Arriostramiento en Cruz de Acero: el Criterio de Longitud Efectiva Detrás de la Norma

El arriostramiento en cruz de acero, una X de dos diagonales cruzando un vano, es la forma más rígida y económica de impedir que un pórtico de acero oscile. El viento o un sismo empuja el piso lateralmente; la X convierte ese empuje horizontal en fuerza axial pura en las diagonales y lo manda directo a la base. Sin flexión, sin deriva, solo dos puntales y tirantes trabajando en línea. Por eso casi toda nave industrial, núcleo de torre y entrepiso que has visto esconde una X en algún lugar de sus muros.

Como el camino de carga es tan simple, el diseño parece simple también, y ahí está la trampa. Cuando el pórtico se inclina hacia un lado, una diagonal se estira (tracción) y la otra se acorta (compresión). La diagonal traccionada casi nunca es el problema: el acero es enormemente resistente a tracción. La diagonal comprimida es todo el juego, porque una diagonal larga y esbelta no se aplasta, pandea, y la resistencia al pandeo se derrumba con el cuadrado de la longitud.

Así que toda la verificación se reduce a una longitud: ¿cuánto puede pandear la diagonal comprimida? Equivócate en eso y o repruebas un tubo que en realidad está bien, o, peor, apruebas uno que no lo está. Este artículo deriva la respuesta desde la estática, luego corre una verificación resuelta completa sobre una sección real con fuerzas calculadas por el motor de elementos finitos de CalcSteel en un vano de 6.0 m por 4.0 m. Puedes reproducir la capacidad al pandeo tú mismo en la calculadora incorporada más abajo.

Aquí tienes una definición para citar: el arriostramiento en cruz de acero es un sistema lateral en el que dos diagonales cruzan un vano en una X, de modo que bajo una carga horizontal una diagonal trabaja a tracción y la otra a compresión, llevando el cortante de piso a la cimentación como fuerza axial.

¿Por qué la X, y no una sola diagonal? Una diagonal simple tiene que trabajar en ambos sentidos: es un tirante cuando el pórtico se inclina en una dirección y un puntal cuando se inclina en la otra, así que debe dimensionarse a compresión sobre su longitud completa, el caso menos eficiente. Un chevron (V invertida) pone dos diagonales bajo una viga, pero fuerza una carga vertical desequilibrada en esa viga cuando una diagonal pandea, y por eso las vigas de chevron se vuelven pesadas. La X es el punto justo: las dos diagonales se cruzan y pueden conectarse donde se encuentran, y esa conexión es exactamente lo que acorta la longitud de pandeo de la diagonal que esté comprimida. La geometría que parece una conveniencia de detallado está haciendo trabajo estructural.

¿Nuevo en sistemas laterales de acero? Nuestra visión general de los sistemas de arriostramiento para estructuras de acero pone el escenario, y lo que un arriostramiento debe entregar realmente cubre el lado de la rigidez. Aquí vamos directo al número que dimensiona el arriostramiento en cruz.

Empieza con la estática. Un cortante de piso H llega al vano a través del diafragma del piso y tiene que ser resistido por las componentes horizontales de las fuerzas de las diagonales. Cada diagonal forma un ángulo theta con la horizontal, con coseno theta = B / L = 6.0 / 7.211 = 0.8321 para nuestro vano. Resuelve el equilibrio horizontal en la parte superior del vano:

(T + C) · cos θ = H

En una X simétrica las dos diagonales son imágenes espejo idénticas, así que bajo un cortante de piso simétrico toman fuerzas iguales y opuestas, T = C. Eso reparte el cortante a la mitad:

T = C = H / (2 cos θ) = 300 / (2 · 0.8321) = 180.3 kN

Ese es el diseño tracción / compresión, donde cuentas con que ambas diagonales trabajen a la vez. Hay una segunda forma, muy común, de diseñar un arriostramiento en cruz: solo a tracción. Supones que la diagonal comprimida ya pandeó y suelta su carga, así que la diagonal traccionada sola lleva todo el cortante de piso:

T = H / cos θ = 300 / 0.8321 = 360.6 kN

Solo a tracción es la elección estándar para arriostramientos esbeltos como barras redondas y planos, que de todos modos no pueden llevar compresión significativa. Tracción / compresión se usa cuando las diagonales son lo bastante robustas para trabajar en ambos sentidos, que es donde el criterio de longitud efectiva se gana su lugar. Verificaremos la diagonal comprimida, el caso más difícil, y la sección del motor más abajo confirma ambos números.

Ahora el número que importa. La diagonal comprimida es un puntal, y la capacidad de un puntal la gobierna el pandeo. El resultado de Euler es toda la historia: la carga a la que un puntal biarticulado pandea es

P_cr = π² E I / (KL)²

Todo depende de KL, la longitud efectiva, la distancia sobre la cual el elemento está libre para flexarse hacia afuera. Reduce KL a la mitad y cuadruplicas la carga de pandeo. Así que la pregunta no es cuán resistente es el tubo, es qué tan largo es el tramo de él que está libre para pandear.

Aquí está el criterio. En un arriostramiento en X las dos diagonales se cruzan y, si las conectas donde se encuentran, la diagonal traccionada, tensa, mantiene quieto ese punto de cruce. Para la diagonal comprimida el cruce es entonces un punto de arriostramiento: no puede pandear sobre la diagonal completa, solo sobre la mitad entre su extremo y el cruce. Esta es la base que Picard y Beaulieu asentaron con firmeza: para un arriostramiento en X con las diagonales interconectadas en la intersección y una llevando tracción, diseña la diagonal comprimida para una longitud efectiva de

KL = 0.5 L = 0.5 · 7.211 = 3.606 m

un factor de longitud efectiva K de aproximadamente 0.5 sobre la longitud completa de la diagonal. El-Tayem y Goel confirmaron experimentalmente la base de la media diagonal, midiendo más cerca de 0.85 de la media longitud para cantoneras simples. Importa una salvedad: la restricción es tan real como la diagonal traccionada que la provee. Crece con la fuerza de tracción y la rigidez de la diagonal traccionada, así que la conexión en el cruce no es opcional, y una diagonal traccionada poco cargada o floja deja que el punto de arriostramiento se ablande y empuja K de vuelta hacia 1.0. Toma la longitud completa y estás diseñando como si el cruce no estuviera ahí. El resto de este artículo muestra exactamente cuánto cuesta eso.

La verificación necesita tres cosas de la sección, y la norma escribe cada una.

1. Pandeo a compresión (AISC 360 E3). La tensión elástica (de Euler) es F_e = π² E / (KL/r)², donde r es el radio de giro. La norma luego la reduce para elementos reales e imperfectos. Por debajo del límite de esbeltez 4.71√(E/F_y) = 111.8 la falla es inelástica y F_cr = 0.658^(Fy/Fe) F_y; por encima de él el elemento es totalmente elástico y F_cr = 0.877 F_e. La compresión de diseño es φP_n = 0.90 F_cr A_g. Esta es exactamente la curva E3 que el criterio de arriba alimenta, a través de KL/r.

2. Fluencia a tracción (AISC 360 D2). La diagonal traccionada se verifica por fluencia en la sección bruta, φP_n = 0.90 F_y A_g (y rotura en la sección neta en la conexión, que mencionamos pero no dimensionamos aquí).

3. Límites de esbeltez. AISC 360 recomienda KL/r ≤ 200 para elementos comprimidos y L/r ≤ 300 para elementos traccionados. Estas no son ecuaciones de resistencia, son de buen oficio: un elemento más allá de esas relaciones es demasiado flexible para manipular, transportar y montar recto, y se comba bajo su propio peso. Para pórticos arriostrados sísmicos AISC 341 es aún más estricto, acotando la esbeltez del arriostramiento para que se comporte de forma predecible a través de las inversiones de carga.

Dos capacidades, un hecho geométrico (KL = 0.5 L). A continuación les ponemos números.

Montamos el vano exacto del inicio de este artículo en el motor de elementos finitos de CalcSteel: un vano arriostrado en X de un solo piso, 6.0 m de ancho y 4.0 m de alto, con el cortante de piso H = 300 kN entregado por la parte superior del vano como lo haría un diafragma de piso. El motor resuelve el pórtico hiperestático y devuelve la fuerza axial en cada elemento.

Las dos diagonales vuelven como:

• Diagonal traccionada: T = +179.5 kN.
• Diagonal comprimida: C = −179.5 kN.

Dos verificaciones sobre ese resultado. Primero, simetría: el motor da |T| = |C| = 179.5 kN exactamente, como debe una X simétrica. Segundo, el valor a mano: T = C = H / (2 cos θ) = 180.3 kN, y el motor queda dentro del 0.4% de él, en 179.5 kN. El pequeño resto es acción de pórtico genuina, las columnas toman una fracción del cortante en flexión, lo cual es real y del lado seguro para la diagonal. La fórmula de celosía articulada no es una aproximación que esperas que se cumpla; es lo que el pórtico realmente hace.

Quita una diagonal en el mismo modelo y la sobreviviente salta a 357.7 kN, confirmando el valor solo a tracción H / cos θ = 360.6 kN. Así que la solicitación mayorada sobre la diagonal comprimida es Cu = 179.5 kN. Ahora la dimensionamos.

La sección

Toma un tubo cuadrado SHS 100x100x8 en acero S355 (F_y = 355 MPa, E = 200000 MPa). Sus propiedades: A_g = 2944 mm², I = 418.4 cm⁴, r = 37.7 mm. La longitud completa de la diagonal es L = 7.211 m.

La forma equivocada: longitud completa

Supón que la diagonal pandea sobre su longitud completa, KL = 7.211 m. Entonces KL/r = 191.3, muy por encima del límite 111.8, así que es elástica: F_e = 54.0 MPa, F_cr = 0.877 · 54.0 = 47.3 MPa, y φP_n = 0.90 · 47.3 · 2944 = 125.4 kN. Contra Cu = 179.5 kN eso es una verificación del 143%: reprueba, y con holgura. Sobre esta base tirarías el tubo y buscarías una sección mucho más pesada.

La forma correcta: media longitud

Ahora usa el criterio. La diagonal traccionada arriostra el cruce, así que KL = 0.5 L = 3.606 m y KL/r = 95.6. Eso está por debajo del límite 111.8, así que la falla es inelástica: F_e = 215.8 MPa, F_cr = 0.658^(355/215.8) · 355 = 178.3 MPa, y φP_n = 0.90 · 178.3 · 2944 = 472.5 kN. Contra Cu = 179.5 kN eso es una verificación del 38%: pasa, con margen.

Mismo tubo, los mismos 179.5 kN, el mismo acero. Lo único que cambió es si acreditaste el cruce como punto de arriostramiento. Esa única decisión movió φP_n de 125.4 kN a 472.5 kN, un factor de 3.8, porque la capacidad escala con 1/(KL)². Ese es el criterio detrás de la norma, en una línea resuelta.

Todo el criterio es una sola entrada: la longitud efectiva. En la calculadora de abajo, ingresa el tubo SHS 100x100x8 en S355 y fija la longitud en los 7.211 m completos, luego observa la capacidad, y bájala a 3.606 m para verla saltar. Estás viendo a φP_n pasar de reprobar a pasar puramente porque la longitud de pandeo se redujo a la mitad. Eso es un arriostramiento en cruz en miniatura.

Es el mismo motor AISC E3 usado para los números resueltos de arriba, gratis, y sin inicio de sesión para el cálculo.

Por completitud, verifica la diagonal traccionada. La fluencia en la sección bruta da φP_n = 0.90 · F_y · A_g = 0.90 · 355 · 2944 = 940.6 kN. Contra T = 179.5 kN eso es solo 19% utilizado. Su esbeltez es L/r = 191.3, cómodamente bajo el límite de tracción de 300.

Ese resultado desequilibrado, 19% en tracción contra una verificación a compresión que apenas pasa a media longitud, es todo el punto del artículo. La compresión gobierna un arriostramiento en cruz, siempre. La diagonal traccionada casi nunca es la restricción vinculante; la sección la fija cómo pandea la diagonal comprimida, que lo fija su longitud efectiva, que lo fija el detalle del cruce. Diseña el arriostramiento como si fuera un elemento traccionado y lo dimensionarás demasiado ligero.

Esta es también la razón por la que existen los sistemas solo a tracción y son ingeniería honesta: si la diagonal es demasiado esbelta para llevar compresión útil (una barra redonda o un plano con KL/r muy por encima de 200), deja de fingir que puede. Diseña cada diagonal para la H / cos θ = 360.6 kN completa a tracción, acepta que la comprimida pandea de forma inofensiva, y detalla las conexiones para tomar la inversión. Lo que nunca debes hacer es acreditar capacidad a compresión que no verificaste.

El criterio solo es cierto si la estructura cumple la hipótesis. Unas cuantas cosas tienen que estar bien, y son donde los arriostramientos en cruz de verdad fallan.

• Conecta las diagonales en el cruce. La media longitud la compra la diagonal traccionada sosteniendo el punto de cruce. Si las dos diagonales simplemente se pasan una a otra sin conexión, no hay punto de arriostramiento fuera del plano y KL vuelve hacia la longitud completa. Un perno o una pequeña cartela en la intersección es lo que hace legítimo KL = 0.5 L.
• En el plano vs fuera del plano. El cruce restringe la diagonal comprimida fuera del plano del pórtico directamente. En el plano del pórtico también funciona cuando las diagonales están interconectadas ahí, pero en la duda, verifica ambos ejes y deja que gobierne el mayor KL/r. Para un tubo cuadrado el radio de giro es igual en ambos sentidos, así que el peor caso es simplemente la longitud efectiva más larga.
• Vigila los techos de esbeltez. AISC 360 recomienda que la esbeltez a compresión KL/r se mantenga en 200 o menos y la de tracción L/r en 300 o menos. Nuestra diagonal está en KL/r = 95.6 sobre la longitud arriostrada (media), bien dentro de 200. En un pórtico sísmico especial arriostrado concéntricamente ese mismo 200 se vuelve un límite vinculante bajo AISC 341, no solo una recomendación.
• Diseña por capacidad el resto. Las vigas, columnas, cartelas y pernos de anclaje en los que enmarca el arriostramiento deben dimensionarse para la capacidad del arriostramiento, no para la solicitación elástica del caso de carga. En un pórtico sísmico arriostrado (AISC 341 SCBF) eso significa la tracción esperada del arriostramiento R_yF_yA_g y la compresión pospandeo, de modo que el arriostramiento sea el fusible y todo a su alrededor quede elástico.

Normas: esta verificación sigue AISC 360-16 (E3 para compresión, D2 para tracción) con la longitud efectiva del arriostramiento en X de Picard y Beaulieu, confirmada experimentalmente por El-Tayem y Goel; el Eurocódigo 3 (EN 1993-1-1) da las mismas curvas de pandeo con su propia notación, y el EN 1998-1 cubre el detallado sísmico. En Brasil el dimensionamiento de perfiles sigue la NBR 8800. La carga puede venir del viento o de un sismo, pero el criterio para la diagonal comprimida es idéntico venga de donde venga.

Los errores que más a menudo convierten un arriostramiento en cruz correcto en el papel en una verificación equivocada:

• Pandear la diagonal comprimida sobre su longitud completa. Si las diagonales están conectadas en el cruce, usa KL = 0.5 L. Olvidarlo, como muestra nuestra verificación resuelta, puede reprobar un tubo que en realidad está bien por un amplio margen.
• Reclamar la media longitud sin conexión en el cruce. El error opuesto. Sin conexión, no hay punto de arriostramiento, no hay media longitud. El detalle tiene que existir.
• Dimensionar el arriostramiento para tracción. La compresión gobierna un arriostramiento en cruz. Verifica primero la diagonal comprimida; la diagonal traccionada casi siempre tendrá holgura.
• Confundir solo a tracción con tracción / compresión. En solo a tracción cada diagonal lleva la H / cos θ completa; en tracción / compresión cada una lleva la mitad. Usa la equivocada y estás errado por un factor de dos.
• Ignorar los techos de esbeltez. KL/r por encima de 200 a compresión, o L/r por encima de 300 a tracción, no es solo ineficiente, es un elemento que no puedes montar recto.

Preguntas frecuentes

¿El arriostramiento en cruz es solo a tracción o cuenta la diagonal comprimida? Ambos son válidos. Los arriostramientos esbeltos (barras redondas, planos) se diseñan solo a tracción; los arriostramientos robustos (cantoneras, tubos) pueden diseñarse tracción / compresión, y entonces el criterio de longitud efectiva fija la sección.

¿Por qué la longitud efectiva es la mitad de la diagonal? Porque la diagonal traccionada, conectada en el cruce, sostiene el punto medio de la diagonal comprimida, así que solo puede pandear sobre la mitad de su longitud. K es aproximadamente 0.5 sobre la longitud completa.

¿El arriostramiento en cruz funciona para sismo? Sí. Un pórtico especial arriostrado concéntricamente (SCBF) usa exactamente esta X, con el detallado de AISC 341 para que el arriostramiento fluya y pandee de forma predecible mientras el resto del pórtico queda elástico.

El arriostramiento en cruz de acero es una idea ejecutada con cuidado: convertir un cortante de piso en fuerza axial en dos diagonales, y dimensionar la sección por cómo pandea la comprimida.

• El cortante de piso se reparte como T = C = H / (2 cos θ) = 180.3 kN en una X simétrica, o la diagonal traccionada lleva la H / cos θ = 360.6 kN completa solo a tracción.
• El criterio es la longitud efectiva de la diagonal comprimida: la diagonal traccionada arriostra el cruce, así que KL = 0.5 L = 3.606 m, no los 7.211 m completos.
• Nuestra diagonal SHS 100x100x8 S355: a longitud completa φP_n = 125.4 kN reprueba (143%); a media longitud φP_n = 472.5 kN pasa (38%), contra Cu = 179.5 kN del motor de CalcSteel. La tracción es un no-evento al 19%.
• Conecta las diagonales en el cruce, mantén KL/r en 200 o menos y L/r en 300 o menos, y diseña por capacidad todo lo que el arriostramiento enmarca.

¿Quieres probar los números en tu propia sección? La calculadora de pandeo de columnas y el editor completo de CalcSteel son gratis, y CalcSteel es gratis para estudiantes. Ingresa tu diagonal, fija la longitud efectiva en la mitad de la distancia cruce a cruce, y lee φP_n tú mismo.