La segunda derivada: curvatura, línea elástica y cómo se flexiona realmente una viga

En Cálculo I la segunda derivada era el criterio de concavidad. Una f'' positiva significaba que la curva retenía agua, una f'' negativa que la derramaba, y donde f'' cambiaba de signo marcabas un punto de inflexión. Útil para bosquejar gráficas, fácil de archivar como técnica de examen. Es también, casi palabra por palabra, la ecuación que gobierna cada viga que un ingeniero estructural dimensiona.

La forma en que se flexiona una viga cargada tiene un nombre, la línea elástica, y es una función genuina v(x): la flecha vertical en cada punto a lo largo del vano. Su segunda derivada v''(x) es la curvatura de esa forma, y la curvatura no es un adorno. Multiplícala por la rigidez a flexión EI y obtienes el momento flector que la viga soporta en esa sección. La concavidad que probaste para aprobar cálculo es el diagrama de momentos, a escala.

Esta es la tercera parada de una breve serie. La primera mostró que la derivada dM/dx es la fuerza cortante; la segunda mostró que el momento es la integral definida del cortante. Esta va una derivada más allá y una integral más adentro, hasta la forma misma. Las tres vigas resueltas a continuación se calculan en el motor real de CalcSteel, y en cada una derivamos dos veces la flecha calculada y observamos cómo aparece el diagrama de momentos.

La primera derivada es una tasa: qué tan rápido cambia la función. La segunda derivada es la tasa de esa tasa: qué tan rápido gira la propia pendiente. En una gráfica se lee como concavidad. Donde f''(x) > 0 la pendiente crece y la curva se dobla hacia arriba como el fondo de un valle; donde f''(x) < 0 la pendiente decrece y la curva se dobla como la cima de una colina; donde f''(x) = 0 la curvatura se aplana momentáneamente, una inflexión.

Dos hechos de ese repaso pasan directo a las estructuras. Primero, la segunda derivada mide qué tan bruscamente se dobla una curva, independiente de qué tan empinada sea: una curva casi plana puede tener curvatura grande si gira rápidamente. Segundo, el signo de f'' te dice hacia qué lado está ahuecada la curva. Retén ambos. En un momento se convierten en qué tan fuerte está flexionada una viga y si tiene momento positivo o negativo.

Una sutileza que vale la pena señalar ahora. En cálculo puro la curvatura exacta de una gráfica es v'' / (1 + v'²) elevado a la potencia 3/2, no solo v''. Para una viga las pendientes son diminutas, unos pocos milésimos de radián, así que v'² es despreciable y la curvatura colapsa a v'' misma. Esa aproximación de pendientes pequeñas es la única hipótesis que convierte un difícil problema de geometría no lineal en la ecuación lineal limpia de abajo.

La curvatura tiene un significado geométrico concreto. En cualquier punto, ajusta el círculo que mejor abraza la curva; su radio es el radio de curvatura ρ, y la curvatura es κ = 1/ρ. Una recta tiene radio infinito y curvatura cero. Una curva muy cerrada tiene radio pequeño y curvatura grande. Para la línea elástica, κ = v''.

Los números lo hacen real. En la primera viga resuelta de abajo, el motor flexiona una viga de acero de 6 m hasta una curvatura en el centro del vano de 0.00143 por metro. Invierte ese valor y la viga en el centro del vano sigue un círculo de radio de unos 700 m. La viga se ve completamente recta a la vista, y sin embargo ese tenue arco de 700 m está soportando 45 kN·m de momento. Por eso la curvatura, no la flecha, es la medida honesta de qué tan solicitada está una sección: dos vigas pueden flectar el mismo milímetro y estar dobladas a radios completamente distintos.

Como la curvatura de pendientes pequeñas es simplemente v'', la segunda derivada de la forma deformada es la curvatura, con la precisión que cualquier viga de acero necesita. Todo lo que sigue es contabilidad sobre esa única identidad.

La relación que lo une todo es la ecuación de Euler-Bernoulli de la línea elástica:

M(x) = EI · v''(x)

Léela despacio. M es el momento flector. E es el módulo de elasticidad, 200 GPa para el acero. I es el segundo momento de área de la sección transversal, la resistencia de la forma a la flexión. Su producto EI es la rigidez a flexión. Y v'' es la curvatura. La ecuación dice que el momento que soporta una sección es su rigidez por qué tan bruscamente se ve forzada a doblarse. Sección más rígida o momento mayor, y la misma flexión cuesta más; sección más blanda, y el mismo momento la dobla más.

Reordenada, es la forma de curvatura κ = v'' = M/EI, que es la frase que los estudiantes de Cálculo II encuentran como doble integración: dado el momento, la curvatura es M/EI, integra una vez para la pendiente, otra vez para la flecha. Pero la ecuación es realmente el peldaño central de una escalera de cinco funciones, cada peldaño una derivada del de arriba:

v → θ = v' → M = EI·v'' → V = EI·v''' → w = EI·v''''

Flecha, pendiente, momento, cortante, carga. Una función, derivada por turnos. El momento se ubica en la segunda derivada, y por eso la segunda derivada es la que más le importa a un ingeniero: es el primer peldaño que se convierte en una tensión.

Toma la viga que todo curso dibuja primero: una IPE 360 simplemente apoyada, vano L = 6 m, bajo una carga uniforme w = 10 kN/m. Su sección tiene I = 15,727.9 cm⁴, así que con E = 200 GPa la rigidez a flexión es EI = 31,456 kN·m². Resuelta en el motor de CalcSteel, el momento en el centro del vano es el de libro de texto M = wL²/8 = 45 kN·m, y la viga flecta 5.365 mm en el centro del vano, exactamente la forma cerrada 5wL⁴/384EI.

Ahora lee la forma como cálculo. El diagrama de momentos es una parábola, de segundo grado. Como M = EI·v'', la curvatura v'' es esa misma parábola dividida por EI, y para obtener la flecha la integras dos veces. Integrar dos veces una curva de segundo grado da una de cuarto grado, así que la línea elástica es una cuártica. Por eso una viga cargada uniformemente flecta con esa curva particular, llena y redondeada: es la cuarta antiderivada de una carga constante.

La identidad es verificable, así que la verificamos. Tomar la propia flecha calculada por el motor en 25 estaciones a lo largo del vano y derivarla dos veces numéricamente da la curvatura; multiplica por EI y recuperas el diagrama de momentos con un error menor al 0.13% del pico. La curvatura en el centro del vano resulta ser 0.00143 por metro frente a la forma cerrada M/EI = 45 / 31,456 = 0.00143. La parábola del diagrama de momentos y la cuártica de la forma deformada son el mismo objeto, separados por dos derivadas.

El signo de la segunda derivada no es un tecnicismo; es la diferencia entre una viga con momento positivo y una con momento negativo. Donde la viga se curva cóncava hacia arriba, ahuecada para retener agua, v'' es positiva y el momento es positivo: las fibras inferiores se estiran, las superiores se comprimen. Este es el momento positivo, el estado de una viga simple en el centro del vano. Donde la viga se curva al revés, v'' es negativa y el momento es negativo: las fibras superiores se estiran, las inferiores se comprimen. Este es el momento negativo, lo que ocurre sobre el apoyo interior de una viga continua.

Entre un momento positivo y uno negativo la curvatura debe pasar por cero. Ese es el punto de inflexión de Cálculo I, y en una viga tiene un significado físico preciso: es la sección donde el momento flector es cero. El mismo cambio de concavidad que aprendiste a marcar en una gráfica es la sección que un detallista puede tratar como una rótula para el momento, porque allí no hay momento que transmitir. Curvatura cero, momento cero, inflexión: tres nombres para un punto.

Por eso también el diagrama de momentos y la forma deformada siempre comparten su historia de signos. Donde la viga se hunde formando un valle tiene momento positivo y el momento es positivo; donde se arquea tiene momento negativo y el momento es negativo. Puedes leer uno a partir del otro sin un solo cálculo, porque son la misma segunda derivada.

Cambia los apoyos y la forma cambia con ellos. Toma la misma IPE 360 como un voladizo de 3 m, empotrado en el muro y libre en el extremo, con una carga de 20 kN colgada en la punta. El motor reporta un momento de empotramiento de P·L = 60 kN·m y una flecha en el extremo de 5.722 mm, exactamente la forma cerrada PL³/3EI.

Aquí el diagrama de momentos es una recta: máximo en el empotramiento, cayendo a cero en el extremo libre, porque allí el brazo de palanca de la carga en la punta se reduce a nada. Como la curvatura es el momento sobre EI, la curvatura es esa misma recta, máxima en el muro y cero en el extremo. Integra dos veces una curvatura de primer grado y la línea elástica es una cúbica. La viga está flexionada con mayor agudeza exactamente donde está restringida, curvatura 0.00191 por metro en el empotramiento, y cuelga casi recta cerca del extremo aunque ese es el punto donde más se mueve.

Ese último punto es en el que tropiezan los estudiantes, así que vale la pena decirlo con claridad: el lugar donde una viga más se mueve y el lugar donde más se flexiona no son el mismo lugar. El extremo se mueve 5.7 mm y tiene curvatura cero; el empotramiento no se mueve nada y tiene la curvatura máxima. La flecha es la función; la curvatura es su segunda derivada; un máximo de una no tiene nada que ver con un máximo de la otra. Derivar dos veces la curva de flecha del motor recupera el momento lineal con un error menor al 0.05% del pico.

La tercera viga afina la idea. Pon la IPE 360 de nuevo sobre dos apoyos a lo largo de 6 m, pero reemplaza la carga uniforme por una única fuerza de 40 kN en el centro del vano. El motor da M = PL/4 = 60 kN·m en el centro y una flecha en el centro del vano de 5.722 mm, exactamente PL³/48EI.

Ahora el diagrama de momentos es un triángulo, dos rectas que suben hasta un pico agudo bajo la carga. La curvatura es ese triángulo sobre EI, así que también alcanza su pico bajo la carga en 0.00191 por metro, y la línea elástica es cúbica a trozos, una cúbica en cada mitad que se encuentran en el centro. La forma deformada es suave a la vista, pero su curvatura tiene una esquina justo bajo la carga puntual, porque una fuerza concentrada es el único lugar donde el diagrama de momentos se quiebra.

Esta es la lección de cálculo que las estructuras hacen física. Una carga puntual se idealiza como actuando en un solo punto, así que la curvatura se dispara a su máximo en una franja infinitamente delgada. Lejos de esa franja, derivar dos veces la flecha del motor reproduce el momento con un error menor al 0.01% del pico; solo en el nodo cargado mismo la segunda diferencia queda a caballo sobre el quiebre, exactamente como una segunda derivada se comporta mal en una esquina. Las cargas reales se reparten sobre una pequeña longitud y el pico se redondea, pero la matemática es honesta: la segunda derivada ve la esquina que la primera derivada esconde.

Leer sobre curvatura es una cosa; ver la forma deformada responder a una carga que tú eliges es otra. La calculadora de abajo es el verdadero solucionador de vigas de CalcSteel, el mismo motor de elementos finitos que produjo cada número de arriba. Elige un perfil, define un vano, aplica una carga, y lee la flecha, el momento y la forma en que se flexiona.

Prueba el experimento detrás de este artículo. Duplica la carga y observa cómo la flecha se duplica mientras la forma permanece igual: la línea elástica es lineal en la carga. Luego mantén la carga y cambia a una sección más peraltada; la flecha cae con fuerza, porque I crece con el cubo del peralte y EI está en el denominador de la curvatura. Estás manejando M = EI·v'' a mano, sintiendo cómo la rigidez se compensa con la curvatura para un momento fijo.

Los estudiantes preguntan para qué servía realmente la secuencia de cálculo. Una viga lo responde de principio a fin. La segunda derivada y la concavidad de Cálculo I son M = EI·v'': la curvatura que se convierte en momento y luego en tensión. El punto de inflexión es la sección de momento cero. Las antiderivadas del final de Cálculo I recorren la escalera hacia atrás: integra la curvatura para la pendiente, integra otra vez para la flecha.

Cálculo II aporta el remate. Las dos constantes de integración que aparecen cuando integras M/EI dos veces no son cabos sueltos; quedan fijadas por las condiciones de contorno, los apoyos. Un apoyo articulado fuerza flecha cero allí; un empotramiento fuerza flecha cero y pendiente cero. Resuelve las constantes y la línea elástica queda completamente determinada. Ese es el método de la doble integración, el primer método manual que enseña cualquier curso de estructuras, y no es más que Cálculo II aplicado a M/EI.

Así que el mapa honesto es este: la carga es la cuarta derivada de la forma deformada, y la flecha es la cuarta integral de la carga, con el momento ubicado en la segunda derivada, en el medio. Cada viga resuelta de arriba recorre un tramo de esa escalera. La segunda derivada del aula de examen fue la columna vertebral del análisis estructural todo el tiempo.

1. Confundir flecha con curvatura. La mayor flecha y la mayor flexión suelen ser secciones distintas. Un voladizo se mueve más en el extremo libre, que tiene curvatura cero, y se flexiona más en el empotramiento, que no se mueve. Dimensiona la sección a partir del momento, que es la curvatura, no a partir de donde visiblemente flecta.

2. Olvidar el signo. v'' positiva es momento positivo, v'' negativa es momento negativo. Ignora el signo en una viga continua y refuerzas la cara equivocada sobre el apoyo, donde el momento es negativo y las fibras superiores están en tracción.

3. Tratar EI como constante cuando no lo es. M = EI·v'' supone que la sección y el material son los mismos a lo largo del vano. Aligera el elemento con forma variable, cambia el grado, o fisura una sección de hormigón, y EI varía con x, así que un momento igual da una curvatura desigual. El motor lo maneja por elemento; una sola fórmula manual no.

4. Usar la curvatura no lineal completa. La curvatura exacta es v'' / (1 + v'²) elevada a la potencia 3/2. Para una viga las pendientes son diminutas y colapsa a v'', que es la razón entera por la que la ecuación es lineal. Esa simplificación falla solo para elementos muy esbeltos y muy flexibles con grandes pendientes, lo cual es un análisis distinto, de segundo orden.

5. Leer un quiebre de carga puntual como un error. La curvatura tiene una esquina genuina bajo una carga concentrada porque el diagrama de momentos se quiebra allí. La forma deformada sigue siendo suave; solo su segunda derivada es discontinua. Eso es la matemática siendo correcta, no el modelo fallando.

El motor no integra M/EI simbólicamente. Resuelve la viga por el método directo de rigidez, que es la misma ecuación en forma matricial. Cada elemento lleva la solución exacta de EI·v'''' = w incorporada en sus funciones de forma: polinomios cúbicos de Hermite, las mismas formas cuárticas y cúbicas con que salieron las vigas resueltas de arriba. Las flechas y rotaciones nodales son las incógnitas, los apoyos son las condiciones de contorno, y la matriz de rigidez ensamblada es la ecuación de la cuarta derivada discretizada.

Por eso cerró cada verificación de este artículo. Cuando tomamos la flecha calculada por el motor, la derivamos dos veces y multiplicamos por EI, recuperamos el diagrama de momentos con una fracción de por ciento, porque el motor construyó esa flecha para satisfacer M = EI·v'' elemento por elemento desde el principio. La curvatura no es una ocurrencia de posprocesamiento; es la cantidad que el solucionador realmente resuelve, con la flecha y el momento como dos lecturas de la misma forma.

Así que cuando la aplicación dibuja una forma deformada junto a un diagrama de momentos, no está dibujando dos resultados separados. Está dibujando una función y su segunda derivada, escalada por EI. El cálculo que te enseñaron para bosquejar gráficas es el cálculo que el motor ejecuta para mantener un edificio en pie.