Escada de Longarina Central em Aço: O Critério por Trás da Norma, com uma Verificação Resolvida

A escada de longarina central é aquela que os arquitetos buscam quando a escada tem que parecer flutuante: uma única longarina de aço subindo pelo centro do lance, degraus em balanço para cada lado, sem estrutura nas bordas para interromper a linha. É uma ideia limpa, e esconde uma armadilha específica de engenharia, porque essa única viga central é obrigada a fazer duas coisas ao mesmo tempo que uma escada convencional de duas longarinas divide e suaviza.

A primeira é a flexão. Com uma longarina no lugar de duas, toda a largura do lance, cada degrau, cada pessoa, cai sobre esse único elemento. Sua demanda de flexão não é um pouco maior que a de um braço de longarina dupla; é praticamente o dobro, porque ela carrega a largura inteira onde cada braço da dupla carregava metade.

A segunda, e a que realmente pega as pessoas, é a torção. Os degraus se estendem da longarina central como balanços. Carregue-os igualmente dos dois lados e os giros se cancelam. Mas as normas não permitem supor carga uniforme: uma escada tem que ser verificada para uma multidão amontoada de um lado, e no instante em que a carga fica desequilibrada, ela age fora do eixo da longarina central e a torce. Uma longarina dupla nunca sente isso, porque seus degraus vencem o vão entre dois apoios; uma longarina central sente isso em cada lance.

Erre qualquer uma das duas e a seção estará errada. Este guia dimensiona um lance público real de longarina central da carga à verificação combinada, com cada esforço interno produzido pelo motor de elementos finitos do CalcSteel e conferido à mão contra a teoria até a casa decimal. A calculadora de viga gratuita do CalcSteel roda a metade da flexão no seu navegador, e está embutida no meio do texto para você dimensionar sua própria longarina central enquanto lê.

Uma escada de longarina central carrega o lance em uma única viga, a longarina central, subindo pelo centro sob os degraus, que ficam em balanço para cada lado. Em aço, a longarina central é quase sempre uma seção fechada, uma seção tubular retangular ou quadrada (RHS ou caixa), e cada degrau é um pequeno balanço soldado a ela.

Para a análise, a longarina central é a mesma viga inclinada biapoiada que qualquer longarina é: rotulada no patamar inferior, sobre um apoio móvel no topo, livre para girar nas duas extremidades, vencendo o lance no ângulo da escada. Até aí ela compartilha isso com uma longarina dupla. Duas coisas fazem dela um problema diferente.

Primeiro, a área de influência. Uma longarina dupla toma metade da largura do lance; a longarina central toma toda ela. Cada carga por metro quadrado que a norma pede é multiplicada pela largura inteira, não metade, quando vira uma carga linear na longarina central.

Segundo, o caminho de carga até a longarina central. Numa escada de longarina dupla os degraus vencem o vão entre as duas longarinas e entregam reações verticais limpas. Numa longarina central os degraus são balanços, e um balanço entrega sua carga ao apoio como uma força vertical e um momento. Quando os dois lados estão equilibrados, os momentos se opõem e se cancelam; quando não estão, o momento resultante é um torque em torno do próprio eixo da longarina central. Então o modelo honesto de uma longarina central é uma viga em flexão e torção, e as duas têm que ser verificadas juntas em uma seção.

Tomamos um lance público reto, de piso a piso, e dimensionamos sua longarina central.

• Avanço (projeção horizontal) a = 3.60 m, a distância que a escada cobre em planta.
• Altura vencida H = 2.10 m, a altura que ela sobe.
• Então o ângulo é theta = arctan(2.10 / 3.60) = 30.3 graus, cos(theta) = 0.864, uma inclinação pública normal e confortável.
• O comprimento inclinado da longarina central é s = sqrt(a^2 + H^2) = 4.17 m, o comprimento real de aço.
• O lance tem 1.20 m de largura, e toda ela se apoia na única longarina central. Cada degrau portanto fica em balanço 0.60 m para cada lado.

A carga é uma carga de escada pública: uma sobrecarga uniforme de 4.0 kN/m2 em planta (dentro da categoria C do Eurocode e das faixas públicas da NBR, logo abaixo da figura de 4.79 da ASCE 7) e uma carga permanente de cerca de 1.5 kN/m2 para degraus de aço, acabamento leve e uma reserva para o corrimão. Como a longarina central carrega a largura inteira, as cargas lineares referidas à projeção horizontal são a pressão vezes os 1.20 m completos, não metade deles:

• Sobrecarga: w_live = 4.0 kN/m2 x 1.20 m = 4.80 kN/m.
• Permanente: w_dead = 1.5 x 1.20 + peso próprio da longarina central (0.22 kN/m) = 2.02 kN/m.
• Majorada para o estado limite último (EN 1990: 1.35 permanente + 1.5 sobrecarga): w_Ed = 1.35 x 2.02 + 1.5 x 4.80 = 9.93 kN/m.

Guarde esses 1.20 m em mente. É toda a razão de uma longarina central ser um elemento de flexão mais pesado que um braço de dupla, e a próxima seção mostra exatamente o quanto mais pesado.

O momento fletor de uma viga inclinada sob carga vertical é igual ao de uma viga plana vencendo a projeção horizontal, um resultado que vale para qualquer longarina: o cos(theta) de decompor a carga perpendicular ao elemento e o 1/cos(theta) do vão inclinado mais longo se cancelam, restando a fórmula plana escrita com o avanço.

M_Ed = w_Ed a² / 8

Para nossa longarina central no estado limite último: M_Ed = 9.93 x 3.60² / 8 = 16.09 kN.m, com um cortante de apoio V_Ed = w_Ed a / 2 = 17.88 kN. Montamos o lance no motor de elementos finitos do CalcSteel como um elemento biapoiado de vão 3.60 m sob 9.93 kN/m; ele retorna M = 16.091 kN.m e V = 17.879 kN, batendo com a fórmula à mão.

Agora a comparação que justifica toda a escolha de seção. Rode a mesma escada como uma longarina dupla convencional, cada um dos dois elementos tomando metade da largura de 1.20 m. A carga linear majorada por longarina cai para 5.12 kN/m e o motor retorna 8.29 kN.m por braço. A longarina central portanto carrega 1.94 vezes o momento de um braço da dupla, essencialmente o dobro, exatamente como a área de influência previa. Esse é o primeiro custo da longarina única, e só pela flexão você já buscaria uma seção mais alta e mais pesada. Mas a flexão sozinha não é a verificação que decide uma longarina central.

Aqui está a demanda que uma longarina dupla nunca precisa responder. Numa longarina central cada degrau é um balanço se estendendo da longarina. A carga vertical nesse balanço, no seu centro de área, fica a uma distância real ao lado do eixo da longarina central, e uma força vertical agindo fora do eixo é um torque. Carregue os dois lados igualmente e os dois torques se opõem e se cancelam. O detalhe é que você não pode supor que os dois lados estão carregados igualmente.

Toda norma de carga exige que uma escada seja verificada para sobrecarga desequilibrada e em padrão, porque uma multidão real de fato se amontoa de um lado, num patamar, numa curva, ao longo de um corrimão. O pior caso realista para a longarina central é a sobrecarga completa em um balanço de 0.60 m e nada no outro. Essa metade desequilibrada age no centroide de sua própria área, 0.30 m do eixo da longarina central, e sua carga linear majorada (1.5 x 4.0 x 0.60) é 3.60 kN/m. O resultado é um torque distribuído ao longo de todo o lance:

t = 3.60 kN/m x 0.30 m = 1.08 kN.m por metro

Um elemento restringido à torção nos dois patamares (o detalhe padrão, um garfo ou uma chapa de momento em cada extremidade) leva esse torque distribuído até suas pontas do mesmo jeito que uma viga leva uma carga distribuída, e o torque de apoio é T = t a / 2 = 1.08 x 3.60 / 2 = 1.94 kN.m por estática. No motor introduzimos a torção do jeito honesto, como os degraus a fazem, pendurando a carga fora do centro em pequenos balanços soldados à longarina central em vez de inventar um momento. O motor retorna um torque na longarina central de 1.82 kN.m, batendo com a estática discretizada dos balanços aplicados até o último algarismo. O torque é real, é exigido pela norma, e é o número que a seção agora tem que sobreviver.

Agora o torque encontra a seção, e é aqui que a escolha que uma longarina central impõe a você fica gritante. A torção é carregada de dois jeitos completamente diferentes conforme a seção seja aberta (um perfil U, um I, qualquer coisa que você poderia desenrolar em uma tira plana) ou fechada (uma caixa oca ou tubo). Uma seção fechada carrega a torção como um fluxo de cisalhamento suave por todo o perímetro, o que é enormemente eficiente. Uma seção aberta não tem laço fechado por onde fluir, então resiste à torção só pela torção de cada chapa fina sozinha, o que é fraco. A medida dessa eficiência é a constante de torção J, e a diferença entre as duas famílias não é uma porcentagem, é ordens de grandeza.

Coloque números nisso com duas seções de mesma resistência à flexão. Nossa longarina central fechada, uma RHS 150x100x6, tem módulo elástico S_x = 118 cm3 e constante de torção J = 924 cm4. Um perfil U aberto ajustado à mesma flexão, um UPN 160 com S_x = 118 cm3, tem constante de torção de apenas J = 7.2 cm4. A seção fechada é 128 vezes mais rígida à torção para o mesmo aço fazendo o mesmo trabalho de flexão. Alimente o torque de 1.82 kN.m em cada uma e a consequência segue direto:

O perfil U aberto não só falha, ele falha por uma margem larga, e os 266 MPa são apenas a parcela de St Venant de sua tensão de torção; as tensões de empenamento que um perfil U aberto também desenvolve sob essa restrição o empurrariam ainda mais alto. Ele também giraria 16.5 graus em um único lance, o que não é um problema de tensão, é uma escada em que você não consegue andar. Este é o critério que as normas carregam, AISC 360 Seção H3 para elementos HSS sob torção e EN 1993-1-1 Seção 6.2.7 para flexão e torção combinadas: não é bem um número a perseguir, é uma família de seção a escolher. Para uma longarina central, feche a longarina.

Com a família de seção resolvida, dimensione a longarina central e prove-a contra tudo de uma vez. Nossa RHS 150x100x6 em S275 (f_y = 275 MPa) tem S_x = 118 cm3, J = 924 cm4 e uma espessura de parede t = 6 mm. Três tensões agem sobre ela sob as cargas majoradas, e a verificação de norma (EN 1993-1-1 6.2.1, a verificação elástica) é combiná-las no pior ponto e manter a tensão de von Mises abaixo do escoamento.

• Flexão. sigma = M_Ed / S_x = 16.09 kN.m / 118 cm3 = 136 MPa, máxima nas faces superior e inferior.
• Cisalhamento de torção. Uma seção fechada carrega o torque como um fluxo de cisalhamento, e a fórmula de Bredt dá o cisalhamento na parede como tau = T / (2 A_m t), com A_m a área envolvida pela linha média da parede. Para nossa RHS, A_m = 144 x 94 = 13 536 mm2, então tau = 1.82 x 10⁶ / (2 x 13 536 x 6) = 11 MPa, uniforme ao redor do perímetro.
• Cisalhamento vertical. As duas almas carregam o cortante de 17.88 kN, tau = V / (2 h t) = 10 MPa, máximo na meia altura das almas.

Combine-as onde cada uma é pior. Na mesa a tensão de flexão encontra o cisalhamento de torção (o cisalhamento de alma é quase zero ali): sigma_vm = sqrt(136² + 3 x 11²) = 138 MPa. Na meia altura da alma os cisalhamentos vertical e de torção se somam em uma parede, mas há pouca tensão de flexão: sigma_vm = sqrt(3) x (10 + 11) = 37 MPa. O ponto da mesa governa em 138 MPa, que é 50% do escoamento de 275 MPa. A longarina central passa com metade de sua resistência em reserva, e o torque que aniquilou o perfil U aberto é uma contribuição de 11 MPa aqui, mal movendo a resposta. Essa reserva é deliberada: uma escada é um problema de serviço tanto quanto de resistência, e a próxima seção é onde a seção é realmente conquistada.

Uma escada que passa na resistência ainda pode ser uma escada ruim. Dois movimentos decidem se a longarina central parece firme, e a inclinação muda um deles de um jeito que pega as pessoas de surpresa.

Flecha vertical. Ao contrário do momento, a flecha não segue a projeção horizontal. A componente perpendicular da carga age sobre o comprimento inclinado mais longo s, e a flecha perpendicular então projeta de volta para a vertical, e os dois fatores cos(theta) não se cancelam: a flecha vertical real é 1/cos(theta) maior que a de uma viga plana de mesmo avanço. No motor o modelo plano deflete 5.93 mm sob a sobrecarga de serviço e a longarina central inclinada verdadeira 6.87 mm, uma razão de 1.158 que bate com 1/cos(30.3 graus) = 1.158 exatamente. Contra o limite comum L/360 tomado no comprimento inclinado s = 4.17 m, o teto é 11.6 mm, então a longarina central fica em s/607, usando 59% da folga de flecha. A flecha é a mais apertada das três verificações, o que é típico de uma escada, mas aqui ela ainda passa.

Giro. O torque desequilibrado também gira a longarina central, e uma longarina central que gira visivelmente sob uma multidão de um lado só parece alarmante mesmo quando está segura. Esta é a outra metade do porquê a seção tinha que ser fechada. A RHS fechada gira apenas 0.13 graus ao longo de todo o lance sob o torque de projeto, imperceptível; o perfil U aberto teria girado 16.5 graus, um fator de 128 que é simplesmente a razão das duas constantes de torção. O modelo de pórtico do motor retorna o mesmo giro desprezível de 0.14 grau para a caixa. Com a seção fechada, o giro deixa de ser uma preocupação de projeto; com uma aberta, teria sido a coisa que falharia primeiro.

Reproduza a metade da flexão desta verificação na calculadora abaixo. Defina uma viga biapoiada, entre o vão como seu avanço horizontal a (aqui 3.60 m), e aplique sua carga linear majorada w_Ed como uma carga uniformemente distribuída. Para uma longarina central essa carga linear usa a largura inteira do lance (aqui 9.93 kN/m sobre 1.20 m), que é o passo que a maioria erra ao carregar metade da largura por hábito de longarina dupla. A ferramenta retorna o momento, o cortante e a flecha e verifica a seção contra a NBR 8800 e a AISC 360; você verá M_Ed cair em 16.1 kN.m e V_Ed em 17.9 kN.

Duas coisas que a calculadora não faz por você, porque são o que faz de uma longarina central uma longarina central. Primeiro, para a flecha, multiplique o valor plano informado por 1/cos(theta) para obter a flecha inclinada verdadeira antes de comparar contra seu limite L/360 no comprimento inclinado. Segundo, e acima de tudo, rode a torção à mão: pegue sua sobrecarga desequilibrada, multiplique pela excentricidade em relação ao eixo da longarina central para obter o torque distribuído, obtenha T = t a / 2 nos apoios, e some o cisalhamento de Bredt T / (2 A_m t) à tensão de flexão em uma verificação de von Mises. Faça a flexão na ferramenta, a torção no papel, e você tem a longarina central inteira.

O lance resolvido cobre a mecânica; uma longarina central construível precisa de algumas decisões que o dimensionamento supôs em silêncio, e cada uma é onde o caminho da torção pode ser perdido.

• As ligações de extremidade têm que realmente resistir à torção. Toda a verificação de torção supõe que a longarina central está restringida contra o giro nos dois patamares, um garfo de torção ou uma chapa de topo de momento. Uma longarina central apoiada em dois consolos simples que a deixam girar em torno de seu eixo não tem restrição à torção nenhuma, e o giro dispara. Este é o único detalhe que faz ou desfaz o projeto, e é o que uma longarina dupla nunca precisa pensar.
• A solda degrau para longarina central leva o torque para dentro. Cada degrau em balanço entrega sua carga e seu momento à longarina central através de sua solda. Numa longarina central essa solda é uma ligação estrutural primária carregando o torque, não um ponteio nominal; dimensione-a para a reação do degrau e o momento do balanço juntos.
• A flambagem lateral com torção deixa de ser uma preocupação. Uma longarina central perde o travamento dos degraus em que uma longarina dupla se apoia, o que normalmente tornaria a flambagem lateral com torção uma verificação séria. Escolher uma seção fechada para a torção resolve isso de graça: seções fechadas são tão rígidas à torção que efetivamente não flambam lateralmente na flexão, então a mesma decisão que responde ao torque também responde à flambagem.
• Longarinas centrais formadas a frio. Uma escada mais leve pode usar uma RHS formada a frio. O método é idêntico e a seção ainda é fechada, mas verifique a parede contra a flambagem local pela EN 1993-1-3 ou AISI, e lembre que os raios de canto reduzem levemente a área envolvida A_m na fórmula de Bredt.
• Peso próprio e acabamentos. Dobramos aço e um acabamento leve em 1.5 kN/m2. Uma escada com degraus de pedra ou madeira espessa é mais pesada, e numa longarina central essa carga permanente é carregada na largura inteira e alimenta direto tanto a flexão quanto o giro, então reestime-a antes de dimensionar.

Usar um perfil U aberto ou um perfil I para a longarina central. O erro definidor. Uma seção aberta de ampla resistência à flexão ainda pode falhar na verificação de torção por um fator de dois ou mais, e girar visivelmente sob uma carga de um lado só. Uma longarina central é uma seção fechada, ponto final.

Verificar só a carga equilibrada. Com a sobrecarga simétrica, o torque é zero e a longarina central parece bem. O caso de norma é a carga desequilibrada, e é ela que governa. Pule-a e você nunca verificou a ação que de fato dimensiona a seção.

Carregar a longarina central como um braço de dupla ou um piso. A longarina central toma a largura inteira do lance, não metade, e uma carga de escada, não uma carga de piso. Carregue metade da largura por hábito e você subdimensionou a flexão por um fator de dois antes mesmo de começar.

Detalhar as extremidades sem restrição à torção. O cálculo mais limpo não vale nada se a ligação deixar a longarina central girar em torno de seu eixo. Os patamares têm que dar garfo ou fixar a longarina central contra o giro.

Por que não usar simplesmente duas longarinas? Muitas vezes você deveria, e é o elemento mais barato e mais simples. A longarina central é uma escolha arquitetônica para o visual flutuante, e o preço desse visual é exatamente este: o dobro da flexão e uma verificação de torção real, ambos carregados por uma única seção fechada.

A pequena força axial da inclinação importa? A longarina central inclinada também carrega uma força axial de cerca de 9 kN da componente da reação de apoio. Combinada com a flexão ela move a utilização por um ponto ou dois e não governa numa inclinação normal, embora cresça numa escada industrial íngreme.

Seção tubular quadrada ou retangular? Um retângulo com o lado longo na vertical é eficiente para a flexão, e qualquer seção fechada é ampla para a torção. Escolha a altura pela flexão e pela flecha; a torção não será o que decide uma vez que a seção esteja fechada.

Uma escada de longarina central concentra o lance inteiro em uma longarina, e esse gesto único acrescenta duas demandas que uma longarina dupla suaviza ou nunca sente. Responda às duas com uma decisão, uma seção fechada, e o resto é uma verificação combinada de rotina.

• A longarina central carrega a largura inteira, então sua flexão é cerca do dobro de um braço de dupla: 16.09 kN.m contra 8.29 kN.m na mesma escada, pelo motor, um fator de 1.94.
• A sobrecarga desequilibrada nos degraus em balanço torce a longarina central: um torque distribuído de 1.08 kN.m por metro e um torque de apoio de 1.82 kN.m, o motor batendo com a estática.
• Esse torque força a família de seção. Uma RHS 150x100x6 fechada (J = 924 cm4) o carrega como um cisalhamento de 11 MPa; um perfil U aberto de mesma resistência à flexão (J = 7.2 cm4, 128 vezes menos) chega a 266 MPa e falha.
• A longarina central fechada resolvida passa com um von Mises de 138 MPa (50% do escoamento do S275), uma flecha inclinada de s/607 (59% do L/360) e um giro de 0.13 graus. O perfil U aberto chega a 175% e gira 16.5 graus.
• O critério por trás da norma (AISC 360 H3, EN 1993-1-1 6.2.7) é uma família de seção, não um número: feche a longarina central, e o torque que destrói um perfil U aberto vira um detalhe.