Centro de Cisalhamento e Torção: Por Que uma Seção Aberta Torce Sem Você Pedir

Pegue um perfil U de aço comum, disponha-o como uma viga e pendure a carga com cuidado sobre a alma, bem no meio das costas do C, onde qualquer pessoa razoável a colocaria. Agora observe. O perfil U não apenas flete. Ele rola sobre si mesmo enquanto flexiona, as mesas balançando para fora do plano, a seção inteira girando ao longo do comprimento. Você não aplicou torção. A carga era vertical e você a mirou na alma. E ainda assim a seção está torcendo.

Isto não é um defeito no aço nem um erro no seu carregamento. É o fato mais surpreendente sobre seções abertas, e pega estudantes, e muitos engenheiros em atividade, de surpresa. Uma carga transversal flexiona um membro sem torcê-lo apenas se a carga passar por um ponto específico da seção, o centro de cisalhamento. Para as formas duplamente simétricas que você encontra primeiro, o perfil I, o tubo quadrado, o centro de cisalhamento coincide com o centroide e você nunca precisa pensar nisso. Para um perfil U, uma cantoneira, um perfil T, um zeta, qualquer seção aberta, mono-simétrica ou assimétrica, ele se desloca. Para um perfil U ele se desloca claramente para fora da seção, para o ar livre atrás da alma.

Este artigo resolve tudo em um perfil U, e cada número nele foi produzido pelo motor de produção do CalcSteel e conferido contra a teoria clássica de parede fina até a terceira casa decimal. Encontramos onde está o centro de cisalhamento, transformamos a distância no torque que ela realmente é e deixamos a seção torcer para medi-la. Se você leu nosso guia de diagramas de força cortante e momento fletor, esta é a terceira ação interna que aqueles diagramas deixam de fora, e a que decide se uma seção aberta sobrevive a ser carregada fora do centro.

O centro de cisalhamento é o ponto de uma seção transversal pelo qual uma carga transversal precisa passar para causar flexão com nenhuma torção. De forma equivalente, é o ponto em relação ao qual as tensões de cisalhamento internas têm momento resultante nulo. Aplique sua carga ali e o membro flexiona em flexão pura; aplique-a em qualquer outro lugar e a carga é estaticamente equivalente à mesma carga deslocada até o centro de cisalhamento mais um torque igual à carga vezes a distância. A torção não é uma ação extra que você acrescenta. É no que uma carga transversal se transforma no instante em que erra o centro de cisalhamento.

Dois fatos sobre a sua localização fazem quase todo o trabalho. Primeiro, o centro de cisalhamento sempre está sobre qualquer eixo de simetria, porque as tensões de cisalhamento são simétricas em relação a esse eixo. Um perfil U carregado verticalmente é simétrico em relação ao seu eixo horizontal, então o seu centro de cisalhamento está em algum ponto dessa linha horizontal, à esquerda ou à direita da alma. Segundo, para uma seção formada por placas finas que se encontram todas num ponto, uma cantoneira ou um perfil T, o fluxo de cisalhamento em cada placa passa por esse ponto de encontro, então o centro de cisalhamento fica bem no canto, ou na junção da mesa com a alma. Para essas duas formas o centro de cisalhamento é fácil de enxergar. Para um perfil U isso exige um curto cálculo, e a resposta é genuinamente contraintuitiva: ele não está entre as mesas, está atrás da alma.

Siga o cisalhamento, e a distância aparece. Quando um perfil U carrega uma força cortante vertical V, um fluxo de cisalhamento percorre suas paredes, e nas duas mesas esse fluxo é horizontal. Ele cresce de zero em cada ponta de mesa até um máximo na alma, e ao integrá-lo obtém-se uma força horizontal em cada mesa, F_f, uma apontando para dentro, outra para fora. Essas duas forças de mesa são iguais, opostas e separadas pela altura da alma, então juntas formam um binário. A própria alma carrega a força cortante vertical V. Para que a seção esteja em equilíbrio sem torcer, a carga aplicada V deve produzir um momento em relação à alma que equilibre exatamente aquele binário das mesas, e essa condição a posiciona a uma distância horizontal específica e da alma:

e = b_f² h_o² t / (4 I_x)

onde b_f é a largura da mesa até a linha de centro da alma, h_o a distância entre as linhas de centro das mesas, t a espessura, e I_x o momento de segunda ordem da área em relação ao eixo de flexão. O binário das mesas fica inteiramente do lado das mesas em relação à alma, então a carga que o equilibra tem de ficar do outro lado, atrás da alma, e é por isso que o centro de cisalhamento cai fora do material. Para o nosso perfil U, b_f = 72 mm, h_o = 194 mm, t = 6 mm e I_x = 1178 cm⁴, resultando em e = 24,84 mm atrás da alma. As mesas têm apenas 75 mm de largura, então o centro de cisalhamento fica cerca de um terço de uma largura de mesa além das costas da seção, no ar livre.

Tudo que vem depois, o torque, a torção, a comparação com uma seção fechada, depende das propriedades da seção, então nós as fixamos primeiro com o motor real. O membro é um perfil U comum, alma de 200 mm, mesas de 75 mm, 6 mm de espessura, sem enrijecedores, o exemplo de torção dos livros-texto. O motor de seções do CalcSteel retorna, e a teoria de parede fina em forma fechada confirma até a terceira casa decimal:

• Área A = 20,28 cm²
• Inércia no eixo forte I_x = 1178 cm⁴, no eixo fraco I_y = 101,9 cm⁴
• Centroide 15,3 mm à frente da alma (em direção às mesas)
• Constante de torção de St. Venant J = 2,43 cm⁴
• Constante de empenamento C_w = 6777 cm⁶

Leia essa constante de torção de novo. Para uma seção aberta de parede fina J é apenas J = t³ L_m / 3, o cubo da espessura vezes o comprimento desenvolvido das paredes, dividido por três. Aqui isso é 0,6³ vezes 33,8 cm sobre 3, ou 2,43 cm⁴. Compare com a inércia de flexão I_x de 1178: a seção é aproximadamente quinhentas vezes mais rígida em flexão do que em torção. Esse único número, J = 2,43 cm⁴, é a razão pela qual o resto deste artigo é uma história de advertência. Note também que J não é o momento polar de inércia I_x + I_y; usar o momento polar para a torção de seção aberta superestima a rigidez em ordens de grandeza e é um erro clássico e caro.

Agora carregue-o. Uma carga transversal de serviço modesta, V = 5 kN, aplicada no plano da alma, exatamente onde você aparafusaria uma viga ou apoiaria uma carga nas costas do perfil U. A linha da alma fica a uma distância e = 24,84 mm do centro de cisalhamento. Pela definição de duas seções atrás, essa carga é estaticamente idêntica aos mesmos 5 kN aplicados no centro de cisalhamento, o que causa flexão pura, mais um torque em relação ao centro de cisalhamento:

T = V · e = 5 kN · 24,84 mm = 124 N·m

Cento e vinte e quatro newton metros, de uma carga que você achava ser puramente vertical, puramente central, puramente inofensiva. E aqui está a armadilha que faz disto um problema de projeto em vez de uma curiosidade: o seu modelo de análise não vai te avisar. Um elemento de viga ou pórtico unidimensional, o tipo com que todo solucionador estrutural é construído, carrega suas cargas na linha de referência do membro e mantém flexão e torção em canais separados e desacoplados. Ele não faz ideia de que o centro de cisalhamento da seção real está 24,84 mm para um lado. Dê a ele uma carga vertical e ele retorna um resultado de flexão limpo com torção zero, parecendo perfeitamente saudável. A distância ao centro de cisalhamento é uma propriedade da seção transversal, e cabe a você, não ao solucionador, converter a carga excêntrica na força-mais-torque que o membro de fato sente. Acerte essa conversão e o torque aparece; pule-a e ele se esconde.

Para ver as duas metades com clareza, rodamos o perfil U como uma viga em balanço de 3 m no motor de FEM do CalcSteel, engastada em uma extremidade, e carregamos a ponta de duas maneiras. O Caso A é a referência: a carga de 5 kN aplicada pelo centro de cisalhamento, o ponto que produz flexão e nada mais.

O motor retorna exatamente o que a definição promete. A torção da ponta é zero. O membro está em flexão pura, defletindo 19,1 mm na ponta sob a carga de 5 kN, flexionando em torno do seu eixo forte com I_x = 1178 cm⁴, e cada fibra carrega apenas a tensão de flexão que você esperaria de o diagrama de momento fletor. Este é o estado que você supôs estar quando desenhou a carga sobre a alma. Ele é atingível, mas apenas mirando a carga em um ponto 24,84 mm atrás da alma, o que para um caminho de carga real geralmente significa acrescentar uma consola, uma placa de tampa ou um segundo perfil U para carregá-la. Carregue um perfil U nu em qualquer outro lugar e o Caso A não é o que você obtém.

O Caso B mantém a mesma carga de 5 kN e a mesma viga em balanço, mas aplica a carga pela alma, onde ela de fato incide. Pela equivalência, isso é a carga no centro de cisalhamento do Caso A mais o torque T = 124 N·m percorrendo todo o comprimento do membro. A flexão fica inalterada; o novo ingrediente é a torção.

O motor do CalcSteel torce a ponta em 11,40 graus. O torque interno é constante em 124 N·m ao longo de toda a viga em balanço, e a reação na base engastada é um torque igual e oposto de 124 N·m, fechando o equilíbrio. Cada um desses números bate com o resultado de St. Venant em forma fechada φ = T L / (G J) até a terceira casa decimal, usando o próprio J = 2,43 cm⁴ do motor e o módulo de cisalhamento do aço G = 76,9 GPa. Onze graus. De cinco quilonewtons, aplicados bem no meio da alma, em um membro que você dimensionou confortavelmente para flexão. Ponha a flecha no eixo forte de 19,1 mm ao lado de um rolamento de onze graus e você entende por que um perfil U não travado carregado fora do seu centro de cisalhamento não é um incômodo de serviço, mas um problema de estabilidade e tensão: a rotação joga as mesas para o lado, o caminho de carga desvia e as tensões de flexão para as quais você projetou agora cavalgam por cima das de torção.

A torção não é realmente sobre o centro de cisalhamento. A distância criou o torque, mas o que transformou um pequeno torque em onze graus foi a fraqueza torcional da seção, e isso é uma propriedade de ser aberta. Uma seção aberta resiste à torção apenas por meio da torção de St. Venant, as paredes finas cisalhando ao longo do seu comprimento, e sua constante J = t³ L_m / 3 escala com o cubo de uma espessura pequena, então é sempre minúscula. Uma seção fechada resiste à torção fazendo circular um fluxo de cisalhamento contínuo ao redor da célula, o mecanismo de Bredt, e seu J escala com o quadrado da área envolvida, que é enorme por comparação.

Ponha números nisso. Tome uma seção tubular quadrada de mesmo peso que o nosso perfil U, um tubo 90x6 com essencialmente os mesmos 20 cm² de aço. O motor lhe atribui J = 356 cm⁴, contra os 2,43 do perfil U. Isso é cerca de 146 vezes mais rígido em torção para o mesmo aço. Sob o mesmo torque de 124 N·m o tubo torceria não onze graus, mas menos de um décimo de um. Esta é toda a lição prática em uma razão: se um membro precisa carregar torção, feche-o. Quando você não pode fechá-lo, as manobras de projeto ficam familiares exatamente por esse motivo: carregar pelo centro de cisalhamento com uma consola, acrescentar uma placa para encaixotar a seção aberta, ou travá-la contra rotação em intervalos próximos o suficiente para que ela nunca acumule uma torção como esta. É também por isso que a flambagem lateral com torção, a falha de deslocamento lateral mais torção de uma viga não contida, é uma história sobre seções abertas e quase nunca sobre tubos.

Uma ressalva mantém os onze graus honestos. A fórmula φ = T L / (G J), e o motor de pórtico do CalcSteel que a reproduz, modelam torção pura de St. Venant, na qual cada seção transversal é livre para empenar para fora do plano enquanto torce. Trave esse empenamento, soldando a extremidade, aparafusando-a a um apoio rígido, qualquer coisa que impeça as mesas de deslizar ao longo do eixo do membro, e um segundo mecanismo, mais rígido, entra em ação: a torção por empenamento, na qual as mesas flexionam no seu próprio plano e resistem à torção por meio da sua rigidez de flexão E C_w. Um membro real geralmente tem alguma restrição ao empenamento, então a sua torção verdadeira é menor que o valor de empenamento livre.

Quanto menor é determinado por um comprimento, a constante de torção-flexão a = √(E C_w / G J). Para o nosso perfil U isso é 0,85 m. A restrição ao empenamento se dissipa ao longo de aproximadamente essa distância a partir da extremidade travada, então se o membro for muitas vezes mais longo que a, St. Venant domina e o número de empenamento livre é próximo; se for apenas algumas vezes a, o empenamento reduz a torção de forma notável. Nossa viga em balanço tem 3 m, então L / a = 3,5, e trabalhando a solução de empenamento restringido a torção da ponta dá cerca de 8,2 graus, 72 por cento dos 11,4 de empenamento livre. Ainda é uma rotação grande e inaceitável, mas significativamente menor, e a diferença é real. Este é o critério por trás da norma: a torção de seção aberta é tratada como St. Venant mais empenamento, e as normas de projeto lhe dão o termo de empenamento explicitamente. O AISC Design Guide 9, Torsional Analysis of Structural Steel Members, é inteiramente construído em torno dessa divisão; o Eurocode EN 1993-1-1 com o EN 1993-1-3, e a ABNT NBR 8800 com a NBR 14762 para seções formadas a frio, carregam a mesma torção em duas partes. O motor de pórtico lhe dá o limite superior de St. Venant para dimensionar; o termo de empenamento da norma é como você recupera o resto quando a extremidade é genuinamente travada.

A calculadora abaixo é o mesmo motor de seções usado para cada número acima. Construa o perfil U comum 200x75x6, ou qualquer perfil U que você quiser, e leia sua área, suas inércias no eixo forte e no fraco, seu módulo de resistência e seu centroide, desenhados em escala e conferidos ao vivo contra o banco de perfis do CalcSteel. Observe o que acontece com a constante de torção J conforme você muda a espessura: como J varia com t³, raspar um milímetro da parede destrói a rigidez torcional muito mais rápido do que afeta a inércia de flexão. Compare um perfil U aberto com um tubo fechado de tamanho semelhante e você verá a mesma diferença de cem vezes em J que encontramos acima.

É gratuito e não precisa de login. Uma vez que você tenha a seção diante de você, a distância ao centro de cisalhamento e o torque T = V e estão a um curto passo de distância, e a torção decorre de T L / (G J) com o J que a ferramenta acabou de lhe entregar.

Você não vai resolver à mão cada membro, mas em qualquer seção aberta carregando uma carga transversal, quatro verificações em ordem pegam a torção antes que ela chegue ao desenho.

1. A seção é aberta e não duplamente simétrica? Perfis I e tubos põem o centro de cisalhamento sobre o centroide, então uma carga centroidal é segura. Perfis U, cantoneiras, perfis T, zetas e qualquer forma aberta mono-simétrica ou assimétrica deslocam o centro de cisalhamento, e um perfil U o desloca para fora da seção. Se a forma estiver nessa lista, o centro de cisalhamento não está onde você pensa, então encontre-o.

2. A linha de carga erra o centro de cisalhamento? Meça a distância e da linha de ação real até o centro de cisalhamento, não até o centroide. Para o nosso perfil U uma carga na linha da alma está 24,84 mm fora. Distância zero, sem torção; qualquer distância, siga adiante.

3. Transforme a distância em um torque e uma torção. T = V e é o torque, constante ao longo de um membro carregado de forma simples, e φ = T L / (G J) é a torção de empenamento livre, o seu limite superior. Use o J real da seção = t³ L_m / 3, nunca o momento polar. Se o número for alarmante, é para ser.

4. Acrescente a verificação de empenamento, e a tensão de empenamento. Se as extremidades forem travadas, calcule a = √(E C_w / G J) e reduza a torção proporcionalmente, seguindo o AISC Design Guide 9 ou o Eurocode EN 1993. A torção de uma seção aberta também acrescenta uma tensão normal de empenamento nas mesas que se soma à flexão, muito como uma força axial se soma à flexão em a verificação combinada de axial e flexão. Some-a antes de declarar a seção adequada.

Supor que uma carga pelo centroide não causa torção. O erro mais comum, e a razão inteira deste artigo. A flexão é medida em relação ao centroide; a torção é medida em relação ao centro de cisalhamento. Para uma seção aberta eles são pontos diferentes, e uma carga centroidal torce.

Procurar o centro de cisalhamento do perfil U entre as mesas. Ele está atrás da alma, fora da seção, no lado oposto ao das mesas. Nada que você possa ver marca o local, e é exatamente por isso que ele passa despercebido.

Usar o momento polar de inércia para a torção. Para uma seção maciça ou fechada a constante de torção é próxima do momento polar; para uma seção aberta ela não é, é t³ L_m / 3, menor em ordens de grandeza. Substitua pelo momento polar e você vai prever um membro cem vezes mais rígido em torção do que ele é.

Confiar na torção zero do modelo de pórtico. Um elemento de viga 1D mantém flexão e torção desacopladas e não sabe nada sobre a distância ao centro de cisalhamento, então ele retorna torção zero para uma carga vertical qualquer que seja a seção real. A torção é responsabilidade sua para acrescentar, não do solucionador para encontrar.

Onde está o centro de cisalhamento de uma cantoneira ou de um perfil T? No canto da cantoneira, ou na junção da mesa com a alma do perfil T, porque o fluxo de cisalhamento de cada placa passa por esse ponto. Isso também torna ambas as formas ruins para resistir a qualquer carga que erre o canto.

A torção depende da classe do aço? Não. J, C_w e a torção dependem da geometria e das constantes elásticas E e G, que são essencialmente as mesmas para todos os aços estruturais. Uma classe mais resistente não torce menos; só uma seção mais rígida ou fechada torce.

11 graus é realista, ou um exagero de livro-texto? É a resposta real de St. Venant para esta viga em balanço nua, e o valor com empenamento restringido ainda é cerca de 8. Na prática você nunca deixa chegar lá, precisamente porque as seções abertas torcem com essa facilidade. O número grande é o aviso, não um erro.

• Uma carga transversal flexiona sem torcer apenas pelo centro de cisalhamento. Para uma seção aberta ele não é o centroide; para um perfil U ele fica fora da seção, atrás da alma, 24,84 mm para fora no nosso 200x75x6 comum, confirmado no motor do CalcSteel.
• Erre o centro de cisalhamento por e e a carga vira um torque T = V e. Nossa carga de 5 kN na linha da alma dá 124 N·m, e um modelo de pórtico 1D não vai te avisar, porque carrega a carga na linha de referência e mantém a torção desacoplada.
• Seções abertas são débeis em torção: J = t³ L_m / 3 = 2,43 cm⁴ aqui, então a viga em balanço de 3 m torce 11,40 graus, calculado pelo motor de FEM e batendo com T L / (G J) até a terceira casa decimal. Carregada pelo centro de cisalhamento ela torce zero.
• Feche a seção e o problema desaparece: um tubo quadrado de mesmo peso tem J = 356 cm⁴, cerca de 146 vezes mais rígido. Se um membro precisa carregar torção, encaixote-o, tampe-o ou trave-o.
• A torção de St. Venant é um limite superior. A restrição ao empenamento a reduz, aqui para cerca de 8,2 graus ao longo de um comprimento de torção-flexão a = 0,85 m, e esse termo de empenamento é exatamente o que o AISC Design Guide 9 e o Eurocode EN 1993 acrescentam para dimensionar a torção de seção aberta.