Qual Pilar para um Pe-Direito de 6 m? Axial Mais Momento, Verificado de Ponta a Ponta

Pergunte a um engenheiro estrutural "qual pilar para um pe-direito de 6 m" e a resposta rapida e uma secao tirada de uma tabela de capacidade. Ache o perfil cuja capacidade axial supera a carga, pronto. Se o pilar carregasse nada alem de forca axial essa resposta ate seria quase certa, porque um pilar puro e dimensionado por um unico numero. A armadilha e que quase nenhum pilar de pavimento real carrega apenas forca axial. Ele tambem carrega um momento, de uma viga de piso desbalanceada, da acao de portico, do vento, e o momento nao espera educadamente a sua vez. Ele corre pela mesma verificacao de interacao que o axial, e num pe-direito alto e geralmente o momento que decide.

Este artigo trabalha um pilar concreto do inicio ao fim e deixa os numeros resolverem a questao. Um unico pavimento, 6.0 m de piso a piso, um pilar carregando 1400 kN de axial gravitacional dos pisos acima e um momento de 150 kN.m em torno do seu eixo forte. Resolvemos no motor de elementos finitos do CalcSteel, conferimos o axial e o momento contra a estatica manual, e depois colocamos sete secoes HEB para competir, da HEB 200 a HEB 320, na flambagem do AISC 360, na flambagem lateral com torcao e na interacao H1.1. Aqui esta a ideia inteira de antemao: a secao mais leve que passa so no axial nao e o pilar que voce constroi, o comprimento destravado de 6 m derruba silenciosamente as duas capacidades, e a interacao, nao a tabela de axial, nomeia o vencedor.

Aqui esta a barra que carregamos pelo artigo. Um pilar de um unico pavimento, 6.0 m da ligacao de base ao piso acima, uma secao HEB de abas largas laminada a quente em aco S355 (escoamento 355 MPa, modulo 200 GPa). Ele fica num portico contraventado, entao o pavimento nao desloca lateralmente e o fator de comprimento efetivo e K = 1: o pilar e mantido em posicao nos dois niveis de piso mas rotulado a rotacao, e seu comprimento de flambagem e os 6.0 m inteiros. As vigas de piso chegam a ele apenas no topo e na base, entao entre pisos o eixo fraco fica destravado ao longo de todo o pavimento. Guarde este ultimo fato, porque um comprimento destravado de 6 m e o que transforma isto de uma consulta numa verificacao de verdade.

Duas coisas carregam este pilar. Os pisos acima empilham gravidade por ele como compressao axial, e uma viga de piso mais o sistema lateral entregam um momento no eixo forte no pavimento. Um pilar puramente axial seria dimensionado so pela flambagem. Um pilar com momento e um pilar-viga, e um pilar-viga e verificado por uma equacao de interacao que soma as duas demandas. A questao nao e "qual secao carrega 1400 kN", e "qual secao carrega 1400 kN e 150 kN.m ao mesmo tempo, ao longo de 6 m".

O lado da demanda e um par de numeros, e nenhum depende da secao que escolhemos.

• Compressao axial, N = 1400 kN, a carga gravitacional dos pisos acima resolvida por esta linha de pilar na combinacao ultima (LRFD).
• Momento no eixo forte, M = 150 kN.m, o momento de primeira ordem no pavimento vindo da viga desbalanceada e do sistema lateral.

Ambos sao verificados na carga majorada, e ambos encontram a mesma secao ao mesmo tempo. O que a secao muda e a capacidade que os responde, e o pe-direito de 6 m alcanca as duas capacidades de uma vez:

• Na compressao, o comprimento de flambagem e K vezes o pe-direito, 1.0 x 6.0 = 6.0 m. Divida pelo raio de giracao do eixo fraco e voce obtem a esbeltez que fixa a tensao de flambagem. Quanto mais alto o pavimento, maior a esbeltez, menor a capacidade.
• Na flexao, a aba comprimida e travada apenas nos pisos, entao o comprimento destravado para a flambagem lateral com torcao tambem e 6.0 m. Numa HEB robusta o momento plastico so e alcancavel ate um comprimento de cerca de 2.5 a 3.2 m; passando disso a capacidade a flexao cai. A 6 m estamos bem alem dele.

Entao o pe-direito nao e uma dimensao passiva ao fundo. Ele e a unica variavel que desconta a capacidade a compressao e a capacidade a flexao juntas, e faz isso antes mesmo de o momento e o axial serem somados. Guarde o numero 6.0 m: e por isso que a secao que carrega o axial nao consegue carregar o par.

Coloque o pilar no motor do CalcSteel, aplique os 1400 kN de axial e a carga transversal que entrega os 150 kN.m, e leia os resultados. O motor retorna exatamente o que a estatica preve, que e o proposito de rodar o controle primeiro:

• Forca axial no pilar, N = 1400.0 kN, batendo com a carga gravitacional aplicada em 0.000 por cento.
• Momento maximo no eixo forte, M = 150.0 kN.m, batendo com a forma fechada wL ao quadrado sobre 8 para a carga transversal equivalente em 0.000 por cento.

Essa concordancia nao e decoracao. Ela certifica que o modelo, os apoios e o caminho de carga sao o que pensamos que sao, entao toda capacidade que calculamos a seguir responde a demanda certa. Os 1400 kN e 150 kN.m estao agora fixos. Sao os mesmos para cada candidata. O que muda da HEB 200 a HEB 320 e a capacidade que os encontra, e, decisivamente, como o comprimento de 6 m desconta essa capacidade antes de a interacao somar as duas razoes.

Antes de colocar as secoes para competir, dimensione um pilar voce mesmo. A calculadora de flambagem de pilar gratuita abaixo recebe uma secao, um comprimento e um fator de comprimento efetivo e retorna a esbeltez e a compressao de projeto, o mesmo caminho do Capitulo E do AISC 360 que usamos daqui a pouco. Coloque um comprimento de 6.0 m com K = 1, experimente uma HEB 240 e uma HEB 280, e veja a capacidade subir conforme a secao fica mais robusta. E a metade axial da verificacao, ao vivo e sem login, e e o jeito mais rapido de sentir o quanto o pe-direito pressiona o numero.

Secoes HEB sao o perfil natural de pilar: abas largas, uma altura proxima da largura, e um grande raio de giracao no eixo fraco, que e exatamente o que um pilar precisa para resistir a flambagem. Alinhamos sete delas e lemos as propriedades direto do catalogo.

As duas propriedades que importam estao a mostra. O raio de giracao no eixo fraco ry fixa a capacidade a compressao, porque a flambagem no eixo fraco governa um pilar duplamente simetrico com comprimentos destravados iguais. O modulo plastico Zx fixa a capacidade a flexao. Ambos crescem conforme a secao fica mais pesada, e o artigo inteiro e uma disputa entre a velocidade com que cada um cresce e a forca com que o comprimento de 6 m e o momento de 150 kN.m empurram de volta.

Comece do jeito que uma consulta comeca, com a carga axial e nada mais. O Capitulo E do AISC 360 da a compressao de projeto a partir da esbeltez. Com K = 1 e o pavimento de 6.0 m, a esbeltez no eixo fraco KL sobre ry vai de 118.5 para a HEB 200 a 84.7 para a HEB 280. Passe isso pela curva de pilar e voce obtem a tensao de flambagem Fcr, depois multiplique pela area e pelo fator 0.90 para a compressao de projeto phiPn:

• HEB 220: esbeltez 107.4, phiPn = 1221 kN. Contra a demanda de 1400 kN isso e um indice de utilizacao de 1.15, uma reprovacao.
• HEB 240: esbeltez 98.7, Fcr = 170.6 MPa, phiPn = 1627 kN. Utilizacao 1400 / 1627 = 0.86, uma aprovacao confortavel.

Entao so no axial a resposta e HEB 240. E a secao mais leve da lista que carrega os 1400 kN, e em 0.86 ela tem folga real, cerca de 14 por cento. Uma tabela de capacidade, ou uma calculadora de pilar rodada so com axial, entregaria a HEB 240 e voce seguiria adiante. Repare o quanto os 6 m ja gastaram aqui: a HEB 240 e uma secao robusta de 84 kg/m, e o pe-direito consumiu a maior parte dela, deixando apenas aqueles 14 por cento. Essa margem estreita e tudo o que a verificacao de axial conhece. Ela nunca viu o momento.

Agora deixe o momento entrar na sala. Um pilar-viga e verificado pela equacao de interacao H1.1 do AISC 360, que soma a utilizacao axial e a utilizacao a flexao numa razao unica que deve ficar em ou abaixo de 1.0. Quando a utilizacao axial e 0.2 ou mais, a regra e:

IR = Pr/Pc + (8/9)(Mr/Mc)

onde Pr/Pc e a razao axial que ja temos e Mr/Mc e a razao de momento. A capacidade a flexao Mc = phiMn e onde os 6 m mordem uma segunda vez. A HEB 240 poderia alcancar um momento plastico de projeto de 324.6 kN.m se sua aba fosse travada, mas ao longo de um comprimento destravado de 6 m a flambagem lateral com torcao o derruba para phiMn = 275.9 kN.m, uma reducao de 15 por cento. A demanda de momento tambem nao e os 150 kN.m nus: o amplificador de segunda ordem o eleva a 195.3 kN.m (a proxima secao explica por que). Junte as pecas para a HEB 240:

IR = 0.86 + (8/9)(195.3 / 275.9) = 0.86 + 0.63 = 1.49

A secao que passou na verificacao de axial em 0.86 reprova na verificacao combinada em 1.49, quase 50 por cento acima. E ela nao esta sozinha. Suba um tamanho para a HEB 260, e a razao axial alivia para 0.69 mas a interacao ainda e 1.17, uma reprovacao. O momento eliminou as duas secoes mais leves que carregam o axial. A resposta da consulta se foi.

Os 150 kN.m sao o momento de primeira ordem, o que uma analise linear desenha. Mas a carga axial nao atua no pilar indeformado, ela atua no pilar que ja se curvou lateralmente sob o momento, e esse deslocamento multiplicado pelos 1400 kN adiciona momento que o diagrama de primeira ordem nunca mostrou. O AISC 360 captura esse efeito de barra com o amplificador B1:

B1 = Cm / (1 - Pr/Pe1) ≥ 1

onde Pe1 e a carga de flambagem elastica da barra em torno do eixo de flexao. Para a HEB 240, Pe1 = 6033 kN, entao com Cm = 1.0 o amplificador e 1 / (1 - 1400/6033) = 1.30, transformando os 150 kN.m em 195.3 kN.m. Para a HEB 280, mais rigida, Pe1 = 10307 kN e B1 = 1.16, uma amplificacao menor dos mesmos 150 kN.m para 173.6 kN.m, porque um pilar mais rigido se desloca menos e alimenta a si mesmo com menos momento de segunda ordem.

Esta e a razao silenciosa de um pilar-viga ser mais dificil que a soma das suas partes. A secao mais pesada nao esta so carregando mais, ela esta amplificando menos. O fator B1 premia a rigidez duas vezes: uma na capacidade e outra na demanda. Neste pilar ele responde por um terco do momento que reprova a HEB 240.

Continue subindo. A HEB 280 traz uma compressao de projeto de phiPn = 2445 kN e, depois da mesma reducao por flambagem lateral com torcao de 6 m, um momento de projeto de phiMn = 413.3 kN.m. Sua razao axial e um relaxado 1400 / 2445 = 0.573, seu momento amplificado e 173.6 kN.m, e a interacao pousa em:

IR = 0.573 + (8/9)(173.6 / 413.3) = 0.573 + 0.373 = 0.946

Isso e uma aprovacao, com um pouco de folga. A HEB 280 e a secao mais leve da lista que carrega o axial e o momento juntos ao longo de 6 m. Aqui esta a disputa inteira num cartao so:

O numero que decide e a ultima coluna, e ele nao se parece nada com a razao axial. Dimensionar so no axial parou na HEB 240, 83.2 kg/m. A interacao forca a HEB 280, 103.1 kg/m. Isso e 24 por cento mais aco em cada pilar da malha, comprado nao pela carga axial que uma tabela consultaria mas pelo momento e pelo comprimento de 6 m que uma tabela nunca ve.

O atalho tentador, quando uma secao reprova, e apelar para uma classe mais alta. Se o S355 nao da conta, certamente o S460 dara. Rode o contrafactual: pegue a HEB 240 reprovada, mantenha a geometria, e eleve o escoamento de 355 para 460 MPa. Os resultados sao uma licao do que de fato controla um pilar de 6 m.

• A compressao de projeto sobe de 1627 kN para apenas 1696 kN, um ganho de 4 por cento. Numa esbeltez de 98.7 o pilar esta flambando, nao escoando, e a flambagem depende da rigidez e do comprimento, nao da resistencia ao escoamento. Um aco mais forte mal move a capacidade a compressao, porque o pilar falha por instabilidade muito antes de o aco alcancar 460 MPa.
• O momento de projeto sobe mais, de 275.9 para 331.1 kN.m, porque a capacidade a flexao de fato escala com o escoamento. Mas nao e suficiente.
• A razao de interacao cai de 1.49 para 1.35. Ainda uma reprovacao.

Entao a HEB 240 em S460 ainda nao carrega o par, e voce pagou por um aco premium para ir de 1.49 a 1.35. Isso espelha a licao de deformacao em vigas de grandes vaos, onde um aco mais forte nao faz nada pela rigidez. Aqui um aco mais forte nao faz quase nada pela flambagem. As alavancas que funcionam sao geometricas: uma secao maior (mais area e mais ry, que e o que a HEB 280 compra), um comprimento destravado menor (trave o eixo fraco na meia altura e a esbeltez cai pela metade), ou um momento menor (detalhe a ligacao da viga para descartar o momento desbalanceado). A classe do aco nao esta nessa lista.

A verificacao trabalhada acima e AISC 360, mas toda norma importante enquadra um pilar-viga do mesmo jeito: uma compressao de projeto a partir de uma curva de flambagem, um momento de projeto reduzido pela flambagem lateral com torcao, um momento de segunda ordem, e uma desigualdade de interacao que nao pode exceder a unidade.

• AISC 360 (Estados Unidos), as equacoes H1.1 usadas aqui, com a compressao do Capitulo E, a flexao do Capitulo F, e os amplificadores B1/B2 ou uma analise de segunda ordem direta para o momento.
• Eurocode 3, EN 1993-1-1 (Europa), clausula 6.3.3, com as duas expressoes de interacao e os fatores de interacao kyy e kzz. O fator de reducao por flambagem chi substitui a curva de pilar do AISC, e o momento e reduzido por chiLT para a flambagem lateral com torcao. Os ossos sao identicos: termo axial mais termo de momento, em ou abaixo de 1.0.
• ABNT NBR 8800 (Brasil), a interacao da clausula 5.5, bem alinhada com a forma do AISC: uma razao axial mais uma razao de momento, com a divisao em 0.2 e o mesmo peso de 8/9 no termo de flexao.

Os numeros mudam alguns por cento entre as normas, mas o veredito nao. Em qualquer uma das tres, a HEB 240 reprova no par ao longo de um pavimento de 6 m e a secao sobe. A equacao de interacao e a lingua universal do pilar-viga, e a consulta so ao axial nao e.

"O pilar carrega axial, entao dimensionei para axial." Este e o erro que o artigo inteiro foi construido para pegar. Um pilar de pavimento quase sempre carrega um momento tambem, de uma viga desbalanceada, da acao de portico, de uma carga nocional, e o momento corre pela interacao junto com o axial. Dimensione para o par, nao para o maior dos dois.

"Usei o momento plastico para a capacidade a flexao." So valido se a aba comprimida for travada dentro do comprimento em que o momento plastico e alcancavel, cerca de 2.5 a 3.2 m para estas secoes HEB. Ao longo de um pavimento de 6 m travado apenas nos pisos, a flambagem lateral com torcao reduz a capacidade a flexao, aqui em 15 por cento na HEB 240. Esquecer disso e contra a seguranca exatamente na verificacao que governa.

"Usei o momento de primeira ordem." A carga axial cavalgando sobre a forma deformada adiciona momento de segunda ordem. Neste pilar o amplificador B1 eleva os 150 kN.m em 16 a 30 por cento dependendo da secao. Ou aplique o amplificador ou rode uma analise de segunda ordem apropriada; nao verifique um pilar-viga com o momento linear.

"K = 1 sempre se aplica?" So num portico contraventado, onde o pavimento nao pode deslocar lateralmente. Num portico nao contraventado (de momento) o K excede 1, muitas vezes bem acima de 2, o comprimento de flambagem cresce, e a capacidade a compressao cai mais. A pratica moderna contorna o debate do K com o metodo de analise direta, que usa K = 1 com rigidezes reduzidas e cargas nocionais no lugar.

"Qual eixo flamba?" Para uma HEB duplamente simetrica com comprimentos destravados iguais, o eixo fraco, porque ry e menor que rx. E por isso que ry fixa a capacidade a compressao na tabela acima. Trave o eixo fraco e o jogo muda.

A pergunta era "qual pilar para um pe-direito de 6 m", e a resposta honesta e que a altura sozinha nao consegue responde-la. Alimente o pilar com sua demanda real, 1400 kN de axial e 150 kN.m de momento, e o pavimento de 6 m se revela a variavel que desconta as duas capacidades de uma vez: o comprimento de flambagem na compressao e o comprimento destravado na flexao. A secao que carrega o axial, a HEB 240, reprova na interacao em 1.49. A secao que voce constroi, a HEB 280, e 24 por cento mais pesada, e um aco mais forte nao fecha a diferenca.

Essa e a diferenca entre uma consulta e uma verificacao. Uma tabela le a carga axial e entrega uma secao. A interacao le o axial, o momento, o pe-direito e a amplificacao de segunda ordem, e entrega o pilar que de fato fica de pe. Voce pode rodar a metade axial voce mesmo na calculadora acima, e a verificacao completa de pilar-viga, secao por secao, no editor do CalcSteel, gratis e sem login, e gratis para estudantes. Coloque o seu proprio pe-direito e o seu proprio momento, e veja qual verificacao governa.