Deformación en ingeniería: el criterio de ductilidad detrás de la norma, con una comprobación paso a paso

Toma una viga continua de dos vanos, un IPE 400 en S355 sobre dos luces de 8 m, con carga uniforme. Compruébala de la forma más estricta con la que todavía se comprueba algo: análisis elástico, módulo resistente elástico, la tensión en la fibra extrema no puede superar fy. Carga 49,31 kN/m.

Ahora comprueba la misma viga como la norma sí permite. Usa el módulo plástico, porque la sección es compacta. Redistribuye el momento de apoyo, porque la sección puede formar una rótula y girar. Mismo acero, mismo perfil, misma luz, mismos apoyos, nada soldado encima, nada rigidizado. Carga 64,12 kN/m. Son un 30,0 % más de carga, y es gratis en el sentido de que nadie te manda una factura por ello.

Salvo que algo sí paga. Ese 30 % extra se compra con deformación: el acero del apoyo tiene que estirarse más de lo que una comprobación de primera fluencia contempla jamás, y aguantar mientras lo hace. La norma nunca imprime ese número. Escribe el permiso en tensión, en módulo resistente, en un porcentaje de momento, y la deformación que gasta en silencio se queda fuera de la página.

Este artículo la devuelve a la página. Pasamos la viga por el motor real de CalcSteel, integramos la sección real fibra a fibra y ponemos precio a cada permiso en la única moneda que los hace comparables: múltiplos de la deformación de fluencia. Después miramos qué garantiza de verdad la cláusula de material y vemos si la cuenta cierra.

La deformación es un cociente entre longitudes: cuánto se ha alargado una fibra, dividido por lo que medía. No tiene unidad, y por eso se suele dar en microdeformaciones, 1 µε = 0,000001, o en tanto por ciento.

El número que la convierte en moneda es la deformación de fluencia:

εy = fy / E

Para el S355 con E = 200 GPa, eso es 355/200000 = 0,001775, es decir 1 775 µε, o 0,1775 %. Para el S235 son 1 175 µε. Para el S460, 2 300 µε. El motor está de acuerdo: tracciona un tirante IPE 400 de 6 m con 800 kN y se alarga 2,8415 mm, que son 473,6 µε, y de ahí sale E = 200 000 MPa exacto. Toda constante constitutiva de aquí en adelante está medida sobre el solver, no supuesta.

De aquí en adelante, todo precio se da como μ = ε/εy, el cociente de ductilidad. μ = 1 es la primera fluencia. μ = 15 es el número que hay que recordar, y la sección siguiente explica por qué.

La mayoría de los ingenieros recita de memoria las cláusulas de resistencia de EN 1993-1-1 y nunca ha leído §3.2.2, lo cual es una pena, porque es la que hace legales a las demás. Es un requisito de ductilidad y tiene tres partes:

• fu / fy ≥ 1,10. El acero tiene que ganar resistencia después de fluir, al menos un 10 %.
• Alargamiento de rotura ≥ 15 % sobre una base de medida de 5,65√A₀.
• εu ≥ 15 εy. La deformación bajo la carga de rotura tiene que ser al menos quince veces la deformación de fluencia.

Esa tercera línea es la oferta de toda la cuenta. Está escrita deliberadamente como un cociente y no como una deformación, y la sección 11 enseña el motivo: la demanda también es un cociente, así que una cláusula escrita así cubre todos los grados de una vez. Para el S355 significa que el acero promete 15 × 1 775 = 26 625 µε, es decir un 2,662 % de deformación, antes de llegar a su pico de tracción.

AISC 360 no lo deletrea igual, porque no le hace falta: la ASTM A992 impone un cociente máximo entre límite elástico y rotura de 0,85 y un alargamiento mínimo, que es la misma garantía escrita desde el otro extremo.

Resumiendo: el acero ofrece 15 εy. El resto de este artículo trata de lo que la norma gasta de esa cuenta.

Nada de lo que sigue merece leerse si el solver está mal, así que primero se calibra contra un caso con forma cerrada exacta. Dos vanos de 8 m, IPE 400, unos sencillos 30 kN/m en ambos, 32 elementos por vano:

Los momentos salen exactos porque un elemento cúbico reproduce un campo de momentos parabólico sin ningún error de discretización. El 0,048 % de la flecha es el redondeo de la propia forma cerrada, ya que wL⁴/185EI es a su vez una aproximación de wL⁴/(184,6 EI). La calibración pasa, y el mismo modelo se usa para todo lo que viene después.

La ruta elástica es la que todo el mundo aprende. Toma el módulo resistente elástico, iguala a fy la tensión en la fibra extrema, y esa es tu capacidad.

Integrando el IPE 400 real fibra a fibra, con la misma aportación de los acuerdos de raíz que usa el registro de perfiles de CalcSteel, sale Wel = 1 111,1 cm³ y por tanto Mel = 355 × 1 111,1 = 394,45 kNm. Iguala a eso el momento de apoyo wL²/8 y la viga carga 49,31 kN/m.

¿Cuánto vale la deformación con esa carga? Exactamente εy, en exactamente una fibra, en exactamente una sección: la cara superior del ala sobre el apoyo central. Dos milímetros más abajo, el acero sigue elástico y con margen de sobra. El noventa y nueve y pico por ciento de la viga está ocioso. Ese es el coste de la ruta elástica: μ = 1,0, y no compra nada más allá de una conciencia muy tranquila.

Una nota de conciliación antes de que se acumulen los números. Las características de la sección están integradas aquí a partir de la geometría laminada, no leídas de una tabla, y la tabla EN publicada para un IPE 400 da Wel = 1 156 cm³ y Wpl = 1 307 cm³ porque modela los acuerdos de raíz con más detalle. Los valores de tabla son un 4 % más altos, así que cada kNm y cada kN/m absolutos de este artículo son un 4 % conservadores frente a una comprobación de prontuario. Ni un solo cociente cambia, y los cocientes son todo el argumento.

El primer permiso es el más barato. En cuanto fluye la fibra extrema, la sección no falla: la zona plastificada avanza hacia dentro mientras el núcleo elástico se encoge, y el momento sigue subiendo hasta un techo de fy·Wpl. El cociente entre los dos techos es el factor de forma:

α = Wpl / Wel = 1 256,4 / 1 111,1 = 1,1308

Las tablas publicadas para un IPE 400 dan 1 307/1 156 = 1,1306. Dos partes en diez mil, sobre una magnitud calculada por dos vías totalmente distintas. Mpl = 446,03 kNm, y la viga carga ahora 55,75 kN/m, un +13,1 % sobre la ruta elástica.

Aquí es donde la lista de precios empieza a morder. La curva momento curvatura de la sección real no es una esquina, es un codo que se aplana asintóticamente. Con un acero ideal elástico perfectamente plástico llegas al 98 % de Mpl con μ = 2,14, al 99,5 % con μ = 4,27 y al 99,9 % solo con μ = 9,55. Nunca llegas de verdad a Mpl: la última rebanada vive en curvatura infinita.

El acero real es más amable, porque endurece. Con el endurecimiento mínimo que garantiza §3.2.2, la sección entrega un Mpl de verdad con μ = 2,871, que son 5 096 µε, alrededor de un 0,51 % de deformación. Ese es el precio honesto del módulo plástico: llámalo 2,9 εy, frente a una oferta de 15.

El segundo permiso es el que paga. En una viga continua el momento de apoyo es el pico y el de vano vale solo 9/16 de él, así que manda el apoyo mientras el vano se queda en un 56 % de aprovechamiento. La redistribución mueve el problema: deja que el apoyo fluya y suelte momento, y el vano lo recoge hasta que trabajan los dos.

Ahora la cláusula. EN 1993-1-1 §5.4.1(4)B se cita casi siempre como si permitiera una redistribución del 15 %. Lee la letra y dice algo sutilmente distinto: en secciones de Clase 1 o Clase 2 de una viga continua se puede usar análisis global elástico cuando algunos momentos pico superan la resistencia plástica a flexión en un 15 % como máximo, siempre que los esfuerzos internos sigan en equilibrio y haya capacidad de rotación suficiente.

Eso es un exceso, no un recorte. Si el pico elástico puede valer 1,15 Mpl, lo que le quitas a ese pico es 1 − 1/1,15 = 13,04 %, no 15 %. Confundir el sentido vale alrededor de un 2 % de carga, siempre hacia el lado inseguro.

AISC 360 vende el mismo permiso de forma más simple: una reducción fija del 10 % de los momentos negativos en apoyos para piezas compactas, arriostradas lateralmente e hiperestáticas bajo carga gravitatoria, subiendo los momentos positivos para mantener el equilibrio. Era §B3.7 en AISC 360-10 y en 360-16, y el párrafo pasó al Apéndice 8 en AISC 360-22.

Con precios sobre la misma viga, y con el motor confirmando la distribución elástica en cada nivel de carga:

En la última fila el pico elástico que devuelve el solver es 512,9 kNm, exactamente 1,15 Mpl, y el momento de vano ha subido del 56 % al 70 % de aprovechamiento. El equilibrio nunca se rompió: el área que cedió el apoyo reapareció en el vano, y la suma sigue siendo wL²/8. Lo que cambió es qué sección tiene ahora que ser lo bastante dúctil para permitirlo.

Un diagrama de momentos redistribuido no es una elección libre de números que cuadran. Es una afirmación de que el apoyo ha formado rótula y ha girado, y ese giro se calcula. Parte la viga continua en dos vanos simplemente apoyados y superpone:

θ = wL³/12EI − 2·M_B·L/3EI

Los dos términos de flexibilidad salen del motor, no de una tabla. El giro de extremo de un vano aislado de 8 m bajo 64,12 kN/m mide 30,7773 mrad frente a una forma cerrada de 30,7773. El giro de extremo del mismo vano bajo un momento puro en el extremo mide 3,6000 mrad frente a 3,6000, aplicado con un voladizo real de 1 m y una fuerza de 60 kN en la punta, porque el solver no admite momentos nodales y fingir uno es como suele torcerse esta comprobación.

Dos comprobaciones de cordura antes de usar el resultado. Mete el momento de apoyo elástico en la misma expresión y el quiebro necesario es −0,000047 mrad, que es cero hasta el séptimo dígito: el diagrama elástico es por definición el que no necesita rótula. Mete el valor de cálculo de 446,1 kNm y el quiebro necesario es 8,0288 mrad según el motor, frente a 8,0289 mrad de la forma cerrada.

Esa es la factura. Para usar el 30 % que ofrece la norma, la sección sobre el apoyo tiene que girar 8,03 mrad manteniendo su momento plástico. Si puede o no ya no es una pregunta de momento, es una pregunta de deformación.

Ahora resuelve la viga como es debido, con compatibilidad en vez de con una suposición. El giro plástico que una sección puede aportar es el exceso de su curvatura real sobre la elástica, integrado a lo largo de la zona donde el momento supera Mel:

θ_oferta = ∫ [ κ(M(x)) − M(x)/EI ] dx

Sin longitud de rótula supuesta, sin forma triangular supuesta. El diagrama de momentos es el del propio motor, sobre una malla fina con un nodo cada 25 mm, y κ(M) se invierte desde la integración por fibras de la sección real. Después se biseca sobre el momento de apoyo hasta que la oferta iguala a la demanda.

Con un acero ideal elástico perfectamente plástico, la viga se estabiliza en un momento de apoyo de 446,0 kNm, que es 0,99991 Mpl y una redistribución del 13,06 %, casi exactamente el 13,04 % de la norma. Hasta aquí bien. El precio no:

• ductilidad de curvatura máxima μ = 32,47
• deformación en la fibra exterior 57 633 µε, es decir 5,763 %
• repartida en una zona plastificada de 350 mm, 0,88 veces el canto de la sección

Frente a una oferta de 15 εy, el margen es 0,46. La cuenta no cierra. Tomado al pie de la letra, un acero ideal plástico no podría cobrar legalmente el permiso que le concede su propia norma.

El motivo es la meseta plana de la curva ideal. Para exprimir el último 0,01 % de Mpl de una sección sin endurecimiento, la curvatura se tiene que disparar. Toda esa curvatura se le carga a la fibra extrema, y la factura son 5,8 % de deformación.

El acero real no tiene meseta plana, y la cláusula que garantiza la oferta garantiza también el arreglo. Toma §3.2.2 en su mínimo literal: una recta desde (εy, fy) hasta (15 εy, 1,10 fy). Eso es una pendiente de endurecimiento de

E_sh = 0,10 fy / (14 εy) = E/140 = 1 428,6 MPa

Aquí no hay nada inventado ni ajustado. Es el acero más flojo que admite la cláusula. Repite la misma solución de compatibilidad con ese único cambio:

Un diez por ciento de endurecimiento divide por cuatro la demanda de deformación. Lo hacen dos mecanismos, y los dos merece la pena llevarlos encima:

• La curva deja de ser plana. Una sección con endurecimiento alcanza Mpl con μ = 2,87 y sigue subiendo, así que el momento que tiene que entregar ya no está en una asíntota a la que solo puede acercarse.
• La rótula se extiende. Como la sección sigue ganando resistencia, la zona plastificada crece de 350 mm a 450 mm, y una zona más larga entrega los mismos 8,03 mrad con menos curvatura en todos sus puntos.

En la segunda fila se esconde una consecuencia de proyecto. La viga real quiere mantener 464,6 kNm en el apoyo, no 446,0, porque endurece en vez de tocar techo. Dimensionar el apoyo para Mpl es por tanto conservador en el apoyo y ligeramente inseguro en el vano, y por eso las normas acotan la redistribución en lugar de dejarte reclamar la cantidad que quieras.

Pon los cuatro permisos en un mismo eje, en la moneda en la que están todos denominados:

Ahora la parte que explica la forma de la cláusula. Repite todo el balance en cuatro grados:

La demanda de deformación en tanto por ciento casi se duplica del S235 al S460. La demanda en múltiplos de εy no se mueve nada: 7,94 en todas las filas, con una dispersión por debajo del 0,5 %. No es casualidad, es la estructura del problema. Tanto la demanda como la oferta escalan con fy/E, así que su cociente es un número puro. Una cláusula escrita como εu ≥ 15 εy cubre todos los grados con una sola línea, y una cláusula escrita como límite de deformación habría necesitado un número distinto para cada uno.

El margen es 1,89 en todas las filas. Cómodo, y no tan cómodo como para que la cláusula sobrara.

Todo lo anterior supone que el ala y el alma pueden llegar de verdad a esas deformaciones sin plegarse antes. Esa suposición tiene nombre, y es la clasificación de secciones. La clase se presenta como una tabla de límites de b/t, lo que la hace parecer una regla de geometría. Es una regla de capacidad de deformación:

• Clase 1: forma una rótula plástica y la mantiene durante todo el giro. Es la única clase autorizada a cobrar la redistribución.
• Clase 2: alcanza Mpl pero no lo mantiene lo suficiente para girar. Módulo plástico sí, redistribución no.
• Clase 3: se para en la primera fluencia. εmax = εy, y todo el argumento de este artículo queda fuera de alcance.
• Clase 4: abolla localmente antes de fluir en ningún punto. Hasta el módulo elástico hay que reducirlo.

La pista está en la ε de los límites: la Tabla 5.2 de EN 1993-1-1 los escribe como 9ε, 10ε, 14ε para un ala en voladizo y 72ε, 83ε, 124ε para un alma a flexión, con ε = √(235/fy). Un grado más alto necesita más deformación antes de fluir, así que su chapa tiene que quedarse más rechoncha para sobrevivir al mismo viaje. Unos límites de geometría que dependen del límite elástico no son límites de geometría.

Para el S355, ε = 0,8136, así que los límites de Clase 1 son c/t ≤ 7,32 en el ala y c/t ≤ 58,58 en el alma. Leyendo c/t directamente del registro de perfiles de producción, toda la familia IPE del 200 al 600 sale de Clase 1: alas entre 4,14 y 5,28, almas entre 28,39 y 42,83. Todas tienen margen de sobra, con un factor entre 1,4 y 1,8 en el ala.

Y esa es la lección de verdad. El permiso se cobra sin riesgo en un perfil I laminado, y es exactamente el tipo de permiso que no puedes trasladar a una viga armada esbelta, donde un alma con c/t = 90 es de Clase 3 y toda la cuenta anterior queda anulada.

La forma más rápida de notar el tamaño del permiso es correr tú mismo las dos rutas. La calculadora de abajo resuelve una viga y te da el momento y la flecha.

1. Pon una luz de 8 m con un IPE 400 y 49,31 kN/m. El momento que sale es la capacidad elástica, 394 kNm en un apoyo, y esta es la viga que te entrega una comprobación de primera fluencia.
2. Ahora mete 64,12 kN/m, la carga que permite el dimensionado con redistribución. Compara los momentos y después compara las flechas. La resistencia subió un 30 %, y algo más subió con ella.
3. Cambia el perfil a un IPE 450 y mira cuánto del argumento puedes recomprar con 8 kg/m de acero de más en lugar de con ductilidad.

Dos cosas que la calculadora no puede hacer por ti, y ninguna calculadora puede: confirmar que la sección es de Clase 1 en tu grado, y confirmar que la zona de la rótula está arriostrada frente al pandeo lateral por torsión. Las dos son requisitos previos, no detalles de última hora.

Todo lo anterior ha sido un argumento de resistencia, y la resistencia rara vez es lo que decide una viga de forjado de 8 m. Flechas, calculadas elásticamente en cada nivel de carga, porque una comprobación de servicio no puede usar la reserva plástica:

El límite para una luz de 8 m con L/300 es 26,67 mm. La ruta elástica lo cumple. Ninguna de las rutas que gastan deformación lo cumple, y el primerísimo permiso, el gratuito, ya basta para romperlo.

No es una contradicción, es la forma real del espacio de proyecto. La reserva plástica sube la carga que aguanta una sección sin subir su rigidez ni un uno por ciento, porque la rigidez es EI y ni E ni I se han movido. En una correa de cubierta con un límite de flecha generoso, o en una viga comprobada contra la carga total y no solo contra la sobrecarga, ese 30 % es dinero. En una viga de forjado con L/360 es ingastable, y saberlo antes de dibujar el pórtico es justo para lo que sirve ponerle precio al permiso.

• Citar el 15 % como recorte. §5.4.1(4)B permite que el pico elástico supere Mpl en un 15 %, lo que equivale a reducir ese pico un 13,04 %. La diferencia vale alrededor de un 2 % de carga, y siempre cae del lado malo.
• Redistribuir en una sección de Clase 3. El permiso está escrito para la Clase 1, y la Clase 2 se queda con el módulo plástico sin el giro. Un alma de Clase 3 deja εmax = εy, y toda la cuenta se hunde hasta la primera fila.
• Olvidar arriostrar la rótula. Una rótula de la que se espera que gire 8 mrad completamente plastificada casi no conserva rigidez lateral. Si no se coarta cerca del apoyo, la capacidad de rotación que supusiste desaparece y el diagrama de momentos no avisa de nada.
• Comprobar la flecha con el diagrama redistribuido. El servicio es elástico. Los 66,9 kNm que le quitaste al apoyo son un constructo de resistencia, y usar el momento reducido para calcular δ esconde justo el incumplimiento que encontró la sección anterior.
• Suponer un material ideal elastoplástico en una comprobación de giro. No es conservador ni es neutro, es descabelladamente pesimista: 32,5 εy frente a 7,9. Las comprobaciones manuales que lo usan rechazan secciones perfectamente válidas.
• Confundir el 15 % de alargamiento con la capacidad de deformación local. El alargamiento de rotura se mide sobre una base de 5,65√A₀ e incluye la estricción. El número que paga una rótula es εu ≥ 15 εy, la deformación uniforme antes de que empiece la estricción, que es el menor y el más honesto de los dos.
• Tratar la rótula como un punto. Mide de 350 a 450 mm, en torno a un canto de sección, y esa longitud es lo que hace asequible el giro. Cualquier método manual que concentre la curvatura plástica en un punto teórico o necesita una longitud de rótula calibrada o da una respuesta sin significado.
• Trasladar el permiso a una unión atornillada o soldada. Los 8,03 mrad tienen que ocurrir en algún sitio. Si el apoyo es una chapa de testa atornillada y no una sección laminada continua, la capacidad de rotación es la de la unión, no la de la viga, y suele ser mucho menor.

El hilo que atraviesa los ocho es el mismo: la norma vende permisos en el idioma de la tensión, y la factura llega siempre en deformación. Leer la factura pide una curva momento curvatura, una demanda de giro y una cláusula de material. No es difícil. Simplemente no está impreso en ninguna parte del plano.