Treliça de Telhado para Vão de 15 m: Forças nos Membros e o Caso de Carga que Governa

Uma treliça de aço para cobertura é uma das estruturas mais gratificantes de dimensionar porque quase tudo nela se reduz a uma única grandeza por barra: a força axial. Idealize os nós como rótulas, aplique a carga nos nós do painel e cada barra é um elemento de duas forças carregando tração pura ou compressão pura, sem flexão. Dimensione cada uma para essa força e você já percorreu a maior parte do caminho até um conjunto de desenhos.

A pegadinha está escondida na palavra força. Na verdade são duas perguntas, não uma. A primeira é qual é a força em cada barra, que a estática responde de forma limpa. A segunda é qual combinação de carga produz ali o esforço mais desfavorável, e para uma treliça de cobertura essa resposta não é a mesma para toda barra. Uma barra confortavelmente tracionada sob gravidade pode ser levada à compressão pela sucção do vento, e compressão é uma verificação diferente e mais severa. Perca a combinação que governa aquela barra e você a dimensionará para o número errado.

Este artigo trabalha uma treliça concreta do início ao fim: uma treliça de cobertura duas águas de 15 m de vão, resolvida no motor de elementos finitos do CalcSteel para carga permanente, neve e vento, com cada esforço conferido contra a estática manual. Depois alinha as combinações de carga e, barra por barra, acha a que governa. A surpresa, como sempre, é a combinação de carga mais fácil de esquecer.

Aqui está a estrutura que carregamos pelo artigo inteiro. É uma treliça duas águas (triangular) simétrica vencendo L = 15,0 m entre apoios, com apoio fixo no beiral esquerdo e apoio móvel no direito. O banzo inferior é dividido em seis painéis de 2,5 m; o banzo superior sobe de cada beiral até uma cumeeira 3,0 m acima dos apoios, uma inclinação de 1:2,5 ou cerca de 21,8 graus. Os nós internos do banzo superior ficam acima de cada nó interno do banzo inferior, e cada painel é triangulado com um montante e uma diagonal.

Conte as peças: 12 nós, 21 barras, 3 reações. Como barras + reações (21 + 3 = 24) igualam o dobro dos nós (2 x 12 = 24), a treliça é estaticamente determinada: seus esforços decorrem apenas do equilíbrio, independentes das dimensões das seções. É exatamente por isso que uma treliça é uma boa estrutura didática, e por que o resultado do motor pode ser conferido à mão até o último dígito.

As treliças ficam espaçadas a cada 5,0 m ao longo do edifício, então cada uma carrega uma faixa de cobertura de 5,0 m de largura. As terças entregam essa faixa à treliça como cargas concentradas nos nós do painel do banzo superior, que é onde todas as nossas cargas são aplicadas.

Três casos de carga chegam a esta cobertura, e não atuam com valor pleno ao mesmo tempo, então os mantemos separados e combinamos depois. Tomando o espaçamento de 5,0 m entre treliças e o painel de 2,5 m, cada nó interno do banzo superior coleta a carga de um retângulo de cobertura de 2,5 m x 5,0 m; os nós de beiral coletam meio painel.

• Carga permanente D, o telhamento, as terças e a própria treliça, cerca de 0,50 kN/m2. Por nó interno isso dá 0,50 x 2,5 x 5,0 = 6,25 kN para baixo.
• Carga de neve (ou sobrecarga de cobertura) S, cerca de 1,20 kN/m2, resultando em 15,0 kN para baixo por nó interno.
• Carga de vento W, que numa cobertura de baixa inclinação é dominada pela sucção: a pressão líquida puxa para cima. Tomada como cerca de 0,96 kN/m2 de sucção líquida, são 12,0 kN para cima por nó interno, o único caso que levanta.

Esses casos são misturados pelas combinações de carga de resistência (LRFD). Seguindo a ASCE 7, quatro delas importam para esta cobertura: 1,4D; 1,2D + 1,6S, o máximo de gravidade; 1,2D + 1,0W + 0,5S; e 0,9D + 1,0W, a combinação de sucção que combina carga permanente mínima com vento pleno para que nada ajude o vento. Guarde essa última. É a razão pela qual as respostas abaixo divergem.

Comece pela figura de gravidade. Solte a treliça no motor do CalcSteel, libere as extremidades das barras para que cada elemento seja um verdadeiro elemento de duas forças birrotulado e rode os casos de permanente e neve. O motor retorna barras puramente axiais, flexão nula, e o padrão familiar aparece:

• O banzo inferior está em tração. Sob 1,2D + 1,6S o painel de extremidade carrega 196,9 kN, aliviando para 118,1 kN nos painéis centrais.
• O banzo superior está em compressão, máximo perto dos apoios com 212,0 kN e caindo para 169,6 kN nos painéis da cumeeira.
• As diagonais estão em tração (até 61,5 kN) e os montantes em compressão (até 47,3 kN).
• O montante central carrega força nula, uma barra de força nula clássica: sem carga pendurada no nó inferior central, não há nada para ele resistir.

Cada um desses números pode ser conferido pelo método dos nós, e vale a pena fazê-lo uma vez. Resolvendo a mesma treliça só pela estática, sem referência ao motor, reproduzem-se as forças axiais do motor a menos de 5e-5 kN, uma diferença que é puro ruído de ponto flutuante. As reações também batem: 18,75 kN em cada apoio sob carga permanente, 45,0 kN sob neve. A solicitação para a qual você dimensiona não é uma estimativa, é o equilíbrio.

Antes da reviravolta da sucção, sinta como as combinações se misturam. A calculadora abaixo é a ferramenta de combinação de cargas do CalcSteel. Informe a força de uma barra sob cada caso de carga, permanente, neve e vento, com o vento negativo para sucção, e ela aplica os fatores da ASCE 7 e reporta a combinação que governa e seu valor.

Experimente o painel de extremidade do banzo inferior: D = +39,1, S = +93,8, W = menos 75,0 kN. Você verá 1,2D + 1,6S dar +196,9 kN de tração, e 0,9D + 1,0W dar menos 39,8 kN, uma compressão que a combinação de gravidade nunca mostra. Depois faça o banzo superior (D = menos 42,1, S = menos 101,0, W = +80,8) e observe o sinal virar no outro sentido. A ferramenta faz exatamente o que as duas próximas seções fazem à mão.

Agora rode o caso de vento. Como o vento líquido é sucção, toda carga de nó de painel aponta para cima em vez de para baixo, e o diagrama de forças inteiro se inverte. Sob vento sozinho o banzo inferior entra em compressão e o banzo superior em tração, o exato oposto da gravidade. As combinações que incluem vento carregam essa inversão adiante, e a que a mostra de forma mais nítida é 0,9D + 1,0W, onde a carga permanente reduzida não consegue mascarar a sucção.

Alinhe as duas combinações que governam para algumas barras e a inversão é inequívoca:

Toda barra carregada muda de sinal. Isso não é uma peculiaridade desta treliça; é o que a sucção líquida faz a qualquer estrutura de cobertura cujas solicitações de gravidade e vento se opõem. A consequência prática é direta: uma barra que você dimensionaria puramente como barra tracionada tem uma solicitação real de compressão escondida numa combinação de carga que você não precisava incluir para a gravidade, e você só a vê se de fato rodar a combinação de sucção.

Coloque as quatro combinações contra cada barra e registre duas coisas para cada uma: a maior tração que ela chega a ver e a maior compressão. A combinação que governa esses dois extremos raramente é o mesmo caso.

Leia isso como uma regra prática para uma treliça de cobertura simétrica. A combinação de gravidade 1,2D + 1,6S governa o sentido natural de cada barra: ela maximiza a tração no banzo inferior e nas diagonais e a compressão no banzo superior e nos montantes. A combinação de sucção 0,9D + 1,0W governa o sentido invertido: ela põe a compressão máxima no banzo inferior e nas diagonais e a tração máxima no banzo superior e nos montantes.

Então a história do banzo superior é simples, é uma barra comprimida e a gravidade dá a sua pior compressão, pronto. A história do banzo inferior é onde o dimensionamento de fato se resolve, porque sua pior tração e sua pior compressão vêm de combinações de carga diferentes, e compressão e tração são verificadas de maneiras completamente distintas.

Dimensione o painel de extremidade do banzo inferior. Sua pior tração é 196,9 kN sob gravidade, sua pior compressão é 39,8 kN sob sucção. A tração parece o número grande, então é tentador dimensionar para tração e parar. Siga esse instinto com um tubo quadrado leve, um HSS 76x76x4.8 (área 13,7 cm2, raio de giração 2,92 cm, aço Grade 50).

Verificação de tração. O escoamento na seção bruta dá uma capacidade de phi x Fy x Ag = 0,9 x 345 x 1370 = 424 kN. Contra 196,9 kN isso é uma utilização de 0,46. Confortável.

Verificação de compressão. Agora os mesmos 39,8 kN, mas como compressão ela é limitada por flambagem, e a flambagem depende do comprimento sem travamento. O banzo inferior de uma treliça de cobertura é contido no plano da treliça em cada nó de painel, mas fora do plano só é contido onde um tirante longitudinal ou o contraventamento do banzo inferior o alcança. Tome um detalhe realista com travamento lateral nos terços, de modo que o comprimento sem travamento seja 5,0 m. Então KL/r = 5000 / 29,2 = 171, bem dentro da faixa elástica (Euler), e a AISC 360 dá Fcr = 59,1 MPa e uma capacidade phi x Pn = 72,7 kN. Contra 39,8 kN isso é uma utilização de 0,55.

Leia essas duas utilizações juntas. Em tração a barra está em 0,46; na compressão por sucção ela está em 0,55. O caso de sucção governa a seção, ainda que sua força seja um quinto da força de tração, porque a tração é resistida pela área de escoamento plena enquanto a compressão é estrangulada pela esbeltez. Dimensione esta barra só para tração, carimbe-a em 0,46, e você perdeu a verificação que de fato a decide.

O banzo inferior traz uma questão geral. Se uma combinação de carga governa uma barra não é decidido pela magnitude da força sozinha; é decidido pela magnitude relativa à capacidade que a resiste, e essas capacidades são muito diferentes para tração e compressão. Uma barra tracionada recorre à resistência de escoamento plena de sua seção transversal. Uma barra comprimida da mesma seção, sobre qualquer comprimento sem travamento real, recorre a uma fração dela, porque pode flambar primeiro. Então uma pequena compressão de uma combinação de carga que você poderia pular pode superar uma grande tração da combinação que você sempre roda.

Duas alavancas decorrem disso, e um projetista de treliça usa as duas:

• Trave as barras invertidas. A correção mais barata para o banzo inferior não é mais aço, é uma linha de contraventamento de banzo inferior que corta o comprimento sem travamento. Ir de só-no-meio-do-vão (7,5 m, KL/r = 257, sequer permitido) para travamento nos terços (5,0 m, KL/r = 171) é o que torna o tubo leve legal, e ir além, para travamento em cada nó de painel (2,5 m, KL/r = 86), derruba a utilização de compressão para 0,16 e devolve a barra à tração.
• Respeite o limite de esbeltez. A AISC limita KL/r em 200 para barras comprimidas por um bom motivo. Uma mentalidade só-de-tração nunca calcula KL/r, então nunca percebe quando uma barra passa de 200 sob sucção. O caso de sucção força a conta.

O montante central de força nula é a lição espelhada. Ele não carrega nada sob nenhum caso simétrico aqui, mas aplique uma neve desbalanceada (parcial) ou um vento assimétrico real numa das águas e ele desperta. Força nula sob os casos que você desenhou não é o mesmo que força nula sob os casos que o edifício vai ver.

O fluxo de trabalho, esforços nas barras, depois combinações, depois uma verificação de resistência ou estabilidade, é o mesmo em toda parte; a embalagem difere.

• Estados Unidos (ASCE 7 + AISC 360). A ASCE 7 fornece as combinações LRFD, incluindo o caso de sucção 0,9D + 1,0W usado aqui, e a AISC 360 Capítulo D verifica tração (phi = 0,90 no escoamento) enquanto o Capítulo E verifica compressão com a curva de coluna Fcr e a orientação KL/r <= 200.
• Europa (EN 1990 + EN 1993-1-1). A EN 1990 monta as combinações a partir de ações características com fatores parciais (aproximadamente 1,35G + 1,5Q para gravidade) e, crucialmente, uma combinação com o vento como ação principal e um fator de permanente favorável de 1,0 ou menos para o caso de sucção. A EN 1993-1-1 então verifica as barras: N,Rd para tração e a resistência à flambagem N,b,Rd = chi x A x fy / gamma,M1 para compressão, com chi das curvas de flambagem.
• Brasil (NBR 8681 + NBR 8800). A NBR 8681 define as combinações últimas, incluindo aquela em que a carga permanente é favorável e o vento é a ação principal, e a NBR 8800 verifica a tração e a resistência à compressão N,c,Rd = chi x Q x A x fy / gamma,a1. A combinação de sucção e o limite de esbeltez lambda <= 200 também estão lá.

Símbolos diferentes, uma só ideia: a norma que te dá a combinação de gravidade também te dá a combinação de sucção, e cabe a você rodá-la. O motor aqui verifica a barra contra a AISC 360, o Eurocode 3 e a NBR 8800 a partir das mesmas forças, então a combinação que governa é achada para você em vez de lembrada.

"O banzo inferior é um tirante, só verifique tração." Apenas se a treliça nunca sofrer sucção líquida. Em qualquer cobertura exposta ela sofre, e a compressão por sucção, limitada por flambagem, pode governar a seção. No nosso painel de extremidade ela governou: utilização 0,55 em compressão contra 0,46 em tração.

"A sucção do vento é menor que a gravidade, então a gravidade sempre governa." Menor em força, sim, mas ela atua sobre a barra no seu sentido fraco. Uma barra é governada por qualquer que seja o caso que a empurre mais perto da sua capacidade, e a capacidade de compressão está muito abaixo da capacidade de tração para a mesma seção. Só a magnitude não te diz qual caso vence.

"Posso modelar os nós como rígidos e ler as forças axiais." Você pode, mas um pórtico de nós rígidos desenvolve flexão secundária e suas forças axiais desviam dos valores de nós rotulados (por alguns kN aqui). Para os esforços nas barras, modele rótulas verdadeiras para que as forças axiais sejam os valores limpos da estática; acrescente o refinamento de momento secundário só se as ligações realmente justificarem.

"O montante central é uma barra de força nula, então apague-o." Ele é nulo apenas sob os casos simétricos que você desenhou. Neve parcial numa das águas, ou vento numa das faces, e ele carrega carga; ele também contraventa o banzo inferior e define o comprimento de flambagem das barras adjacentes. Força nula não é propósito nulo.

"Barra maior para o banzo inferior, problema resolvido." Muitas vezes a alavanca errada. Como a verificação de sucção é uma verificação de flambagem, uma linha de contraventamento de banzo inferior que reduz o comprimento sem travamento pela metade compra mais capacidade, mais barato, que uma seção mais pesada. Corrija o comprimento antes de acrescentar o aço.

Uma treliça de cobertura de 15 m se resolve pela estática em uma tarde, e os esforços nas barras são tão confiáveis quanto o próprio equilíbrio: nesta treliça o motor bateu com o método dos nós manual até 5e-5 kN. Mas as forças são só metade do trabalho. A outra metade é perguntar, para cada barra, qual combinação de carga é a mais desfavorável, e a resposta honesta é que depende da barra. A gravidade governa o banzo superior e o sentido natural de toda barra; a sucção do vento, a combinação com a qual você pode construir um dimensionamento de gravidade inteiro sem nunca anotá-la, governa o sentido invertido, e por meio da flambagem pode dimensionar uma barra que você achava ser um simples tirante.

O CalcSteel roda os casos de carga, forma as combinações da ASCE 7, do Eurocode e da NBR, e reporta a força que governa e a verificação de tração ou compressão para cada barra de uma só vez, então o caso que decide é calculado, não lembrado. Modele sua própria treliça no editor, acrescente a combinação de sucção e deixe-o mostrar quais barras invertem. Se você quer o chão sob os esforços nas barras, nosso guia de diagramas de força cortante e momento fletor cobre o comportamento de viga que uma treliça substitui por força axial pura.