Fórmula da deformação de cisalhamento: a teoria e onde ela aparece num pórtico de aço real

Peça a fórmula da deformação a um engenheiro e você quase sempre vai ouvir ε = σ / E, a deformação normal a partir de uma tensão normal. É a deformação que um corpo de prova sente quando você o traciona, a deformação que a mesa de uma viga sente quando ela flexiona. Mas isso é só metade da história. Sempre que uma força tenta fazer uma camada de material deslizar sobre a vizinha, o material responde com um tipo diferente de deformação: a deformação de cisalhamento, e sua fórmula é γ = τ / G.

A deformação de cisalhamento é mais discreta que a prima axial porque costuma ser menor e não é o que governa uma viga esbelta. Ainda assim ela está em toda parte num pórtico de aço: na alma de toda viga carregada, no fuste de todo parafuso, na zona do painel de toda ligação de momento e na flecha extra que os elementos curtos e altos absorvem. Este artigo constrói γ a partir dos primeiros princípios, conecta seu módulo G ao E familiar e depois passa uma viga IPE 300 real pelo motor de EF da CalcSteel para mostrar precisamente quanta deformação de cisalhamento vive na sua alma e como isso se compara com a deformação por flexão na mesmíssima seção.

Eis a definição que vale memorizar: a deformação de cisalhamento é a variação de um ângulo reto dentro do material, medida em radianos. Imagine um pequeno quadrado desenhado na lateral da alma de uma viga carregada. Aplique a tensão de cisalhamento e esse quadrado se deforma virando um paralelogramo; os cantos que tinham 90 graus agora estão um pouco mais abertos ou um pouco mais fechados. O tamanho dessa variação, em radianos, é a deformação de cisalhamento γ.

Geometricamente, se a face superior desliza uma distância Δx em relação à face inferior a uma altura L de distância, então γ = Δx / L. Para os ângulos pequenos que as estruturas de fato experimentam, essa razão é igual a tan γ, que é igual ao próprio γ em radianos, então os três são intercambiáveis. É por isso que γ é adimensional: é um comprimento dividido por um comprimento, ou de forma equivalente um ângulo. Os engenheiros o expressam de três maneiras, exatamente como na deformação normal: como decimal (0,000366), como porcentagem (0,0366%) ou em microradianos (366 µrad), onde um microradiano é um milionésimo de radiano.

Duas consequências decorrem imediatamente. Primeira, γ não tem nada a ver com variação de volume ou alongamento; um corpo em cisalhamento puro mantém seu volume e apenas distorce sua forma. Segunda, por ser um ângulo, um γ de um radiano inteiro seria enorme, cerca de 57 graus de distorção. As deformações de cisalhamento reais em estruturas são de algumas centenas de microradianos, e é por isso que a distorção é invisível a olho nu mesmo com o material trabalhando pesado.

A fórmula em si é a lei de Hooke escrita para o cisalhamento. No regime elástico a tensão de cisalhamento e a deformação de cisalhamento são proporcionais, τ = G·γ, então, rearranjada, a fórmula da deformação de cisalhamento é γ = τ / G. É a análoga estrutural exata de ε = σ / E: troque a tensão normal σ pela tensão de cisalhamento τ e o módulo de elasticidade E pelo módulo de cisalhamento G, e pronto.

Cada grandeza tem um significado claro. τ é a tensão de cisalhamento no plano que interessa, em MPa. G é o módulo de cisalhamento, também chamado de módulo de rigidez, em MPa ou GPa. E γ é a deformação de cisalhamento resultante em radianos. Leia a fórmula em voz alta e ela diz algo intuitivo: um material mais rígido (G maior) distorce menos para a mesma tensão de cisalhamento, e uma tensão de cisalhamento maior distorce mais para o mesmo material.

Uma ressalva que derruba estudantes e aparece em questões de prova: há duas definições de deformação de cisalhamento em circulação. A deformação de cisalhamento de engenharia γ usada em toda fórmula de projeto é a variação completa do ângulo reto. A deformação de cisalhamento tensorial ε_xy que aparece na mecânica do contínuo e na saída de elementos finitos é exatamente a metade dela, ε_xy = γ / 2. Elas diferem por um fator de dois, e misturá-las é um erro clássico. Quando você usa γ = τ / G está usando a definição de engenharia, que é a que se combina com G.

O módulo de cisalhamento não é um número livre e independente que você consulta isoladamente. Para um material isotrópico como o aço estrutural ele está amarrado às duas propriedades que você já conhece, o módulo de elasticidade E e o coeficiente de Poisson ν, por G = E / 2(1+ν). O aço tem E = 200 GPa e ν = 0,3, então G = 200 / (2 · 1,3) = 76,9 GPa. Esse é o valor exato que o motor da CalcSteel carrega para todo aço laminado a quente (G = 7692 kN/cm²), e é por isso que raramente é preciso tabelar G à parte: ele decorre de E e ν.

Essa relação carrega uma intuição de projeto útil. Como 1 / 2(1+ν) dá 0,385, o módulo de cisalhamento é só cerca de 38,5% do módulo de elasticidade. O aço é bem mais flexível no cisalhamento do que na tração. Coloque as duas leis de Hooke lado a lado com a mesma tensão e a deformação de cisalhamento é E / G = 2,6 vezes a deformação normal: uma dada tensão compra 2,6 vezes mais distorção angular do que compra alongamento. O detalhe, que o exemplo resolvido abaixo torna concreto, é que a alma costuma ver bem menos tensão do que a mesa, então a deformação de cisalhamento real ainda acaba menor do que a deformação por flexão real, mesmo o cisalhamento sendo o modo mais flexível.

Uma observação para quem se preocupa com a norma: o Eurocode 3 adota E = 210 GPa, o que empurra G para 80,8 GPa (o valor de aço S do motor, 8077 kN/cm²). Mesma física, uma variação de 5% no número, e um lembrete de que G, assim como a deformação de escoamento que abordamos em um artigo complementar, herda qualquer E que a sua norma declarar.

Hora de tornar γ concreto num aço que você realmente especificaria. Tome a mesma viga que medimos para a deformação por flexão em deformação de escoamento: uma IPE 300 biapoiada vencendo L = 6 m sob carga uniforme w = 20 kN/m, uma viga de piso corriqueira. Nós a modelamos no motor de EF da CalcSteel, o mesmo solver por trás das calculadoras, e lemos o cisalhamento em vez de supor.

O motor retorna um esforço cortante máximo V_max = 60,0 kN em cada apoio, batendo exatamente com o valor manual wL/2 = 20·6/2 = 60,0 kN. O cortante é máximo nos apoios e cai linearmente até zero no meio do vão, a imagem espelhada do momento fletor, que atinge o pico onde o cortante cruza o zero (a relação que destrinchamos em diagramas de esforço cortante e momento fletor). Num perfil I esse cortante é carregado quase inteiramente pela alma, então a área de cisalhamento é Aw = d·t_w = 30,0 · 0,71 = 21,3 cm², a altura total vezes a espessura da alma, a mesma definição que o AISC usa para perfis I.

Agora transforme esse esforço cortante em deformação de cisalhamento com a fórmula. A tensão de cisalhamento média na alma é τ = V / Aw. Em unidades consistentes, τ = 60 kN / 21,3 cm² = 2,817 kN/cm² = 28,2 MPa. Aplique a fórmula da deformação de cisalhamento: γ = τ / G = 28,2 / 76900 = 0,000366 rad, isto é 0,0366%, ou 366 µrad, uma distorção angular de 0,021 graus.

A distribuição não é uniforme. A tensão de cisalhamento ao longo de um perfil I é minúscula nas mesas e concentrada na alma, com pico na linha neutra. Rodando τ = VQ/(I·t_w) na linha neutra com as propriedades de seção do motor (I_x = 8097 cm⁴) dá um pico de 31,4 MPa, cerca de 1,12 vez a média, então a deformação de cisalhamento da fibra de pico é γ_peak = 0,000409 rad (409 µrad). Essa é a razão física de as vigas de aço quase nunca falharem por cisalhamento na alma antes de falharem por flexão: a demanda de cisalhamento se espalha por toda a alma, enquanto a flexão se acumula na fibra extrema.

A comparação que fecha o argumento é com a flexão da mesma viga. No artigo de deformação de escoamento, esta exata IPE 300 sob esta exata carga chegou a uma tensão de flexão na fibra externa de 166,7 MPa e a uma deformação normal de ε = 0,000834. Então num só elemento, sob uma só carga, a deformação por flexão na mesa é 0,000834 enquanto a deformação de cisalhamento na alma é 0,000366: a deformação de cisalhamento é apenas 44% da deformação por flexão. O cisalhamento é o modo mais flexível por unidade de tensão, mas a alma simplesmente não é solicitada tão fortemente quanto a mesa, então deforma menos. Essa única frase é quase tudo o que você precisa saber sobre onde o cisalhamento governa e onde não governa.

Você pode reproduzir os números resolvidos na calculadora abaixo. Defina um vão biapoiado com carga uniforme e leia o esforço cortante V que ela reporta no apoio. Então a deformação de cisalhamento está a dois passos curtos de distância: divida V pela área da alma Aw = d·t_w para obter a tensão de cisalhamento média τ, depois divida τ por 76 900 MPa para obter γ. Mude o vão ou a carga e observe V, e portanto γ, se mexerem junto.

Faça o experimento que faz a teoria fazer clique: mantenha a carga fixa e encurte o vão. O esforço cortante quase não muda, mas o momento fletor cai com L², então a viga migra de governada pela flexão para governada pelo cisalhamento. É essa transição que a próxima seção quantifica. É o mesmo motor de EF que produziu os números acima, grátis, sem login para a matemática.

Uma deformação só tem significado comparada com a deformação em que o material cede. O aço não tem um escoamento por cisalhamento medido à parte; ele é derivado do escoamento à tração pelo critério de von Mises, τ_y = f_y / √3. Para o MR250 (f_y = 250 MPa) isso dá 144,3 MPa, e as normas de projeto arredondam para 0,6·f_y = 150 MPa. A deformação de cisalhamento no escoamento é γ_y = τ_y / G = 144,3 / 76900 = 0,001876 rad (0,1876%).

Contra isso, a alma resolvida a 28,2 MPa fica em apenas 28,2 / 144,3 = 19,5% do escoamento por cisalhamento. Compare com a flexão da mesma viga, que chegou a 67% da sua deformação de escoamento no artigo de deformação de escoamento, e a mensagem fica clara: esta viga está mais de três vezes mais longe de escoar no cisalhamento do que na flexão. Aumente a carga e o motor confirma: a alma atinge o primeiro escoamento por cisalhamento só em w = 102 kN/m (V = 307 kN), ao passo que a mesa atinge o primeiro escoamento por flexão já em w = 30 kN/m. A flexão governa, com folga, exatamente como deve ser para uma viga esbelta de L/d = 20. A deformação de cisalhamento é a sócia júnior aqui, e as verificações de cisalhamento na alma passam com tanta facilidade em vigas laminadas que muitos projetistas se esquecem de fazê-las, o que não é problema até o elemento ficar curto e alto.

A deformação de cisalhamento não ameaça apenas a resistência; ela discretamente soma ao quanto uma viga flecha. Uma análise clássica de Euler-Bernoulli, a que o motor usa para a flecha reportada, supõe que as seções planas permanecem planas e ignora a distorção por cisalhamento. A realidade acrescenta uma componente de cisalhamento sobre a de flexão, porque cada fatia de alma está se distorcendo por meio do seu próprio pequeno γ.

Para a viga resolvida a divisão é: a flecha por flexão é 2,084 cm (o L/288 que o motor reporta) e a flecha por cisalhamento de todo aquele γ da alma é 0,055 cm, cerca de 2,6% a mais. Pequena, e seguramente desprezível aqui. Mas a parcela de cisalhamento escala como 1/(L/d)², então ela sobe rápido conforme a viga fica mais atarracada: reduza o vão pela metade e ela quadruplica. Em L/d = 8 ela fica em torno de 16%, e para uma viga de transferência alta ou uma viga de acoplamento em L/d = 4 ela se aproxima de metade da flecha total. É por isso que elementos curtos e altos, vigas de alma cheia e afins são analisados com a teoria de viga de Timoshenko, que carrega a deformação de cisalhamento explicitamente, enquanto as vigas de piso esbeltas da estruturação do dia a dia conseguem ignorá-la. Veja limites de flecha para como a flecha total é então verificada.

Além das almas de viga, a deformação de cisalhamento é a história inteira nas partes de um pórtico que existem para transferir carga lateralmente.

• Parafusos e soldas. Um parafuso numa emenda por traspasse é carregado quase puramente ao cisalhamento; o fuste se distorce por meio de γ = τ / G até ficar elástico ou escoar no plano de cisalhamento. O dimensionamento de grupo de parafusos é um problema de deformação de cisalhamento vestido de verificação de capacidade.
• Zonas do painel de ligações de momento. A alma do pilar entre as mesas da viga de uma ligação de momento é um quadrado de aço carregado em cisalhamento quase puro. Seu γ costuma ser grande o bastante para importar, e o projeto sísmico deliberadamente deixa a zona do painel escoar no cisalhamento para dissipar energia, gastando deformação de cisalhamento do mesmo jeito que o projeto dúctil gasta o patamar plástico.
• Conectores de cisalhamento. Os conectores que fazem uma viga de aço trabalhar de forma mista com uma laje de concreto trabalham ao cisalhamento na interface, se distorcendo por meio de γ para arrastar os dois materiais à cooperação.
• Torção. Torça uma seção aberta ou fechada e as paredes carregam tensão de cisalhamento e deformação de cisalhamento; o ângulo de torção nada mais é que o γ acumulado ao redor da seção.

Em cada um destes, a fórmula da deformação de cisalhamento γ = τ / G é a ponte da força que você consegue calcular até a distorção que o detalhe de fato sofre.

Confundir deformação de cisalhamento de engenharia e tensorial. O γ de projeto é a variação completa do ângulo; a tensorial ε_xy na saída de EF é a metade dela. Errado por um fator de dois se você as misturar.

Usar E em vez de G. A deformação de cisalhamento usa o módulo de cisalhamento, γ = τ / G, não γ = τ / E. Como G é só 38,5% de E, esse erro subestima γ por um fator de 2,6.

Fazer a média do cisalhamento sobre toda a área. Num perfil I o cisalhamento é carregado pela alma, não pelas mesas, então divida por Aw = d·t_w, não pela área bruta A. Usar A subestimaria feio a tensão na alma.

Ler γ como um alongamento. γ é um ângulo, em radianos. Não é uma variação de comprimento e não altera, por si só, o comprimento do elemento.

A fórmula da deformação de cisalhamento é a mesma para todos os materiais? γ = τ / G vale para qualquer material elástico-linear isotrópico; só G muda. Para o aço G ≈ 76,9 GPa, para o alumínio cerca de 26 GPa, para o concreto em torno de 10 a 15 GPa.

Por que G é sempre menor que E? Porque G = E / 2(1+ν) e ν é positivo (0,3 para o aço), o denominador passa de dois, então G fica sempre bem abaixo de E. Nenhum material isotrópico é mais rígido no cisalhamento do que na tração.

Qual é uma deformação de cisalhamento típica numa viga de aço? Algumas centenas de microradianos em serviço, como a alma resolvida mostrou (366 µrad), subindo rumo aos ~1900 µrad do escoamento por cisalhamento só em almas e ligações muito carregadas.

A deformação de cisalhamento é a metade angular da lei de Hooke e, uma vez que você tem a fórmula, ela é tão rotineira quanto a prima axial.

• A fórmula da deformação de cisalhamento é γ = τ / G, um ângulo em radianos, a variação de um ângulo reto dentro do material.
• G não é independente: G = E / 2(1+ν) = 0,385·E para o aço, então G ≈ 76,9 GPa e uma dada tensão compra 2,6 vezes a deformação de cisalhamento de uma deformação normal.
• IPE 300 resolvida (L = 6 m, w = 20 kN/m): o motor dá Vmax = 60,0 kN, então a alma carrega τ = 28,2 MPa e γ = 0,000366 rad, 44% da deformação por flexão e 20% do escoamento por cisalhamento.
• A deformação de cisalhamento também governa a flecha, o deslizamento de parafuso e a distorção da zona do painel; é 2,6% da flecha nesta viga esbelta, mas cresce como 1/(L/d)² e governa elementos curtos e altos e ligações.
• O γ de engenharia é o dobro do tensorial ε_xy, e ele sempre usa G, nunca E: as duas maneiras mais comuns de errar a deformação de cisalhamento.