Deformación térmica en elementos restringidos: la fuerza que desarrolla una viga de acero cuando no puede dilatarse

Las cargas estructurales las puedes señalar. La gravedad tira hacia abajo, el viento empuja de costado, un puente grúa cuelga su gancho. La temperatura es distinta: nada empuja, nada cuelga, y sin embargo un elemento restringido puede soportar una fuerza mayor que la mayoría de las cargas para las que lo diseñaste. Proviene de un movimiento al que no se le permite ocurrir.

Todo material se dilata al calentarse, y el acero se dilata lo suficiente como para importar: una viga larga bajo el sol, un pipe rack (soporte de tuberías) en una tarde de verano, la viga de un puente entre sus estribos. Dejado libre, el elemento simplemente crece y nadie lo nota. Empernalo entre dos apoyos rígidos y ese mismo crecimiento se convierte en tensión, porque ahora el acero está luchando por ocupar un espacio al que no se le permite llegar.

Este artículo sigue esa fuerza desde el coeficiente de dilatación hasta un IPE 300 resuelto, verifica cada número contra el motor de CalcSteel en producción, y termina donde el diseño realmente vive: el detalle que deja respirar al elemento.

Calienta una barra y se estira una deformación proporcional al cambio de temperatura. Eso es todo:

ε = α·ΔT (deformación térmica libre), de modo que δ = α·ΔT·L (movimiento térmico libre).

Aquí α es el coeficiente de dilatación térmica. Para el acero estructural es 12 × 10⁻⁶ por °C, o 12 microdeformación por cada grado. Multiplica por la longitud y obtienes el movimiento libre. Todavía no hay tensión: una barra libre en un extremo se alarga, sus átomos quedan un poco más separados, y la fuerza interna es exactamente cero.

Pongámosle números. El IPE 300 que usamos a lo largo del artículo, con una luz de 6 m, calentado 40 °C: δ = 12 × 10⁻⁶ × 40 × 6000 mm = 2,88 mm. Casi tres milímetros de crecimiento. Retén ese número, porque todo lo que sigue es la historia de lo que ocurre cuando esos 2,88 mm son negados.

El coeficiente es una propiedad del material, medida más que deducida. Indica qué tan rápido crece el espaciamiento de la red cristalina con la temperatura, y varía más entre materiales de lo que la mayoría de los ingenieros recuerda:

Dos lecturas importan para el diseño en acero. Primero, el inoxidable se dilata alrededor de un 40 por ciento más que el acero al carbono, razón por la cual un componente de inoxidable empernado a un marco de acero al carbono puede desarrollar su propia lucha térmica incluso cuando todo el conjunto se calienta de manera uniforme. Segundo, el acero estructural y el hormigón quedan casi uno encima del otro, 12 contra 11. Esa cercanía es lo que permite que el hormigón armado y las secciones mixtas (acero-hormigón) sobrevivan a las oscilaciones de temperatura: los dos materiales crecen juntos y a la adherencia nunca se le pide arbitrar una diferencia grande.

El aluminio, con casi el doble del valor del acero, es el aviso de precaución. Un elemento de aluminio restringido de la manera en que lo está nuestra viga tendría mucho más movimiento que suprimir, y la fuerza térmica escala junto con él.

Ahora fija ambos extremos. La viga aún quiere crecer en δ = α·ΔT·L, pero los apoyos niegan cada milímetro. La compatibilidad lleva la contabilidad: el cambio total de longitud debe ser cero, así que el acortamiento mecánico al que se obliga al elemento tiene que cancelar exactamente el crecimiento térmico libre.

El alargamiento térmico libre menos el acortamiento elástico bajo la fuerza interna N es igual a cero: α·ΔT·L − N·L/(A·E) = 0. Despeja N y la longitud se cancela:

N = E·A·α·ΔT

Esa es la fuerza que la coacción debe soportar, y es una compresión: el elemento está siendo comprimido de vuelta a una longitud que preferiría superar. Divide entre el área y obtienes la tensión:

σ = N/A = E·α·ΔT

Vale la pena detenerse en dos cancelaciones. La longitud L desapareció de N, y el área A desapareció de σ. La temperatura no produce una fuerza que crezca con la luz, y no produce una tensión que dependa de cuán pesada sea tu sección. Produce una tensión fijada por completo por el material y el cambio de temperatura, y una fuerza fijada por esa tensión y el área. El motor de elementos finitos coincide al milímetro, como muestran las secciones siguientes.

Pon los números del acero en σ = E·α·ΔT. Con E = 200 GPa y α = 12 µε/°C:

σ = 200000 MPa × 12 × 10⁻⁶ × ΔT = 2,4 × ΔT (MPa)

Cada grado Celsius de cambio de temperatura suprimido son 2,4 MPa de tensión en acero totalmente restringido. Esa única constante te permite dimensionar el problema mentalmente antes de tocar la calculadora:

La consecuencia de diseño llega rápido. Una oscilación de 40 °C, bien dentro de lo que ve una viga expuesta pintada de oscuro entre una noche de invierno y una tarde de verano, son 96 MPa de compresión sin ninguna carga aplicada. Para el acero común MR250 o A36 con una fluencia de 250 MPa, la restricción total alcanza la fluencia en ΔT = 250/2,4 = 104 °C, y para el S235 en 98 °C. Esas no son temperaturas de incendio. Son la diferencia entre una mañana de montaje y una mala tarde, en un elemento que fue detallado para moverse y que luego, en algún punto, no lo hizo.

Tomemos el IPE 300 de forma concreta. El motor de CalcSteel calcula su área a partir de la geometría de la sección como A = 53,81 cm², coincidiendo con el valor de catálogo. Luz de 6 m, ambos extremos totalmente restringidos contra el movimiento axial, aumento de temperatura de 40 °C.

• Movimiento libre que quiere: δ = α·ΔT·L = 12 × 10⁻⁶ × 40 × 6000 = 2,88 mm.
• Tensión restringida: σ = 2,4 × 40 = 96 MPa (compresión).
• Fuerza restringida: N = σ·A = 96 MPa × 5381 mm² = 516,6 kN.

516,6 kN. Esa es la reacción que cada apoyo debe entregar, el empuje axial que las conexiones deben transferir, y la compresión que el elemento debe soportar, todo a partir de un cambio de temperatura y nada más. Para confirmarlo, corrimos el motor de elementos finitos en producción sobre la misma barra, aplicamos los 516,6 kN calculados, y leímos de vuelta un alargamiento de exactamente 2,88 mm y una reacción en el apoyo de 516,6 kN. La fuerza que suprime el crecimiento libre es precisamente la fuerza que lo habría producido. Esa equivalencia es el corazón de la acción térmica restringida, y el motor la reproduce al milímetro.

El resultado que sorprende a los estudiantes cada vez: haz la viga más larga y la fuerza térmica se mantiene exactamente igual. Corre el mismo IPE 300 a 3, 6 y 9 m por el motor, todos calentados 40 °C:

El movimiento libre se duplica de 3 a 6 m y se triplica de 3 a 9 m, porque δ = α·ΔT·L es proporcional a la longitud. La fuerza no se mueve en absoluto. Se queda en 516,6 kN para toda luz, porque N = E·A·α·ΔT nunca contuvo L en primer lugar. Un elemento más largo simplemente tiene más longitud sobre la cual distribuir la misma deformación bloqueada, así que almacena la misma tensión.

La intuición para llevarse: la temperatura carga un elemento por deformación, no por fuerza. Un cordón de celosía de 30 m restringido de extremo a extremo no desarrolla treinta veces el empuje térmico de un enlace de 1 m. Desarrolla la misma tensión, y la misma fuerza para la misma área. La longitud aparece solo en cuánto movimiento habrías tenido que acomodar para evitar la fuerza por completo.

Una fuerza térmica restringida es una compresión, y la compresión en un elemento esbelto plantea una segunda pregunta que la tensión por sí sola no responde: ¿pandea antes de fluir? Para nuestro IPE 300 como columna de 6 m, sin arriostrar respecto a su eje débil, las propiedades de sección del motor dan un radio de giro ry = 3,35 cm y una esbeltez KL/ry = 179. La carga crítica de Euler respecto a ese eje es

Ncr = π²·E·Iy / L² = π² × 200 GPa × 602,9 cm⁴ / (6 m)² = 331 kN.

La fuerza restringida de 40 °C, 516,6 kN, es 1,56 veces esa. El elemento no sube hasta 96 MPa y se detiene; pandea primero. Peor aún, el pandeo llega temprano: la compresión alcanza la carga de Euler de 331 kN con un cambio de temperatura de apenas 25,6 °C. Un elemento esbelto restringido puede pandear por una tarde templada, mucho antes de que la tensión se vea alarmante en el papel.

Por eso la fuerza térmica restringida no es una mera verificación de tensión. En un elemento arriostrado la fuerza es real pero el camino de pandeo está cerrado, así que fluye hacia las conexiones y la estructura de soporte como un empuje. En un elemento sin arriostrar o levemente arriostrado la misma fuerza puede encontrar el modo de pandeo y tomarlo. La calculadora en vivo de más abajo te permite ingresar una sección y una longitud y ver en cuál caso estás.

Ingresa tu sección, tu longitud de pandeo y una fuerza axial abajo. Para conectarlo con este artículo, calcula primero la fuerza térmica restringida, N = E·A·α·ΔT, o lee la tensión directamente de la regla de 2,4 MPa por °C y multiplícala por el área, luego escribe esa fuerza y compárala contra la capacidad de pandeo que devuelve la calculadora. Si la fuerza térmica queda por encima de la curva, el elemento pandea solo por temperatura. Si queda por debajo, la fuerza sigue ahí, y tus conexiones y apoyos tienen que soportarla.

La calculadora corre las mismas verificaciones que el motor de CalcSteel: la carga crítica de Euler con las capacidades de diseño de AISC 360 y NBR 8800 lado a lado, con la forma pandeada y la longitud de pandeo K·L dibujadas para tu columna.

La restricción total es el peor caso, y también es rara. Los apoyos reales ceden un poco, y los detalles reales a menudo dejan una holgura deliberada. Ambos alivian la fuerza, y la aritmética es simple: el elemento se dilata libremente hasta cerrar la holgura, luego bloquea solo el movimiento que resta.

Con una holgura g, el movimiento suprimido es δ − g, y la fuerza escala con lo que queda: N = E·A·(α·ΔT − g/L). En nuestro IPE 300 de 6 m a 40 °C, donde el movimiento libre es 2,88 mm, el motor confirma:

Una holgura de 1 mm, un agujero rasgado (ovalado) o un perno ligeramente suelto, ya libera un tercio de la fuerza. Una holgura igual al movimiento libre completo, 2,88 mm, la libera toda: el elemento llega al final de su recorrido justo cuando la temperatura alcanza su máximo y nunca desarrolla un solo kN. Esta es toda la idea de diseño detrás de los detalles de dilatación, y es por eso que el número a detallar no es la fuerza sino el movimiento, δ = α·ΔT·L, la única cantidad de este artículo que sí crece con la longitud.

La fuerza de dilatación restringida no es una curiosidad de libro de texto. Gobierna detalles en toda la práctica del acero:

• Vigas largas y bordes de piso empotrados rígidamente en columnas rígidas, donde una oscilación de temperatura de verano empuja las columnas hacia afuera con el empuje térmico completo.
• Puentes, el caso clásico, donde las juntas de dilatación y los apoyos deslizantes o de balancín existen exactamente por esta razón. Un tablero restringido de extremo a extremo conduciría fuerzas enormes hacia los estribos.
• Rieles de puente grúa y vigas carrileras largas, continuas a lo largo de muchos metros, donde la dilatación acumulada se absorbe en cortes planificados.
• Pipe racks y estructuras de proceso, donde tanto las líneas calientes como el acero que las soporta se mueven, y los anclajes y las guías se ubican para decidir dónde se le permite acumularse a la fuerza.
• Incendio, el caso extremo, donde ΔT se mide en cientos de grados. Las vigas restringidas en un incendio desarrollan compresiones que empujan a las columnas y pueden fallar conexiones mucho antes de que el acero pierda resistencia, razón por la cual la dilatación térmica restringida está en el centro de la ingeniería estructural contra incendios.

La fuerza proviene de un movimiento que es negado, así que toda solución es una forma de conceder el movimiento o de planificar para la fuerza. En orden aproximado de qué tan seguido aparecen:

• Déjalo moverse. Las juntas de dilatación, los agujeros rasgados (ovalados), los apoyos deslizantes y un extremo articulado con un extremo libre le dan al elemento a dónde crecer. Dimensiona la holgura al movimiento libre δ = α·ΔT·L para el rango de temperatura que esperas, con margen.
• Libera un extremo. Un elemento fijo en un extremo y libre en el otro no desarrolla ninguna fuerza térmica axial; simplemente se alarga. Muchas conexiones se detallan precisamente para quedar libres axialmente mientras aún transmiten cortante.
• Diseña para la fuerza. Donde la restricción es inevitable, soporta el empuje con honestidad: verifica el elemento para la compresión térmica combinada con sus otras cargas, y verifica que las conexiones y la estructura de soporte puedan tomar la reacción. Recuerda que es una compresión, así que el pandeo, no solo la fluencia, está sobre la mesa.
• Corta el tramo. Las estructuras continuas largas se dividen en bloques térmicos mediante juntas de movimiento, de modo que ninguna longitud restringida individual acumule nunca un movimiento grande por el cual luchar.

• Pensar que los elementos más largos desarrollan más fuerza. No lo hacen. La fuerza es E·A·α·ΔT, sin longitud en ella. Los elementos más largos desarrollan más movimiento, lo que cambia el detallado, no la fuerza.
• Suponer que una sección más pesada es más segura contra la temperatura. Un área mayor soporta más fuerza, N = E·A·α·ΔT, exactamente a la misma tensión, σ = E·α·ΔT. Aumentar la sección no baja la tensión térmica; incluso puede elevar el empuje hacia los apoyos.
• Verificar la tensión y olvidar el pandeo. La fuerza térmica es una compresión. En un elemento esbelto restringido puede alcanzar la carga de Euler bien por debajo de la fluencia, como lo hizo nuestro IPE 300 a 25,6 °C.
• Usar el α equivocado. El inoxidable y el aluminio se dilatan notablemente más que el acero al carbono. Un detalle de inoxidable dimensionado con los 12 µε/°C del acero subestima tanto el movimiento como, cuando está restringido, la fuerza.
• Detallar la fuerza en lugar del movimiento. No puedes diseñar económicamente la mayoría de las conexiones para el empuje restringido completo. La jugada correcta es casi siempre diseñar la holgura: concede el δ y la fuerza nunca aparece.