Calculadora de Diagrama de Momento Fletor e Esforço Cortante

Todo diagrama de esforço cortante (DEC) e diagrama de momento fletor (DMF) é construído com a mesma rotina de quatro movimentos. A calculadora acima automatiza essa rotina — e o modo passo a passo reproduz cada movimento com os números reais do caso selecionado, para você aprender o método na exata viga que interessa.

1. Calcule as reações de apoio. Desenhe o diagrama de corpo livre da viga inteira e aplique o equilíbrio global: ΣFy = 0 e ΣM = 0. Para uma viga biapoiada, tome momentos em relação a um apoio e obtenha a outra reação diretamente. (Para uma viga biengastada isso não basta — veja a FAQ sobre vigas hiperestáticas.)
2. Seccione a viga trecho por trecho. Um novo trecho começa em cada apoio, carga concentrada e início/fim de carga distribuída. Dentro de um trecho nada muda, então UM par de equações cobre o trecho inteiro.
3. Escreva V(x) e M(x) de cada trecho. Fique com o corpo livre à esquerda e some: V(x) é a soma das forças verticais à esquerda da seção; M(x) é a soma dos momentos delas em relação à seção. É isso que gera os polinômios exatos que esta página imprime em "Equações por trecho".
4. Plote e feche. Cargas concentradas e reações criam saltos verticais em V iguais às suas intensidades; a carga distribuída faz V cair com inclinação w. A curva de momento é sempre um grau acima da de cortante em cada trecho. Depois do último apoio, os dois diagramas precisam voltar a zero — se não voltarem, alguma reação está errada. Esse "fechamento" pega a maioria dos erros de prova.

Onde o esforço cortante cruza o zero, o momento fletor atinge um pico local — em geral é essa a seção transversal que governa o dimensionamento à flexão da barra.

Duas identidades diferenciais geram todas as regras práticas usadas para esboçar diagramas. Com w(x) a intensidade da carga para baixo:

dV/dx = −w(x) — a inclinação do diagrama de esforço cortante é igual a menos a intensidade da carga.

dM/dx = V(x) — a inclinação do diagrama de momento fletor é igual à ordenada do cortante.

Delas saem as regras de forma:

Duas consequências que valem a pena memorizar: M é extremo onde V = 0 (porque ali dM/dx = 0), e a variação de M entre duas seções é igual à área sob o DEC entre elas. Você pode verificar as duas em qualquer preset acima — ative o modo passo a passo e veja as equações confirmarem, trecho por trecho.

Esta calculadora usa a convenção clássica da resistência dos materiais, a mesma de Hibbeler, Beer & Johnston e da maioria das normas de projeto:

• Cortante V positivo: a resultante das forças no corpo livre da esquerda atua para cima (o par tende a girar o elemento no sentido horário).
• Momento M positivo: viga "sorrindo" — concavidade para cima, compressão na fibra superior, tração na fibra inferior. Momentos negativos (balanço sobre uma parede, momento sobre o apoio intermediário de uma viga com balanço) tracionam a fibra superior.
• As cargas P e w entram como intensidades positivas para baixo; o solver trata os sinais internamente.

Boa parte das escolas brasileiras (e europeias) traça o DMF do lado tracionado da viga — momentos positivos desenhados para baixo, como manda a tradição do detalhamento de armadura. Os números são idênticos; só o sentido de plotagem inverte. Se o seu livro ou professor desenha os momentos positivos abaixo do eixo, espelhe mentalmente o DMF (ou compare os valores com sinal nos pontos críticos rotulados, que nunca mudam).

Nos diagramas acima, as regiões positivas ficam sombreadas em verde e as negativas em vermelho, deixando a convenção visível de relance — um detalhe que importa na hora de conferir a transferência de momento nos apoios de vigas contínuas ou com balanço.

Todo caso da barra de presets tem fórmula fechada de livro-texto. A calculadora reproduz todas exatamente (isso faz parte da verificação automatizada dela) e continua exata quando você muda L, P, w ou as posições — coisa que as fórmulas abaixo não fazem por você quando o carregamento fica misto.

A viga com balanço é a que os estudantes mais erram: o momento é negativo sobre o apoio interno, positivo no vão, e cruza o zero no ponto de inflexão (momento nulo) — a calculadora marca esse ponto explicitamente no DMF, porque é onde você faria a emenda da armadura ou verificaria o travamento lateral.

Vigas reais raramente batem com uma ficha de livro, então o construtor de caso personalizado aceita qualquer combinação que as tabelas clássicas não cobrem: até 6 cargas concentradas em qualquer ponto do vão, até 4 cargas distribuídas que podem ser parciais (cobrindo só parte do vão) e trapezoidais (intensidades diferentes em cada extremidade), e até 4 momentos concentrados aplicados — em 4 arranjos de apoio: biapoiada, em balanço, biengastada ou com balanço.

Dois comportamentos que vale conhecer:

• Momentos aplicados seguem a convenção horário-positivo: um momento horário M₀ faz o DMF saltar PARA CIMA em +M₀ ao percorrê-lo da esquerda para a direita, enquanto o DEC não muda nada (um binário puro não carrega força vertical resultante). As equações por trecho tratam o momento exatamente; as reações vêm do mesmo motor pelo método da rigidez de todo o resto.
• Todo resultado permanece exato e auditável. Os polinômios por trecho, os pontos críticos, a narração de equilíbrio passo a passo e a exportação CSV funcionam nos casos personalizados exatamente como nos presets — inclusive em arranjos hiperestáticos como a viga biengastada, que ferramentas baseadas só em estática nem conseguem resolver.

Ao terminar, o botão Compartilhar link codifica a configuração inteira na URL, de modo que um colega (ou seus alunos) abre a viga idêntica com um clique — sem conta, sem arquivo.

Um diagrama de momento fletor é meio, não fim — o número que você precisa de verdade é um perfil de aço estrutural. Abaixo dos diagramas, esta página fecha esse ciclo:

1. Módulo de resistência necessário. A partir do momento de cálculo Md = máx(|Mmáx|, |Mmín|), a exigência elástica é Wx,nec = Md / (fy/γa1) com γa1 = 1,10 conforme a NBR 8800 (o fator LRFD φb = 0,90 do AISC 360 chega a poucos por cento de diferença). Escolha o fy do seu aço — ASTM A36, A572 Gr.50 ou S355. Se o seu escritório ainda pensa em kgf, lembre a conversão consagrada: 1 kN ≈ 102 kgf e 1 kN·m ≈ 102 kgf·m.
2. Varredura de catálogo. O catálogo CalcSteel de ~1.309 perfis (W/HP, perfis U, tubos — séries ASTM, EN e NBR) é varrido em busca das três seções mais leves com Wx ≥ Wx,nec, cada uma exibida com peso e taxa de aproveitamento à flexão, e cada uma linkando à sua página de perfil, onde rodam as verificações completas pela NBR 8800 / AISC 360 (FLT, cortante, flecha) sobre as propriedades reais da seção.
3. Um clique até um modelo real. "Abrir no editor 3D" recria a exata viga que você configurou — vão, apoios, cada carga concentrada, cada carga distribuída — no editor estrutural 3D do CalcSteel, já com o perfil sugerido atribuído, pronta para combinações de ações, verificações normativas e exportação IFC/DXF. O diagrama que você estava estudando vira um projeto que você termina.

Essa é a diferença entre uma ficha de fórmulas e uma ferramenta que vive dentro de um produto estrutural de verdade: os números continuam vivos depois do diagrama.

• Diagrama não fecha. Se V ou M não zera depois do último apoio, alguma reação está errada. Refaça ΣM em relação a um apoio. O passo final do modo passo a passo faz essa checagem por você.
• Esquecer o salto na carga concentrada. V precisa cair exatamente P na carga. Se o seu salto deu diferente, você misturou o corpo livre da esquerda com o da direita.
• Pico de momento no lugar errado. O máximo de M NÃO fica sempre no meio do vão — para carga concentrada fora do centro fica sob a carga; para carga triangular, em x = L/√3 ≈ 0,577L. Ache primeiro onde V = 0.
• Erro de sinal no balanço. Momento sobre o apoio do balanço é negativo (tração em cima). Se o seu DMF saiu todo positivo numa viga com balanço, a convenção de sinal escorregou.
• Tratar viga biengastada como isostática. Dois engastes dão 4 incógnitas e só 2 equações de equilíbrio — a estática sozinha não resolve. Esta página roda um solve real pelo método da rigidez, e por isso o preset biengastado mostra os momentos de engaste corretos de −wL²/12, em vez de um "wL²/8" errado.
• Esquecer as unidades. V carrega unidade de força (kN, kip); M carrega força×comprimento (kN·m, kip·ft). No Brasil o SI é o padrão (kN, kN·m; inércias em cm⁴), mas se você recebe memórias antigas em kgf, converta: 1 kN ≈ 102 kgf. O toggle SI/imperial acima converte também os coeficientes das equações, então dá para entregar as equações a um colega em qualquer sistema sem refazer a álgebra.