Cálculo integral sobre una estructura real: las siete integrales que hay dentro de un pórtico de nave

Un cliente quiere una nave de 20 m por 30 m. Luz libre, 7 m hasta el alero, cubierta al 10 % de pendiente, seis pórticos separados 6 m. Pilares HEB 300, dinteles IPE 400, S355, bases empotradas. Es el edificio de acero más corriente que existe, y se va a proyectar varios miles de veces este año.

El cliente hace cuatro preguntas. Cuánto acero es eso. Aguantará el viento. Seguirán cerrando las puertas cuando sople. Cuánto costará pintarla.

Cada una de esas cuatro respuestas es el valor de una integral, y también lo es cada magnitud intermedia entre la pregunta y la respuesta. No por analogía, ni en el sentido vago de que el cálculo subyace a la ingeniería. Literalmente: el número que escribes en la hoja es lo que obtienes al integrar algo.

Este artículo recorre la obra en el orden en que ocurre de verdad y evalúa cada una de ellas, sobre el mismo edificio, con los mismos datos de sección. Siete integrales. Todos los valores de abajo se calcularon en el motor de elementos finitos de CalcSteel o se integraron en forma cerrada, y cada uno está contrastado con algo independiente: la tabla de perfiles publicada EN 10365, una deducción a mano o un segundo método de solución.

La definición que te enseñaron es el área bajo una curva. Es correcta, y es la forma menos útil de tener la idea en la cabeza durante una obra real, porque casi nada de lo que integras en una estructura viene dibujado como una curva en un papel.

La definición de trabajo es más corta. Una integral es lo que haces cuando una magnitud varía y necesitas su total. Si no variara, multiplicarías. Presión por área. Masa por metro por longitud. Como varía, multiplicas sobre una rebanada lo bastante pequeña como para que dentro de ella no varíe, luego sumas las rebanadas, luego llevas las rebanadas a cero. Ese último paso es toda la maquinaria, y es la razón de que la respuesta sea exacta y no aproximadamente correcta.

Dos consecuencias atraviesan todo lo que viene después.

La primera es que una integral te da más que un total. La misma maquinaria con un factor extra dentro te da dónde actúa ese total. ∫p dA es la fuerza; ∫z p dA dividido por ∫p dA es la altura a la que actúa. Esa segunda integral, el momento estático, es la que se salta la gente, y es la que decide la cimentación.

La segunda es que saltarse una integral nunca sale gratis, solo a veces sale barato. Todos los atajos de este artículo son la sustitución de una integral por una sola multiplicación, y cada uno tiene un error medible que más abajo se cita con dos decimales. Alguno vale un 0,06 %. Uno vale un 17,80 %.

Empieza por la pregunta que el cliente hace primero, porque es la que decide si te dan la obra. Cuánto acero.

La masa es una integral de volumen, m = ∫ρ dV. El acero es homogéneo, así que ρ sale fuera de la integral y te quedas con el volumen, y el volumen de una barra prismática es a su vez una integral a lo largo de su eje: V = ∫A ds. El área de la sección A es constante a lo largo de un perfil laminado, así que esto se reduce a A por la longitud y aparecen los familiares kilogramos por metro. Esa reducción es la razón de que exista la tabla de perfiles: alguien ya hizo la integral por ti e imprimió la respuesta.

Comprueba que la respuesta impresa es la integral. Integrando la sección del IPE 400, acuerdos de raíz incluidos, sale A = 84,58 cm², y 84,58 cm² por 7 850 kg/m³ son 66,39 kg/m frente a los 66,3 kg/m de la tabla, un 0,14 % de diferencia. El HEB 300 da 117,03 kg/m frente a 117,0. La tabla es la integral.

Ahora corre la obra. Cada pórtico tiene 14,0 m de pilar, dos tramos de 7,0 m, y 20,10 m de dintel, porque el dintel inclinado mide √(10² + 1²) = 10,04988 m, no 10 m. Esos 49,9 mm de más por dintel son de las cosas que desaparecen enseguida y reaparecen en la entrega.

• Pilares: 14,0 m × 117,03 kg/m = 1 638,4 kg
• Dinteles: 20,10 m × 66,39 kg/m = 1 334,5 kg
• Un pórtico: 2 972,9 kg
• Seis pórticos: 17,837 toneladas, o 29,73 kg por metro cuadrado de planta

Esos 29,73 kg/m² son el número que un presupuestador lleva en la cabeza, y son una integral de volumen vestida de calle. Fíjate en lo que deja fuera: correas, rieles laterales, arriostramientos, placas de base, tornillos. Los pórticos solos suelen ser algo menos de la mitad del tonelaje entregado de una nave así.

La presión del viento no es uniforme a lo alto de un muro. Crece con la altura, porque la velocidad del viento lo hace. NBR 6123 modela esa subida con una ley potencial, mediante su factor S2, y EN 1991-1-4 usa un perfil logarítmico que se comporta de forma muy parecida en este rango de altura. Tome la forma potencial para campo abierto, así que la presión dinámica va como z^0,30, y con una presión de referencia de 1,24 kPa a 10 m y un coeficiente de presión exterior de barlovento de 0,8:

p(z) = 0,8 × 1,24 × (z/10)^0,30 kPa

En lo alto de un muro de 7 m eso son 0,891 kPa. A media altura son 0,724 kPa. A la altura de la rodilla es menos de la mitad del valor de arriba. La presión varía, así que el total es una integral, sobre el paño de una crujía de 6,0 m de ancho por 7,0 m de alto:

F = ∫₀^H p(z) b dz = k·b·H^(n+1)/(n+1), con k = 0,8 q/10^n y n = 0,30

Eso es la regla de la potencia, primera semana de Cálculo I, y da F = 28,797 kN en la crujía. Una integración numérica sobre 200 000 franjas devuelve el mismo valor con doce cifras significativas, que es la forma cerrada comprobándose a sí misma.

La segunda integral es la que más importa, y es la que normalmente no se llega a escribir. ¿Dónde actúan esos 28,797 kN? Toma momentos respecto de la base del muro mientras integras:

z̄ = ∫ z p(z) b dz / ∫ p(z) b dz = H(n+1)/(n+2)

Para cualquier ley potencial esa relación es exacta e independiente de la magnitud de la presión. Aquí z̄ = 7,0 × 1,3/2,3 = 3,957 m. No 3,5 m. La resultante se sitúa un 13,0 % más arriba en el muro que la media altura, y el momento en la base es 113,936 kN·m por crujía.

Nadie se propone saltarse la integral. Lo que pasa es que alguien lee la presión a media altura en una tabla, multiplica por el área del muro y sigue adelante. Parece defendible, es rápido, y esto es lo que cuesta.

0,724 kPa × 7,0 m × 6,0 m = 30,408 kN, frente a los 28,797 kN reales. Eso es un 5,59 % de fuerza de más, y como va por el lado alto, da sensación de seguridad. Después el mismo atajo pone esa fuerza a 3,5 m, así que el momento en la base queda en 106,43 kN·m frente a los 113,94 kN·m reales, que es un 6,59 % de menos. Demasiada carga, aplicada demasiado abajo.

El momento de vuelco es el número con el que se dimensionan la placa de base, los pernos de anclaje y la zapata. El atajo queda del lado inseguro justo donde equivocarse sale caro, y queda del lado seguro donde equivocarse no cuesta casi nada, porque un pilar de pórtico rara vez lo gobierna el cortante. Es el peor emparejamiento posible, y es consecuencia directa de que el atajo tira a la basura la integral del momento estático.

El arreglo evidente es escalonar el muro en franjas. Lees la presión en lo alto de cada franja, la aplicas a esa franja, sumas. Es la regla del rectángulo de la integración numérica, y converge, despacio:

• 2 franjas: F sale un 17,80 % alta, el momento en la base un 9,60 % alto
• 4 franjas: F sale un 10,15 % alta, el momento en la base un 5,53 % alto
• 7 franjas, una por metro: F sigue un 6,31 % alta, el momento en la base un 3,39 % alto

Siete franjas dan más trabajo que la integral y todavía se desvían un 6 %. Aplicar la presión variable elemento a elemento a lo largo de un pilar de 40 elementos, que es lo que hace de verdad el modelo de análisis de más abajo, reproduce la forma cerrada con un 0,058 %. La discretización fina converge; el escalonamiento grueso no.

Nada de esto vuelve incorrectas a las normas. Los escalones normativos se trazan a propósito por el lado conservador de la presión, y llevan coeficientes parciales encima. La conclusión es más estrecha y más útil: no sabes hacia qué lado se equivoca una respuesta escalonada, ni cuánto, si no tienes la integral con la que compararla.

La carga de viento llega al pórtico a través de la chapa y las correas, así que toma ahora una correa. IPE 200, salvando los 6,0 m entre dos pórticos, con una banda de cubierta de 1,6 m. Permanente más sobrecarga a 0,50 kN/m² dan w = 0,80 kN/m, uniforme.

Las dos relaciones que todo calculista usa a diario son diferenciales, y leerlas al revés las convierte en integrales:

dV/dx = −w, luego V(x) = V₀ − ∫w dx
dM/dx = V, luego M(x) = ∫V dx

El momento flector en una sección es el área con signo bajo el diagrama de esfuerzo cortante hasta esa sección. Cada integración sube el grado en uno: una carga constante da un cortante lineal que da un momento parabólico. Integra una constante y sale una rampa; integra una rampa y sale una parábola. Las formas de los diagramas que llevas dibujando desde primero no son convenios, son los grados saliendo de las integraciones.

En la correa: V en el apoyo es wL/2 = 2,400 kN, el motor devuelve 2,400 kN. El momento en el centro de vano es wL²/8 = 3,600 kN·m, el motor devuelve 3,600 kN·m. Integra dos veces más, contra EI, y la flecha en el centro de vano es 5wL⁴/384EI = 3,604 mm; el motor devuelve 3,604 mm, frente a un límite L/200 de 30,0 mm.

Aquí el momento es máximo en el centro de vano, y conviene decir el motivo con precisión, porque el motivo equivocado está muy extendido. Es máximo donde el cortante pasa por cero. El cortante es el integrando del momento, así que donde el integrando cambia de signo el área acumulada deja de crecer y empieza a encogerse. En un vano simplemente apoyado y simétrico eso ocurre en el centro. Descentra la carga, o añade un voladizo, y el cero del cortante se mueve, y el momento máximo se mueve con él. El centro de vano es una coincidencia de esta hipótesis de carga, no una regla.

El momento ya se conoce. Para convertirlo en una tensión hace falta la forma de la sección, y toda característica que describe esa forma es una integral sobre el mismo corte. Cuatro de ellas, cada una con un peso distinto dentro.

• A = ∫dA. Sin peso. Cuánto acero hay.
• Q = ∫y dA. Pesado por la distancia. Vale cero cuando y se mide desde el centro de gravedad, y esa es la definición del centro de gravedad, no una casualidad.
• I = ∫y² dA. Pesado por la distancia al cuadrado. Cuán lejos del eje está el acero, que es lo que es la rigidez a flexión.
• Z = ∫|y| dA. Pesado por la distancia en valor absoluto. El módulo plástico, la versión totalmente plastificada de la misma idea.

Integrando el IPE 400 real en 6 000 franjas horizontales, más los cuatro acuerdos de raíz tratados como bloques de área r²(1 − π/4) a 0,2234 r de la cara del ala, sale A = 84,58 cm² frente a 84,50 de la tabla, I = 23 300 cm⁴ frente a 23 130, y Z = 1 312,8 cm³ frente a 1 307,0. Todos dentro del 0,8 %. La integral del centro de gravedad devuelve cero con quince decimales, que es lo que te autoriza a medir y desde la línea neutra.

El peso al cuadrado de I es toda la razón de que una viga en I tenga forma de I. Las dos alas de esta sección están a 193 mm del eje y el alma está repartida por todo lo que queda más cerca. Lleva acero hacia fuera y su aportación crece con el cuadrado, que es por lo que una sección alta y ligera gana a una baja y pesada, y por lo que el teorema de Steiner, I = I₀ + Ad², no es una regla aparte sino lo que cae al desarrollar (y + d)² dentro de la misma integral.

Las integrales 3 y 4 se encuentran aquí, y el encuentro es una prueba más que un paso.

El análisis da esfuerzos internos en una sección: en la base del pilar de barlovento bajo viento, N = 1,787 kN y M = 69,406 kN·m. La sección da una distribución de tensiones: σ(y) = N/A + M y / I. Esas dos cosas vienen de sitios completamente distintos, así que todavía nada garantiza que sean coherentes. El equilibrio exige que lo sean, y el equilibrio se enuncia como dos integrales:

∫σ dA = N y ∫σ y dA = M

Integra el campo de tensiones supuesto sobre la sección real y obtienes 1,7871 kN y 69,406 kN·m. Coinciden, con catorce decimales en el término axil y exactamente en el momento. No es un resultado afortunado, es la definición misma de lo que significan N y M: no son fuerzas que existan al lado de las tensiones, son las dos primeras integrales del campo de tensiones. Una distribución que no integra de vuelta a los esfuerzos del análisis no es el campo de tensiones de esa barra, sea lo que sea.

El módulo resistente sale solo. Si σ es lineal en y, entonces ∫σ y dA = (σ_max/c) ∫y² dA = σ_max I / c, luego M = σ_max × I/c y el familiar W = I/c no es más que la segunda integral dividida por la distancia a la fibra extrema. Lleva en cambio la sección a plastificación total, de modo que σ = ±f_y en todas partes, y la misma integral se convierte en ∫f_y|y| dA = f_y Z. La flexión elástica y la plástica no son dos teorías. Son la misma integral sobre dos campos de tensiones distintos.

Para este HEB 300 en S355 eso da un momento elástico de 600,2 kN·m y un momento plástico de 666,1 kN·m, un factor de forma de 1,110. Frente a ellos, los 69,4 kN·m de la base llevan la fibra extrema a 41,17 MPa, un aprovechamiento de 0,116. Este pórtico no se acerca ni de lejos a su capacidad a flexión, cosa normal en una nave de este tamaño, y te dice de inmediato dónde mirar a continuación.

Si la resistencia va al 12 %, el pórtico lo gobernará la rigidez, y la tercera pregunta del cliente, seguirán cerrando las puertas, es una pregunta de desplazamientos. Esta es la integral hacia la que caminaba todo el artículo, porque es la que recorre la estructura entera de una vez en lugar de una sección o una barra.

El método de la carga unitaria dice: para hallar el desplazamiento de un punto en una dirección elegida, aplica ahí una carga unitaria, obtén los esfuerzos internos m y n que produce, e integra su producto con los esfuerzos internos reales M y N sobre todas las barras de la estructura.

δ = ∫ M m / EI ds + ∫ N n / EA ds

El ds recorre las barras, las cuatro, incluida la subida y bajada por los dinteles inclinados, donde ds es más largo que la proyección horizontal. Los dos diagramas se leyeron del motor, uno con la presión de viento real y otro con una carga horizontal de 1 kN en el alero, y el producto se integró elemento a elemento en forma cerrada.

La integral devuelve 11,57778 mm. El motor, que nunca evalúa esa integral y en su lugar ensambla e invierte una matriz de rigidez, reporta 11,57705 mm en el mismo nudo. Se diferencian en un 0,0063 %.

Dos métodos que no comparten nada salvo el modelo y los datos de sección. Uno es una resolución matricial, el otro es cálculo integral sobre cuatro barras que podrías hacer en papel en una tarde. Que coincidan en la quinta cifra significativa es la razón de que una comprobación a mano de un análisis siga mereciendo la pena: no es una forma más lenta de obtener la misma respuesta, es una vía independiente hacia ella.

Frente a un límite de desplome en el alero de h/150 = 46,67 mm, 11,58 mm son un aprovechamiento de 0,248. Las puertas cerrarán.

Un número suelto salido de un solver te dice si has aprobado. La integral te dice por qué, porque puedes pararla a medio camino y preguntar de dónde salió el total. Reparte esos mismos 11,578 mm por barra:

• Pilar de barlovento: 41,58 %
• Pilar de sotavento: 30,98 %
• Dintel de barlovento: 14,37 %
• Dintel de sotavento: 13,06 %

El 72,56 % del desplome se acumula en los dos pilares y el 27,44 % en los dinteles. Si este pórtico hubiera suspendido su verificación de deriva, peraltar el dintel te habría comprado como mucho una cuarta parte de la mejora por kilogramo que te daría peraltar los pilares. Es una decisión de proyecto leída directamente en un integrando, y ningún número aislado de desplazamiento la contiene.

El reparto entre los dos términos también merece una mirada. El término de flexión ∫Mm/EI ds es el 99,823 % del total y el término axil ∫Nn/EA ds el 0,177 %. En un pórtico de proporciones corrientes el acortamiento axil es genuinamente despreciable, que es por lo que todos los libros lo tiran. Deja de serlo en pórticos altos arriostrados y en celosías, donde las barras se cargan axialmente por diseño y el término pequeño es el de flexión.

En esta integral no hay término de cortante, y eso es una coincidencia deliberada con el solver, no un olvido. El motor de aquí es Euler-Bernoulli: un pilar en voladizo con carga en punta devuelve 116,75937 mm frente al valor F h³/3EI de 116,75937 mm, coincidiendo con nueve cifras significativas, cosa que solo es posible si la deformación por cortante está ausente. Añadir un término de cortante de Timoshenko habría aportado 1,309 mm en ese voladizo, un 1,12 %. Real, pequeño, y no es lo que contiene este modelo.

Un resultado más de la misma integral, y es el que hay que llevarse. Resuelve otra vez el pórtico con un momento de inercia un 4,62 % por debajo del valor de la tabla publicada, exactamente el tipo de hueco que hay entre una base de perfiles redondeada y EN 10365, y el desplome sale un 3,78 % mayor. La integral es exacta. Su respuesta vale lo que vale el ∫y² dA que le das de comer, y ese número vino de la integral 4, tres apartados atrás. Las siete no son independientes.

La correa de arriba es la más limpia de las siete para hacerla a mano y comprobarla. Pon una luz de 6,0 m y una carga uniforme de 0,80 kN/m y deberías obtener un cortante en el apoyo de 2,400 kN, un momento en el centro de vano de 3,600 kN·m y una flecha de 3,604 mm. Después descentra la carga y mira cómo se mueve el cero del cortante, y cómo el pico del momento se mueve con él.

Cambia la sección y mira cómo el momento se queda exactamente donde estaba mientras la flecha cambia. El momento es la segunda integral de la carga y no sabe nada del acero; la flecha es la cuarta, y EI entra en la tercera. La estática antes que la rigidez, y aquí puedes ver la frontera entre las dos.

La cuarta pregunta del cliente era la pintura, y la respuesta es una integral de contorno. La superficie pintada de una barra es el camino cerrado alrededor de su sección, ∮ds, multiplicado por la longitud.

Recorre el contorno de una sección en I con esquinas vivas y sale 4b + 2h − 2t_w. Para el IPE 400 eso es 4(180) + 2(400) − 2(8,6) = 1 502,8 mm. Pero las esquinas no son vivas, son acuerdos de raíz de cuarto de círculo de radio r, y cada uno sustituye un camino de 2r por un arco de πr/2. Los cuatro quitan 4(2r − πr/2) = 36,05 mm, dejando 1 466,7 mm, o 1,4667 m²/m. El valor publicado es 1,467 m²/m. La integral coincide con un 0,02 %.

Esos acuerdos son el 2,4 % del perímetro. Ignóralos y cada metro de cada barra de la obra queda sobrestimado en un 2,4 %, cosa pequeña hasta que lo multiplicas por el edificio entero y lo comparas con un presupuesto de pintura.

Corriendo la obra: 14,0 m de HEB 300 a 1,732 m²/m son 24,2 m², 20,10 m de IPE 400 a 1,467 m²/m son 29,5 m², así que 53,7 m² por pórtico y 322,3 m² para los seis. Eso son 18,07 m² de superficie por tonelada de acero, y esa relación es la razón de que los perfiles ligeros cuesten más de proteger de lo que su tonelaje sugiere.

La misma integral de contorno tiene una segunda vida en el proyecto frente al fuego. El factor de forma A_m/V, el perímetro expuesto dividido por el volumen por metro, es 116,2 m⁻¹ para el HEB 300 y 173,4 m⁻¹ para el IPE 400. El dintel se calienta como vez y media más rápido que el pilar bajo el mismo fuego, y sale de las mismas dos integrales: el contorno arriba y el área debajo.

Cada una de ellas lleva un número pegado, medido sobre el edificio de arriba.

• Sustituir una presión variable por su valor a media altura. Un 5,59 % de fuerza de más y un 6,59 % de momento en la base de menos, a la vez. El signo del error es distinto en las dos magnitudes, así que ningún coeficiente de seguridad cubre las dos.
• Olvidar la integral del momento estático. La resultante de una ley potencial actúa en H(n+1)/(n+2), que para este muro son 3,957 m y no 3,5 m. Todo lo que cuelga del momento en la base, la placa de base, los anclajes, la zapata, hereda el error.
• Fiarse de un escalonamiento grueso. Siete franjas en 7 m son más aritmética que la forma cerrada y todavía se desvían un 6,31 %. Si vas a discretizar, discretiza bien o integra.
• Suponer que el momento máximo está en el centro de vano. Está en el cero del cortante, porque el cortante es el integrando. En esta correa los dos coinciden; cambia la carga y se separan.
• Medir el dintel en horizontal. El ds a lo largo de una pendiente del 10 % son 10,04988 m, no 10 m, en la integral de masa, en la de pintura y en la de flecha. Un 0,5 % en todas las mediciones de dintel de la obra.
• Darle a la integral datos de sección redondeados. Un momento de inercia un 4,62 % por debajo de la tabla cambia el desplome calculado en un 3,78 %. La integral no puede ser más exacta que lo que hay bajo el signo integral.

Siete integrales, una nave, y la cadena va de punta a punta sin hueco. ∫ρ dV la presupuestó. ∫p dA la cargó y ∫z p dA decidió dónde. ∫w dx y ∫V dx bajaron la carga por una correa. ∫dA, ∫y dA y ∫y² dA describieron la forma que la resiste. ∫σ dA y ∫σ y dA demostraron que las tensiones y los esfuerzos son el mismo objeto visto dos veces. ∫Mm/EI ds respondió si las puertas cierran, y te dijo qué barra arreglar si no lo hicieran. ∮ds fue a la factura.

La razón para saber esto no es que las vayas a evaluar a mano. No lo harás; lo hará el software, varios miles de veces, en el segundo siguiente a pulsar Calcular. La razón es que el software solo corre las integrales que tú planteaste, sobre la geometría que dibujaste y las secciones que elegiste, y cada una de las siete tiene un sitio por donde se le puede colar el dato equivocado sin ruido. Una presión leída en un punto. Un dintel medido en plano. Un módulo resistente sacado de una tabla redondeada.

El ingeniero que sabe qué integral se está evaluando en cada paso sabe dónde mirar cuando un número vuelve mal. Ese es todo el rédito de Cálculo I y II, y llega en la primera obra de verdad, no en el examen.