Cercha de Cubierta para Luz de 15 m: Fuerzas en los Miembros y el Caso de Carga que Gobierna

Una cercha de cubierta de acero es una de las estructuras más gratificantes de diseñar porque casi todo en ella se reduce a una única magnitud por miembro: la fuerza axial. Idealiza los nudos como articulaciones, carga la cercha en sus nudos, y cada miembro es una barra de dos fuerzas que trabaja a tracción pura o compresión pura, sin flexión. Dimensiona cada uno para esa fuerza y estarás a un paso de un juego de planos.

La trampa se esconde en la palabra fuerza. En realidad hay dos preguntas, no una. La primera es cuál es la fuerza en cada miembro, que la estática responde con limpieza. La segunda es qué caso de carga produce allí la peor fuerza, y para una cercha de cubierta esa respuesta no es la misma para todos los miembros. Un miembro que trabaja cómodamente a tracción bajo gravedad puede ser llevado a compresión por la succión del viento, y la compresión es una verificación distinta y más severa. Si te pierdes el caso que gobierna ese miembro, lo dimensionarás para el número equivocado.

Este artículo desarrolla una cercha concreta de principio a fin: una cercha de cubierta a dos aguas de 15 m de luz, resuelta en el motor de elementos finitos de CalcSteel para carga permanente, nieve y viento, con cada fuerza en el miembro contrastada frente a la estática a mano. Luego alinea las combinaciones de carga y, miembro a miembro, encuentra la que gobierna. La sorpresa, como de costumbre, es el caso de carga que resulta más fácil de olvidar.

Esta es la estructura que llevamos a lo largo de todo el artículo. Es una cercha a dos aguas (triangular) simétrica que salva una luz de L = 15,0 m entre apoyos, articulada en el alero izquierdo y sobre un apoyo móvil en el alero derecho. El cordón inferior se divide en seis paneles de 2,5 m; el cordón superior asciende desde cada alero hasta una cumbrera 3,0 m por encima de los apoyos, una pendiente de 1:2,5 o unos 21,8 grados. Los nudos interiores del cordón superior se sitúan sobre cada nudo interior del cordón inferior, y cada panel se triangula con un montante y una diagonal.

Cuenta las piezas: 12 nudos, 21 miembros, 3 reacciones. Como miembros + reacciones (21 + 3 = 24) es igual al doble de nudos (2 x 12 = 24), la cercha es estáticamente determinada: sus fuerzas en los miembros se deducen del equilibrio por sí solo, con independencia de las dimensiones de las secciones. Por eso precisamente una cercha es una buena estructura didáctica, y por eso el resultado del motor puede verificarse a mano hasta la última cifra.

Las cerchas están espaciadas 5,0 m entre ejes a lo largo del edificio, de modo que cada una recibe una franja de cubierta de 5,0 m de ancho. Las correas entregan esa franja a la cercha como cargas puntuales en los nudos del cordón superior, que es donde se aplican todas nuestras cargas.

Tres casos de carga llegan a esta cubierta, y no actúan a pleno valor a la vez, así que los mantenemos separados y los combinamos después. Tomados sobre el espaciamiento de 5,0 m entre cerchas y el panel de 2,5 m, cada nudo interior del cordón superior recoge la carga de un paño de cubierta de 2,5 m x 5,0 m; los nudos de alero recogen medio panel.

• Carga permanente D, la cubierta, las correas y la propia cercha, unos 0,50 kN/m2. Por nudo interior son 0,50 x 2,5 x 5,0 = 6,25 kN hacia abajo.
• Carga de nieve (o sobrecarga de cubierta) S, unos 1,20 kN/m2, que dan 15,0 kN hacia abajo por nudo interior.
• Carga de viento W, que en una cubierta de poca pendiente está dominada por la succión: la presión neta tira hacia arriba. Tomada como unos 0,96 kN/m2 de succión neta, son 12,0 kN hacia arriba por nudo interior, el único caso que levanta.

Esos casos se mezclan mediante las combinaciones de carga de resistencia (LRFD). Siguiendo ASCE 7, cuatro de ellas importan para esta cubierta: 1,4D; 1,2D + 1,6S, el máximo de gravedad; 1,2D + 1,0W + 0,5S; y 0,9D + 1,0W, la combinación de succión que empareja la carga permanente mínima con el viento pleno para que nada ayude al viento. Retén esta última. Es la razón por la que las respuestas de abajo no coinciden.

Empieza por la imagen de gravedad. Lleva la cercha al motor de CalcSteel, libera los extremos de los miembros para que cada barra sea una verdadera barra de dos fuerzas biarticulada, y ejecuta los casos de carga permanente y nieve. El motor devuelve miembros de axial puro, flexión nula, y sale el patrón familiar:

• El cordón inferior está en tracción. Bajo 1,2D + 1,6S el panel extremo transmite 196,9 kN, que baja a 118,1 kN en los paneles centrales.
• El cordón superior está en compresión, máximo cerca de los apoyos con 212,0 kN y cae a 169,6 kN en los paneles de cumbrera.
• Las diagonales están en tracción (hasta 61,5 kN) y los montantes en compresión (hasta 47,3 kN).
• El montante central no transmite fuerza, una clásica barra de fuerza nula: sin carga colgada en el nudo central inferior, no hay nada a lo que resistirse.

Cada uno de esos números puede verificarse con el método de los nudos, y vale la pena hacerlo una vez. Resolviendo la misma cercha solo con estática, sin referencia alguna al motor, se reproducen las fuerzas axiales del motor con un margen de 5e-5 kN, una diferencia que es puro ruido de coma flotante. Las reacciones también coinciden: 18,75 kN en cada apoyo bajo carga permanente, 45,0 kN bajo nieve. La solicitación que dimensionas no es una estimación, es equilibrio.

Antes del giro de la succión, hazte una idea de cómo se mezclan las combinaciones. La calculadora de abajo es la herramienta de combinación de cargas de CalcSteel. Introduce la fuerza de un miembro bajo cada caso de carga, permanente, nieve y viento, con el viento negativo para la succión, y aplica los factores de ASCE 7 e informa de la combinación que gobierna y su valor.

Prueba el panel extremo del cordón inferior: D = +39,1, S = +93,8, W = menos 75,0 kN. Verás que 1,2D + 1,6S da +196,9 kN de tracción, y 0,9D + 1,0W da menos 39,8 kN, una compresión que la combinación de gravedad nunca muestra. Luego haz el cordón superior (D = menos 42,1, S = menos 101,0, W = +80,8) y observa el signo invertirse en el otro sentido. La herramienta hace exactamente lo que las dos secciones siguientes hacen a mano.

Ahora ejecuta el caso de viento. Como el viento neto es succión, cada carga en el nudo apunta hacia arriba en lugar de hacia abajo, y todo el diagrama de fuerzas se invierte. Bajo viento solo, el cordón inferior pasa a compresión y el cordón superior a tracción, lo contrario exacto de la gravedad. Las combinaciones que incluyen viento arrastran esa inversión, y la que la muestra de forma más cruda es 0,9D + 1,0W, donde la carga permanente reducida no puede enmascarar la succión.

Alinea las dos combinaciones que gobiernan para unos cuantos miembros y la inversión es inconfundible:

Cada miembro cargado cambia de signo. No es una rareza de esta cercha; es lo que la succión neta le hace a cualquier estructura de cubierta cuyas solicitaciones de gravedad y viento se oponen entre sí. La consecuencia práctica es contundente: un miembro que dimensionarías puramente como miembro a tracción tiene una solicitación de compresión real escondida en un caso de carga que no tenías que incluir para gravedad, y solo la ves si de verdad ejecutas la combinación de succión.

Enfrenta las cuatro combinaciones a cada miembro y registra dos cosas para cada uno: la mayor tracción que llega a ver y la mayor compresión. La combinación que gobierna esos dos extremos rara vez es el mismo caso.

Léelo como una regla práctica para una cercha de cubierta simétrica. La combinación de gravedad 1,2D + 1,6S gobierna el sentido natural de cada miembro: maximiza la tracción en el cordón inferior y las diagonales y la compresión en el cordón superior y los montantes. La combinación de succión 0,9D + 1,0W gobierna el sentido invertido: mete la máxima compresión en el cordón inferior y las diagonales y la máxima tracción en el cordón superior y los montantes.

Así que la historia del cordón superior es sencilla: es un miembro a compresión y la gravedad le da su peor compresión, listo. La historia del cordón inferior es donde el diseño de verdad da un giro, porque su peor tracción y su peor compresión vienen de casos de carga distintos, y compresión y tracción se verifican de maneras completamente diferentes.

Dimensiona el panel extremo del cordón inferior. Su peor tracción es 196,9 kN bajo gravedad, su peor compresión es 39,8 kN bajo succión. La tracción parece el número grande, así que es tentador dimensionar para tracción y parar. Sigue ese instinto con un tubo cuadrado ligero, un HSS 76x76x4.8 (área 13,7 cm2, radio de giro 2,92 cm, acero Grado 50).

Verificación a tracción. La fluencia en la sección bruta da una capacidad de phi x Fy x Ag = 0,9 x 345 x 1370 = 424 kN. Frente a 196,9 kN eso es una utilización de 0,46. Cómoda.

Verificación a compresión. Ahora los mismos 39,8 kN, pero como compresión están limitados por el pandeo, y el pandeo depende de la longitud sin arriostrar. El cordón inferior de una cercha de cubierta está sujeto en el plano de la cercha en cada nudo, pero fuera del plano solo está sujeto donde lo alcanza un tirante longitudinal o el arriostramiento del cordón inferior. Toma un detalle realista con arriostramiento lateral en los tercios, de modo que la longitud sin arriostrar es 5,0 m. Entonces KL/r = 5000 / 29,2 = 171, bien dentro del rango elástico (Euler), y AISC 360 da Fcr = 59,1 MPa y una capacidad phi x Pn = 72,7 kN. Frente a 39,8 kN eso es una utilización de 0,55.

Lee esas dos utilizaciones juntas. A tracción el miembro está en 0,46; a compresión por succión está en 0,55. El caso de succión gobierna la sección, aunque su fuerza sea la quinta parte de la fuerza de tracción, porque la tracción la resiste el área de fluencia completa mientras que la compresión la estrangula la esbeltez. Dimensiona este miembro solo para tracción, séllalo en 0,46, y te has perdido la verificación que de verdad lo decide.

El cordón inferior deja una idea general. Que un caso de carga gobierne un miembro no lo decide la magnitud de la fuerza por sí sola; lo decide la magnitud relativa a la capacidad que la resiste, y esas capacidades son muy distintas para tracción y compresión. Un miembro a tracción recurre a toda la resistencia a fluencia de su sección transversal. Un miembro a compresión de la misma sección, sobre cualquier longitud sin arriostrar real, recurre solo a una fracción de ella, porque puede pandear primero. Así que una pequeña compresión de un caso de carga que podrías saltarte puede superar a una gran tracción del caso que siempre ejecutas.

De ahí salen dos palancas, y un diseñador de cerchas usa ambas:

• Arriostra los miembros invertidos. El arreglo más barato para el cordón inferior no es más acero, es una línea de arriostramiento del cordón inferior que reduce la longitud sin arriostrar. Pasar de arriostrar solo el centro (7,5 m, KL/r = 257, ni siquiera permitido) a arriostrar en los tercios (5,0 m, KL/r = 171) es lo que hace legal el tubo ligero siquiera, y avanzar hasta arriostrar en cada nudo (2,5 m, KL/r = 86) baja la utilización a compresión a 0,16 y devuelve el miembro a la tracción.
• Respeta el límite de esbeltez. AISC limita KL/r a 200 para miembros a compresión por una buena razón. Una mentalidad de solo tracción nunca calcula KL/r, así que nunca advierte cuándo un miembro rebasa 200 bajo succión. El caso de succión fuerza el cálculo.

El montante central de fuerza nula es la lección en espejo. No transmite nada bajo ningún caso simétrico aquí, pero pon una carga de nieve desequilibrada (parcial) o un viento asimétrico real sobre una vertiente y despierta. Fuerza nula bajo los casos que dibujaste no es lo mismo que fuerza nula bajo los casos que el edificio verá.

El flujo de trabajo, fuerzas en los miembros, luego combinaciones, luego una verificación de resistencia o estabilidad, es el mismo en todas partes; lo que cambia es la presentación.

• Estados Unidos (ASCE 7 + AISC 360). ASCE 7 aporta las combinaciones LRFD, incluida la combinación de succión 0,9D + 1,0W usada aquí, y el Capítulo D de AISC 360 verifica la tracción (phi = 0,90 sobre la fluencia) mientras que el Capítulo E verifica la compresión con la curva de columna Fcr y la recomendación KL/r <= 200.
• Europa (EN 1990 + EN 1993-1-1). EN 1990 construye las combinaciones a partir de acciones características con coeficientes parciales (aproximadamente 1,35G + 1,5Q para gravedad) y, de forma crucial, una combinación con el viento como acción dominante y un coeficiente de permanente favorable de 1,0 o menos para el caso de succión. EN 1993-1-1 verifica entonces los miembros: N,Rd para tracción y la resistencia al pandeo N,b,Rd = chi x A x fy / gamma,M1 para compresión, con chi de las curvas de pandeo.
• Brasil (NBR 8681 + NBR 8800). NBR 8681 fija las combinaciones últimas, incluida aquella en la que la carga permanente es favorable y el viento domina, y NBR 8800 verifica la tracción y la resistencia a compresión N,c,Rd = chi x Q x A x fy / gamma,a1. La combinación de succión y el límite de esbeltez lambda <= 200 también están ahí.

Símbolos distintos, una sola idea: la norma que te da la combinación de gravedad también te da la combinación de succión, y depende de ti ejecutarla. El motor de aquí verifica el miembro frente a AISC 360, Eurocódigo 3 y NBR 8800 a partir de las mismas fuerzas, de modo que el caso que gobierna se encuentra por ti en lugar de recordarse.

"El cordón inferior es un tirante, solo verifica la tracción." Solo si la cercha nunca ve succión neta. En cualquier cubierta expuesta la ve, y la compresión por succión, limitada por el pandeo, puede gobernar la sección. En nuestro panel extremo así fue: utilización 0,55 a compresión frente a 0,46 a tracción.

"La succión del viento es menor que la gravedad, así que la gravedad siempre gobierna." Menor en fuerza, sí, pero actúa sobre un miembro en su sentido débil. Un miembro lo gobierna el caso que lo empuja más cerca de su capacidad, y la capacidad a compresión está muy por debajo de la capacidad a tracción para la misma sección. La magnitud por sí sola no te dice qué caso gana.

"Puedo modelar los nudos como rígidos y leer las fuerzas axiales." Puedes, pero un porticado con nudos rígidos desarrolla flexión secundaria y sus fuerzas axiales se apartan de los valores de nudos articulados (por unos pocos kN aquí). Para las fuerzas en los miembros, modela verdaderas articulaciones para que las fuerzas axiales sean los valores limpios de la estática; añade el refinamiento del momento secundario solo si las uniones de verdad lo justifican.

"El montante central es una barra de fuerza nula, así que bórralo." Es nula solo bajo los casos simétricos que dibujaste. Nieve parcial sobre una vertiente, o viento sobre una cara, y transmite carga; además arriostra el cordón inferior y fija la longitud de pandeo de los miembros adyacentes. Fuerza nula no es propósito nulo.

"Un miembro mayor para el cordón inferior, problema resuelto." A menudo la palanca equivocada. Como la verificación de succión es una verificación de pandeo, una línea de arriostramiento del cordón inferior que reduzca a la mitad la longitud sin arriostrar compra más capacidad, y más barata, que una sección más pesada. Arregla la longitud antes de añadir el acero.

Una cercha de cubierta de 15 m se resuelve por estática en una tarde, y las fuerzas en los miembros son tan fiables como el propio equilibrio: en esta cercha el motor coincidió con el método de los nudos a mano hasta 5e-5 kN. Pero las fuerzas son solo la mitad del trabajo. La otra mitad es preguntar, para cada miembro, qué caso de carga es el peor, y la respuesta honesta es que depende del miembro. La gravedad gobierna el cordón superior y el sentido natural de cada miembro; la succión del viento, el caso con el que puedes construir todo un diseño de gravedad sin llegar a escribirlo nunca, gobierna el sentido invertido, y a través del pandeo puede dimensionar un miembro que creías un simple tirante.

CalcSteel ejecuta los casos de carga, forma las combinaciones de ASCE 7, Eurocódigo y NBR, e informa de la fuerza que gobierna y de la verificación a tracción o compresión de cada miembro a la vez, de modo que el caso que decide se calcula, no se recuerda. Modela tu propia cercha en el editor, añade la combinación de succión, y deja que te muestre qué miembros se invierten. Si quieres el terreno bajo las fuerzas en los miembros, nuestra guía sobre diagramas de fuerza cortante y momento flector cubre el comportamiento de viga que una cercha sustituye por fuerza axial pura.