La tensión en física: el tensor, el criterio detrás de la norma y una verificación resuelta

Aquí tienes una barra que podrías proyectar esta tarde. Un IPE 400 en S355, en voladizo 0,9 m desde un pilar, con 380 kN en la punta y traccionado hacia fuera por 150 kN. Corta, rechoncha, nada llamativa. El tipo de ménsula que sostiene una viga carrilera o un equipo de planta.

Haz las verificaciones como las hace todo el mundo. Flexión: el momento en el empotramiento es 342,0 kNm, la tensión elástica en la fibra extrema es 311,82 MPa frente a fy = 355 MPa, así que el aprovechamiento es 0,878. Cortante: 380 kN frente a una resistencia plástica a cortante de 875,07 kN, aprovechamiento 0,434. Ambas aprueban. EN 1993-1-1 solo pide combinarlas cuando el cortante supera la mitad de la resistencia a cortante, y 0,434 es menor que 0,5, así que no hay nada más que hacer. La ménsula se firma al 88 % de su capacidad.

Ahora ve a un punto 186,5 mm por encima del eje neutro, donde el alma se encuentra con el ala, y escribe el estado de tensión real que hay allí. Una tensión normal de 291,97 MPa y una tensión tangencial de 96,08 MPa, al mismo tiempo, sobre la misma partícula de acero. Combínalas como manda la física y la tensión efectiva es 336,07 MPa. Aprovechamiento 0,947.

Ninguna de las dos verificaciones estaba mal. La tensión de flexión es realmente 311,82 MPa y el cortante está realmente por debajo del límite. Lo que se perdió es que la tensión en un punto no es un número, y las dos verificaciones estaban leyendo dos números distintos del mismo objeto. Este artículo trata de qué es ese objeto, por qué hace falta un criterio para colapsarlo a un número, dónde la norma es ese criterio disfrazado y dónde es un atajo con un punto ciego medible.

La tensión se presenta como fuerza partido por área, σ = F/A. Para una barra traccionada según su eje eso es completo y correcto, y por eso la definición sobrevive tanto tiempo antes de que alguien note el agujero.

El agujero es el área. ¿Qué área? Corta la misma barra cargada con un plano perpendicular a su eje y la fuerza que atraviesa ese plano es enteramente normal a él: tracción pura, sin cortante. Corta la misma barra, en el mismo punto, con un plano a 45 grados, y la misma fuerza interna tiene ahora una componente a lo largo del corte. El material no ha cambiado, la carga no ha cambiado, el punto no ha cambiado. Solo cambió la pregunta, y la respuesta cambió con ella.

Así que la definición honesta es local y direccional. Toma un área pequeña ΔA en un punto, con normal unitaria exterior n. El material del lado lejano tira del lado cercano con una fuerza ΔF. El vector tensión es

t(n) = lim(ΔA → 0) ΔF / ΔA

t es un vector, tiene tres componentes y es función de n. Esa última parte es toda la historia. No existe “la tensión en este punto” hasta que dices sobre qué plano estás cortando. Hay un estado de tensión, y la tracción es lo que obtienes cuando interrogas a ese estado con una dirección.

Fíjate además en que t no tiene por qué apuntar según n. En tracción pura lo hace. En el corte a 45 grados no, y la parte de t según n es la tensión normal σn mientras que la parte contenida en el plano es la tensión tangencial τn. Descomponer t así es la única razón por la que las palabras normal y tangencial significan algo.

Si la tracción cambia con cada plano, y hay infinitos planos por un punto, parece que haría falta información infinita para describir un estado de tensión. Cauchy demostró en la década de 1820 que hacen falta nueve números, y en realidad solo seis.

El argumento es un sólido libre. Toma un tetraedro diminuto en el punto con tres caras sobre los planos coordenados y la cuarta cortada según una normal cualquiera n. Las tracciones sobre las tres caras coordenadas son conocidas. Escribe el equilibrio de fuerzas, deja que el tetraedro se encoja hasta desaparecer para que las fuerzas de volumen (que escalan con el volumen) se desvanezcan frente a las de superficie (que escalan con el área), y la tracción sobre la cara arbitraria queda fijada por las otras tres:

t(n) = σ · n, es decir tᵢ = σᵢⱼ nⱼ

σᵢⱼ es el tensor de tensiones de Cauchy. Su primer índice dice qué cara, el segundo dice en qué dirección apunta la componente. Los términos diagonales σxx, σyy, σzz son tensiones normales. Los términos fuera de la diagonal son tangenciales.

Nueve pasan a seis por el equilibrio de momentos en el mismo cubo que se encoge. Si σxy no fuera igual a σyx, el desequilibrio produciría un momento que escala con el cubo del tamaño mientras la inercia resistente escala con la quinta potencia, así que un cubo suficientemente pequeño giraría con aceleración angular no acotada. No lo hace. Por tanto σᵢⱼ = σⱼᵢ, el tensor es simétrico, y seis números describen todos los planos que pasan por el punto.

Ese es el sentido en el que la tensión es un tensor y no una lista de nueve números. Un tensor es un objeto que aplica una dirección sobre un vector de una manera que no depende de los ejes en los que lo hayas escrito, y σ · n es exactamente esa aplicación.

Toma el punto que importa en la ménsula resuelta, la unión alma ala, donde el motor y la sección dan σxx = 291,97 MPa, τxy = 96,08 MPa y todo lo demás cero. Después gira el plano de corte 180 grados, un grado cada vez, y evalúa t = σ · n en cada uno.

• La tensión normal σn va de -28,77 MPa a 320,74 MPa. La misma partícula de acero está comprimida en unos planos y cerca de la fluencia en tracción en otros.
• La tensión tangencial τn va de 0 a 174,76 MPa, y el máximo cae a 62 grados del eje de la viga.
• Donde σn es máxima, τn es exactamente cero, y al revés. Esos dos extremos están separados 45 grados, siempre.

Nada del material ni de la carga cambió durante ese barrido. Solo la orientación de un corte imaginario. Si alguien te da un número y lo llama la tensión en un punto, ese número es una muestra de esta curva, y la pregunta útil es cuál.

También explica algo que puedes ver en cualquier probeta rota a tracción. Tira de una barra de acero dúctil y no se parte en el plano donde la tensión normal es máxima. Desliza en un plano que corre aproximadamente a 45 grados, porque ahí es donde la tensión tangencial hace pico, y los metales dúctiles fallan deslizando, no separándose. La superficie de rotura es una fotografía de este barrido.

Gira los ejes y las componentes del tensor cambian. Eso es inevitable y es un problema, porque una regla de proyecto no puede depender de cómo alguien dibujó la retícula. Girar el tensor de este punto alrededor de z unos cuantos ángulos arbitrarios da:

Todas las componentes se mueven. σxx sola pasa de 319,32 MPa a 0,00 MPa, un salto de la tensión entera, solo por girar el papel. La última columna no se mueve nada, hasta nueve decimales.

La razón es que tres combinaciones concretas de las componentes son invariantes frente a la rotación:

I₁ = σxx + σyy + σzz = 291,97 MPa
I₂ = σxxσyy + σyyσzz + σzzσxx - τxy² - τyz² - τzx² = -9 231,55 MPa²
I₃ = det(σ) = 0

Son la traza, la suma de los menores principales y el determinante, y se mantienen en todos los ángulos ensayados aquí con una parte por millón. Cualquier función construida solo con I₁, I₂ e I₃ es automáticamente independiente de los ejes, y ese es el material bruto del que está hecho todo criterio de fluencia.

Entre todos los planos barridos arriba hay tres, mutuamente perpendiculares, sobre los que la tracción es puramente normal: la tangencial se anula y t apunta justo según n. Esos son los planos principales, sus normales son las direcciones principales, y las tensiones normales sobre ellos son las tensiones principales σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃. Formalmente son los autovalores de σ, y por eso existen para cualquier tensor simétrico y por eso son invariantes.

Para un estado de viga, con σy = σz = 0, el álgebra es corta:

σ₁,₃ = σ/2 ± √((σ/2)² + τ²), tan 2θp = 2τ/σ

En el punto de la unión: σ₁ = 320,75 MPa, σ₂ = 0, σ₃ = -28,78 MPa, con la dirección principal a θp = 16,68 grados. Fíjate en que σ₁ es mayor que los 291,97 MPa de partida. El cortante no solo añade una segunda tensión junto a la normal, sino que eleva la mayor tracción del material por encima de cualquiera de las dos.

La tensión tangencial máxima se deduce de inmediato: τmax = (σ₁ - σ₃)/2 = 174,77 MPa, sobre planos a θp + 45° = 61,68 grados. El barrido de 180 grados encontró su pico de 174,76 MPa a 62 grados, que es la misma respuesta con resolución de un grado. El círculo de Mohr no es más que la gráfica de estas fórmulas, con centro σ/2 y radio √((σ/2)² + τ²).

El criterio de Tresca dice que el material fluye cuando σ₁ - σ₃ alcanza fy. Aquí esa diferencia es 349,53 MPa frente a 355, así que Tresca sitúa este punto en 0,984 de la capacidad. Es el más conservador de los dos criterios, en torno a un 4 % en este estado, y es aquel sobre el que se construyeron la mayoría de las normas de hormigón y de acero más antiguas.

Descompón cualquier tensor de tensiones en dos partes. La parte hidrostática es la tensión media σm = I₁/3 por la identidad: igual tracción o compresión en todas las direcciones, que cambia el volumen pero no la forma. Lo que queda es el desviador, s = σ - σm I, que cambia la forma pero no el volumen.

El hecho experimental detrás de todo modelo de plasticidad de metales es que la fluencia es un fenómeno del desviador. Los metales fluyen por dislocaciones que deslizan sobre planos, el deslizamiento lo mueve el cortante, y la presión pura no produce cortante sobre ningún plano. Bridgman ganó un premio Nobel en parte por mostrar que el acero bajo presión hidrostática enorme fluye con la misma tensión desviadora que el acero a presión atmosférica.

Puedes verlo en la aritmética. Toma el tensor de la unión y suma p a los tres términos de la diagonal:

La tensión media se mueve más de 5 500 MPa. La tensión de von Mises se mueve 5,7 × 10⁻¹⁴ MPa, que es ruido de coma flotante, no física. Así que el criterio tiene que ser función solo del desviador, y el invariante del desviador más simple que no es idénticamente nulo es el segundo, J₂.

Esa es la deducción completa de von Mises. Fluye cuando J₂ alcanza un valor crítico, calibra ese valor con un ensayo de tracción simple donde la fluencia ocurre en fy, y obtienes

σvm = √(½[(σ₁-σ₂)² + (σ₂-σ₃)² + (σ₃-σ₁)²]) ≤ fy

y para el estado de viga, donde solo sobreviven σ y τ, se reduce a la forma que has visto en la norma sin que nadie te dijera de dónde salía:

σvm = √(σ² + 3τ²)

Todo lo anterior se aplica ahora a una barra, sin suponer nada que se pudiera calcular.

La estructura. Un IPE 400 en S355, empotrado en un extremo, en voladizo 0,9 m, con 380 kN aplicados hacia abajo en la punta y 150 kN tirando hacia fuera según el eje. Se corren dos casos: este, y una versión más larga de 2,5 m con 120 kN, para mostrar una barra corriente por contraste.

El motor. Los esfuerzos internos vienen de app.engine.solver.run_analysis, el mismo solucionador que corre detrás de CalcSteel. Antes de confiar en él, un caso de control: una IPE 400 biapoyada de 8 m con 30 kN/m tiene que devolver wL²/8, wL/2 y 5wL⁴/384EI. Devuelve 240,00 kNm, 120,00 kN y 35,99968 mm frente a una forma cerrada de 35,999678 mm. El control pasa con mejor de 0,001 %, así que la ménsula se corre. En su empotramiento el motor da N = 150,0 kN, V = 380,0 kN y M = 342,0 kNm, coincidiendo con H, P y P·L exactamente, como debe ser en una barra isostática.

La sección. Las tensiones necesitan geometría, y el registro de perfiles guarda aproximaciones para esta forma (su Zx de 655 cm³ es aproximadamente la mitad del valor real), así que la sección se integra a partir de las dimensiones reales: alma, alas y los cuatro acuerdos de raíz. Eso da A = 8 446,4 mm², I = 23 260 cm⁴, Wel = 1 163,0 cm³ y Wpl = 1 310,7 cm³, frente a los valores de tabla publicados de 8 450 mm², 23 130 cm⁴, 1 156 cm³ y 1 307 cm³. Todos están dentro del 0,61 %. Como el voladizo es estáticamente determinado, los N, V y M del motor no dependen de esto en absoluto.

El campo, y después comprobado hacia atrás. La tensión normal es σ(y) = N/A + M·y/I y la tangencial es τ(y) = V·Q(y)/(I·t(y)), con Q integrada numéricamente sobre la misma sección. Un campo de tensiones solo es el campo de tensiones de la barra si integra de vuelta a los esfuerzos internos de la barra, así que se le obliga a demostrarlo:

• ∫σ dA = 150,000 kN frente al N = 150,0 kN del motor
• ∫σ·y dA = 342,000 kNm frente al M = 342,0 kNm del motor
• ∫τ dA = 380,001 kN frente al V = 380,0 kN del motor

Los tres cierran con mejor de 0,001 %. A partir de aquí el tensor es real, no ilustrativo.

Evalúa el tensor a tres alturas y pasa cada una por la maquinaria: tensiones principales, Tresca, von Mises.

Lee la primera fila junto con la segunda. Al bajar 13,5 mm desde la superficie, la tensión normal cae 19,85 MPa, exactamente como dice el diagrama lineal de flexión que debe hacer. Y la tensión efectiva sube 24,25 MPa, porque el cortante que recoge por el camino cuenta tres veces dentro de √(σ² + 3τ²).

Barrer el canto completo confirma que la tensión de von Mises máxima de toda la sección se sitúa en la unión, en 336,07 MPa, y no en la fibra extrema, en 311,82 MPa. La verificación a flexión evalúa la sección justo a la altura donde la respuesta queda un 7,8 % baja.

La fila del eje neutro merece mirada propia. La tensión normal allí es 17,76 MPa, que no es más que la tracción axial de 150 kN repartida sobre el área. Casi toda la tensión efectiva de 216,36 MPa viene del cortante, y √3 × 124,49 = 215,62, siendo el resto la pequeña contribución axial. Este es el punto donde el criterio es cortante puro, y la penúltima sección muestra que la norma ya conoce su respuesta.

Un detalle de la unión merece atención aparte, porque pilla a quien calcula τ = VQ/It con cuidado y luego lo lee del lado equivocado de una línea.

En y = 186,5 mm exactamente, termina el alma y empieza el ala. Q, el momento estático del área más allá del corte, es continuo ahí: no le importa que la forma esté a punto de ensancharse. El espesor t no es continuo en absoluto. Salta de tw = 8,6 mm a b = 180 mm.

Como τ = VQ/(I·t), la tensión tangencial salta en la razón de esos anchos:

• lado del alma en la interfaz: τ = 96,08 MPa, σvm = 336,07 MPa
• lado del ala en la interfaz: τ = 4,59 MPa, σvm = 292,08 MPa
• razón: 20,93, que es b/tw = 180/8,6 con seis decimales

Misma altura, misma Q, mismo V, dos respuestas separadas 44 MPa en tensión efectiva. El lado del alma es el que gobierna, y es el que la gente se salta cuando evalúa el ala.

Esto también explica por qué la aproximación clásica τ ≈ V/(tw·hw), que reparte el cortante uniformemente sobre el alma, es tan buena como es para perfiles I laminados: casi todo el cortante vive realmente en el alma, porque las alas son demasiado anchas para llevar tensión apreciable con la misma Q. Es una buena aproximación para la media y mala para el pico, que es lo que le importa al criterio.

La forma más rápida de hacer esto concreto es teclear el punto resuelto y mirar el círculo. Introduce σx = 291,97 MPa, σy = 0 y τxy = 96,08 MPa, que es la unión de la ménsula, y deberías obtener σ₁ = 320,75 MPa, σ₃ = -28,78 MPa, θp = 16,68° y τmax = 174,77 MPa.

Después prueba las dos filas límite de la tabla. Pon τ a cero y deja σ en 311,82: el círculo se colapsa sobre el eje, σ₁ = σ y von Mises iguala a la tensión de flexión, que es la verificación a flexión de la norma. Pon σ a cero y τ a 124,49: el círculo se centra en el origen, σ₁ = -σ₃ = τ, y von Mises es √3 × τ. Todo lo que la norma le hace a una viga vive entre esos dos extremos.

Nada de esto es un descubrimiento que a las normas se les escapara. Dos de las cláusulas más familiares del proyecto en acero son el criterio de von Mises evaluado en un punto especial, y reconocerlo hace que dejen de ser arbitrarias.

La verificación a flexión es von Mises en la fibra extrema. En la superficie de una viga la tensión tangencial es exactamente cero, porque no hay material más allá contra el que cortar, así que Q = 0 ahí. Pon τ = 0 en σvm = √(σ² + 3τ²) y obtienes σvm = |σ|. La regla “σ ≤ fy” no es una simplificación del criterio en ese punto, es el criterio en ese punto, exactamente.

El límite de cortante es von Mises en el eje neutro. En una barra con poco esfuerzo axil la tensión normal a media altura es casi nula, así que σvm se reduce a √3 τ. Igualando eso a fy sale la tensión de fluencia a cortante:

τy = fy/√3 = 0,5774 fy, que para S355 es 204,96 MPa

De ahí viene cada 0,577 de la literatura, y de ahí viene directamente el Vpl,Rd = Av·fy/(√3·γM0) de EN 1993-1-1. AISC 360 escribe 0,6 Fy en su lugar, que para S355 es 213,0 MPa, un 3,9 % por encima del valor puro de von Mises; la diferencia la absorben el factor de resistencia y el coeficiente de abolladura por cortante del alma Cv que va al lado. Tresca, dicho sea de paso, daría exactamente 0,5 fy, y por eso algunas referencias antiguas usan la mitad de la tensión de fluencia para el cortante.

Y en un sitio la norma lo escribe sin rodeos. EN 1993-1-1 §6.2.1(5) da una verificación general conservadora para cualquier punto de una sección transversal como √(σx² + σz² - σxσz + 3τ²) ≤ fy/γM0. Ese es el criterio de von Mises en tensión plana, escrito en la norma, disponible para cualquiera que quiera verificar a mano el punto de la unión.

Entre la fibra extrema y el eje neutro, la norma no evalúa el criterio. Verifica la flexión arriba, el cortante en el alma, y los combina solo cuando el cortante es grande. EN 1993-1-1 §6.2.8 abre ese umbral en V > 0,5 Vpl, por debajo del cual no se exige ninguna reducción de la resistencia a momento.

Así que mantén el momento de la ménsula resuelta en 342,0 kNm, barre el cortante de cero a Vpl, y mide cuánto excede la tensión de von Mises real de la unión a la tensión normal que la verificación a flexión ve a esa misma altura:

La penalización supera el 5 % en V/Vpl = 0,25, que es la mitad de donde la norma empieza a preguntar. Cuando el umbral se abre, el efecto para el que se abre ya ha llegado al 19,6 %. Esa banda, entre un cuarto y la mitad de Vpl, es el tamaño medido del atajo.

Lo cual no es lo mismo que decir que la norma sea insegura, y conviene ser preciso sobre por qué:

• Los coeficientes parciales están por encima de todo esto. γM0 = 1,00 en EN y φb = 0,90 en AISC, con coeficientes de carga de 1,35 y 1,5 por debajo, dejan mucho más de un 15 % de margen en cualquier proyecto real.
• La verificación es elástica y la sección no lo es. Un IPE 400 en S355 es Clase 1, así que alcanzar fy en un punto a 186,5 mm de altura simplemente inicia una fluencia local que se redistribuye a las fibras vecinas. La primera fluencia no es el fallo en un perfil laminado compacto.
• Las barras que llegan a V/Vpl = 0,25 con un momento alto en la misma sección son una familia pequeña: ménsulas cortas, vigas con recorte, tramos cortos muy cargados y vigas armadas donde el alma es deliberadamente delgada.

El resumen honesto es que las verificaciones separadas son una calibración, ajustada para las barras que casi todo el mundo proyecta, y el tensor es lo que se está aproximando. En la ménsula corriente de 2,5 m la aproximación cuesta un 2,05 % y a nadie debería importarle. En la de 0,9 m cuesta un 15,10 % y merece diez minutos con √(σ² + 3τ²) en la unión.

Los dos criterios son invariantes, los dos ignoran la tensión hidrostática, los dos se reducen a fy en tracción simple. Difieren en lo que dicen de todos los demás estados.

Tresca fluye cuando la tensión tangencial máxima alcanza fy/2, es decir cuando σ₁ - σ₃ = fy. Dibujado en el espacio de tensiones principales es un hexágono. Von Mises es la elipse circunscrita a él en tensión plana, así que los dos coinciden exactamente en seis puntos y von Mises nunca es más conservador en ningún sitio.

La mayor diferencia está en el cortante puro, donde Tresca fluye en 0,500 fy y von Mises en 0,577 fy, una diferencia del 15,5 %. En el punto de la unión de la ménsula resuelta Tresca da σ₁ - σ₃ = 349,53 MPa frente a los 336,07 MPa de von Mises, así que Tresca es un 4,0 % más exigente ahí.

Las normas de acero eligieron von Mises por dos razones. Ajusta mejor los ensayos de torsión de pared delgada y de carga combinada en metales dúctiles, típicamente dentro de unos pocos por ciento, mientras que Tresca es conservador hasta un 15 %. Y es suave: el hexágono tiene esquinas donde la superficie de fluencia no tiene normal única, lo que vuelve ambigua la regla de flujo plástico e incómodas las implementaciones en elementos finitos. Tresca sobrevive donde su conservadurismo es bienvenido y su álgebra es más simple, y por eso todavía te lo encuentras en el cálculo de recipientes a presión.

• Citar una tensión sin un plano. “La tensión en la soldadura es 180 MPa” está incompleto hasta que se nombra el plano. En la unión de esta ménsula el mismo punto se lee entre -28,77 y 320,74 MPa de tensión normal.
• Sumar σ y τ aritméticamente. Son componentes distintas de un mismo objeto, no dos cargas sobre una viga. 291,97 + 96,08 = 388,05 no significa nada; √(291,97² + 3·96,08²) = 336,07 es la respuesta.
• Verificar solo la fibra extrema. En esta barra el punto que gobierna está 13,5 mm por debajo de la superficie, y la verificación a flexión lo falla por un 7,8 %.
• Leer τ del lado del ala en la unión. Misma y, misma Q, pero t salta de 8,6 a 180 mm y la respuesta cambia por un factor de 20,93. El valor del alma es el que gobierna.
• Tomar 0,5 Vpl como física. Es un umbral para cuándo la norma exige una interacción, no la carga a la que la interacción empieza. La interacción ha estado ahí todo el tiempo, y ya vale un 5 % con la mitad de ese cortante.
• Esperar que la tensión hidrostática importe. Una barra a gran profundidad bajo presión fluye con la misma tensión desviadora que una en la superficie, hasta catorce decimales en la aritmética de arriba.
• Usar von Mises donde no se aplica. Es un criterio para metales dúctiles. La fatiga, la fractura frágil, los tornillos a cortante y el hormigón tienen cada uno su propio estado límite, y ninguno de ellos es √(σ² + 3τ²) ≤ fy.

La frase que hay que llevarse: la tensión en física es un tensor, la norma verifica un escalar, y un criterio de fluencia es el tipo de cambio entre los dos. Saber dónde ese tipo de cambio es exacto y dónde es un redondeo te dice qué barras puedes firmar en un minuto y cuáles merecen diez.