Tensiones residuales en perfiles laminados: por qué la curva de pandeo no es la curva de Euler

Tome un W 250 x 73, ASTM A572 Grado 50, fy = 345 MPa, articulado en ambos extremos, 5 m de longitud, pandeando por su eje débil. Dos respuestas de manual acotan el problema. Euler da la carga crítica elástica, Ncr = π²EI/L² = 3063 kN. La plastificación da la carga de agotamiento por compresión, A·fy = 3172 kN. La columna no vence a ninguna de las dos, así que el techo honesto es la menor: 3063 kN.

Ahora pregúntele al motor. Pasando esa misma barra por la comprobación que corre en producción en CalcSteel, el Capítulo E de AISC 360 devuelve una resistencia nominal de 2056 kN, y NBR 8800 devuelve los mismos 2056 kN antes de su coeficiente parcial. Es un 32,9 % por debajo del techo que fijaron las dos fórmulas clásicas, y aún no ha entrado ningún factor de resistencia. El φ y el γ vienen después, y se llevan más.

Esa diferencia no es conservadurismo, y no es un apaño. Es un efecto físico medido, con nombre propio: tensión residual. La barra llegó a la obra ya tensionada. Nadie la cargó. Lo hizo el tren de laminación, y ocurrió mientras el acero se enfriaba en el lecho, en las horas posteriores a salir de la última caja.

Este artículo sigue esa tensión desde donde nace hasta donde aparece en su comprobación de proyecto: el orden de enfriamiento de un perfil caliente, el patrón que deja atrás, por qué ese patrón ataca al eje débil con más dureza que al fuerte, y cómo convirtió la hipérbola de Euler en la curva de pandeo que toda norma moderna usa realmente.

Un perfil laminado en caliente sale de la última caja de laminación en torno a 1000 °C y se enfría al aire quieto. Si todas las fibras se enfriaran a la misma velocidad, el perfil encogería de forma uniforme y terminaría con tensión interna nula. No es lo que pasa, por una razón enteramente geométrica.

La velocidad de enfriamiento depende de cuánta superficie tiene una porción de metal respecto a su volumen, y de cuánto metal caliente vecino le está radiando de vuelta. En un perfil en I esas dos cosas varían mucho de un punto a otro:

• Los bordes de las alas son delgados y quedan expuestos por tres lados a la vez. Pierden calor más rápido.
• El centro del alma es delgado y está abierto por las dos caras. También se enfría rápido.
• La unión alma-ala es el metal más grueso del perfil, y está rodeada por todos lados de otro metal caliente que sigue radiando sobre ella. Se enfría la última, a menudo con holgura.

El mecanismo es este, y conviene enunciarlo despacio porque de él se deriva todo lo demás. Los bordes se enfrían primero, se contraen y se vuelven rígidos mientras la unión sigue blanda y caliente. Después la unión se enfría e intenta contraerse a su vez. Pero ahora está unida a metal que ya ha fraguado. Su contracción queda impedida.

Una región que quiere encoger y es retenida termina traccionada. Las regiones que la retienen tienen que empujar de vuelta, así que terminan comprimidas. El acero llega a temperatura ambiente con un campo de tensiones encerrado que nunca podrá soltar: tracción donde se enfrió la última, compresión donde se enfrió primero. No se ha aplicado ninguna carga, y la barra ya está tensionada a un nivel que importa.

Los patrones de tensión residual medidos en perfiles en I laminados en caliente son notablemente consistentes, y por eso pudieron convertirse en un modelo de proyecto. El patrón del ECCS, el que está detrás de las curvas europeas de pandeo, describe un perfil en I laminado así:

• Compresión en los bordes de las alas, cayendo linealmente a lo largo del ala.
• Tracción en la unión alma-ala y en el centro del ala.
• Tracción en el alma cerca de las alas, pasando a compresión a media altura.

La magnitud depende de las proporciones del perfil, y la frontera está en h/b = 1,2:

Nuestro W 250 x 73 tiene 253 mm de canto y 254 mm de ancho, así que h/b = 0,996 y cae del lado severo. Antes de que nadie lo cargue, los bordes de sus alas soportan unos 172,5 MPa de compresión. Eso es la mitad del límite elástico del material, gastada.

Dos propiedades de este campo de tensiones deciden todo lo que sigue. Primera, es autoequilibrado: intégrelo sobre la sección y obtiene fuerza nula y momento nulo. Tiene que ser así, porque nada externo sujeta la barra. Segunda, no es uniforme: es compresión exactamente en los sitios que más importan para la estabilidad.

El autoequilibrio es lo que hace tan fácil descartar la tensión residual. Una columna muy achaparrada, demasiado corta para pandear, sigue alcanzando A·fy. Los bordes comprimidos plastifican pronto, el centro traccionado recoge la diferencia, y la carga total no cambia. Ahí la tensión residual no cuesta nada. Es cuando la columna tiene que mantenerse recta cuando llega la factura.

Ahora empuje la columna. La compresión aplicada es uniforme en la sección, al menos mientras todo es elástico. No sustituye a la tensión residual; se suma a ella. Lo que siente cada fibra es la suma.

Siga los bordes de las alas, que ya están a 0,5 fy de compresión. Alcanzan el límite elástico cuando

σ_aplicada + 0,5 fy = fy, es decir, σ_aplicada = 0,5 fy = 172,5 MPa

La columna empieza a plastificar con la mitad de su carga de agotamiento. No con el 90 %, no con el 100 %. Con el 50 %, en los bordes de las alas, mientras el resto de la sección sigue cómodamente elástico y mientras la tensión media en la barra todavía parece perfectamente segura sobre el papel.

Empuje más y la zona plastificada avanza hacia dentro desde los bordes. Con 0,7 fy aplicados, el 10 % exterior de cada media ala ya ha plastificado. La barra no está fallando, y una comprobación de tensiones no protestaría. Pero ha cambiado algo que una comprobación de tensiones no ve: el metal plastificado ya no aporta rigidez. El acero plastificado tiene módulo tangente próximo a cero. A efectos de resistir el siguiente incremento de flexión, esos bordes han dejado de existir.

Esta es la bisagra de todo el asunto. El pandeo es un problema de rigidez, no de resistencia. Una columna pandea cuando la rigidez a flexión que todavía puede movilizar deja de bastar para enderezarla contra la carga que trata de curvarla. La tensión residual no reduce la resistencia del material en ningún punto. Reduce la rigidez disponible en el instante del pandeo, plastificando partes de la sección demasiado pronto.

Aquí está la parte que rara vez se explicita, y explica una curiosidad con la que topa todo estudiante: ¿por qué las normas tratan de forma distinta a los dos ejes del mismo perfil laminado, si el patrón de tensión residual es idéntico para ambos?

Por dónde ocurre la plastificación. El primer metal en plastificar son los bordes de las alas, y los bordes de las alas son el material con el mayor brazo de palanca respecto al eje débil. Respecto al eje fuerte contribuyen por su distancia al eje neutro en la dirección del canto, que es la misma para todo el ancho del ala. Respecto al eje débil contribuyen por su distancia a lo largo del ancho del ala, y perder la banda más exterior sale caro.

Póngale números. Si una banda de ancho c plastifica en cada borde, el núcleo elástico de cada ala tiene ancho b_e = b − 2c, y:

• Eje fuerte: el I_x de las alas es aproximadamente b_e·t_f·(h/2)², proporcional a b_e. Pierda el 30 % del ancho y pierde alrededor del 30 % del término de las alas.
• Eje débil: el I_y de las alas es t_f·b_e³/12, proporcional a b_e al cubo. Pierda el 30 % del ancho y conserva 0,7³ = 34 % del término de las alas.

Calculado sobre la geometría real del W 250 x 73, alma incluida:

Con el 30 % plastificado, el eje fuerte ha perdido alrededor de un cuarto de su rigidez y el eje débil ha perdido dos tercios. Misma sección, misma tensión residual, misma carga aplicada. La diferencia es puramente para qué eje trabajaba el material perdido.

Esa sola asimetría es la razón de que EN 1993-1-1 no dé al perfil en I laminado una curva de pandeo. Le da dos, una por eje, y el eje débil se lleva siempre la peor.

La teoría clásica de columnas ofrece dos límites y nada en medio. Euler da la tensión crítica elástica, válida para barras esbeltas. La plastificación da fy, válida para barras achaparradas. Dibuje ambas frente a la esbeltez relativa λ₀ = √(A·fy/Ncr) y obtiene una recta horizontal en χ = 1 hasta λ₀ = 1, y después la hipérbola de Euler χ = 1/λ₀². Se cortan en una esquina viva en λ₀ = 1.

Las columnas reales no siguen esa esquina. Quedan bastante por debajo, y los ensayos lo dicen desde el siglo XIX. La tensión residual es la razón principal, la falta de rectitud inicial es la otra, y las dos interactúan: una barra ligeramente curvada y con los bordes plastificados es mucho más débil de lo que cualquiera de los dos efectos por separado sugeriría.

Barriendo λ₀ de 0,01 a 2,6 y comparando la curva de AISC 360 contra el techo de Euler más plastificación, la pérdida no es uniforme. Tiene un máximo claro:

El peor punto es λ₀ = 1,0, donde la norma conserva 0,658 del techo clásico y tira el 34,2 %. No es casualidad del gráfico: 0,658 elevado a λ₀² es exactamente la fórmula inelástica de AISC, y en λ₀ = 1 el exponente vale 1, así que el coeficiente aparece sin disfraz.

Mire los dos extremos y la forma del efecto se vuelve obvia. Para una columna muy achaparrada, la tensión residual es autoequilibrada y la carga de agotamiento queda intacta. Para una columna muy esbelta, el pandeo ocurre con una tensión tan baja que nada ha plastificado, así que está disponible toda la rigidez elástica y solo queda la parte de la falta de rectitud, el 12,3 % constante que se ve en la cola. En medio, la plastificación parcial está en su punto más dañino, y es precisamente ahí donde vive la mayoría de las columnas reales.

La tensión residual no cuesta nada en los dos extremos y cuesta el máximo en el medio. Si se queda con una frase de este artículo, quédese con esa.

Basta de teoría. Abajo está el mismo perfil pasado por la comprobación de proyecto que corre en producción en CalcSteel, para un rango de longitudes, biarticulado, pandeando por el eje débil. Cada valor del motor se reprodujo a mano desde las ecuaciones de norma antes de publicarlo, 68 comprobaciones en total, y la ejecución aborta si algún par difiere más del 0,02 %.

La sección tal como la calcula el motor a partir de la geometría laminada: A = 91,95 cm², Ix = 11124 cm⁴, Iy = 3880 cm⁴, rx = 11,00 cm, ry = 6,50 cm. Frente a los valores publicados en catálogo eso es un 1,0 % menos en área y un 0,2 % menos en Iy, la diferencia habitual por cómo se idealizan los acuerdos de raíz. Carga de agotamiento A·fy = 3172 kN.

La fila de 5 m es la del primer párrafo. Cae casi exactamente en λ₀ = 1, el peor punto de la curva, y pierde el 32,9 %. Note además que estas son resistencias nominales. Los valores de proyecto son todavía menores: AISC aplica φ_c = 0,90, así que la columna de 5 m vale 1851 kN, y NBR 8800 divide por γ_a1 = 1,10, dando 1869 kN. Las dos normas usan la misma curva, 0,658^λ₀² por debajo de λ₀ = 1,5 y 0,877/λ₀² por encima, y difieren solo en cómo aplican el coeficiente.

Un detalle que conviene señalar a quien reproduzca esto: en 1 m y 1,5 m el motor no devuelve la respuesta de pandeo por flexión en el eje débil. Devuelve pandeo por torsión, que gobierna en este perfil achaparrado y ancho en longitudes muy cortas. La comprobación a mano tiene que tomar el mismo mínimo de los tres modos elásticos, o discrepará del motor y, en ese caso, quien tiene razón es el motor.

Pase el mismo W 250 x 73 por los dos ejes y la asimetría de la sección de rigidez aparece como capacidad:

AISC 360 y NBR 8800 resuelven esto con una sola curva y dejan que trabaje la esbeltez: el eje débil tiene menor radio de giro, así que cae más adelante en la misma curva. Para esas dos normas, la historia termina ahí.

EN 1993-1-1 va más lejos, y es aquí donde la física de las secciones anteriores se vuelve una entrada de tabla. Selecciona una curva distinta por eje, por proporción del perfil, por espesor de ala y por grado de acero, y la selección es traducción directa del patrón de tensión residual. Para perfiles en I laminados en S235 a S420:

Nuestro perfil tiene h/b = 0,996 y t_f = 14,2 mm, así que toma la curva b en el eje fuerte y la curva c en el eje débil. En 6 m eso significa 2448 kN en el fuerte y 1344 kN en el débil: el eje débil está castigado dos veces, una por su mayor esbeltez y otra por ser movido a una curva peor. Las cinco curvas son la misma fórmula con cinco valores del factor de imperfección α: 0,13, 0,21, 0,34, 0,49 y 0,76 para a0, a, b, c y d. En λ₀ = 1 dan χ = 0,725, 0,666, 0,597, 0,540 y 0,467, una diferencia del 36 % entre el mejor y el peor perfil con esbeltez idéntica.

Una nota sobre cómo trata esto hoy el motor de CalcSteel: su comprobación EN 1993 usa la curva b (α = 0,34) como único valor por defecto para toda sección, así que los números de curva c citados arriba son esa misma expresión cerrada evaluada con α = 0,49, el valor que la Tabla 6.2 asigna a este perfil en z-z. Los números de AISC 360 y NBR 8800 de este artículo salen todos directamente del motor.

Meta su sección y su longitud de pandeo en la calculadora de abajo y vea cómo se separan las dos respuestas. La carga crítica de Euler es el techo clásico de este artículo; las capacidades de AISC 360 y NBR 8800 son ese techo menos todo lo que se llevan la tensión residual y la falta de rectitud.

La diferencia merece leerse como diagnóstico. Si su columna vuelve cerca de λ₀ = 1, está sobre el peor punto de la curva y ya se ha ido aproximadamente un tercio de la capacidad clásica. Arriostrar el eje débil para sacar la columna de ese punto suele salir más barato que subir de perfil, porque la baja en la escala de λ₀ hacia la región donde el castigo encoge rápido.

Todo ingeniero que ha usado AISC 360 ha tecleado 0,658 y 0,877 sin que nadie le contara qué son. No son constantes deducidas. Son coeficientes de calibración, y la calibración se ancló en la tensión residual.

El linaje empieza en la parábola del CRC, la fórmula de columna de AISC ASD hasta 1989. Se construyó sobre una hipótesis explícita: la tensión residual de compresión en los bordes de las alas vale 0,5 fy, así que la columna permanece totalmente elástica solo hasta una tensión aplicada de fy/2, y por encima la sección plastifica progresivamente. Esa hipótesis produce

Fcr = fy·[1 − fy·λ²/(4π²E)], válida hasta Cc = √(2π²E/fy)

y tiene una firma: en λ = Cc la parábola vale exactamente fy/2. Para acero de 345 MPa, Cc = 107,0, y la comprobación confirma que la parábola cae en 0,5 fy ahí con nueve decimales. La hipótesis de 0,5 fy de tensión residual no está escondida en la fórmula; es la fórmula.

Cuando AISC pasó a LRFD en 1986, la parábola se sustituyó por una exponencial ajustada a datos de ensayo y a las curvas de columna del SSRC, que se habían producido analizando columnas con patrones medidos de tensión residual junto con la falta de rectitud inicial. La deducción está documentada en el Engineering Journal de AISC: el coeficiente inelástico se fijó en λ = 1,0 para caer en un objetivo de Fcr/fy de alrededor de 0,56 con φ = 0,85, lo que da 0,6589; el coeficiente elástico salió de igualar las dos ramas en λ = 1,5, lo que da 0,8774; y la transición se colocó en λ = 1,5 precisamente "para aproximar la histórica compatibilización de las curvas elástica e inelástica del ASD en un nivel de tensión de Fy/2".

Así que la curva moderna heredó su punto de transición de la parábola vieja, y la parábola vieja obtuvo ese punto suponiendo 0,5 fy de tensión residual. NBR 8800 adoptó el mismo par de expresiones. Cuando teclea 0,658 en una hoja de cálculo, teclea un número cuya ascendencia lleva a la velocidad con la que se enfría el borde de un ala.

Una vez que sabe ver la tensión residual, aparece en varios sitios que suelen enseñarse como reglas sin relación.

• Pandeo lateral por torsión. El Capítulo F de AISC 360 construye el rango inelástico de PLT sobre 0,7Fy, y la longitud límite Lr es la longitud sin arriostrar en la que el PLT elástico alcanza esa tensión. El 0,7 es 1 − 0,3: la misma tensión residual de compresión de 0,3Fy en los bordes de las alas, ahora reduciendo el momento en el que el ala comprimida empieza a plastificar. Misma física, otro estado límite.
• Corte y taladrado. La tensión residual está en equilibrio consigo misma. Quite material y quita parte de ese equilibrio, y la pieza se mueve para encontrar uno nuevo. Por eso rebajar el ala de una viga, oxicortar una tira larga de una chapa o taladrar un patrón denso de tornillos puede dejar la pieza visiblemente fuera de recto, sin que nadie haya cargado nada. El taller conoce esto como problema de secuencia mucho antes de que sea problema de tensiones.
• Perfiles soldados. La soldadura crea un ciclo térmico mucho más agudo que la laminación, y la tensión residual junto al cordón puede acercarse al límite elástico. Los perfiles en I soldados suelen recibir curvas de pandeo peores que los laminados de proporciones equivalentes. Hay un buen contraejemplo: las chapas con borde oxicortado terminan con tracción en el borde, porque el borde cortado se calienta y se enfría el último, y un perfil soldado hecho con chapa oxicortada pandea mejor en el eje débil que uno hecho con chapa de borde de laminación. Decide la ruta de fabricación, no la geometría.
• Perfiles conformados en frío. Allí la tensión residual es otro animal, dominada por la flexión a través del espesor que imponen los rodillos de conformado en vez de por el enfriamiento. Es una de las razones de que el acero conformado en frío tenga su propia familia normativa y su propio método de resistencia en lugar de tomar prestadas las curvas de los laminados en caliente.
• Perfiles pesados. El material más grueso se enfría de forma más desigual, así que la tensión residual empeora conforme el perfil engorda. EN 1993 lo sigue explícitamente: pasando de 100 mm de espesor de ala, el perfil en I laminado cae a la curva d en ambos ejes, α = 0,76, la peor curva de la tabla.

• Dimensionar una columna con la carga de Euler. Euler es una cota superior que ninguna columna real alcanza. En λ₀ = 1 sobreestima la capacidad en un 34 %, y eso antes de cualquier factor de resistencia. Úselo para entender el problema, nunca para dimensionar la pieza.
• Suponer que un perfil más pesado es más seguro frente a este efecto. Es al revés. Las alas más gruesas se enfrían de forma más desigual y llevan tensión residual más alta, y por eso las curvas normativas empeoran con el espesor del ala, no mejoran.
• Tratar los dos ejes como una comprobación con longitud distinta. Cierto en AISC y NBR, falso en EN 1993, donde el eje débil también se mueve a una curva peor. Correr un trabajo con Eurocódigo usando una sola curva para los dos ejes sobreestima la capacidad del eje débil de un perfil ancho en torno a un 10 % en λ₀ = 1, y bastante más adelante en la curva.
• Concluir que autoequilibrada significa inofensiva. Sí significa que la carga de agotamiento no cambia, y esa es exactamente la trampa. En el momento en que entra la estabilidad, un campo de tensiones internamente equilibrado se convierte en un problema de rigidez.
• Ignorar lo que la fabricación hace con una pieza recta. El oxicorte, la soldadura pesada y la retirada desequilibrada de material perturban un equilibrio encerrado, y la pieza se mueve. Enderezarla después añade todavía más tensión residual.
• Leer una utilización baja como margen cómodo. Una columna al 50 % de su carga de agotamiento ya tiene los bordes de las alas plastificados. Nada en un diagrama de tensiones lo muestra, y la rigidez que va a necesitar el siguiente incremento de carga ya está reducida.

El resumen honesto es corto. La curva de pandeo no es la curva de Euler porque el acero no estaba neutro cuando usted lo recibió. Vino pretensionado por su propio enfriamiento, empieza a plastificar con la mitad de la carga que esperaría, pierde la rigidez de su eje débil tres veces más rápido que la del fuerte, y las normas llevan esa corrección por usted, en silencio, desde los años sesenta.