rarement gouverné par l'effort tranchant. C'est le pire appariement possible, et c'est la conséquence directe du raccourci qui jette l'intégrale de moment statique.

La correction évidente consiste à découper le voile en bandes. On lit la pression en haut de chaque bande, on l'applique à cette bande, on somme. C'est la méthode des rectangles de l'intégration numérique, et elle converge, lentement :

• 2 bandes : F est 17,80 % trop élevé, le moment en pied 9,60 % trop élevé
• 4 bandes : F est 10,15 % trop élevé, le moment en pied 5,53 % trop élevé
• 7 bandes, une par mètre : F est encore 6,31 % trop élevé, le moment en pied 3,39 % trop élevé

Sept bandes, c'est plus de travail que l'intégrale et c'est encore 6 % d'écart. Appliquer la pression variable élément par élément le long d'un poteau à 40 éléments, ce que fait réellement le modèle de calcul ci-dessous, reproduit la forme fermée à 0,058 % près. Une discrétisation fine converge ; un découpage grossier, non.

Rien de tout cela ne rend les normes fausses. Les bandes normatives sont tracées délibérément du côté conservatif de la pression, et elles portent des coefficients partiels par-dessus. Le propos est plus étroit et plus utile : vous ne savez pas dans quel sens une réponse en bandes se trompe, ni de combien, tant que vous n'avez pas l'intégrale pour la comparer.

La charge de vent atteint le portique par le bardage et les pannes, prenons donc une panne ensuite. IPE 200, franchissant les 6,0 m entre deux portiques, portant une bande de toiture de 1,6 m. Charges permanentes plus exploitation à 0,50 kN/m² donnent w = 0,80 kN/m, uniforme.

Les deux relations que tout ingénieur en structures utilise quotidiennement sont différentielles, et les lire dans l'autre sens en fait des intégrales :

dV/dx = −w, donc V(x) = V₀ − ∫w dx
dM/dx = V, donc M(x) = ∫V dx

Le moment fléchissant dans une section est l'aire algébrique sous le diagramme d'effort tranchant jusqu'à cette section. Chaque intégration élève le degré d'une unité : une charge constante donne un effort tranchant linéaire qui donne un moment parabolique. Intégrez une constante et vous obtenez une rampe ; intégrez une rampe et vous obtenez une parabole. Les formes des diagrammes que vous dessinez depuis votre première année ne sont pas des conventions, ce sont les degrés qui sortent des intégrations.

Sur la panne : V à l'appui vaut wL/2 = 2,400 kN, le moteur rend 2,400 kN. Le moment à mi-portée vaut wL²/8 = 3,600 kN·m, le moteur rend 3,600 kN·m. Intégrez deux fois de plus, contre EI, et la flèche à mi-portée vaut 5wL⁴/384EI = 3,604 mm ; le moteur rend 3,604 mm, contre une limite L/200 de 30,0 mm.

Le moment est maximal à mi-portée ici, et la raison mérite d'être énoncée précisément, car la mauvaise raison est répandue. Il est maximal là où l'effort tranchant s'annule. L'effort tranchant est l'intégrande du moment, donc là où l'intégrande change de signe, l'aire accumulée cesse de croître et se met à décroître. Sur une portée symétrique sur appuis simples, cela arrive à mi-portée. Décentrez la charge, ou ajoutez une console, et le zéro de l'effort tranchant se déplace, et le moment maximal se déplace avec lui. La mi-portée est une coïncidence de ce cas de charge, pas une règle.

Le moment est maintenant connu. Pour le transformer en contrainte il vous faut la forme de la section, et chaque caractéristique qui décrit cette forme est une intégrale sur la même coupe. Quatre d'entre elles, chacune avec une pondération différente à l'intérieur.

• A = ∫dA. Aucune pondération. Combien il y a d'acier.
• Q = ∫y dA. Pondération par la distance. Nul quand y est mesuré depuis le centre de gravité, et c'est la définition du centre de gravité plutôt qu'une coïncidence.
• I = ∫y² dA. Pondération par le carré de la distance. À quelle distance de l'axe se trouve l'acier, c'est-à-dire ce qu'est la rigidité de flexion.
• Z = ∫|y| dA. Pondération par la distance absolue. Le module plastique, la version entièrement plastifiée de la même idée.

En intégrant le véritable IPE 400 en 6 000 bandes horizontales, plus les quatre congés de raccordement traités comme des blocs d'aire r²(1 − π/4) à 0,2234 r de la face de la semelle, on obtient A = 84,58 cm² contre 84,50 dans la table, I = 23 300 cm⁴ contre 23 130, et Z = 1 312,8 cm³ contre 1 307,0. Chacune à moins de 0,8 %. L'intégrale du centre de gravité rend zéro à quinze décimales près, ce qui est précisément ce qui vous autorise à mesurer y depuis l'axe neutre.

La pondération au carré dans I est toute la raison pour laquelle une poutre en I a la forme d'un I. Les deux semelles de cette section sont à 193 mm de l'axe et l'âme est répartie sur tout ce qui est plus proche. Éloignez l'acier et sa contribution croît avec le carré, ce qui explique qu'une section haute et légère batte une section basse et lourde, et pourquoi le théorème de Huygens, I = I₀ + Ad², n'est pas une règle à part mais ce qui tombe du développement de (y + d)² à l'intérieur de la même intégrale.

Les intégrales 3 et 4 se rencontrent ici, et la rencontre est une épreuve plutôt qu'une étape.

Le calcul donne les efforts internes dans une section : en pied du poteau au vent sous l'action du vent, N = 1,787 kN et M = 69,406 kN·m. La section donne une répartition de contraintes : σ(y) = N/A + M y / I. Ces deux résultats viennent d'endroits complètement différents, donc rien ne garantit encore leur cohérence. L'équilibre l'exige, et l'équilibre s'énonce en deux intégrales :

∫σ dA = N et ∫σ y dA = M

Intégrez le champ de contraintes supposé sur la section réelle et vous obtenez 1,7871 kN et 69,406 kN·m. Ils concordent, à quatorze décimales près sur le terme axial et exactement sur le moment. Ce n'est pas un heureux hasard, c'est la définition même de ce que signifient N et M : ce ne sont pas des efforts qui existeraient à côté des contraintes, ce sont les deux premières intégrales du champ de contraintes. Une répartition qui ne s'intègre pas pour redonner les efforts du calcul n'est pas le champ de contraintes de cette barre, quoi qu'elle soit par ailleurs.

Le module de flexion en tombe directement. Si σ est linéaire en y alors ∫σ y dA = (σ_max/c) ∫y² dA = σ_max I / c, donc M = σ_max × I/c et le W = I/c familier n'est rien de plus que la seconde intégrale divisée par la distance à la fibre extrême. Poussez plutôt la section jusqu'à la plastification complète, de sorte que σ = ±f_y partout, et la même intégrale devient ∫f_y|y| dA = f_y Z. Flexion élastique et flexion plastique ne sont pas deux théories. C'est la même intégrale sur deux champs de contraintes différents.

Pour ce HEB 300 en S355 cela donne un moment élastique de 600,2 kN·m et un moment plastique de 666,1 kN·m, soit un facteur de forme de 1,110. Face à eux, les 69,4 kN·m en pied portent la fibre extrême à 41,17 MPa, un taux de travail de 0,116. Ce portique est très loin de sa capacité en flexion, ce qui est normal pour un hangar de cette taille et vous dit immédiatement où regarder ensuite.

Si la résistance est à 12 %, le portique sera gouverné par la rigidité, et la troisième question du client, est-ce que les portes fermeront encore, est une question de déplacement. Voici l'intégrale vers laquelle tout l'article marche, car c'est celle qui parcourt la structure entière d'un coup plutôt qu'une section ou une barre.

La méthode de la charge unité dit : pour trouver le déplacement d'un point dans une direction choisie, appliquez-y une charge unité, prenez les efforts internes m et n qu'elle produit, et intégrez leur produit avec les efforts internes réels M et N sur toutes les barres de la structure.

δ = ∫ M m / EI ds + ∫ N n / EA ds

Le ds court le long des barres, les quatre, y compris en montant sur les traverses inclinées où ds est plus long que la projection horizontale. Les deux diagrammes ont ici été lus sur le moteur, l'un avec la pression de vent réelle et l'autre avec une charge horizontale de 1 kN au niveau du chéneau, et le produit a été intégré élément par élément en forme fermée.

L'intégrale rend 11,57778 mm. Le moteur, qui n'évalue jamais cette intégrale et assemble puis inverse au contraire une matrice de rigidité, rapporte 11,57705 mm au même nœud. Ils diffèrent de 0,0063 %.

Deux méthodes qui ne partagent rien d'autre que le modèle et les données de section. L'une est une résolution matricielle, l'autre est du calcul intégral sur quatre barres que vous pourriez mener sur papier en un après-midi. L'accord au cinquième chiffre significatif est la raison pour laquelle un contrôle à la main sur un calcul vaut encore la peine : ce n'est pas une façon plus lente d'obtenir la même réponse, c'est un chemin indépendant vers elle.

Face à une limite de déplacement en tête de h/150 = 46,67 mm, 11,58 mm donne un taux de travail de 0,248. Les portes fermeront.

Un nombre unique sorti d'un solveur vous dit si vous avez réussi. L'intégrale, elle, vous dit pourquoi, car vous pouvez l'arrêter en chemin et demander d'où vient le total. Répartissez ces mêmes 11,578 mm par barre :

• Poteau au vent : 41,58 %
• Poteau sous le vent : 30,98 %
• Traverse au vent : 14,37 %
• Traverse sous le vent : 13,06 %

72,56 % du déplacement s'accumule dans les deux poteaux et 27,44 % dans les traverses. Si ce portique avait échoué à sa vérification de déplacement, augmenter la hauteur de la traverse vous aurait rapporté au mieux le quart de l'amélioration par kilogramme qu'aurait apportée l'augmentation de la hauteur des poteaux. C'est une décision de conception lue directement dans un intégrande, et aucun nombre de déplacement isolé ne la contient.

La répartition entre les deux termes mérite aussi un coup d'œil. Le terme de flexion ∫Mm/EI ds représente 99,823 % du total et le terme axial ∫Nn/EA ds 0,177 %. Pour un portique de proportions ordinaires, le raccourcissement axial est réellement négligeable, ce qui explique que tous les manuels le laissent tomber. Il cesse d'être négligeable dans les ossatures contreventées élancées et dans les treillis, où les barres sont chargées axialement par conception et où c'est le terme de flexion qui est le petit.

Il n'y a pas de terme d'effort tranchant dans cette intégrale, et c'est un accord délibéré avec le solveur plutôt qu'un oubli. Le moteur employé ici est d'Euler-Bernoulli : une console verticale sous charge en tête rend 116,75937 mm contre la valeur F h³/3EI de 116,75937 mm, un accord à neuf chiffres significatifs, ce qui n'est possible que si la déformation d'effort tranchant est absente. Ajouter un terme de cisaillement à la Timoshenko aurait apporté 1,309 mm sur cette console, soit 1,12 %. Réel, petit, et pas ce que contient ce modèle.

Un dernier résultat issu de la même intégrale, et c'est celui à retenir. Résolvez de nouveau le portique avec un moment quadratique inférieur de 4,62 % à la valeur publiée dans la table, exactement le genre d'écart entre une base de profilés arrondie et l'EN 10365, et le déplacement en tête ressort 3,78 % plus grand. L'intégrale est exacte. Sa réponse ne vaut que le ∫y² dA que vous lui donnez, et ce nombre venait de l'intégrale 4, trois sections plus haut. Les sept ne sont pas indépendantes.

La panne ci-dessus est la plus propre des sept à mener à la main et à contrôler. Réglez la portée à 6,0 m et une charge uniforme de 0,80 kN/m et vous devriez obtenir un effort tranchant d'appui de 2,400 kN, un moment à mi-portée de 3,600 kN·m et une flèche de 3,604 mm. Décentrez ensuite la charge et regardez le zéro de l'effort tranchant se déplacer, et le pic du moment se déplacer avec lui.

Changez la section et regardez le moment rester exactement où il est pendant que la flèche change. Le moment est la seconde intégrale de la charge et ne sait rien de l'acier ; la flèche est la quatrième, et EI entre à la troisième. La statique avant la rigidité, et vous pouvez voir la frontière entre les deux ici.

La quatrième question du client portait sur la peinture, et la réponse est une intégrale curviligne. La surface peinte d'une barre est le contour fermé autour de sa section, ∮ds, multiplié par la longueur.

Parcourez le contour d'une section en I à angles vifs et vous obtenez 4b + 2h − 2t_w. Pour l'IPE 400 cela fait 4(180) + 2(400) − 2(8,6) = 1 502,8 mm. Mais les angles ne sont pas vifs, ce sont des congés de raccordement en quart de rond de rayon r, et chacun remplace un trajet de 2r par un arc de πr/2. Les quatre retirent 4(2r − πr/2) = 36,05 mm, ce qui donne 1 466,7 mm, soit 1,4667 m²/m. La valeur publiée est 1,467 m²/m. L'intégrale s'accorde à 0,02 % près.

Ces congés représentent 2,4 % du périmètre. Ignorez-les et chaque mètre de chaque barre de l'affaire est surestimé de 2,4 %, ce qui est peu jusqu'à ce que vous le multipliiez par le bâtiment entier et que vous le compariez à un devis de peinture.

Déroulons l'affaire : 14,0 m de HEB 300 à 1,732 m²/m font 24,2 m², 20,10 m d'IPE 400 à 1,467 m²/m font 29,5 m², donc 53,7 m² par portique et 322,3 m² pour les six. Cela fait 18,07 m² de surface par tonne d'acier, et ce rapport est la raison pour laquelle les sections légères coûtent plus cher à protéger que leur tonnage ne le laisse croire.

La même intégrale curviligne a une seconde vie en calcul au feu. Le facteur de massiveté A_m/V, le périmètre exposé divisé par le volume par mètre, vaut 116,2 m⁻¹ pour le HEB 300 et 173,4 m⁻¹ pour l'IPE 400. La traverse s'échauffe environ une fois et demie plus vite que le poteau sous le même feu, à partir des deux mêmes intégrales : le contour au numérateur et l'aire au dénominateur.

Chacune d'elles a un nombre attaché, mesuré sur le bâtiment ci-dessus.

• Remplacer une pression variable par sa valeur à mi-hauteur. 5,59 % de force en trop et 6,59 % de moment en pied en moins, en même temps. Le signe de l'erreur diffère sur les deux grandeurs, donc aucun coefficient de sécurité unique ne couvre les deux.
• Oublier l'intégrale de moment statique. La résultante d'une loi puissance s'applique en H(n+1)/(n+2), soit pour ce voile 3,957 m plutôt que 3,5 m. Tout ce qui suit le moment en pied, la platine d'assise, les ancrages, la fondation, hérite de l'erreur.
• Se fier à un découpage grossier. Sept bandes sur 7 m, c'est plus de calcul que la forme fermée et il reste 6,31 % d'écart. Si vous discrétisez, discrétisez correctement ou intégrez.
• Supposer que le moment maximal est à mi-portée. Il est au zéro de l'effort tranchant, parce que l'effort tranchant est l'intégrande. Sur cette panne les deux coïncident ; changez la charge et ils se séparent.
• Mesurer la traverse à l'horizontale. Le ds le long d'une pente de 10 % vaut 10,04988 m, pas 10 m, dans l'intégrale de masse, dans l'intégrale de peinture et dans l'intégrale de flèche. 0,5 % sur toutes les quantités de traverse de l'affaire.
• Alimenter l'intégrale avec des données de section arrondies. Un moment quadratique inférieur de 4,62 % à la table change le déplacement calculé de 3,78 %. L'intégrale ne peut pas être plus juste que ce qui se trouve sous le signe somme.

Sept intégrales, un hangar, et la chaîne va d'un bout à l'autre sans trou. ∫ρ dV en a fixé le prix. ∫p dA l'a chargé et ∫z p dA a décidé où. ∫w dx et ∫V dx ont descendu la charge le long d'une panne. ∫dA, ∫y dA et ∫y² dA ont décrit la forme qui y résiste. ∫σ dA et ∫σ y dA ont prouvé que les contraintes et les efforts sont le même objet vu deux fois. ∫Mm/EI ds a répondu si les portes fermaient, et vous a dit quelle barre corriger dans le cas contraire. ∮ds est parti sur la facture.

La raison de savoir cela n'est pas que vous les évaluerez à la main. Vous ne le ferez pas ; le logiciel le fera, plusieurs milliers de fois, dans la seconde qui suit l'appui sur Calculer. La raison, c'est que le logiciel ne fait tourner que les intégrales que vous avez posées, sur la géométrie que vous avez dessinée et les sections que vous avez choisies, et chacune des sept a un endroit où on peut lui glisser en silence la mauvaise donnée. Une pression lue en un point. Une traverse mesurée à plat. Un module de flexion tiré d'une table arrondie.

L'ingénieur qui sait quelle intégrale est évaluée à chaque étape sait où regarder quand un nombre revient faux. C'est là tout le retour sur l'investissement des cours d'analyse, et il arrive dès la première affaire réelle plutôt qu'à l'examen.